Введение к работе
АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Современные методы решения краевых и начально-краевых задач для уравнений гидродинамики вязкой жидкости характеризуются широким использованием методов функционального анализа и теории вложения функциональных- пространств. Их становлений связано с работами С. Г. Крейна, 0. А. Ладыженской, Я. Лерэк С. Л. Соболева, Э. Хопфа, Г. Вейля.
Более сложные модели жидкости, учитывающие предысторию течения, были предлоиены Да. Максвеллом, В. Кельвином, В. Фонгтом и развиты в работах Да. Олдройда.
Эти модели приводят к интегродифференциальным уравнениям, коэффициенты которых не зависят от значений неизвестных Функций, вычисляемых вдоль траекторий движения частиц. Изучение таких уравнений было начато в работах А. П. Осколкова и его учеников и продолжаю в работах Ю. Я. Аграновича и П. Е. Соболевского, Е. Fernandes - Сага, F. Gullien, R. -Ortega, рассмотревших случаи физически нелинейной среды. Однако на практике такие модели не всегда дают хорошие результаты. В. Г. Литвинов предложил модель влзкоупругости, помнящую историю деформирования, которая в эйлеровых координатах вычисляется вдоль траекторий движения частиц, а не в точках неподвижного пространства. Так что при этом деформация б каждой точке траектории вычисляется в лагрантавых координатах. Исследование таких моделей вязкоупругости находится на начальном этапе.
Значительный интерес представляют гиперболо-параболические системы уравнений термоупругости и, в частности, одномерные модели. В работах R.Racke, У.Shibata, S.Jiang, W.Day, W.Hrusa, M.Tarabek, J.U.Kim, Ф.Г.Максудова, К.А.Леонова были установлены локальные теоремы при достаточно гладких данных и нелокальные теоремы при гладких малых данных.
Значительный интерес вызывают параболические системы уравнений термовяэкоупругости. Такие системы рассматривались в работах К. Chelmlnskl. S.Jiang, I.Luca, C.Navaro, R. Вегсіа, в которых установлены локальные теоремы при достаточно хороших данных и нелокальные теоремы для линеаризованных или модифицированных систем. Отметим, что в одномерном случае сходные с системами уравнений термовяэкоупругости, но отличающиеся от ниу
ФУНКЦИЯМИ СОСТОЯНИЯ , СНСТемЫ УраВНСННЙ ДВИжеНИЯ ЕЯП'ОГС газч
изучались в работах А. А. Аносова, А. А. Злотника, Л. С! Кл;<'.г<г;тз,
В.Б.Николаева, В.П.Маслова, П. П. Мосолова, Н. Н. Шелухина H.Fuiita-Yashima. R. Benabidallah, M._Padula, A. Novotny и др.
В этих работах изучены разрешимость d различных функциональных пространствах и поведение решений на бесконечности (наиболее полные результаты получены в \-% ), рассмотрены вопросы повышения гладкости различных обобщенных решений при повышении гладкости данных.
Большую роль в этих исследованиях играет интерпретация этих уравнений как уравнений в банаховом пространстве с неограниченными операторами и изучение свойств соответствующих линейных уравнений и их спектральных характеристик. Этому направлению посвяіценьї работы П. Е Соболевского, С. Г. Крейна, Н. Д. ;<опачевского, А. И. Прилегаю, Н. Л. Горбачука, Л. М. Герштейна. А. Я.Шкляра, G. Da Prato, J.Prucss, P. Clement, А. А. Шпаликова, А. Г. Костюченко, W. Hrusa, M. Renardy, J.Nohcl, A. A. , Ланкова, A.H. Боценюка, К. Chelminski, H.Fattorini, И. В. Федак, R.Fabiano, K.J to, В. А. Солонкикова, В. И. Юдовича, С. Я. Якубова, Д. Г. Орловского, Ю. Т. Сильченко, С. Г. Мнхлина и др.
ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Установить разрешимость начально-граничных задач для систем уравнений вязкоупругости, термоупругести и термо-вязкоупругости в классах суммируемых функций. Установить коэрцитивную разрешимость абстрактных дифференциально-интегральных уравнений с неограниченными операторными коэффициентами.
МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ. Исследование разрешимости рассматриваемых задач проводится путем их сведения к соответствующим операторным уравнениям в банаховых пространствах с последующим применением подходящих принципов неподвижных точек.
Для изучения линеаризации рассматриваемых задач используются методы теории дифференциальных уравнений в банаховом пространстве, теории аналитических полугрупп операторов, теории дробных степеней операторов. В работе используются такяе методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений и теории функций.
НАУЧНАЯ НОВИЗНА-. Все результаты, полученное в диссертации, новые.. Рассмотрены задачи, учитывающие предысторию деформирования вдоль траекторий - движения частиц. Для многомерных вязкоупругих сред установлены локальные теоремы сущоствоЕзачия и единственности г. классах суммируемых функций при необходимых условиях на дачные. Исследована разрешимость на полуоси при малых данных. Для
одномерных моделей тормоупругости установлены локальная теорема существования и единственности в классах суммируемых функций и изучена разрешимость на полуоси при малых данных. Те не задачи решены для одномерной модели термовязкоупругости.
Задачи рассмотрены как в эйлеровых, так и в лагранжевых координатах.
Установлена коэрцитивная разрешимость задачи Коши для диффсренциальна-иутегрального уравнения в банаховом пространстве с неограниченными операторными коэффициентами в классах суммируемых функций.
Установлена разрешимость смешанной задачи для волнового уравнения в классах суммируемых функций при условии лишь дифференцируемое правой части по пространственной переменной.
ПРАКТИЧЕСКАЯ И ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЗНАЧИМОСТЬ. Результаты работы носят как теоретический, так и практический характер. Они могут быть использованы для дальнейших исследовании по математическим моделям термовязкоупругих сред, дифференциально-интегральных уравнений. Методика исследования, сводящая исходные задачи к уравнениям в банаховом пространстве, позволяет получать те яе результаты не только в классах суммируемых функций, но и в классах Гельдера, или в функциональных классах, имеющих различные свойства по пространственным и временной переменным.
АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты работы докладывались на научных семинарах кафедры функционального анализа и операторных уравнений Воронежского госуниверситета (рук. Соболевский П. Е.), на семинаре С. Г. Крейна (Воронежская государственная лесотехническая п академия), на заседаниях Воронежского математического общества, на семинаре под руководством М.Л. Горбачука (Институт математики НАН Украины), на семинаре Я.С. Подстригача (ИППМ НАН Украины, Львов), на семинаре кафедры математического анализа МГУ (рук. А.И. Прилепко, В.А. Садовничий).
Результаты работы 'докладывались на международных конференциях:
"Нелинейные параболические задачи", (Левико (Трента), Италия,
1995г.-); '
"Интегральные уравнения Вольтерра и их приложения", (Пасеки,
Чехия, 1994г.);
Международный конгресс математиков ІСМ-94, Цприх, Швейцария;
"Нелинейные дифференциальные уравнения", Киев, 1995;
"Функционально-дифференциальные уравнения и приложения",
Москва,1994;
"Дифференциальные и интегральные уравнения", Самара, 1992г.;
Международная научная школа "Метод функций Ляпунова и его приложения", Иркутск, 1989г.;
"Математические модели и численные методы механики сплошной среды", Новосибирск, 1991г.;
З- й коллоквиум "Качественная теория дифференциальных уравнений", Сегед, Венгрия, 1988г.;
на совместных заседаниях семинара им. И. Г. Петровского и Московского математического общества, МГУ, 1989г. 1995г.; а также:
на Воронежских зимних математических школах;
на IV-V Крымских осенних математических школах, Ласпи, 1993-5994г.;
на XIV школе по теории операторов, Новгород, 1989г.;
на XV школе по теории операторов, Ульяновск, 1990г.; на VII Республиканской конференции "Нелинейные задачи математической физики и задачи со свободной границей", Донецк, 1991г.
ПУБЛИКАЦИИ. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-17]. В диссертационную работу включены только тс результаты, которые принадлежат лично автору.
ОБЪЕМ И СТРУКТУРА РАБОТЫ. Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка литературы. Она изложена на 271 страницах машинописного текста. Список литературы включает 139 названий.
