Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Глобальная разрешимость уравнений баротроп-ного движения вязкого газа с немонотонной функцией состояния 16
1. Постановка задач 16
2. Уравнения движения с плоскими волнами 26
3. Уравнения симметричных течений 33
4. Движение с переменной вязкостью 46
Глава 2. Глобальная, разрешимость уравнений движения вязкого газа с осевой и сферической симметрией 57
1. Уравнения вязкого теплопроводного газа 57
2. Обобщенные уравнения Бюргерса 74
Литература 84
- Уравнения движения с плоскими волнами
- Движение с переменной вязкостью
- Уравнения вязкого теплопроводного газа
- Обобщенные уравнения Бюргерса
Уравнения движения с плоскими волнами
В данном параграфе доказывается однозначная разрешимость начально-краевой задачи для уравнений баротропного вязкого газа. При этом,в отличие от [б] , [14] на функцию состояния налагаются менее ограничительные требования,чем условия монотонности. I. Постанов к. а задачи. Рассматриваются уравнения Навье-Стокса вязкого газа,имеющие в переменных Лагранжа вид Система (І) замыкается уравнением состояния В прямоугольнике Q (о,1)х(о,Т) с произвольной конечной высотой Т о+Т о требуется найти решение системы уравнений (I),(2)удовлетворяющее условиям Будем предполагать,что функция состояния p(V) обладает следующими свойствами. Как и обычно,считается,что она определена на Со, о ) и является непрерывно дифференцируемой. Во-вторых, имеется хотя бы одна точка i/ е о,сю) такая,что Третье требование на Р 0 "J заключается в предположении,что существует постоянная \С 0 такая,что в точках,где производная имеет положительный знак,выполняется соотношение Отметим,что условия (о) и (б) всегда справедливы,если функция Pfu) монотонная,т.е. если pfi -O, причем (5) справедливо для любой точки %.е (о,оо). Чтобы выполнялось (6) достаточно предположить частности,конечность интервала полуоси 1) 0 на ко-тором производная Р (v-) принимает положительные значения и замыкание этого интервала не должно содержать точку 17"-О. Но,вообще говоря,условие (5)допускает наличие даже бесконечного числа перемен знака у р Ы). Сформулируем результат о разрешимости задачи (1)-(4). Теорема I. Пусть начальные данные (4) удовлетворяют требованиям 4,6 (о, 1) , ) а функция V(v-) удовлетворяет условиям (5) -и (6). Тогда задача (1)-(4) имеет единственное решение (ж, V-) такое,что причем 1 (ое,+) - строго положительная и ограниченная функция. 2. Априорные оценки. Выведем априорные оценки в целом по времени.
Существующее локальное решение [7] применением этих оценок продолжается на весь промежуток [о,Т] . Наибольшее значение при этом имеет доказательство строгой положительности и ограниченности удельного объема V fe, t). Введем вспомогательную функцию В силу условия (5) Ф( ) является неотрицательной при 1 - о .Заметим, кроме того,что Теперь умножим первое из уравнений (I) на Р[ ) P( v-) , второе - на U и сложим Проинтегрируем полученное по X от о до 1, используя в правой части интегрирование по частям,в результате чего приходим к равенству Здесь и далее буквами С« будем обозначать положительные константы, зависящие от норм начальных данных,физических параметров задачи,но не зависящие от величины интервала существования локального решения. Далее,производную = _ . из первого уравнения системы (I) подставим во второе От сю да, умножая на 1Мй и интегрируя по « от о до і находим Здесь использовались интегрирование по частям с. учетом краевых условий (3) и первое из уравнений (I). Второе слагаемое в правой части (10) разобьем на сумму.двух интегралов: по множеству Интеграл по множеству является неположительньм,а на Д ffj оценим производную р(v) по неравенству (б),увеличив затем промежуток интегрирования до (0,1). В результате из (10) получим соотношение Интегрируя - его по времени и применяя неравенство Коши,находим Дальнейшая схема вывода априорных оценок аналогична [14] :из второго уравнения системы (I),рассматриваемого как линейное па раболическое относительно ufaf-h) легко получаются оценки —- и ъп в норме L (fi), а также - , в норме L о,Т; L io ). Тогда из первого уравнения (I) оценивается производная т . Получим эти оценки. Умножим второе из уравнений (I) на -U проинтегрируем по X от 0 до і . Расписав производную в правой части и выпол- нив интегрирование по частям,приходим к равенству (ІЗ) "се. о л № Ъи %L „ Г л MJt л Оценивая р (irfa/tjj сверху и Хг(х ) снизу и сверху перейдем к неравенству
Движение с переменной вязкостью
В этом параграфе даются дополнительные замечания относительно разрешимости начально-краевой задачи для баротропного движения вязкого газа с немонотонной функцией состояния. В задачах со сферической и цилиндрической симметрией на функцию состояния налагались несколько иные требования,чем в задаче с плоскими волнами. Будет показано.,что и в этом случае можно рассматривать начально-краевую задачу,ограничивая саму функцию Р(У),но не О М. Кроме того,коэффициент вязкости можно брать не константой,а функцией от удельного объема (плотности). Приводятся условия,которые достаточно наложить на МС ), чтобы задача оставалась корректной в целом по времени. I.Движение с плоскими волнами. По-прежнему будем рассматривать уравнения Навье-Стокса вязкого газа в лагранжевых (массовых) координатах. Замыкается система уравнением состояния В начальный момент времени t - б пусть заданы распределения скорости и плотности Краевые условия однородны Сформулируем требования относительно функций М- и (V-) и Все необходимые включения доказаны,решение можно продолжить на произвольный конечный интервал времени. Единственность доказывается стандартным образом,составлением линейного однородного уравнения относительно разности двух возможных решений. Замечание I. Аналогичными рассуждениями доказывается возможность продолжения решения в случае других одномерных движений - с цилиндрическими или сферическими волнами,когда область не включает ось (точку) симметрии. Уравнения выглядяттак
Здесь & Іо,і] - массовая лаграннева переменная, сс Гя,/J -эйлерова переменная,которая должна рассматриваться как решение уравнения где 3!С(Ч) - монотонно возрастающая и непрерывная функция такая, что X lc)-CL) 01а[1)-\. Связь эйлеровой и массовой переменных Параметр УК-\ отвечает осесимметрическому случаю, frv , - случаю сферической симметрии. Зададим начальные и начально-краевые условия для него Эта задача была изучена в [34] , [Зо] , [Зб] ,где для однозначной разрешимости (29)-(ЗФ) налагалось,в частности,условие Введем функции / -=.--= w = -r Дифференцируя граничные уело- вия (30),получим условия для V и и . Таким образом,задача (29)- (30) сводится к задаче (1)-(4). Тогда разрешимость задачи (29)- (30) в целом по времени при і следует из результатов данного параграфа,если вьшолнены условия (5)-(10) и Таким образом,ограничения на производную Р i z) не являются обязательньми. В данной главе будут рассмотрены начально-краевые задачи для уравнений движения вязкого теплопроводного газа и для обобщенных уравнений Бюргерса. Для уравнений теплопроводного газа доказывается однозначная разрешимость в случае,когда область течения не включает ось (точку) симметрии. Одновременно рассматриваются движения с цилиндрическими и сферическими волнами. Для областей, включающих линию вырождения,разрешимость доказывается лишь в случае модельных уравнений - системы обобщенных уравнений Бюргерса - для движения с цилиндрическими волнами. Цель данного параграфа - доказательство корректности "в целом" по времени начально-краевой задачи для уравнений,описывающих одномерные течения вязкого теплопроводного газа. Известны результаты для движения с плоскими волнами [ІЗ] , [15] , [20] . При доказательстве будем следовать,в основном,работе [20] . I. Постановка задачи. Пусть єв, і], & 0 -эйлерова координата, 1б[.а,1]- лагранжева координата, t eto, ] -массовая лагранжева координата, h е [c,TJ , о Т - время. Система уравнений вязкого совершенного теплопроводного газа в массовых лагранжевых координатах имеет вид [I]
Уравнения вязкого теплопроводного газа
Началом математического изучения течений теплопроводного вязкого газа следует считать работу Дж.Серрина [2] ,в которой сформулированы основные постановки краевых задач и доказаны теоремы единственности в классе гладких решений. В 1962 году Дж.Нэшем [3] была получена первая теорема существования. Им была показана локальная по времени разрешимость задачи Коши для гладких начальных данных. Повторение и дальнейшее развитие этот результат нашел в работах Н.Итая [4] и А.И.Вольперта, С.И.Худяева [5] ,где применялись несколько иные методы. Первые теоремы разрешимости в целом по времени получены Я.И.Канелем [б] ,который рассмотрел задачу Коши для модели баротропного движения вязкого газа с плоскими волнами. Для смешанных начально-краевых задач теоремы существования и единственности в малом по времени доказаны В.А.Солонниковым [7] в случае баротропного движения и А.Тани [8І в случае теплопроводного вязкого газа. Существование решения задачи Коши и смешанной задачи в целом по времени изучалось А.Матсумурой и Т.Нишидой [9] , [iOj . Ими показана глобальная разрешимость общей системы уравнений вязкого теплопроводного газа,если только начальные данные близки к состоянию покоя. В настоящее время нелокальная теория (без условий малости интервала существования решения или норм начальных данных) построена для модели вязкого газа только в случае одномерного движения с плоскими волнами. В работах Н.Итая fll] и А.Тани [12] рассмотрены задачи Коши и первая начально-краевая задача для обобщенных уравнений Бюргерса - модели изобарического движения вязкого газа. Дальнейшие результаты по задаче Коши для течения, теплопроводного вязкого газа доказаны Я.И.Канелем [ІЗ] .
Существенное развитие нелокальная теория получила в работах А.В.Кажихова. Метод,разработанный в [14] для системы баротропного вязкого газа позволил: ему и другим авторам исследовать значительное число задач,в том числе и для общей модели с учетом теплопроводности. Для полной системы уравнений А.В.Кажиховым сначала установлена корректность задачи о разлете конечной массы газа в вакууме [15] сказавшейся в математическом смысле более простой. В дальнейшем им рассмотрены задачи для движения теплопроводного газа в фиксированной области при однородных[16] а затем и при неоднородных [17] условиях на боковых границах. Здесь же указано повышение гладкости сильного решения при глад- ких начальных данных. Кроме того,в [17] и [18] доказаны теоремы существования и единственности решения задачи Коши. Вопросы стабилизации решений при различных постановках задач изучены в работах А.В.Кажихова [19] , [17] , А.В.Кажихова и В.В.Шелухина [21] .
В статьях В.В.Шелухина [22] - [25] изучены вопросы су -ществования периодических,почти-периодических и ограниченных по времени решений в разных модельных ситуациях. Задачи протекания для уравнений Бюргерса,уравнений баротроп-ного движения и для полной модели вязкого теплопроводного газа изучены С.Я.Беловым в работах [26] - [29] ,где доказаны теоремы существования и единственности решения на произвольном конечном интервале времени. Тем же автором [30] показана разрешимость задачи оптимального управления процессом заполнения вакуума вязким газом,а также процессом протекания вязкого газа через ограниченную область. Настоящая работа посвящена дальнейшему изучению корректности в целом по времени одномерных движений вязкого газа,в том числе течений с цилиндрической и сферической симметрией. Диссертация состоит из введения,двух глав и шести параграфов, списка литературы,включающего 43 наименования и изложена на 89 страницах машинописного текста. Параграфы для удобства разбиты на пункты. Нумерация формул ведется отдельно в каждом параграфе . Нумерация теорем сквозная.
Обобщенные уравнения Бюргерса
В параграфе 3 главы I.изучаются задачи с симметрией. На функцию состояния налагаются несколько иные ограничения,чем во вто-ром параграфе. Так,условия,связанные с производной р (п ) не налагаются,а от функции p(V) требуются свойства,связанные,по существу,с поведением ее в концах интервала (о, ьо). Именно,пусть pfv)& С1 (0,0 ), р(и) о при V o, (ід) выполнено условие (17) и существуют константы К о, J 0 такие.что Доказаны теоремы об однозначной разрешимости в целом по времени для случаев m= /,m=5, если функция состояния удовлетворяет условиям (19),(17),(20). Формулировки теорем аналогичны теореме I.. В четвертом параграфе доказана разрешимость в целом по времени начально-краевой задачи для уравнений.. описывающих одномерное баротропное движение вязкого газа с плоскими волнами. Здесь условия на функцию Р М те же,что и в задачах с симметрией,(19),(17),(20),а коэффициент вязкости может зависеть от удельного объема. Условия,достаточные дяя корректности задачи,для м= я( ) формулируются так: В задачах с симметрией движения также можно рассматривать коэффициент вязкости как функцию от удельного объема,если считать выполненными те же условия на J (v-) .
Отметим,что система (12) легко сводится к одному уравнению третьего порядка для функции ос- оіС ,-Ь) . В конце параграфа замечается,кроме того,что функция (v-)-V , d-c-vw о удовлетворяет условиям (19),(17),(20), а для JA-& т+ д выполняются (22)-(24). Вторая глава посвящена изучению модели теплопроводного вязкого газа и модели Бюргерса. Рассмотрим начально-краевую задачу (13)-(16) для уравнений (10),(11),(3),(4). При т-0 эта и другие начально-краевые задачи достаточно хорошо изучены [I] . Следуя,в основном,методике работы [20] ,в диссертации изучается случай симметричных движений (м--/, п -%) Если область движения не включает множества вырождения = 0 удается показать глобальную корректность задачи. Теорема 6. Пусть начальные данные удовлетворяют уело- причем Р Cty, t) и 0( ,"0 - строго положительные и ограниченные функции.
В последнем параграфе рассматриваются обобщенные уравнения Бюргерса. Для - этой модели в одном частном случае удается доказать глобальную разрешимость начально-краевой задачи в области, включающей ось симметрии. Пусть Ш-i Тогда система уравнений имеет вид где ос- ои( ,-У) удовлетворяет (II). Для функций пГ, 1/, st выводятся априорные оценки,позволяющие получить следующую теорему. Тогда локальное решение задачи (25),(11),(14),(15) может быть продолжено на любой конечный интервал времени,причем а удельный объем u - строго положительная и ограниченная функция. Результаты опубликованы в работах [38] - [43] . Автор выражает искреннюю благодарность А.В.Кажихову за большое внимание к работе, В.Н.Монахову за поддержку и всем сотрудникам кафедры теоретической механики Новосибирского госуниверситета за полезные- обсуждения. I В данной главе рассматриваются начально-краевые задачи для уравнений,описывающих баротропное движение газа с плоскими,цилиндрическими и сферическими волнами. Область движения не включает ось (точку) симметрии. Для функции состояния формулируются два варианта ограничений: с условием на производную и без него. Показана однозначная разрешимость на произвольном конечном интервале времени. Первый параграф посвящен предварительным утверждениям. Здесь вводятся лагранжевы координаты,дается постановка задач,определяются решения,приводится схема доказательства теорем,другие необходимые сведения.
