Введение к работе
Актуальность томы. Настоящая работа посвящена получению необходимых и достаточных условий "второго порядка" для локального минимума в задаче оптимального управления, линейной по управленій), при наличии ограничений на управление, в случае, когда исследуемый, режим - полностью особый ("totally singular"). Выбор линейной по управлению задачи объясняется тем, что это наиболее характерный класс задач, в которых имеются особые экстремали. В частности, если поточечные ограничения на управление отсутствуют, то любая экстремаль является особой.
Интерес к особым режимам возник еще в начале 1960-х годов, главным образом в связи с началои интенсивного применения недавно доказанного принципа максимума Почгряпша к исследованию задач оптимального управления космическими и другими летательными аппаратами; затеи они стали самостоятельным предметом чисто математического изучения. Было замечено, что экстремали в этих задачах, т.е."траектории, удовлетворяющие принципу максимума, весьма часто содержат особые участгчСр жида), и что такие траектории вполче могут не быть оптимальними. Поэтому возникла идея об исследовангч особых экстремалей с помочь» условий высших порядков. За прошедшие с тех пор 30 лет в этом направлений было сделано очень много работ (как в нашей стране, так и за рубином). Это работы Г.Келли, Р.Коппа, Г.Мойера* А.Брайсона, Г.Роббинса, Б.С.Гоха, й.Б.Банкирского, Д.Белла, Дш.Макданелла и Ь.Пауэрса, Дя.Спейера и Д.Джекоб-сона, Р.Габасова и Ф.И.Кирилловой, В.А.Срочно, В.В.Гороховика, В.И.Гурмана, В.А.Дыхты, И.Т.Скородинского, Г.Кноблоха, А.Кренера, А.А.Аграчева и Р.В.Гамкрелидзе, А.А.Мичготи-'а, М.И.Зелнкина, .-.Ламнабхи и Ш.Стефани и многи других.
Однако., несмотря на такое обилие публикаций, теорию условий высших порядков для особых экстремалей до настоящего времени
-.-4-. нельзя было считать сколько-нибудь близкой к завершению. Причин этому несколько. Первая состоит в том, что подавляющее число работ посвящено получению лишь необходимых условий, причем условий поточечных, типа классического условия Лежаадра. Было получено очень много таких условий, но вопрос о том, насколько полна полученная система необходимых условий (и что считать полной системой) оставался открытым. С другой стороны, работ по достаточным условиям очень мало, причем-полученные условия (если не считать работ А.А.Милютина и автора) весьма далеки от необходимых как по форме, так и по предположениям и по методам их получения. Вопрос о получении полной системы квадратичных необходимых и примыкающих к ним квадратичных достаточных условий не поддавался решению стандартными общепринятыми методами.
Для систем, нелинейных по управлению, при отсутствии ограничений на управление, этот вопрос был разрешен в классическом вариационном исчислении (КВИ), а при наличии таких ограничений -в недавних работах Н.П.Осмоловского (см. 17J). В обоих случаях существенную роль играед сильное условие Лежаадра, т.е. отрицательная определенность матрицы вторых производных функции Понтря-гина п по управлению. Однако для линейных по управлению систем это условие не выполняется по определению, поэтому, классические достаточные условия (в том числе условие Якоби) в принципе не могут быть применимы.
Вторая причина состоит в том, что практически во всех работах (кроме работы [6]) изучался лишь слабый минимум, и не учитывался вклад так называемых игольчатых вариаций. Как известно, в услови- =' ях первого порядка именно использование Игольчатых вариаций поз- . валило Л.С.Понтрягину перейти от уравнения Эйлера к существенно более сильному необходашоиу условии, - принципу максимума (поэтому минго-ум в классе вариаций, включающем в себя как слабые, так и / игольчатые вариаций, называется иоитрягинсюш). Однако в задачах, линейных по управлению, принцип максимума и уравнение Эйлера эквивалентны, т.е. в условиях первого пзрядка игольчатые вариации
- 5 -не дают никакой дополнительной информации по сравнению со слабыми вариациями. Квадратичные условия слабого минимума для особых экстремалей, как необходимые, так и близкие к ним достаточные были недавно получены в работах А.А.Милютина и автора. Поэтому далее естественно возник вопрос: произойдет ли какое-либо усиление этих условий, если ввести в рассмотрение также и игольчатые вариации? Ответа на него в литературе не было.
і Третья причина состоит в том, что в работах по условиям высших порядков для особых режимов ограничения на управление фактически не рассматривались, т.е. специфика оптимального управления, по существу, отсутствовала.
Все вышесказанное, учитывая также неослабевающий интерес к данной области, позволяет сделать вывод об актуальности настоящей работы.
Цель работы состояла в том, чтобы для особых экстремалей в общей задаче оптимального управления, линейной по управлению, при наличии ограничений на управление, получить как необходимые, так и достаточные условия пекоторого квадратичного порядка для понт-рягинского минимума, аналогичные условиям анализа и КВИ в том си .еле, чтобы необходимые условия тесно примыкали к достаточным (отличались бц от них лишь усилением неравенства).
Порядок минимума рассматривался тот ке самый, который был найден ранее при получении условий слабого минимума (51. Вопрос стоял так: будут ли усилены условия, слабогс минимума, если перейти к более широкому классу вариации, включающему, в частности, т.н. игольчатые вариации. *
При этом мы не допускали никаких априорных предположений на характер взаимодействия различных ограничений задачи на данной траектории, в частности, на множества нормированных наборов мно-* -кителей Лагранжа. С .о, вообще говоря, может состоять более чем из одного набора (а исключать такой cj./чай нельзя даже в конечномер- ' ной задаче с ограничениями), и это ивляется причиной серьезігте
- 6 -.
трудностей при исследовании. Были сделаны лишь некоторые предположения о характере контакта исследуемого управления с границей допустимого множества управлений, носящие технический характер. В так называемом анормальном случае, когда ограничения равенства задачи на данной траектории совместно вырождены, целью исследования было получить информативные необходимые условия понтряпшского минимума того же квадратичного порядка (как известно еще из КВИ, необходимые условия, полученные для общего случая, в анормальном случае неинформативны).
Метод исследования основан на абстрактной теории условий высших порядков, построенной в работах Е.С.Левитина, А.А.Милютина, Н.П.Осмоловского [1, 2}. Эта теория позволяет для данной траектории , данного типа минимума и данного порядка минимума определить некоторую константу, знак которой указывает на наличие или отсутствие минимума. Определение этой константы на абстрактном уровне носит весьма сложный характер. Дальнейшая работа заключалась в том, чтобы максимально упростить выражение для этой константы, так сказать, "расшифровать" его применительно к рассматрит ваемому конкретному классу задач.
Метод такой расшифровки состоял в том, что в классе всех последовательностей понтрягинских вариаций рассматривались два,его основных подкласса - равномерно малых последовательностей и последовательностей "циклов" (т.е. вариаций, фазовая компонента, которых имеет вид цикла на малом отрезке времени). Было показано, что сумма таких последовательностей есть понтрягинская последовательность, обладающая нужными свойствами, и, с другой стороны, что-любая понтрягинская последовательность представима в виде суммы "почти" равномерно малой последЪвате. ьности и последовательности циклов. Кроме того, был выделен специальный класс понтрягинских последовательностей (названных лежандровымй последовательностями), который систематически использовался в процессе расшифровки. Именно этот класс позволил получить нужную информацию о/коэффици-
ентах функции Лагранжа на исследуемой траектории.
В случае, когда ограничения равенства задачи совместно вырождена, использовался метод замены (ослабления) части этих равенств на некоторые неравенства, так что остающиеся ограничения равенства уже невырогвдены. Этот метод был впервые предложен А.А.Милютиным [3].
Научная новизна. Все основные результаты диссертации, а также способ юс получения являются новыми. Основные отличия результатов данной работы от ранее известных состоят в следующем:
а) Наиболее общая постановка задачи: допускаются .концевые не
равенства (причем, как и равенства и функционал - зависящие от
обоих концов траектории), а также ограничения на управление, при
этом исследуемое управление может выходить на их границы.
б) Наименьшие предполояения. В частности, мы не делаем ника
ких предположений о множестве наборов множителей Лагранжа, и пред
положений типа условия Фробевдг/са.
в) Рассматривается но только слабый {5], но и понтрягинский
минимум.- (Работа 5} входила в кандидатскую диссертаций автора.)
г) Для понтрягинского минимума получены не только необходимые условия (в той числл ног іє условия поточечного типа), но и тесно примыкающие к ним достаточные условия некоторого квадратичного порядка.
Особо следует отметить новое условие типа Леяандра, входящее как в необходимые, гак и в доетагочшь условия, формулирующееся с учетом не только второй, 'но и третьей вариации функции Лагранжа, а также с учетом множества допустимых управлений. Неполный вид этого условия для некоторого частного случая был получен также в ' работе [6], но в ней не была указана ни полная форма этого условия, ни его связь с достаточными условиями даже для рассмотренной частной постановки задачи.
д)-Для анормального случая получены информативные необходимые у ловия понтрягинского минимума выбранного квадратичного -орядка,
- б -
которые усиливают полученные А.А.Милютиным условия слабого минимума . {3 ].
Практическая значимость. Результаты диссертации могут быть использованы при исследовании на минимум особых экстремалей в различных задачах оптимального управления. Наиболее полные результаты получены для случаев, когда множество допустимых управлений представляет собой либо полосу коразмериости 1 в пространстве любой размерности, либо произвольный эллипс на плоскости. В этих случаях для проверки нового условия Лежавдра (отличающего понтрягинский минимум от слабого) даются точные аналитические формулы.
Апробация. Результаты диссертации докладывались на Всесоюзной конференции "Теория, мзтоды'И практика системных исследований" (Москва, 1984), на V Всесоюзной конференции по управлению в механических системах (Казань, 1985), на X Всесоюзном совещании по проблемам управления (Алма-Ата, 1986), на Всесоюзном семинаре "Динамика нелинейных процессов управления" (Таллин, 1987), на Всесоюзной летней школе по теории устойчивости и функциям Ляпунова (Иркутск, 1988), на Международных семинарах "Геометрические методы в нелинейных системах управления" (Шопрон, Венгрия, 1991) . и "Приложение оптимизации к задачам управлений" (Мюнхен, 1992), на 15-й Конференции ИФИП по системному моделированию и оптимизации (Цюрих, 1991), на IV Понтрягинскшс чтениях "Созрємешшє методы в теории краевых задач" (Воронеж, 1993), ка 2-й Европейской конференции по управлению (Гроиинген, Голландия, 1993), а также докладывались и обсуждались на семинарах кафедра общих проблем управления мехмата МГУ, оптимального управления ф-ta ВИК МГУ, , теоретической кибернетики ЛГУ, исследования операций СПбУ, дифференциальных уравнений СПбУ, на семинарах во ВНИИ системных исследований, ЦЭМИ,- ВЦ, ЙПУ И ЮШех РАН..
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах (9 -17]. В статье [8] соискателей предложен один из вариантов обобщения теоремы Л.Л.Люстерпика о касательном подпространстве, использовавшийся а диссертации.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, шести глав, шести приложений и списка литературы (содержащего 72 наименования) и излогнеиа на 391 стр. машинописного текста.
