Введение к работе
Актуальность темы. Работа посвящена анализу взаимосвязей между конечными системами обыкновенных дифференциальных уравнений, имеющими некоторую специальную структуру (в работе они названы разностно-дифференциальными уравнениями (РДУ) или, для краткости, цепочками), и соответствующими уравнениями с частными производными (в работе они названы континуальными моделями). Говоря несколько описательно, можно сказать, что под термином "разностно-дифференциальное уравнение" в нашей работе понимается такое уравнение, в котором неизвестной является функция двух переменных, одна из которых непрерывна, а другая - дискретна. При этом предполагается, что такое уравнение, вообще говоря, содержит оператор дифференцирования по непрерывной переменной и оператор сдвига по дискретной переменной1 .
Классическим примером задачи о взаимосвязи между разностно -дифференциальным уравнением и его континуальной моделью может служить задача о колебаниях нити с бусинами, обсуждавшаяся в середине XVIII века Д'Аламбером, Эйлером, Даниилом Бернулли и Лагранжем. Лагранж, получив точное решение задачи о колебаниях нити с N бусинами и совершив формальный предельный переход при N -* ш, нашел правильное решение задачи о колебаниях непрерывной струны. Это породило убежденность в том, что при достаточно большом N колебания нити с N бусинами похожи на колебания непрерывной струны. Рэлей, анализируя частоты для нити с бусинами и сравнивая их с частотами для струны, пришел к заключению, что поскольку при N==10 частоты можно считать весьма близкими, то и колебания можно считать достаточно похожими.
В 1919 году Н.Е.Жуковский рассмотрел задачу о продольных колебаниях системы из N материальных точек, соединенных линейными связями, причем к крайней точке мгновенно прикладывется постоянная сила F. Основываясь на близости решений для дискретной цепочки и для сплошной среды, Н.Е.Жуковский сделал вывод о том,
1Такая терминология использовалась еще в начале XIX века (см., например курс Lacroix S.F. Traite du calcul differentiel et calcul integral, v.Ill, 2ed, Paris, 1819, 776 p.
что при достаточно большом N силы в такой цепочке не превышают величину F. Впоследствии несколько иным способом к тому же выводу пришел А.И.Лурье. На возможность переноса идеи о близости решений для подобных цепочек и для соответствующих сплошных сред на случай нелинейных связей между материальными точками указывали Р.Курант и К.Фридрихс:2 "Можно изучать волновое движение в средах, которые не подчиняются, вообще говоря, закону Гука. Существует определенная аналогия между такими дискретными средами и сплошными средами. Эту аналогию можно использовать двояко: в некоторых вычислениях выгодно приближенно заменять сплошную среду дискретной и наоборот". Вычислительный эксперимент, в 1943 г. осуществленный фон Нейманом3 говорит о правдоподобности такой замены.
Но в 1962 г. Забуски пытался аналитически подтвердить результат Ферми, Паста и Улама, численно обнаруживших периодические колебания в системе материальных точек, соединенных слабо нелинейными связями. Заменив такую дискретную цепочку физически аналогичной слабо нелинейной сплошной средой, Забуски4 обнаружил, что в такой сплошной среде невозможно возникновение периодических колебаний. Поэтому в 1965 г. Крускал и Забуски предложили другую континуальную модель цепочки5. Что же
2Курант Р., Фридрихе К. Сверхзвуковое течение и ударные волны, ИЛ, М: 1950, с. 27.
3Neumann J. Proposal and Analysis of a New Numerical Method for the Treatment of Hydrodynamical Shock Problems. Collected Works, v. 6, 1963, p. 361 - 379.
4Zabusky N. Exact solutions for the vibration of nonlinear continuous model string. J. Math. Phys. 5,3, 1962, p. 1028-1039.
5Kruskal M. Asymptotology in Numerical Computations: Progress and Plans on the Fermi-Pasta-Ulam Problem. Proc. IBM Scient. Сотр. Symp. on Large-Space Problem Divis. N.Y., 1965, p. 43-66.
касается случая чисто линейных связей, то В.П.Маслов^ рассмотрев колебания кольцевой цепочки дискретных масс, показал в частности, что производные решений для цепочки могут не стремится к производным решений для соответствующей сплошной среды. Отличие характера колебаний для кольцевой цепочки с чередующимися массами и линейными связями от колебаний сплошной среды с усредненной равномерной плотностью отмечалось также Борном и Карманом еще в 1910 г.
Метод конечных разностей с успехом применялся (см., например,7) для доказательства многих свойств решений уравнений с частными производными весьма общего вида. Однако в последнее время усилился интерес (особенно в квантовой механике) к построению дискретных аналогов физических законов, исходя не из аппроксимации классических уравнений с частными производными, а из внутренних свойств, присущих самому дискретному объекту (см., например8). Таким образом, разностные и разностно -дифференциальные уравнения стали активно выступать и в качестве исходных математических моделей в физике. При этом естественно возник вопрос о том, в какой мере свойства дискретных моделей похожи на свойства непрерывных моделей и вопрос о том, как можно описывать с помощью континуальных моделей те свойства дискретных моделей, которые не отражаются классическими уравнениями с частными производными. Таким образом, возникший еще в середине XVIII века вопрос о взаимосвязи между разностно -дифференциальными уравнениями и их континуальными аналогами продолжает привлекать большое внимание на протяжении последних 250 лет.
бМаслов В.П.'Операторные методы. М.: Наука, 1972, 483 с.
7Ладыженская О.А. Метод конечных разностей в теории уравнений с частными производными. Труды третьего Всесоюзного математического съезда, т.2, 1956, с. 13 - 16.
8Дезин А.А. Многомерный анализ и дискретные модели, М: Наука, 1990 г., 238 с.
Цель работы. Построение и исследование свойств континуальных моделей разностно-дифференциальных уравнений.
Методы исследований. В работе использованы методы качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений с частными производными, функционального анализа, теории Галуа (круговые поля), гармонического анализа.
Научная новизна. В работе показано, что в задаче Жуковского, в классической задаче о свободных колебаниях нити с бусинами, в задаче о колебаниях круговой цепочки с N бусинами решения задач для дискретных цепочек и для их основных континуальных моделей (в виде сплошных сред) на неограниченном интервале времени могут отличаться тем сильнее, чем больше число N (во всяком случае если это число простое, или степень двойки), поскольку в этом случае в дискретной цепочке может возникать эффект всплесков.
Для линейных РДУ достаточно общего вида доказаны аппроксимационные теоремы, показывающие, как построить континуальную модель, аппроксимирующую исходное РДУ с заданной точностью. В качестве иллюстрирующих примеров рассмотрены: задача Жуковского, классическая задача о свободных колебаниях нити с бусинами, круговая цепочка, . цепочка линейной теории вязкоупругости (случай, когда связи обладают релаксацией и ползучестью), дискретная цепь Маркова с непрерывным временем, дискретный аналог нестационарного уравнения Шредингера.
Для сильно нелинейных цепочек (сильно нелинейный вариант задачи Ферми - Паста - Улама и его обобщения) построены континуальные модели, для которых найдены явные выражения для периодических решений и исследованы их свойства.
В ряде случаев, порожденных задачами физики твердого тела, континуальные модели сложных нелинейных РДУ приводят к новым задачам для уравнений с частными производными, имеющим черты задач Стефана и Балле Пуссена для гиперболических систем квазилинейных уравнений с вырождением. Для таких задач в работе доказаны теоремы локального существования и единственности решений и получены достаточные условия глобальной разрешимости.
Практическая ценность. Работа носит теоретический характер. В ней получены результаты, касающиеся процессов, описываемых
РДУ, для анализа которых естественно использование континуальных моделей. Приведены условия возможности приближенной замены заданного РДУ на континуальную модель и условия возможности замены заданной континуальной модели на РДУ определенного вида. Свойства континуальных моделей, полученные в работе, могут также найти применение и для исследования явлений, в которых континуальные модели возникают не только в связи с РДУ, но и как самостоятельные объекты. Ряд результатов получил дальнейшее развитие в работах других авторов (см., например,9).
Апробация работы. Работа обсуждалась на следующих семинарах и конференциях: Совместные заседания семинара им. И.Г.Петровского по дифференциальным уравнениям и Московского Математического общества в МГУ - в 1981, 1991, 1993, 1994, 1995 г.; IX Международная конференция по нелинейным колебаниям в Киеве в 1981г.; семинар в Московском Энергетическом институте (руководитель СИ. Похожаев) в 1982 г.; II Международная конференция по дифференциальным уравнениям в Руссе (Болгария) в 1982 г.; Семинар в МГУ (руководители: А.Г. Костюченко, Б.М. Левитан, А.А. Шкаликов) в 1990 - 1992, 1994 г.; Третья международная конференция по дифференциальным уравнениям в Пловдиве (Болгария) в 1992 г.; Школа по применению математики в технике - Варна (Болгария) в 1992 г.; семинар в МГУ (руководитель В.М. Тихомиров) в 1993 г.; семинар в институте Прикладной математики (руководитель B.C. Рябенький) в 1993 г.; семинар в
9 Сокил Б.И., Барвинский А.Ф. Об асимптотическом решении одной нелинейной краевой задачи. ДАН УССР, 1980, серия А, 1, Киев: Наукова Думка, с. 22-26.
Bassanini P., Turo J. Generalized solutions to free boundary problems for hyperbolic systems of functional partial differential equations. Anriali di Matematica Рига ed Applicata, v. CLVI, 4, 1990, p. 211 - 230.
Turo J. Global solvability of the mixed problem for first order functional partial differential equations. Annales Polonici Mathematici LII, 1991, p. 232 - 238.
институте Проблем механики (руководитель Ф.Л. Черноусько) в 1993г.; Воронежская математическая школа "Понтрягинские чтения IV" в 1993г.; семинар в МГУ (руководители Д.В. Аносов, Р.И. Григорчук и A.M. Степин) в 1993 - 1994 г.; Воронежская школа "Современные проблемы механики и математической физики" в 1994г.; заседание Московского математического общества 29 марта 1994г.; семинар в Московском физико - техническом институте (руководитель В.Б. Лидский) в 1994г.; семинар в институте Прикладной математики (руководитель А.Д. Брюно) в 1994 г; семинар в институте Математики им. В.А.Стеклова РАН (руководители В.П. Михайлов, А.К. Гущин, А.А. Дезин) в 1995 г.; семинар в СПбГУ (руководитель В.А. Якубович); семинар в Санкт-Петербургском отделении математического института им. В.А.Стеклова РАН (руководитель О.А.Ладыженская) в 1995 и в 1996 г.; семинар в Московском государственном университете путей сообщения (руководитель А.Д. Мышкис) в 1975 - 1995 г. Публикации. Основные результаты опубликованы в работах [1]-[30].
Объем и структура работы. Работа состоит из введения, пяти глав и списка литературы из 140 наименований. В работе 244 страницы, 18 рисунков и 1 таблица.
