Введение к работе
Актуальность работы. В последнее время большое внимание уделяется множествам достижимости управляемых систем, исследование которых зачастую является достаточным ари изучении систем управлений.
Изучение свойств множеств достижимс "?я примыкает к проблемам интегральных воронок дифференциальных включений.Они последнее время активно изучиигсн А.Ф.Филишоиш .А.А.Толстоноговым А.И.Паннсюком .
Исследованию множеств достижимости посвищенг. обширная литература. Остановимся на некоторых работах-.
В исследованиях Н.Н.Красовского изучались общие фундаментальные свойства множеств достижимости.Непрерывная зависимость множеств достижимости от времени исследовалась в работах Eaton' J.И., Jacobs М.
Исследованию множеств достижимости посвящен цикл работ А.И.Панасчика, у которых получено дифференциальное уравнение для опорной функции к множеству достижимости.
Во мноіііх практич, .-ких приложениях для успешного решения задачи л шое построение множества достижимости и не требуется. Поэтому в практике широко применяются оценки множеств достижимости. Исследование различных аспектов построения оценок множеств достижимости-проводилось Ф.Л.Черцоусько А.И.Овсее-вичем , А.В.Лотовым , В.А.Комаровым , В.И.Гурманом, Г.Н.Константиновым , Г.В.Сидоренко , Ю.Б.Сейсовым .В.Д.Хок^иыи. К настоящему времени разработан .;яд методов оценивания множеств
достижимости линейных систем.
В ряде работ для построениг и оценивания множеств достихи -пости применяются функции Бе ллмана и достаточные условия оптимальности. Этому направлению посвящены работы Р. И. Гурмана. Г.Н.Константинова . Г.В.Сидоронко..Ю.Б.Сейсовя.
ВработахБсЫаерГегР.М., Gchweppe F.C., WltsenJiasenH.S. разрабатываются методы гарантированного оценивания фазового состояния систем с непрерывным и дискретным временем, в которых используются эллипсоидальные аппроксимации множеств фазовых состояний. Широко известен цик..)'чботФ.Л.Черноусько, посвященный дьухсторов-
неЯ аппроксимации множеств достижимости при помощи оптимальных эллипсоидов, а также приложениям этого подхода к задачам управления и оценивания. Г.Н.Константинов, Г.В.Сидоренко показали, что построение внешних оценок множеств достижимости мохно прово дить на основе решения матричного дифференциального уравнения типа Риккати,которое определяет соответствующий оцеї. чный эллипсоид.
Одним из методов анализа сложных управляемых систем является асимптотический метод учета различных возмущении. Необходимость повшения качества управления во многих приложениях приводит к рассмотрению задач управления более высокой размерности из-за учета малых постоянных времени, «алых масс, моментов инерции и др. Все это приводит к П'- твле ним сингулярно возмущенных объектов управления, изучение которых сопровождается разделением движении, вследствие декомпозиции исходной задачи высокой размерности на задачи меньшей размерности. Подобная декомпозиция позволяет преодолевать "жесткость" при вычислениях.
В связи с повышением требований к расчету систем управления, в литератур^ по теории оптимального управления в последние годы интенсивно рассматриваются вопросы асимптотического анализа решения задач с бистрими и медленными двихс ш-::.зл, в которых н е только устанавливается соответствие между точной, возмущенной моделью и идеализированной моделью, но и вычисляется качественная картина решений, а на ее основе предлагаются эффективные процедуры приближенного решения исходноЯ задачи. Отметим здесь работыН.Н.Моисеег ^, Д.А.Первозванского, В.Г.Гайцгори, А.Б.Васильевой . М.Г.Дмитриева , В.И.Уткина .А.Дончева ,Г.А. Куриной,В.А.Плотникова,А.И.Калинина,P.V.Kokotov1с, R.E.O'Malley, идр.
К таким задачам относятся задачи динамики полета и расчета оптимальных переходных процессов в электронике, атомной энергетике, экологии и химической кинетике, где наличие в математических моделях малых параметров при производных по времени приводит к появлению зон быстрого изменения решений,- з<ш пограничного слоя.Появления быстрых и медленных движений может быть обусловлено наличием большого коэффициента усилепия в цепи обратной связи т "-акхе коэффициента регуляризация в задачах с особыми и импульсными управлениями.
В работе Korless М. рассмотрены сингулярно возмущенные динамические системы и исследованы глобальные равномерные асимптотические оценки, полученные с помощью функций Ляпунова.
Для сингулярно возмущенных управляемых систем вопросы пре дельного поведения самих множеств достижимости изучались А. Л. Ловчевы», а асимптотика соответствующего множеств дости-
химости, с помощью аппарата опорной функции строилась В. А. Плотниковым, Т.П.Яценко.
Поэтому рассмотрение вопросов приближенного построения множеств достижимости и их оценок для систем управления с бистры-ми и медленными движениями представляст интерес. Учитывая, что при рассмотрении асимптотики внешних и внутренних эллипсоидальных оценок появляются новые матричные сингулярно возмущенные нелинейные задачи Коши, возникают соответствующие новые задачи в теории'сингулярных возмущения. Цель работы-Л троение асимптотики решении новых классов сингулярно возмущённых начальных задач для матричных дифференциальных уравнении, появляющихся при внутреннем и внешнем эллипсоидальном оценивании линейных систем управления с быстрыми и медленными дьижо.чиж,: и получение на этой основе асимптотических формул для ішутренней и внешней эллиг^оидальных оценок. Научная новизна риботы определяется следующими основными результатами:
построена и обоснована при помощи метода пограничных функций асимптотика семейства внешних эллипсоидальных оценок множеств достижимости для линейных сингулярно возмещенных управляемых, систем, на основе асимптотики решеаи." матричного дифференциального уравнения Риккати определяющего эти оценки;
построена асимптотика сингулярно возмущенных матричных дифференциальных уравнения с нелинейностью типа квадратного корня, определящих внутренние э.; липсоидальные оценки мновества достижимости;
доказана теорема об остаточном члене асимптотических прибли-
6 '.
кений для уравнения, определяющего внутренние оценки
построена асимптотика внешних эллипсоидальных оцонок множества достижимости наименьшего объема;
на основе асимптотики внутренних эллипсоидальных оценок построена асимптотика допустимых управлений.
Практическая и теоретическая ценность. Работа теоретическая. Результата работы могут быть использованы при: а) построении асимптотики решения других сингулярно возмущенных задач; с для решения задач приближенного оценивания состояния управляемых объектов,поведение которых описывается сингулярно возмущенными линейными системами. Методы исследования. Использованы общие метода теории управления , методы теории сингулярных возмущении. Апробация работы. Результаты работы были представ лены па: Всесоюзном совещании по интервальной математике (Абакан ,1989г.), III Всесоюзной школе "Понтрягинские чтения, оптимальное управление, геометрия и анализ" (Кемерово, 1990),Всесоюзной конференции "Дифференциальные ураєг ния и оптимальное управление" (Ашхабад, 19ЭО), Международной конференции "Control sy3tem synthei - ТЬеогу and application" (Новосибирск, 1991), Всесоюзной конференции "Асимптотические методы теории сингулярно возмущенных уравнений и некорректно поставленных задач" (Биикек, 1991), Международном симпозиуме "Optimal control of mechanical systems" (Москва 1992), Рабочем совещании ИФАК ;'Сингулярныэ возмущения в теории управления" (Бостон, США, 1989), сс-минарах ЙММАНТ, семинарах ТГУ и др. Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех
глав, заключения и списка литературы из 66 названий. Работа изложена на 1 f4 страницах.
