Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Бесконечно малые ARG-деформации поверхностей положительной внешней кривизны с краем при заданной втулочной связи в евклидовом пространстве Е3 18
1.1. Предварительные сведения 18
1.2. Бесконечно малые ARG-деформации поверхностей в Е3. Внешние связи 23
1.3. Уравнения бесконечно малых ARG-деформаций поверхностей в Е3 37
1.4. Условие обобщенного скольжения вдоль края при бесконечно малых ARG-деформациях поверхностей в Е 45
1.5. О корректных втулочных связях при бесконечно малых ARG-деформациях поверхности в Е3 48
1.6. Распределение некорректных втулочных связей при бесконечно малых ARG-деформациях поверхностей вЕ 55
1.7. Распределение некорректных втулочных связей при бесконечно малых AG-деформациях поверхностей в Е 61
Глава 2. Бесконечно малые ARG-деформации поверхностей положительной внешней кривизны с краем при заданной втулочной связи в конформно евклидовом римановом пространстве типа L3 64
2.1. Риманово пространство./?3 65
2.2. Конформно евклидовы римановы пространства типа L 68
2.3. Поверхности в конформно евклидовом римановом пространстве типа L3 75
2.4. Бесконечно малые ARG-деформации поверхностей в римановом пространстве/?3 81
2.5. Уравнение бесконечно малых ARG-деформаций поверхности в конформно евклидовом пространстве типа L3 89
2.6. Втулочные связи поверхностей при бесконечно малых ARG-деформациях в конформно евклидовых пространствах типа L 101
2.7. О корректных втулочных связях при бесконечно малых ARG- деформациях поверхностей в конформно евклидовых пространстах типа L 106
2.8. Распределение некорректных втулочных связей поверхностей при бесконечно малых ARG-деформациях в конформно евклидовых пространстах типа 116
2.9. Распределение некорректных втулочных связей поверхностей при бесконечно малых AG-деформациях поверхности в конформно евклидовых пространствах типа L 120
Литература 123
- Уравнения бесконечно малых ARG-деформаций поверхностей в Е3
- Распределение некорректных втулочных связей при бесконечно малых ARG-деформациях поверхностей вЕ
- Поверхности в конформно евклидовом римановом пространстве типа L3
- О корректных втулочных связях при бесконечно малых ARG- деформациях поверхностей в конформно евклидовых пространстах типа L
Введение к работе
Одним из важных разделов дифференциальной геометрии «в целом» является теория бесконечно малых деформаций поверхностей в евклидовом и римановом пространствах. Содержание этой теории составляют различные виды бесконечно малых деформаций, определяемых заданным свойством, связанным с поведением поверхности при ее деформации.
Значительное место в этой теории занимают бесконечно малые изгибания поверхностей, характеризующиеся стационарностью длин кривых на поверхности в начальный момент деформации, а также ареальные, конформные, геодезические и другие виды бесконечно малых деформаций поверхностей.
Бесконечно малые деформации поверхностей, определяемые только нормальными смещениями точек поверхности при ее деформации для поверхностей в римановом пространстве изучены B.Y. Chen and К. Yano и названы нормальными вариациями. В [27] установлено, что для нормальных вариаций поверхностей в римановом пространстве имеет место соотношение, рекуррентное относительно вариации S{d r) элемента площади da поверхности: S(da)=2AHcdcj, (1) где Н - средняя кривизна поверхности, с - нормальное смещение точек поверхности при ее деформации, /1 = -1.
Бесконечно малые деформации поверхностей, подчиненные условию (1), называют ареально рекуррентными бесконечно малыми деформациями с коэффициентом рекуррентности X или, коротко, AR-деформациями [22].
Как показано в работе [27], поверхности в римановом пространстве допускают нормальные вариации, а потому и AR-деформации, с большим произволом. В частности, B.Y. Chen and К. Yano были найдены необходимые и достаточные условия, при которых нормальные вариации являются изометрическими, конформными или ареальными деформациями.
В книге В.Ф. Кагана [10] рассмотрены деформации поверхностей в евклидовом пространстве, определяемые переходом от данной поверхности к эквидистантным ей поверхностям. Эти деформации также в начальный момент порождают AR-деформации поверхности с коэффициентом рекуррентности Я = -1 и хорошо изучены.
Другой класс рассматриваемых бесконечно малых деформаций поверхностей в евклидовом пространстве составляют бесконечно малые деформации, которые сохраняют в начальный момент деформации поле единичных векторов нормалей вдоль поверхности. Такие деформации называют деформациями с сохранением поточечно сферического (гауссова) образа поверхности или, коротко, G-деформациями поверхности [1].
Для поверхностей в римановом пространстве к настоящему времени нет устоявшегося понятия сферического образа поверхности, поэтому отображения поверхностей, в частности, деформации поверхностей с сохранением сферического образа в римановом пространстве до последнего времени не рассматривались.
В.Т. Фоменко [23] была сформулирована задача о бесконечно малых деформациях поверхностей в римановом пространстве, при которых поле единичных нормальных к поверхности тензоров в начальный момент деформации переносится вдоль траекторий точек поверхности при ее деформации параллельно в смысле Леви-Чивита. Такие деформации называют G-деформациями поверхности в римановом пространстве.
В работе [25] изучены также бесконечно малые деформации поверхностей в римановом пространстве, которые являются одновременно и AR-деформациями и G-деформациями. Такие бесконечно малые деформации В.Т. Фоменко называет ARG-деформациями поверхностей.
В работе [25], также показано, что поверхности положительной внешней кривизны с краем в римановом пространстве допускают ARG деформации с достаточно большим произволом. В связи с этим им была поставлена задача нахождения внешних связей, налагаемых на поверхность, которые были бы совместимы с конечным числом линейно независимых ARG-деформаций поверхности. Рассматривается один из видов такой внешней связи, называемый условием защемления поверхности F вдоль края dF. Аналитически это условие записывается в виде: с\ - 0 и относится к числу так называемых условий кинематического типа, в частности, к числу втулочных связей.
Поведение поверхностей в евклидовом пространстве относительно AG-деформаций, то есть ARG-деформаций с коэффициентом рекуррентности Я = О, при некоторых внешних связях кинематического типа (закрепление поверхности вдоль края относительно заданной плоскости и др.) было изучено В.Т. Фоменко [24], [26], А.В. Забегловым [8], [9], О.Н.Бабенко [2], [3].
Описание поведения поверхности при бесконечно малых ARG-деформациях, подчиненных внешним связям, мы будем проводить, следуя И.Н. Векуа [6], в терминах жесткости или не жесткости поверхности, а описание внешних связей - в терминах корректности или некорректности внешней связи.
Следуя общей идеи И.Н. Векуа, для ARG-деформаций в качестве внешней связи рассматриваем соотношение вида: R(U )=ht (2) где Vа - тензор деформации поверхности, R(ua) - линейный оператор, заданный на краю поверхности, h — заданная функция. Линейный оператор R\Ua), как правило, задается скалярным произведением, поэтому в настоящей работе условие (2) в римановом пространстве с метрическим тензором а ар задается в виде: R(Ua)=aapUalfi =h, где lp - заданное тензорное поле вдоль края поверхности. Выбор таких внешних связей определяется заданием тензорного поля 1Р вдоль края поверхности.
При исследовании бесконечно малых изгибаний поверхности положительной внешней кривизны в книге И.Н. Векуа [6] введено понятие втулочной связи, налагаемой на поверхность F вдоль края dF. Эта связь определяется условием R\Ua) = aapUalp=h на dF, где Ґ есть поле единичных тензоров, являющихся вдоль dF полем нормалей к некоторой поверхности Е, содержащей край dF.
Приведем ряд определений, связанных с ARG-деформациями и внешними связями поверхностей.
Определение 1. Поверхность F называется кинематически жесткой или просто жесткой, если любая ее бесконечно малая ARG-деформация является тождественной (то есть, тензорное поле деформации U" тождественно равно нулю).
Определение 2. Поверхность F называется нежесткой, если среди ее бесконечно малых ARG-деформаций найдется хотя бы одна, отличная от тождественной.
Определение 3. Внешняя связь (2) называется корректной, если для любой функции h существует единственное поле деформации U", удовлетворяющее условию (2), при этом малому изменению функции h (в смысле некоторой нормы) соответствует малое изменение поля Ua. При h=0 внешняя связь (2) в этом случае называется оптимально жесткой.
Определение 4. Внешняя связь (2) называется некорректной, если при НфО поверхность допускает бесконечно малые ARG-деформаций лишь при выполнении конечного числа условий разрешимости, налагаемых на функцию Л, а при h=0 поверхность допускает конечное число линейно независимых бесконечно малых ARG-деформаций, отличных от тождественной. При Л=0 внешняя связь (2) в этом случае называется нежесткой.
В терминах корректности внешних связей в работе В.Т. Фоменко [25] установлено, что условие защемления поверхности вдоль края является корректным в отношении ARG-деформаций, если коэффициент рекуррентности X не попадает на счетное множество {Я,}", значений Л,-. В частности, условие защемления порождает корректную внешнюю связь и оптимальную жесткость поверхности, если А 0.
Целью настоящей работы является исследование поведения поверхности, подчиненной на краю втулочной связи при ARG-деформациях поверхности, нахождение условий, налагаемых на втулочную связь и коэффициент рекуррентности деформации, при выполнении которых втулочная связь является корректной, а также описание распределения некорректных втулочных связей.
Научная новизна работы определяется следующими результатами:
1. Установлено, что втулочные связи поверхности вдоль края могут быть описаны в терминах корректности внешних связей относительно бесконечно малых ARG-деформаций рассматриваемых поверхностей;
2. Найдены достаточные условия жесткости поверхности положительной внешней кривизны в евклидовом и римановом пространствах в отношении бесконечно малых ARG-деформаций при заданной втулочной связи вдоль края поверхности;
3. Найдены достаточные условия корректности втулочной связи на краю поверхности положительной внешней кривизны относительно бесконечно малых ARG-деформаций;
4. Выделены однопараметрические с параметром ц, /и є 91, семейства втулочных связей, порожденных тензорными полями f(ji), таких что каждое из семейств содержит точно счетное множество {//t}r=i » значений fik, причем при ju, // Мк поверхность допускает единственную бесконечно малую ARG-деформацию, для любой функции А; при /л = цк(к = 1,2,...) втулочная связь, порожденная полем /(// ) является некорректной.
Работа состоит из введения и двух глав. Нумерация определений, теорем и формул во введении не соответствует нумерации, используемой в главах.
Перейдем к описанию результатов работы.
В первой главе изучаются бесконечно малые ARG-деформации поверхности в трехмерном евклидовом пространстве Еъ, совместимые с заданной внешней связью.
В дальнейшем считаем, что рассматриваемые поверхности являются (т+1)-связными (т 0), имеют положительную внешнюю кривизну К к0 О, к0 = const, и в декартовых координатах х, у, z заданы уравнением z=J[x,y), где (x,y)eD, /єС3 а( ), 0 а 1, D = D + dD, 3D - граница области A dDeC2a.
Первые два параграфа носят предварительный характер и служат главным образом для установления терминологии и обозначений, используемых в работе. Здесь дается описание основных функциональных пространств и перечисляются некоторые факты теории дифференциальных уравнений и систем, необходимые для дальнейшего. Вводятся основные понятия теории бесконечно малых деформаций поверхностей и внешних связей.
В параграфе 1.3 доказывается Теорема 1. Пусть (тя+1)-связная (т 0) поверхность F положительной гауссовой кривизны К к0 0, к0 = const, заданная уравнением r = {x,y,f(x,y)}, (x,y)eD,f eCiA(D\ 0 а 1, подвергнута бесконечно малым ARG-деформациям с полем смещения U{x,y). Тогда всякое поле смещения U(x,y) класса C (D) принадлежит классу С2/Х(Ь), 0 а 1.
В §1.4. изучаются бесконечно малые ARG-деформации поверхности при внешних связях на краю. В качестве внешней связи рассматривается внешняя связь обобщенного скольжения поверхности вдоль края. Перейдем к описанию указанной внешней связи при бесконечно малых ARG— деформациях поверхности. Определение 5. Пусть вдоль края dF поверхности F задано регулярное векторное поле /, / О. Будем говорить, что поверхность F подчинена вдоль края dF условию обобщенного скольжения относительно векторного поля /, если поле смещения U бесконечно малой ARG-деформации поверхности F удовлетворяет условию pj)=hH&dF, (3) где h - заданная функция. Пусть вдоль края dF задано векторное поле 1(/) = v + уп,, где v единичный вектор внешней нормали области D в плоскости Оху, п -единичный вектор нормали поверхности, составляющий с осью Oz острый угол, у - заданная функция, у є С2", 0 а 1.
Показавыется, что 1{у) всегда можно рассматривать как поле нормалей пг к втулке 2 вдоль dF; поэтому условие обобщенного скольжения (3) может рассматриваться, как условие втулочной связи. Верно и обратное утверждение: любая втулочная связь поверхности F представима в виде (3), где 1(/)= v + yn.
В параграфе 1.5 изучаются вопросы корректности внешней связи (3) в отношении бесконечно малых ARG-деформаций поверхности с коэффициентом рекуррентности Я.
Теорема 2. Пусть односвязная поверхность F положительной гауссовой кривизны К к0 0, к0 = const, заданная уравнением г = {JC, у, f(x, у)}, (xj)eD, feCiA\D), 0 а 1, с краем 8F класса С1", расположена выпуклостью вниз и подчинена втулочной связи: \U,1(/))= h, y C2 (dD), heC2A(dD). Тогда при у 0 втулочная связь является корректной в классе Сга\р) в отношении бесконечно малых ARG-деформаций с коэффициентом рекуррентности Я, А 0. При сделанных предположениях, всякое поле деформации U принадлежит классу С2я в замкнутой области D и имеет место оценка: Р -Щс (р)йС1Ь-ЬЬ»(во} где UІ (Ї-1,2) - поля деформации поверхности F, совместимые с внешней связью (СА,/( ))= A,, C=const. Замечание. Результат теоремы 2 справедлив для случая Л = 0, у 0, то есть для втулочных связей: (t/, 1(/))= h в отношении бесконечно малых AG-деформаций.
В § 1.6 описывается распределение некорректных втулочных связей при бесконечно малых ARG-деформациях.
Рассмотрим семейство втулочных связей, где каждая связь семейства порождена векторным полем из семейства векторных полей: l(juy0)=v + juy0n, где у0- заданная фиксированная функция класса С2 (dD\ 0 а 1, ju- числовой параметр, /л є 9?. Имеет место
Теорема 3. Пусть F - (тя+1)-связная (т 0) поверхность положительной гауссовой кривизны К к0 0, к0 = const, заданная уравнением г = { ,у, f(x,y)}, (х,у)е D, feC3"(pl 0 а 1 с краем 5F класса Сг , расположена выпуклостью вниз и при бесконечно малых ARG-деформациях с коэффициентом рекуррентности Я, Я 0 подчинена втулочной связи: /,1(/1/,))= h, y0eC2"(dD\ he С2" (3D). Тогда, если у0 0, то существует точно счетное множество t" }L» значений 0 jux ц2 ... fxk ..., //А - оо при -»оо, таких что при заданном //, // рк, поверхность F допускает единственную бесконечно малую ARG-деформацию класса CXA(D), 0 а 1 для любой функции h класса C2A(dD). Если ju = /лк (к = 1,2,...), то втулочная связь является некорректной, то есть при однородной втулочной связи (h = 0) поверхность является нежесткой и допускает конечное число линейно независимых бесконечно малых ARG-деформаций, отличных от тождественной; при неоднородной втулочной связи (h Ф О) поверхность допускает бесконечно малые ARG-деформации лишь при выполении конечного числа условий разрешимости, налагаемых на функцию к Следствие.Векторное поле /• = п предельно для векторных полей 1(м) = г/ {» 1(Мь) = v + МкУоп МкУо 0» ПРИ к- со. Втулочная связь \1\Мк\ ({/,/• )= h совпадает с условием защемления поверхности вдоль края. В §1.7 изучается поведение поверхности при втулочной связи относительно бесконечно малых AG-деформаций (Л=0). Теорема 4. Пусть F - (/я+1)-связная (т 0) поверхность положительной гауссовой кривизны К к0 О, к0 = const, заданная уравнением r = {x,y,f(x,y)}9 (x,y)eDt /еСЗА(р),0 а 1 с краем 8F класса С2", расположена выпуклостью вниз и при бесконечно малых AG-деформациях подчинена втулочной связи: \JJ,l(jiy0))=h, yQ єС2/х(дО\ ЛєС2,а(с!0). Тогда, если у0 0, то существует точно счетное множество {juk}"mi, значений — 1 //, //2 ... // ..., //Л — оо при &- оо, таких что при заданном ju, /иФ цк, поверхность F допускает единственную бесконечно малую AG-деформацию класса ClA\p\ 0 а 1 для любой функции h класса C2ja(dD). Если // = // ( = 1,2,...), то втулочная связь является некорректной, то есть при однородной втулочной связи (А=0) поверхность является нежесткой и допускает конечное число линейно независимых бесконечно малых AG-деформаций, отличных от тождественной; при неоднородной втулочной связи (Л#0) поверхность допускает бесконечно малые AG-деформации лишь при выполении конечного числа условий разрешимости, налагаемых на функцию h.
Во второй главе изучаются бесконечно малые ARG-деформации поверхностей в конформно евклидовых римановых пространствах при втулочных связях на краю.
Первые три параграфа главы 2 посвящены описанию основных характеристик, связанных с конформно евклидовыми римановыми пространствами типа I? и с поверхностями F в указанном пространстве. •а Определение 6. Конформно евклидово риманово пространство R , заданное метрикой: ds2 = E(z\dx2 + dy2 + dz2), (4) где E(z) 0, Е(І) = І, Е (г)ф О, называем пространством типаL3. Эти пространства включают пространство Лобачевского для которого E(z) = \, z 0. z В параграфе 2.4 вводятся бесконечно малые ARG-деформации поверхностей в римановом пространстве R с метрическим тензором а с помощью следующих определений: Определение 7. Будем говорить, что деформация {Ft} поверхности F сохраняет гауссов образ поверхности F в римановом пространстве R , если единичный касательный бивектор пхр поверхности F для каждой точки М переносится параллельно в смысле Леви-Чивита вдоль траектории 1М точки Мпри деформации поверхности F.
Определение 8. Будем говорить, что бесконечно малая деформация {Ft} поверхности F сохраняет сферический образ в римановом пространстве R3, если в начальный момент деформации единичный касательный бивектор п стационарен, другими словами, бесконечно малая деформация есть класс эквивалентных деформаций {Ft} поверхности F для которых дп = 0 r/«Dn? dt для любой точки М поверхности F в римановом пространстве R Определение 9. Будем говорить, что поверхность F допускает бесконечно малую ареально рекуррентную деформацию с полем смещения UT и коэффициентом рекуррентности X, если вариация S(da) элемента площади da поверхности F определяется формулой: S(da) = 2XH(aTfiUTnfi)da, где Н - средняя кривизна поверхности F, пр - единичный тензор нормали поверхности F, X - заданный коэффициент рекуррентности.
Бесконечно малые ареально рекуррентные деформации поверхности F с сохранением гауссова образа поверхности называем бесконечно малыми ARG-деформациями с коэффициентом рекуррентности X в R3.
В §2.5 исследуется регулярность поля смещения UT бесконечно малой ARG-деформации поверхности F.•у
Теорема 5. Пусть конформно евклидово пространство типа L с метрикой: ds2 = E(z%dx2 + dy2+dz2\ E(z) 0, E(I) = 1, E (z) О удовлетворяет условию: (Z)GC3°, 0 а 1. Далее предполагаем, что (Аи+1)-связная (w 0) поверхность F в пространстве типа Z,3, задана уравнением z = f{x,y), (х,у)єD,/єС3/х(D\ 0 а \, и имеет положительную внешнюю кривизну К k0 0, k0 = const. Тогда поле смещения UT(x,y) бесконечно малой ARG-деформации принадлежит классу C2-°(D). В § 2.6 вводится в рассмотрение внешняя связь обобщенного скольжения вдоль края 6F поверхности F в конформно евклидовом пространстве типа L3. Определение 10. Пусть вдоль края dF поверхности F задано регулярное тензорное поле lfi, а ГҐ 0. Будем говорить, что поверхность F в конформно евклидовом пространстве типа і) подчинена вдоль края dF условию обобщенного скольжения относительно тензорного поля 1Р\ если поле смещения UT бесконечно малой ARG-деформации поверхности F удовлетворяет условию: aJJTlp = h HadF, (5) где h - заданная функция. При этом, если 1р{у)=п где п% - тензор единичной нормали к втулке на которой лежит край dF поверхности F, то условие обобщенного скольжения (5) вдоль края dF является условием втулочной связи. В параграфе 2.7 найдены условия корректности втулочной связи поверхности вдоль края при бесконечно малых ARG-деформациях. Теорема б. Пусть односвязная поверхность F в конформно евклидовом пространстве типа L3, положительной внешней кривизны К к0 О, к0 = const, задана уравнением z = f(x,у), (х,y)&D, /єС3 \р\ 8FeC2 , О а 1. Тогда втулочная связь: aJU4fi(y)=h, у є С2а(dD), heC2M(dD), 0 а 1, является корректной в классе С2,а(о) в отношении бесконечно малых ARG-деформаций с заданным коэффициентом рекуррентности Я при выполнении следующих требований: 1. для поверхности F, расположенной выпуклостью вниз: , . E J\ + p2+q2 Л Л тт— - f —, у 0; 2ЕгН 2. для поверхности F, расположенной выпуклостью вверх: . . Е 1 + р2+д2 Л Д тш———f——, у 0. 2Е 2Н При сделанных предположениях, всякое поле смещения Ur принадлежит классу С2л в замкнутой области D и имеет место оценка: где UJ, 0 = 1,2) - поля смещения поверхности F, совместимые с внешней связью ci UJlfi{y) = hlt C=const Некорректные втулочные связи относительно бесконечно малых ARG-деформаций в пространстве типа Ё изучены в §2.8. Рассматривается семейство втулочных связей, каждая связь семейства порождена тензорным полем lfi(juy0) = vp + /лу0пр, где у0 - заданная фиксированная функция класса С2 "{dD\ 0 а 1, // -числовой параметр. Теорема 7. Пусть (/я+1)-связная (w 0) поверхность F в конформно евклидовом пространстве типа Z,3, положительной внешней кривизны К к0 0, к0 = const, задана уравнением z = f(x,y), (xj)eD, f є С3,"(р), dF є C2,a, 0 a 1. Пусть далее, поверхность F вдоль края dF подчинена втулочной связи: arpUTlp(pyu)=h, y0 EC2 a(dD), heC2a(dD), 0 а \, в отношении бесконечно малых ARG-деформаций с заданным коэффициентом рекуррентности X. Тогда, 1. для поверхности F, расположенной выпуклостью вниз при . . E zjl + p2+q2 , v. Я mm —— 1 , у0 0, существует точно счетное множество \/лк \k=l, 2Е 2Н значений 0 //, ju2 ... fik ..., /лк - оо при к - оо; 2. для поверхности F, расположенной выпуклостью вверх при . E xjl + p2 + q2 Л ; Хт Я тт- J » У о " существует точно счетное множество {// j =i 2Е 2Н значений ... /лк ,../л2 //, 0, juk - -оо при Л: — оо; таких, что при заданном ju, /и Мк поверхность F для любой функции h класса C2a{dD) допускает единственную бесконечно малую ARG-деформацию класса Cha (D), 0 а 1. Если ц = //t, то втулочная связь является некорректной, то есть при однородной втулочной связи (h = 0) поверхность F является нежесткой и допускает конечное число линейно независимых бесконечно малых ARG-деформаций, отличных от тождественной; при неоднородной втулочной связи (h ф О) поверхность F допускает бесконечно малые ARG-деформации лишь при выполнении конечного числа условий разрешимости, налагаемых на функцию h. В §2.9 дается распределение некорректных втулочных связей при бесконечно малых AG-деформациях (Л.=0) поверхности F в конформно евклидовых пространствах типа L3. Имеет место Теорема 8. Пусть (/и+1)-связная (т 0) поверхность F в конформно евклидовом пространстве типа Z,3, положительной внешней кривизны К к0 О, k0 = const, задана уравнением z = f(x,y), (x,y)eD, feC3 a\D),dFeC2a, 0 a \. Предполагаем далее, что поверхность F вдоль края 6F подчинена втулочной связи: a UTlfi(juy0) = h, 70 єС2а(д ), he С2 (dD), 0 а 1, в отношении бесконечно малых AG-деформаций. Тогда, 1. для поверхности F, расположенной выпуклостью вниз при E (z) 0 и у0 0, существует точно счетное множество {/ к}"_,, значений, О //, ju2 ... //t ..., /лк - оо при к - сю; 2. для поверхности F, расположенной выпуклостью вверх при E (z) 0 и у0 0, существует точно счетное множество \мк}1шХ значений, ... Мк- —Мг - М\ 0, Мк - -°0 ПРИ - °°; таких, что при заданном //, // //t, поверхность F допускает единственную бесконечно малую AG-деформацию класса СХа\р\ 0 а 1 для любой функции h класса C2ja(dD). Если // = //t, то втулочная связь является некорректной, то есть при однородной втулочной связи (h = О) поверхность F является нежесткой и допускает конечное число линейно независимых бесконечно малых AG-деформаций, отличных от тождественной; при неоднородной втулочной связи (h Ф 0) поверхность F допускает бесконечно малые AG-деформации лишь при выполнении конечного числа условий разрешимости, налагаемых на функцию h.
Исследование рассматриваемых в работе вопросов проводится методами дифференциальной геометрии при систематическом использовании функционального анализа, теорий дифференциальных уравнений с частными производными и интегральных уравнений.
Основные результаты работы опубликованы в [29] — [36] и докладывались на следующих конференциях и научных семинарах: " Международная школа-семинар по геометрии и анализу памяти Н.В.Ефимову, п.Абрау - Дюрсо, РГУ, 5-11.09.2002, 5-11.09.2004; • Международная школа - семинар молодых ученых «Лобачевские чтения - 2002», г. Казань, КГУ, 28.11-1.12.2002; • 8 Международная конференция «Математические модели физических процессов и их свойства», г. Таганрог, ТГПИ, 28-29.06.2003; • 5 Международная конференция по геометрии и топологии памяти А.В. Погорелова, г. Черкассы, ЧГТУ, 8-13.09.2003; • Итоговые научные конференции Таганрогского государственного педагогического института (2002-2004 гг.), руководитель проф. В.Т.Фоменко. Автор выражает благодарность своему научному руководителю профессору В.Т. Фоменко за постановку задач, внимательное руководство и помощь при выполнении работы.
Уравнения бесконечно малых ARG-деформаций поверхностей в Е3
Докажем следующую теорему. Теорема 1.1. Пусть (т+1)-связная (т 0) поверхность F класса С3а, 0 а 1 положительной гауссовой кривизны К к0 0, к0 = const располагается выпуклостью вниз. Тогда нормальная составляющая Un поля смещения U = { !;,т),) класса С1 принадлежит классу С2,а и определяется формулой: где со - решение самосопряженного дифференциального уравнения эллиптического типа в области D: Доказательство. Выразим из третьего уравнения системы (1.30) выражения сначала для . затем для rjy и подставим в первое уравнение системы (1.30) полученное выражение для rjy, а во второе - выражение для х. Получим Подставляя выражение = а + р + щ, полученное из (1.31), в эти соотношения, находим: Так как по условию теоремы г є Cha, 5 є Cu, t є С1", В, є С1, г}єС\ то отсюда следует, что С . є С при (/{,/7, } є С1. Это означает, что » є С2. Систему (1.30), с учетом формул (1.34), запишем в виде: Так как по условию теоремы поверхность расположена выпуклостью вниз и К к0 0, то аи 0, я22 0,ап = д21, яиа22 - а\г я0 0. Полученное уравнение, представляет собой самосопряженное дифференциальное уравнение второго порядка эллиптического типа. Так как /єС3а( ), то ац єСІа( ), beClA(D\ 0 а 1, и потому, в силу результатов [6], всякое решение со класса С2 является функцией класса С2,а в D. Убедимся, что нормальная составляющая U» поля смещения U определяется формулой (1.32). С этой целью выражение (1.31) разделим на -yjl + р2 +q2 , находим: Обозначая с = \U,n). находим: с = . Так как Un=cn и с определяется с помощью полученной формулы, то Uя є С2 " (D), О а 1. Теорема доказана. Замечание. Поле смещений U = { !;,rj } однозначно восстанавливается по функции упо формулам: Касательная составляющая UT поля смещений U бесконечно малой ARG-деформации поверхности F определяется по формуле: UT = axrx + а2г , где В самом деле, компоненты , rj поля деформации U были получены при доказательстве теоремы 1.1. Третья компонента определяется из соотношения = со + р + щ. Убедимся в справедливости формул (1.38). Действительно, так как Un=cn, c = \U,n)= —=====, то Подставляя в равенство U =UT+Un, соответствующие координаты Отсюда, с учетом формул (1.37) для , rj, получим формулы (1.38). п.З. О регулярности поля смещения U(x,y) в области D Нами было показано, что для поверхности F класса С3а, 0 а 1, поле деформации U класса С1 обладает свойством: нормальная составляющая Un принадлежит классу С2 ". Ниже будет показано, что при сделанных предположениях о регулярности поверхности F, поле деформации U класса С1 всегда принадлежит классу С2 . С этой целью перейдем в системе уравнений (1.30) бесконечно малых ARG-деформаций поверхности F к новым искомым функциям. Введем в рассмотрение комплексную функцию w(z) = %(х,у)-іт](х,у\ z = x + iy, і2 =-1. Имеет место теорема. Теорема 1.2. Пусть (/я+1)-связная (т 0) поверхность F положительной гауссовой кривизны К к0 0, к0 - const, заданная уравнением г = {x,y,f(x,y)}, (x,y)eD,f єСга(р\ 0 а 1, подвергнута бесконечно малым ARG-деформациям с полем смещения U(x,y). Тогда всякое поле смещения U(x,y) класса C D) принадлежит классу С2а( ), 0 а 1. Доказательство. При доказательстве теоремы 1.1 нами были получены формулы (1.34):
Было доказано, что при сделанных предположениях относительно регулярности поверхности F, для поля U класса С1 функция со принадлежит классу С2. Тогда, продифференцировав первое уравнение в (1.34) по х, второе по у, получим: Поскольку ry=sx tx=syicoxy=coyx, то, приравняв правые части полученных соотношений, имеем Выражение для rjy из третьего уравнения системы (1.30), подставим в последнее уравнение, находим Присоединим к этому уравнению третье уравнение системы (1.30) и перепишем полученную систему в виде: где if = -77, а функция со является решением уравнения (1.33) и является функцией класса С2". Так как на рассматриваемой поверхности rt - s2 r0 0, r0 = const, то при заданной функции со класса С2", система уравнений (1.41) является системой уравнений эллиптического типа относительно неизвестных , rf. Следуя И.Н. Векуа [6], запишем эту систему в комплексном виде, положив W 2 в виде: VT+7+? Так как a eC2a(D), p,qeC2a, НєСа, то F(z)eCu,0 a l и потому, как известно из [11], решение уравнения (1.43) w(z) внутри области D принадлежит классу Сга(р), О а 1. Но тогда из равенства (1.42), следует, что и функции f, rj, а потому и rj, также принадлежат классу Сга{р), 0 а 1. Так как компонента " определяется через %,rj,co равенством = а + р + qrj, то при ,т],со Е:С2а{р) имеем є С2д(і)). Таким образом U = {%,77, }є C2a(D), 0 а 1 в D. п. 1 Реализация условия обобщенного скольжения втулочной вязью Рассмотрим бесконечно малые ARG-деформации поверхности F, подчиненные вдоль края dF условию обобщенного скольжения. Будем считать далее, что край dF поверхности F принадлежит классу Cljx, О а 1. Тогда граница dD области D также принадлежит классу С2 ". Пусть вдоль края dF задано векторное поле 1(/)= v + yn,, где v — единичный вектор внешней нормали области D в плоскости Оху, у — заданная функция, у є С2в, 0 а 1. Тогда 1(/) принадлежит классу C2/x(dF). Будем изучать бесконечно малые ARG-деформации поверхности F, подчиненные на dF условию обобщенного скольжения (1.28), которое при / = 1{у), записывается в виде: где h - заданная функция класса С2 . Покажем, что векторное поле 1(у) можно рассматривать, как поле нормалей вдоль dF некоторой втулки . С этой целью необходимо убедится, что существует поверхность , на которой лежит кривая dF. Рассмотрим плоскость (яг), ортогональную в точках кривой dF вектору 1[у). Эта плоскость содержит вектор t (вектор касательной в точках dF), так как / _І_ ї(у). Последнее следует из того факта, что [(,1(/))= \t,v)+ y\j,n)= (/,v). Поскольку вектор t касателен к проектирующему в направлении оси Oz цилиндру (долежит на этом цилиндре), а вектор v ортогонален касательной плоскости этого цилиндра, то \t,v)=0. Следовательно, \t,1(/))= 0, и потому t лежит в плоскости (ж).
Распределение некорректных втулочных связей при бесконечно малых ARG-деформациях поверхностей вЕ
Изучим поведение поверхности F при ARG-деформациях с заданным коэффициентом рекуррентности Я, Л 0, и условием обобщенного скольжения (1.44): (/, l(y))= h, освободившись от требования у 0, но, оставив условие Я 0. Рассмотрим семейство внешних связей, каждая связь семейства порождена векторным полем из семейства векторных полей: l(/iy0)=v + МУоп гДе У о заданная фиксированная функция класса C2A(8D\ 0 О? 1, fi - числовой параметр, jue9. Если параметр ft и функция уо выбраны так, что ///0 0, то для задачи (1.49) с у = /гу0 будут справедливы теоремы 1.4, 1.5. Исследуем случай juy0 0. Имеет место теорема. Теорема 1.6. Пусть F - (тя+1)-связная (т 0) поверхность положительной гауссовой кривизны К к0 0, kQ = const, заданная уравнением г = {x,y,f(x,y)}, (х,у)е D, f Cia\p\ 0 а 1 с краем dF класса С2 ", расположена выпуклостью вниз и при бесконечно малых ARG-деформациях с коэффициентом рекуррентности Л, Л 0 подчинена втулочной связи: \Uj(juy ))=h, y0sC2a(dD), heC2a(dD). Тогда, если /0 0, то существует точно счетное множество {// }"_,, значений //, () //, //2 ... juk ..., //t - оо при - оо, таких что при заданном //,// //А, поверхность F допускает единственную бесконечно малую ARG-деформацию класса CUa(D), 0 а 1 для любой функции h класса C2a(dD). Если // = juk{k = 1,2,...), то втулочная связь является некорректной, то есть при однородной втулочной связи (h = 0) поверхность является нежесткой и допускает конечное число линейно независимых бесконечно малых ARG-деформаций, отличных от тождественной; при неоднородной втулочной связи (h Ф О) поверхность допускает бесконечно малые ARG-деформации лишь при выполении конечного числа условий разрешимости, налагаемых на функцию h. Доказательство. Исследование бесконечно малых ARG-деформаций при втулочной связи (t/,/(// 0))= h сводим к решению краевой задачи вида: Рассмотрим разрешимость задачи (1.61) при Л 0, juy0 0, считая, что аи 0, ап 0. С этой целью запишем ее в виде: где Считая функцию h известной, задачу (1.62) относительно искомой функции со можно рассматривать как самосопряженную в силу самосопряженности оператора Leo и вида краевого условия. Решение этой задачи дается формулой: со{х,у)= iG(x,y,(p( j\y/(o))h (o)da, (1.63) 3D где G - функция Грина задачи (1.62); da - элемент длины дуги 3D; переменные х, у принимают все значения из замкнутой области D; х = p{s), y = i//(s), s є [si, s2 ], - уравнение границы 3D. Сведем краевую задачу (1.62) к интегральному уравнению на контуре 3D. С этой целью преобразуем формулу (1.63), подставив в нее явный вид функции h , имеем Функцию Грина на контуре 3D запишем в виде G(s, j)=G((p(s\y/(s\ р(сг\і/ґ( т)). Тогда, переходя в уравнении (1.64) на контур 3D, получим интегральное уравнение относительно искомой функции 0)(s): t гдеЛГ(5,0-)= G(s, j)x(cr), g(s)- известная функция на dD .
Нахождение функции w{x,y), как решения задачи (1.62) в области D по заданному значению co{s) = (oQ(s) на границе 8D, требует решения первой краевой задачи: В силу условия ЛЬ 0 задача Дирихле (1.66) всегда имеет единственное решение класса C2a[DJ при co0(s)e C2,a(dD), поэтому интегральное уравнение (1.65) эквивалентно уравнению (1.63), и потому эквивалентно задаче (1.62). Изучим разрешимость уравнения (1.65). Известно из [13], что для самосопряженной задачи функция Грина является симметрической, а значит, функция G(s,cr) является симметрической функцией. Ядро K(S, J) уравнения (1.65) не является симметричным, но оно симметризуемо. В самом деле, умножим обе части уравнения (1.65) на z(s) где x(s) и введем новую искомую функцию 5)(s) = «JX(S)CD(S). Тогда уравнеие (1.65) приводится к линейному интегральному уравнению вида где ядро K(s, О) = ylz(s)z((r)G(s, а) является симметричным ядром, В силу того, что его ядро K(S, J) при cr = s уравнения (1.67) имеет логарифмическую особенность, то к уравнению (1.67) применима общая теория интегральных уравнений. Известно из [5], что интегральное уравнение с действительным симметричным ядром имеет, по крайней мере, одно конечное собственное значение. Покажем, что существует счетное множество собственных значений {Мк}=\ уравнения (1.67). Занумеруем собственные значения /лк (к = 1,2,...) уравнения (1.67) так, чтобы их номера возрастали по мере увеличения соответствующих значений juk. Так как заданная функция у0 является положительной, то при ju О задача (1.61) имеет единственное решение в силу теоремы 1.4 в классе СХа\р). Поэтому собственные значения /лк (к = 1,2,...) уравнения (1.67) будут положительны, то есть можно считать, что 0 //, ju2 ... juk ... . Убедимся, что для уравнения (1.67) существует точно счетное множество собственных значений. Прежде всего, как отмечено выше, собственные значения // = // , (к = 1,2,...) уравнения (1.67) положительны. Согласно [15] это означает, что K(s,cr) будет положительно определено. Покажем, что оно полное, то есть, что уравнение где f(s) - искомая функция, имеет только нулевое решение. Пусть f(s) решение уравнения А/ = 0. Обозначим Тогда z(x,y) есть решение задачи
Поверхности в конформно евклидовом римановом пространстве типа L3
Будем рассматривать конформно евклидово пространство типа D с координатами х, у, z и метрикой, определенной из (2.5): ds2 = E{z\dx2 +dy2+dz2\ E(z) 0, Е(І) = 1, E (z)Ф 0, (x,y,z)є Q. Пусть поверхность F, заданная уравнением: z = f(x,y\ (x,y)eD, принадлежит этому пространству. В дальнейшем будем предполагать, что /єС3 а(і ), D = D + dD, dDeC2 , 0 а 1. При исследовании бесконечно малых деформаций, рассматриваемой поверхности F, подчиненной вдоль края внешней связи обобщенного скольжения, нам потребуются некоторые сведения теории поверхностей в конформно евклидовом пространстве типа L3, в частности, нам необходимо знать первую и вторую квадратичные формы, выраженные через коэффициент E(z) и функцию fix,y); а также внешнюю кривизну поверхности F. Выводу этих характеристик поверхности F и посвящен настоящий параграф. п.1. Метрическая форма поверхности F в конформно евклидовом пространстве типа L3 Как отмечалось ранее, метрика (2.1): ds2 = aapdyadyfi, а,/? = 1,2,3, риманова пространства R индуцирует на поверхности F: у" =fa[xl,x2) Для рассматриваемых поверхностей F: имеем: л. 2. Задание касательного бивектора к поверхности F в конформно евклидовом пространстве типа I? Тензоры %" = у", 4 = у2, касательные к координатным линиям к поверхности F, определяют касательный к поверхности координатный бивектор № , задаваемый по формуле: и для рассматриваемого случая последняя формула принимает вид: ИЛИ В дальнейшем направление касательного бивектора к поверхности F будем определять единичным бивектором пар: (2.17) Площадь а поверхности F в конформно евклидовом пространстве типа L? задается формулой: и потому элемент da площади а поверхности F определяется равенством: площади da поверхности F определяется площадью касательного бивектора №р по формуле: Приведем значения символов Кристоффеля поверхности F, вычисленные с помощью формул (2.4) по метрическому тензору g: п.З. Коэффициенты второй квадратичной формы поверхности F Посчитаем коэффициенты второй квадратичной формы II поверхности F в конформно евклидовом пространстве типа Z,3, используя общие формулы для нахождения коэффициентов второй квадратичной формы в римановом пространстве:
Координаты единичного тензора нормали пр вдоль поверхности F находятся из условия ортогональности пр координатным тензорам ", то есть, из условия: аа"пР = 0, і = 1,2; условия единичной длины: аарпапр = 1; и условия, что п& составляет острый угол с направлением оси z: {0,0,1}. Имеем: Используя приведенные формулы (2.19) для символов Кристоффеля и координаты единичного тензора нормали пр из (2.21), находим коэффициенты bu,bn,b22 второй квадратичной формы поверхности F: Убедимся в справедливости формул (2.22). Для этого посчитаем, например, коэффициент Ьп. Действительно, для того чтобы найти Ьи по формуле (2.20), запишем ее в виде: Посчитаем ковариантные производные Vi , , Vt ,2, Vi g. Запишем: Так как =(1,0, ), "={0,1,(7}, то, подставляя значения символов Кристоффеля из (2.8) и (2.19) в формулы (2.24), находим: Подставляя в (2.23) последние формулы (2.25) и координаты тензора нормали п" из (2.21), получаем: Аналогично находим коэффициенты Ьп и Z 22. п.4. Внешняя кривизна поверхности F в конформно евклидовом пространстве типа I? Используя найденные значения коэффициентов второй квадратичной формы, посчитаем внешнюю кривизну поверхности F в конформно евклидовом пространстве типа U по формуле: Подставляя в последнюю формулу значения из (2.14), (2.22), находим: В заключении этого параграфа отметим, что в дальнейшем будем говорить, что поверхность положительной внешней кривизны, расположена выпуклостью вниз, если выполнены условия: bu 0,Ь22 0, и поверхность, расположена выпуклостью вверх, если Ьи 0,622 0. п.1. Определение бесконечно малых деформаций поверхности F в римановом пространстве R Рассмотрим (т+1)-связные поверхности F трехмерного риманового пространства R? с метрикой вида (2.1): ds2 = aapdyadyp. Пусть поверхность F, заданная уравнением: преобразуется в поверхность Ft, где / - некоторое число. Рассмотрим семейство {F,} с параметром ts(Qit0), tQ 0 поверхностей Ft в римановом пространстве R3. Считаем, что при t=0 поверхность F0 совпадает с данной поверхностью F, то есть Будем считать, что аналитически деформацию поверхности F можно представить в виде: где o(t) обозначают члены более высокого порядка малости относительно малого параметра t. Величины у - у", рассматриваемые вдоль поверхности F, не являются тензорными величинами относительно координат в пространстве R\ Однако, если представить рассматриваемую разность, в силу формул(2.26), в виде: то величина U" будет являться тензорной величиной. В самом деле, из формулы(2.26) следует, что
О корректных втулочных связях при бесконечно малых ARG- деформациях поверхностей в конформно евклидовых пространстах типа L
Рассматриваем поверхность F в конформно евклидовом пространстве типа L3 с метрикой ds2 = E(z\dx2 + dy2 +dz2), E(z) 0, E(\) = 1, E (z) 0, причем E(z) є C3a, 0 a 1. Найдем условия, при которых втулочная связь (2.58): aafiUalp{y) = h, где lp(y) = vp +упр является корректной в отношении бесконечно малых ARG-деформаций с коэффициентом рекуррентности X. Будем сначала рассматривать случай, когда ослаблены требования, налагаемые на функции у, h, то есть, предполагая, что у eCha(dD)1 he C{a{dD), 0 а 1. Имеет место теорема. Теорема 2.4. Пусть (т + 1) -связная {т 0) поверхность F в 5 конформно евклидовом пространстве типа L , положительной внешней кривизны К kQ 0, к0 = const, задана уравнением z = f(x,y), (x,y)eD, feC3 a(p\ dFєC2a, 0 a 1. Тогда втулочная связь: aapUalp(/) = h, yeCha(dD), heCYa(dD), 0 сс 1, является корректной в классе C"(D) В отношении бесконечно малых ARG-деформаций с заданным коэффициентом рекуррентности X при выполнении следующих требований: 1) для поверхности F, расположенной выпуклостью вниз: 2E 2H 2) для поверхности F, расположенной выпуклостью вверх: 2E 2H При сделанных предположениях, всякое поле смещения U" принадлежит классу С1" в замкнутой области D и имеет место оценка: где U", (/ = 1,2) - поля смещения поверхности F, совместимые с внешней связью apU"lp{y)=hi, C=const. Доказательство. Рассмотрим случай, когда поверхность F расположена выпуклостью вниз. Нахождение бесконечно малых ARG-деформаций поверхности F при втулочной связи (2.58), как было показано в теоремах 2.1,2.3, сводится к изучению разрешимости краевой задачи: ДЛЯ линейного дифференциального оператора Leo выполнены условия эллиптичности: 1.ап 0; а22 0; Так как по условию теоремы коэффициент рекурентности X удовлетворяет условию: Я ппп—і-ї 5 то Для первого уравнения 2# задачи (2.64) имеем Ь 0. Причем, в силу условий Ьп 0, Ъгг 0, получаем яп 0, а22 0. В силу условия теоремы, имеем у 0. Поэтому для задачи (2.64) всегда найдется единственное решение oeC yDj, 0 а 1; при этом справедлива априорная оценка Шаудера: Как было отмечено в теореме 2.1, по функции со однозначно восстанавливается поле смещения Ua, совместимое с заданной втулочной связью поверхности F вдоль края OF. При этом поле смещения U" является полем класса С1" в замкнутой области D, причем нормальная составляющая U" поля смещения Ua принадлежит классу C2a[D). Чтобы доказать, что указанная внешняя связь является корректной, воспользовавшись определением 1.5, нам необходимо убедиться, что малому изменению величины h соответствует малое изменение поля смещения U" в классе Cla[DJ.
Пусть имеем два значения величины h: h = hx, h = h2. Обозначив решение задачи (2.65) при h = hx через сох, а при h = h2 через а 2, получим Тогда, вычитая из первой полученной задачи вторую, находим: (2.67) В силу оценки (2.66) для задачи (2.67), имеем Пусть поле смещения U" в классе Cha[Dj задано своими координатами ,4, - Тогда в замкнутой области D получаем оценку: Тогда, соотношение (2.69), используя (2.68) и последние оценки для разностей , -2, 7і -7г \ Сг преобразуется к виду: Таким образом, втулочная связь обобщенного скольжения (2.58) относительно бесконечно малых ARG-деформаций поверхностей, расположенных выпуклостью вниз, при Л тіп—— j , у 0 является корректной связью класса Сх в замкнутой области D. Если поверхность расположена выпуклостью вверх, то доказательство проводится аналогично. Отметим, что в этом случае исследуется краевая задача: причем в силу условий bu 0, b22 0, получаем аи 0, а22 0. Теорема доказана. п.2. О корректных втулочных связях в классе С ,а. Покажем корректность втулочной связи (2.58): aapUalp{y) = h в отношении бесконечно малых ARG-деформаций в классе C2fit\p) для односвязных поверхностей, усилив требования регулярности, Ill накладываемые на функции yh, предположив, что у є C2 {dD), he C2ja{dD), О a 1. Будет установлено, что при сделанных предположениях поле деформации U" принадлежит классу С2 в замкнутой области D. Имеет место теорема. Теорема 2.5. Пусть односвязная поверхность F в конформно евклидовом пространстве типа Z,3, положительной внешней кривизны К к0 О, kQ = const, задана уравнением z = f(x,y), (х,у) є D, /єС3а( dFєС2а, 0 а 1. Тогда втулочная связь: aJUal {y)=h, уєС2а(дВ), ЛєС2"(д ), 0 а 1, является корректной в классе С2 (р) в отношении бесконечно малых ARG-деформаций с заданным коэффициентом рекуррентности X при выполнении следующих требований: 1) для поверхности F, расположенной выпуклостью вниз: принадлежит классу С2" в замкнутой области D и имеет место оценка: где С/", (і = 1,2) - поля смещения поверхности F, совместимые с внешней связью ctafiU"lfi(/)=hn C=const. Доказательство. Рассмотрим случай, когда поверхность F расположена выпуклостью вниз. Исследование задачи (2.64), как и в теореме 2.4, сведем к Оператор Leo является линейным дифференциальным оператором эллиптического типа. Тогда задача (2.65) при выполнении условий ац еС1о(я)яеС1а(д ), beCl {dD), yeC2a(dD\ reCha(dD)y и b О, у О, всегда имеет единственное решение со є С2 " [D), О а 1, причем справедлива оценка (2.68): Здесь каждой функции со соответствует единственное поле деформации Ua. Убедимся в том, что компоненты ,77э являются функциями класса C2ja в замкнутой области D. Это будет означать, что поле деформации U" принадлежит классу C2,a[DJ. При доказательстве теоремы 2.2 было показано, что при заданной функции со компоненты 4,г] находятся по формулам (2.48). С другой стороны, эти компоненты ,Г] при заданной функции со, удовлетворяют системе (2.53), полученной при доказательстве теоремы 2.2: 2ЯН + p2+q2 J (2.72) где rj = J, A = A(x,y)=(s-3bl2)p-rq, B = B(x,y) = tp-(sq + 3bn)q, коэффициенты by определены по формулам (2.41), а функция со является решением уравнения (2.36) и является функцией класса С2/х.
