Асимптотическое интегрирование задачи о периодических решениях обыкновенных дифференциальных уравнений с большими высокочастотными слагаемыми Абоод Хайдер Джаббар

Диссертация - 480 руб., доставка 10 минут, круглосуточно, без выходных и праздников

Автореферат - бесплатно, доставка 10 минут, круглосуточно, без выходных и праздников

Абоод Хайдер Джаббар. Асимптотическое интегрирование задачи о периодических решениях обыкновенных дифференциальных уравнений с большими высокочастотными слагаемыми : Дис. ... канд. физ.-мат. наук : 01.01.02 : Ростов н/Д, 2004 103 c. РГБ ОД, 61:05-1/478

Содержание к диссертации

Введение

1. Уравнения второго порядка 17

1. Обоснование метода усреднения 17

2. Построение асимптотического разложения решения и обоснование асимптотики 35

3. Некоторые обобщения 40

2. Уравнения третьего порядка 49

1. Существование решения и его асимптотическая близость к стационарному решению усредненного уравнения 49

2. Построение и обоснование полной асимптотики решения 70

3. Некоторые обобщения 86

3. Уравнения тг-го порядка 95

1. Построение формальной асимптотики 95

Литература 101

Построение асимптотического разложения решения и обоснование асимптотики
Построение и обоснование полной асимптотики решения
Некоторые обобщения
Построение формальной асимптотики

Введение к работе

Решения дифференциальных уравнений, как правило, не удается представить в квадратурах, выраженных через элементарные или специальные функции. В связи с этим, очень важен вопрос приближенного решения дифференциальных уравнений. К приближенным методам относят численные и асимптотические методы. В диссертации рассматриваются уравнения, содержащие большие высокочастотные слагаемые. Присутствие высокочастотных слагаемых (не говоря уже о том, что они большие) создает известные серьезные проблемы их непосредственного численного решения. Поэтому к таким уравнениям обычно вначале применяют асимптотические методы. Задачи, рассматриваемые в асимптотической теории условно разбивают на два класса: регулярно возмущенные и сингулярно возмущенные (см. [1]). Задачи с быстро осциллирующими коэффициентами являются сингулярно возмущенными.

Важным асимптотическим методом исследования дифференциальных уравнений с высокочастотными слагаемыми является метод усреднения, который также называется методом Н. М. Крылова — Н. Н. Боголюбова — Ю. А. Митропольского (см. [2]-[4]). Приведенные в диссертации исследования посвящены дальнейшему развитию классической теории усреднения. Отметим, что уравнения с высокочастотными слагаемыми часто встречаются в различных разделах естествознания.

В основных теоремах классической теории метода осреднения [2] (см. также [4]) исследуются системы обыкновенных дифференциальных уравнений в так называемой стандартной форме. Их можно представить в следующем виде

— = f(x,ut), w»l, (0.0.1)

где f{x,r) обладает средним по т:

f{x_tr)dr.

т (/)(х)= Hmi

Напомним, что для -периодической вектор-функции /(гс, г) среднее определяется формулой:

{f){x) = \f f{x,s)ds.

В последующих многочисленных работах результаты теории метода усреднения [3] были перенесены на новые различные классы уравнений, как обыкновенных дифференциальных, так и в частных производных (см., например, [4], [5]) и библиографию в них. Здесь мы отметим лишь исследования, в которых рассматриваются уравнения с быстро осциллирующими во времени членами, среди которых имеются пропорциональные положительным степеням высокой частоты осцилляции.

Первыми среди таких работа являются исследования Н. Н. Боголюбова [7] и П. Л. Капицы [S] о том, что в результате высокочастотных вибраций точки подвеса математического маятника его верхнее положение может стать устойчивым.

В работе В. Н. Челомея [9] было показано, что высокочастотные сжатия-растяжения балки могут повышать ее устойчивость.

В работе С. М. Зеньковской, И. Б. Симоненко [10] показано, что с помощью высокочастотных вибраций сосуда с подогреваемой жидкостью можно подавить конвекцию.

В известных работах В. М. Волосова [11, 12] (см. также [4]) исследовались так называемые системы уравнений с быстрыми и медленными переменными.

В работах В. В. Стрыгина [13, 14] предложен эффективный алгоритм асимптотического интегрирования некоторых классов уравнений с высокочастотными членами.

В 1991 г. В. И, Юдович в своих лекциях по методу усреднения на мехмате Ростовского государственного университета отметил актуальность развития теории усреднения для уравнений (обыкновенных дифференциальных и в частных производных), содержащих быстро осциллирующие ела-

гаемые, пропорциональные положительным степеням частоты осцилляции и, и рассмотрел некоторые такие задачи (см. [15]—[18]). В частности, он исследовал задачу о движении механической системы со связями и задачу о движении идеальной жидкости в высокочастотных силовых полях. Им было предложено исследовать системы уравнений типа:

~ = /(M,aji) + wy(x,i,w), а>0, (0.0.2)

где вектор-функции /(х,і,т) и ^-периодические по т, причем Ц} имеет нулевое среднее, и некоторые другие уравнения с указанной спецификой. Отмечалось, что а = 1/2 — это минимальный показатель степени, в лекциях он назван «первым перестроечным показателем» [17], при котором усредненная задача для (0.0-2) может отличаться от усредненной задачи для (0.0.1), т.е. от задачи (0.0.2) с вычеркнутым большим слагаемым; для уравнений же второго порядка

х = ф(х, х, t, tot) + ltx{^xj t-i ^ш^)і (0.0.3)

где ф(х, е,, г) и x{^x)t}^r) являются ^-периодическими по т и (х) = 0, первый перестроечный показатель /3 = 1. Для уравнений (0.0.2) и (0.0.3) можно ставить и задачу Коши и задачу о ^"^-периодических на всей временной оси решениях. В последнем случае правые части этих уравнений предполагаются не зависящими явно от t, как в (0.0.4) (см. ниже). Для уравнения п-го порядка

х^{п) = д{х, tut) + uPh(x, ut), (0.0.4)

где f{x,r) и h{x,r) — ^-периодические по г и (Л) = 0, в задаче о ію~^х-периодических решениях первым перестроечным показателем является 7 = п/2.

В работе Д. А. Басистой, В. Б. Левенштама [19] рассмотрена задача Коши, а в работе В. Б. Левенштама, Г. Л. Хатламаджиян (направлена в печать) — задача о периодических решениях для обыкновенных дифференци-

альных уравнений первого порядка, содержащих высокочастотное слагаемое, пропорциональное корню квадратному из большой частоты. Для этих задач обоснован метод усреднения и построена обоснованная асимптотика решения.

В работе В. Б. Левенштама «Асимптотическое интегрирование дифференциальных уравнений, содержащих быстро осциллирующие слагаемые с большими амплитудами. I, II» (в печати) рассмотрена задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений с быстро осциллирующими членами 2-го и произвольного, га-го, порядков. При этом уравнения второго порядка содержат высокочастотные слагаемые, пропорциональные частоте осцилляции, а уравнения га-го порядка — пропорциональные степени [га/2] частоты. Для этих задач обоснован метод усреднения и построена обоснованная асимптотика.

Важно отметить, что если а, /3 и j в уравнениях (0.0.2), (0.0.3) и (0.0.4) превышают соответствующие первые перестроечные показатели( а — 1/2, j3 = 1, j = n/2J то для этих уравнений пока неизвестно, как построить главный член даже формальной асимптотики решения. Рассмотрение же показателей а < 1/2, /3 < 1, 7 < "/2, по-видимому, менее интересно, чем а = 1/2, /3 = 1, 7 — ^п/2) так как в этом случае задача для главного члена асимптотикиЧга же, что и для уравнений с вычеркнутыми большими слагаемыми. Цитировавшиеся же выше известные физические эффекты (для маятника, балки, конвекции) связаны именно с участием больших слагаемых в построении задач для щ.

рядка обоснован метод усреднения, т. е. доказаны существование и локальная единственность решения и установлена асимптотическая близость соответствующих решений и_ш и Uq исходной и усредненной задач; при естественных дополнительных условиях гладкости данных задачи построена и обоснована полная асимптотика решения. 2. Для уравнения третьего порядка установлено существование периодического решения, удовлетворяющего условиям: оно асимптотически близко к соответствующему стационарному решению усредненной задачи'при достаточной гладкости данных задачи для него имеет место построенная и обоснованная в диссертации асимптотика. 3. Для систем уравнений n-го порядка в виде асимптотического ряда построено формальное решение {формальная асимптотика). Для систем уравнений 2-го и 3-го порядков при достаточной гладкости их данных установлены результаты, аналогичные указанным выше для случае одного уравнения. Построение асимптотики осуществляется эффективно.

Перейдем к обзору содержания работы. Диссертация состоит из трех глав, разделенных на 7 параграфов.

В первой главе работы рассмотрена задача о 2tt/uj-периодических решениях дифференциального уравнения 2-го порядка

— = fo(u,ojt)+u}fi(u,ut), (0.0.5)

где и ~ большой параметр, функции /о(и,т) и /i(«,r) определены на множестве (и, т) (а, Ъ) х R, где a, b Ш, непрерывны и дважды дифференцируемы по и, а также являются 2тг-периодическими по т. Функция fi(u, т) обладает нулевым средним по т:

(h(u,r)} = ~ / /!(u,5)ds = 0, о

в котором и Ж — параметр.

Пусть w{t) = <р(и,т) — 2 ^-периодическая по т с нулевым средним функция, которая удовлетворяет уравнению

= /i(u,t).

Уравнение

o9v I dfi(v,r) A

назовем усредненным. Предположим, что оно имеет стационарное решение

/ я f ( \ \

v = щ, т.е. для функции Ф(и) — ( /о(и,г) Ч ——<р(щ т) ) справедливо

равенство Ф(щ) = 0.

Будем также предполагать, что решение щ невырожденное, т. е.

Пусть ді Є (0,1). Обозначим через СДК) пространство Гельдера, состоящее из непрерывных ограниченных функций и: R —> Ж, удовлетворяющих условию:

II , им №)-u(t')\

^M ^J teR -oo\^z ^l у

В параграфе 1.1 обоснован метод усреднения для задачи (0.0.5). Основным результатом этого параграфа является

Теорема 1.1.1. Существуют такие положительные числа шо и &, что при oj > ojq уравнение (0.0.5) имеет единственное в шаре

II"W-«o||_Cai(r) <<* 2тгсо~¹-периодическое решение и_ы и при этом справедливо равенство:

Jim ІК-иоІІсда^⁰-

Во втором параграфе первой главы при выполнении условий 1 этой главы и некоторых естественных дополнительных предположениях построена и обоснована полная асимптотика периодического решения задачи (0.0.5). Построение формальных асимптотик (формальных решений) в диссертации осуществляется с помощью алгоритма, который использовал В. В. Стры-гин [13, 14] в случае задачи Коши для обыкновенных дифференциальных

уравнений первого и второго порядков. Асимптотика в 2 ищется в виде

оо оо

u_u(t) = J]w\ + ]ГаГЧ(шг), (0.0.6)

ї=0 t'-l

где функции V{(r) являются 27г-периодическими по г с нулевым средним, а щ — константы.

Для нахождения коэффициентов ряд (0.0.6) подставляется вместо и в уравнение (0.0.5), а функции

/o(uo + oj~¹(ui + щ) + ш~²(щ + v₂) -Y ..., т)

/i(uo + w^-1(ui + V\) + UJ~²(U2 + иг) + ..., r)

формально разлагаются в ряды Тейлора по первой переменной. После приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях w и применения операции усреднения получается цепочка соотношений, из которых последовательно находятся все коэффициенты разложения (0.0.6) в следующем порядке: vi_t щ, V2, щ, щ, и так далее.

Пусть У_и — к-&я частичная сумма асимптотического ряда (0.0.6):

_к *

Vu(t) - Щ + ^2cj~^s[u_s 4- v_s(ojt)].

5=1

Основным результатом 1.2 является следующая Теорема 1.2.1. Для любого натурального к найдутся такие положительные числа Ck и щ, что при w > ujk справедлива оценка

к sup|u_w- У Л < c_fcu;"^(A+1).

При этом коэффициенты асимптотики u_s и v₈(r) определяются эффективно. Именно, их построение сводится к нахождению 2-к-периоди-ческих с нулевым средним решений уравнений вида

cPv . .

*3 = Х(г),

где_Х(т+2іг) = х(т), (х)=0.

dt²\

В 1.3 рассмотрена задача о 27го;^-1-периодических решениях системы дифференциальных уравнений 2-го порядка следующего вида: d²u

= folu_t-^,ujt) +ojfi(u,ojt), ш>1. (0.0.7)

Здесь

ui{t) u₂(t)

^/ /h(u,t)^

/02(Є,Г)

І12ІЩТ)

/о(е,т) =

_{«й =}

ЛО,т) =

^ u_n(t) J

^ fln(u, Т) J

\ /0n(e,r) J

n — произвольное натуральное число.

Пусть Gj, j — 0,1 — ограниченные области в пространстве Ж^п, По = {(е, г): є Є Go X C?i, г Є 1} и fij = {{u, т): u Є Go, г R}. Предположим, что вектор-функции /о(е, г) и /i (и, г) определены на множествах Qq и 2i, соответственно, принимают значения вГ и удовлетворяют следующим условиям:

их компоненты /oi(e, т) и /ij(u, г) (1 ^ г ^ п) непрерывны, 2тт-перио-дические по переменной т, имеют непрерывные производные по и и е любого порядка;
средние (/ii)(u) = (/і,-(u,г)) вектор-функции fu(u,r) по г равны нулю:

{/и>(«) = 2^ / /w(">^s)^d5 = ;

3) пусть oj(t) =

= /і(«.т).

Уравнение

dt²

5«

. д<р(и, т) \ 3/і(ц,г) , '

назовем усредненным и предположим, что оно имеет стационарное решение и = щ, то есть для вектор-функции

справедливо равенство

Ф(«о) = 0;

4) решение щ невырождено, то есть матрица Ф'(щ) обратима.

Асимптотическое разложение 27Гш^_1-периодического по г решения задачи (0.0.7) ищется в виде

и_ш{) = щ + Y, и'К^і + Vi(ujt)), (0.0.8)

где Vi(r) — 27Г-периодические вектор-функции со значениями в Ж^п, имеющие нулевые средние, а щ — векторы в Ж¹, к

Пусть Уы — &-ая частичная сумма асимптотического ряда (0.0.8):

^к ^к

s=0 s=l

Основным результатом 1.3 является следующая Теорема 1.3.1. 1) Найдутся такие полооюителъные числа ojq и 8, что при ш > ojq уравнение (0.0.7) имеет единственное в шаре

\\u{t) -иоіісуж») ^ <* 27гш^-1 -периодическое решение и_и и при этом выполняется равенство:

Jim IK-«oilman) =-

2) Для любого натурального к найдутся такие полооюителъные числа afc uojk, что при oj > tOk справедлива оценка

sup|u_w()- У_и (t)\ ^ а_АаГ^№+1).

Коэффициенты асимптотики u_s и v_s определяются эффективно. Именно, их построение сводится к решению однозначно разрешимых систем линейных алгебраических уравнений и к нахождению 2тт-периодических с нулевым средним решений систем дифференциальных уравнений вида

где х(т + 2тт) = х(т), (х) = 0.

Во второй главе рассмотрена задача о 27г/ш-периодических решениях дифференциального уравнения 3-го порядка

^з" = /o(«,w<) + w^3/2/i(«,w<). (0-0-9)

где и — большой параметр. Предполагается, что функции fo(u, т) и /i (u, т) определены на множестве (и, г) Є (а, Ь) х М, где а, Ь Є R непрерывны и трижды дифференцируемы по и, а также являются 2тг-периодическими по т, причем /i(u, т) обладает нулевым средним по г.

Исследование уравнения {0.0.9) оказалось существенно более сложным, нежели уравнения (0.0.5). Такая сложность проявляется уже при доказательстве существования периодического решения, когда мы преобразуем (см. замены переменных (1.1.5) и (2.3.1), (2.1.9) типа классических замен Крылова-Боголюбова [2]-[5]) исходное уравнение к уравнению, не содержащему больших слагаемых. Так вот, при проведении второй замены переменных (т.е. (2.1.9)) для уравнения (0.0.9) (для уравнения (0.0.5) дело ограничивается одной заменой), в связи с тем, что большое слагаемое предыдущего уравнения (2.1.7) зависит от производной зависимой переменной, мы вынуждены отказаться от структуры уравнения 3-го порядка и смотреть на него, идо на систему двух уравнений: 1-го и 2-го порядков. Отметим в связи с этим, что в случае уравнений произвольного порядка п обозреть в целом процедуру соответствующих замен, которая бы приводила к уравнению без больших слагаемых, нам не удается.

Пусть w(t) = <р(и,т) — 27г-периодическая по г с нулевым средним функция, которая удовлетворяет уравнению

Предполагается, что усредненное уравнение d*v 1.. . dfi{v_tr)

= ( /OK Г) + — (p(v, Г)

eft³

имеет невырожденное стационарное решение v — щ.

В параграфе 2.1 доказана следующая теорема. Теорема 2.1.1. Существует такое положительное число cjq, что при ш > wo уравнение (0.0.9) имеет 2то~¹ -периодическое решение и_ш, для которого справедливо равенство:

Jim \\и_ш - щ\\_слщ = 0.

В 2.2 при дополнительном предположении о достаточной гладкости вектор-функций /о(и,т) и /i(w,r) построена и обоснована полная асимптотика периодического решения задачи (0.0.9). Асимптотика ищется в виде

_м<)=I>~^3V_{4+ХХ^-И), с}⁰_-⁰_-¹⁰₎

2=0 2=1

где функции Vi(r) являются 2тг-периодическими по т с нулевым средним, а щ — константы.

Рассматриваются частичные суммы асимптотического ряда (0.0.10):

y_w= f^to^²u_s + ^0/-^4(^)-

s=0 s=l

Основным результатом 2.2 является следующее утверждение: Теорема 2.2.2. Существует такое щ > 0, что при ш > щ уравнение (0.0.9) имеет 27гш^-1-периодическое решение и_ш с асимптотическим разложением (0.0.10). При этом для любого натурального к найдутся такие положительные числа df. и Ш}., что при и > ш^ справедлива оценка

3(Н-1)

Коэффициенты щ щ асимптотики находятся эффективно. Именно, их построение сводится к нахождению 2тт-периодических решений с пулевым средним уравнений вида

где х(т + 2тт) - х(т), (х) = 0.

В третьем параграфе второй главы рассмотрена задача о 27гш^-1-перио-дических решениях системы дифференциальных уравнений 3-го порядка следующего вида:

d²u , ( du \ ч/о,/ \

где и — большой параметр, а /о, /і удовлетворяют некоторым естественным условиям.

Асимптотическое разложение 27го;^-1-периодического по г решения задачи (0.0.11) ищется в виде

^и^ ⁼ S ^w"^{⁺ J2 w"^i/2u»(wt); 0.0.12)}

t=0 {=3

где щ — векторы пространства R", a vi(r) — 27г-периодические вектор-функции со значениями в R", имеющие нулевые средние.

Рассматриваются частичные суммы асимптотического ряда (0.0.12):

к к

WM = I>"^s/4 + )oT^e'²i/_e(wt).

Основным результатом этого параграфа является

Теорема 2.3.2. Существует такое положительное число щ, что при oj > щ уравнение (0.0.11) имеет 2жсо~¹-периодическое решение и_Ш! для которого справедливо равенство

\хт\\и_ы~щ\\_С11т = Ъ,

а также имеет место асимптотика (0.0.12), причем для любого натурального к найдутся такие положительные числа с& и Wk, что при и) > ujji справедлива оценка

sup|_Uw(0-K_w(i)N^~³⁽"^+1)/2-

При этом коэффициенты щ -и,- асимптотики находятся эффективно. Именно, их построение сводится к решению однозначно разрешимых систем линейных алгебраических уравнений и к нахождению 2тт-периодических с нулевым средним решений систем дифференциальных уравнений вида

где х(т + 2тг) = х(г), (х) = 0.

В третьей главе рассмотрена система дифференциальных уравнений п-го порядка вида

— = h{uM) +u^nl2h{uM), 0-0.13)

где со — большой параметр. Пусть D — ограниченная область в пространстве R", Q = {(и,т): и = («і,и₂,...,и_п) Є Д г Є Щ. Предположим, что вектор-функции /о(и, т) и /і(и, т) определены на множестве П, принимают значения в Rⁿ и удовлетворяют следующим условиям:

1) ИХ КОМПОНеНТЫ /oi(u,r) И /іі(и,т) (і ^ І ^ п) НбПрерЫВНЫ, 27Г-

периодические по переменной г и имеют непрерывные производные по и любого порядка;

2) средние (fu)(u) — (fu(v>,r)) вектор-функции fu(u_tr) по т равны
нулю:

(«) = 2^ / /ii(^u'^s) ^ds = -

3) пусть w(r) = ^(^иі^г) ^— 27Г-периодическая по т с нулевым средним вектор-функция, которая удовлетворяет уравнению

^Л ft \

Уравнение

- /о(и, г) + — ф, т)

назовем усредненным и предположим, что оно имеет стационарное решение v = «о, то есть для вектор-функции

ФМ = (/о(ц,т) + ~~^а/1~~^~~^,г)~~у(ц,г)¹

справедливо равенство Ф(щ) ~ 0;

4) решение щ невырождено, то есть матрица Ф'(ио) обратима. Асимптотическое разложение решения задачи (0.0.13) строится в виде

u_u{t) = щ + ]Г)иГ*"/²(и* + Vi{wt)), (0.0.14)

где щ — векторы Rⁿ, a и;(т) ~ 2тг-периодические вектор-функции со значениями в Ж^п, имеющие нулевые средние. Подстановка к-ой частичной суммы Щ+Yj ш~^гп^²{щ + w,-(w)) в уравнение (0.0.13) приводит к невязке

Ofw^-^^-1'"/²), ш —* со. Это позволяет ряд (0.0.14) называть формальным решением уравнения (0.0.13).

Все коэффициенты асимптотики (0.0.14) эффективно определяются. Их нахождение сводится к решению однозначно разрешимых систем линейных алгебраических уравнений и к нахождению 27г-периодических с нулевым средним решений систем дифференциальных уравнений вида

где х{^т + ^27Г) = х(т), (х) = 0.

Отметим еще, что соискатель участвовал в работе [28] о построении асимптотического разложения решения одной задачи для системы уравнений в частных производных.

Построение асимптотического разложения решения и обоснование асимптотики

Г. В этом параграфе будем предполагать, что выполнены все условия п. 1 1 и дополнительно функции /o(w, т) и Л (и, г) предполагаются бесконечно дифференцируемыми по и. Асимптотическое разложение решения задачи (1.1.1) будем строить в виде: где функции V{(r) являются 2л"-периодическими по г с нулевым средним, а щ — константы. Подставляя ряд (1.2.1) в равенства (1-1.1) и разлагая формально /о(щ + в ряды Тейлора по первой переменной приходим к следующим равенствам: Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях со, получим цепочку соотношений. Так, приравнивая коэффициенты при ш1 получим: дт2 Запишем решение в виде Приравнивая коэффициенты при w, приходим к равенству Применяя к обеим частям равенства (1.2.5) операцию усреднения {...), где (а(т)) = — I a(s)ds, получим: 2тг J о Последнее равенство по условию 1 выполнено. Вычитая из уравнения (1.2.5) равенство (1.2.6), получим задачу: Нам понадобится следующее известное утверждение. Лемма 1.2.1. Пусть у?(т) — непрерывная 2чг-периодическая функция на прямой и { р(т)) — 0, тогда уравнение имеет единственное 2тг-периодическое решение у[т), для которого С учетом леммы 1.2.1 решение задачи (1.2.7) представимо в виде Предположим теперь, что мы нашли щ и VJ, і к — 1, j к. Покажем, что тогда мы сможем найти и следующие коэффициенты разложения (1.2.1): ад, Vk+i- Имеем равенство В силу леммы 1.2.1 придем к представлению 7 — выражения, зависящие от и31 и vS2, где 0 si к — 1, 1 S2 к. Далее воспользуемся равенством Подставим сюда выражение vk+i из (1.2.13) и усредним обе части полученного равенства. В результате получим уравнение где Ф — выражение, зависящее от иП1 и vni, при 1 щ к — 1, 1 П2 А. Найдем из (1.2.14) ад, подставим его в (1.2.13), находим vk+i- Отметим, что все построенные задачи для определения коэффициентов асимптотического разложения (1.2.1) однозначно разрешимы. Действительно, усредненная задача (1.2.6) по условию имеет решение щ. Подставляя его в выражение (1.2.4), найдем v\. Следующие коэффициенты разложения (1.2.1) однозначно определяются из линейных уравнений (1.2.12) и (1.2.14) при к = 1,2 и т.д. к 2. Обозначим через Уи к-ую частичную сумму асимптотического ряда Теорема 1.2.1. Для любого натурального к найдутся такие положительные числа Q; и ujk) что При этом коэффициенты асимптотики us и vs(r) определяются эффективно.

Именно, их построение сводится к нахождению 2ТГ-периодических с пулевым средним решений уравнений вида гдеХ{т + 2п)=х(г), (х} = 0. Доказательство теоремы 1.2.1 здесь опускается, поскольку проводится аналогично доказательству более сложной теоремы 2.2.1. 3 Некоторые обобщения Iе. В этом параграфе рассмотрена задача о 2тгш периодических решениях системы дифференциальных уравнений 2-го порядка вида Пусть Gj, j — 0,1 — ограниченные области в пространстве R", QQ = {(е, г) : є Є Go х (?i, г Є R} и fli = {{и,г) : и G0, г Є Ж}. Предположим, что вектор-функции /о(е,т) и fi(u,r) определены на множествах Оо и Пі, соответственно, принимают значения вК"и удовлетворяют следующим условиям: 1) их компоненты /ог(е, г) и fu(u, т) (1 і п) непрерывны, 27Г-периоди-ческие по переменной т и имеют непрерывные производные по и и е любого порядка; 2) средние {/и)(u) = (fu(u,r)} функций fu(u,r) по г равны нулю: 2тг 3) пусть w(r) — р(и,т) — 2тг-периодическая по т с нулевым средним вектор-функция, которая удовлетворяет уравнению Уравнение где назовем усредненным и предположим, что оно имеет стационарное решение и щ, то есть для вектор-функции справедливо равенство 4) решение UQ невырождено, то есть матрица Ф (ко) обратима. Здесь В 1, 2 мы рассматривали уравнения (1.1.1). Аналогичным образом можно исследовать системы вида (1.3.1). Мы ограничимся лишь построением формальной асимптотики периодического решения последнего. Асимптотическое разложение 2-кьо периодического по г решения задачи (1.3.1) будем искать в виде В последующих многочисленных работах результаты теории метода усреднения [3] были перенесены на новые различные классы уравнений, как обыкновенных дифференциальных, так и в частных производных (см., например, [4], [5]) и библиографию в них. Здесь мы отметим лишь исследования, в которых рассматриваются уравнения с быстро осциллирующими во времени членами, среди которых имеются пропорциональные положительным степеням высокой частоты осцилляции. Первыми среди таких работа являются исследования Н. Н. Боголюбова [7] и П. Л. Капицы [S] о том, что в результате высокочастотных вибраций точки подвеса математического маятника его верхнее положение может стать устойчивым. В работе В. Н. Челомея [9] было показано, что высокочастотные сжатия-растяжения балки могут повышать ее устойчивость. В работе С. М. Зеньковской, И. Б. Симоненко [10] показано, что с помощью высокочастотных вибраций сосуда с подогреваемой жидкостью можно подавить конвекцию. В известных работах В. М. Волосова [11, 12] (см. также [4]) исследовались так называемые системы уравнений с быстрыми и медленными переменными. В работах В. В. Стрыгина [13, 14] предложен эффективный алгоритм асимптотического интегрирования некоторых классов уравнений с высокочастотными членами. В 1991 г. В. И, Юдович в своих лекциях по методу усреднения на мехмате Ростовского государственного университета отметил актуальность развития теории усреднения для уравнений (обыкновенных дифференциальных и в частных производных), содержащих быстро осциллирующие ела- гаемые, пропорциональные положительным степеням частоты осцилляции и, и рассмотрел некоторые такие задачи (см. [15]—[18]). В частности, он исследовал задачу о движении механической системы со связями и задачу о движении идеальной жидкости в высокочастотных силовых полях. Им было предложено исследовать системы уравнений типа: = /(M,aji) + wy(x,i,w), а 0, (0.0.2) где вектор-функции /(х,і,т) и p(x,t,r) -периодические по т, причем Ц} имеет нулевое среднее, и некоторые другие уравнения с указанной спецификой.

Отмечалось, что а = 1/2 — это минимальный показатель степени, в лекциях он назван «первым перестроечным показателем» [17], при котором усредненная задача для (0.0-2) может отличаться от усредненной задачи для (0.0.1), т.е. от задачи (0.0.2) с вычеркнутым большим слагаемым; для уравнений же второго порядка х = ф(х, х, t, tot) + LTX{XJ t-i ш )і (0.0.3) где ф(х, е,, г) и x{x)t}r) являются -периодическими по т и (х) = 0, первый перестроечный показатель /3 = 1. Для уравнений (0.0.2) и (0.0.3) можно ставить и задачу Коши и задачу о " -периодических на всей временной оси решениях. В последнем случае правые части этих уравнений предполагаются не зависящими явно от t, как в (0.0.4) (см. ниже). Для уравнения п-го порядка х{п) = д{х, tut) + uPh(x, ut), (0.0.4) где f{x,r) и h{x,r) — -периодические по г и (Л) = 0, в задаче о ію х-периодических решениях первым перестроечным показателем является 7 = п/2. В работе Д. А. Басистой, В. Б. Левенштама [19] рассмотрена задача Коши, а в работе В. Б. Левенштама, Г. Л. Хатламаджиян (направлена в печать) — задача о периодических решениях для обыкновенных дифференци- альных уравнений первого порядка, содержащих высокочастотное слагаемое, пропорциональное корню квадратному из большой частоты. Для этих задач обоснован метод усреднения и построена обоснованная асимптотика решения. В работе В. Б. Левенштама «Асимптотическое интегрирование дифференциальных уравнений, содержащих быстро осциллирующие слагаемые с большими амплитудами. I, II» (в печати) рассмотрена задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений с быстро осциллирующими членами 2-го и произвольного, га-го, порядков. При этом уравнения второго порядка содержат высокочастотные слагаемые, пропорциональные частоте осцилляции, а уравнения га-го порядка — пропорциональные степени [га/2] частоты. Для этих задач обоснован метод усреднения и построена обоснованная асимптотика. Важно отметить, что если а, /3 и j в уравнениях (0.0.2), (0.0.3) и (0.0.4) превышают соответствующие первые перестроечные показатели( а — 1/2, j3 = 1, j = n/2J то для этих уравнений пока неизвестно, как построить главный член даже формальной асимптотики решения. Рассмотрение же показателей а 1/2, /3 1, 7 "/2, по-видимому, менее интересно, чем а = 1/2, /3 = 1, 7 — п/2) так как в этом случае задача для главного члена асимптотикиЧга же, что и для уравнений с вычеркнутыми большими слагаемыми. Цитировавшиеся же выше известные физические эффекты (для маятника, балки, конвекции) связаны именно с участием больших слагаемых в построении задач для щ.

Построение и обоснование полной асимптотики решения

В диссертационной работе рассмотрены задачи о периодических решениях обыкновенных дифференциальных уравнений с быстро осциллирующими коэффициентами, среди которых имеются пропорциональные определенным положительным степеням частоты осцилляции. Эти задачи рассматриваются в окрестностях стационарных решений соответствующих усредненных задач. Исследуются уравнения 2-го, 3-го и га-го порядков в случае первых перестроечных показателей. 1. Для уравнения второго по- рядка обоснован метод усреднения, т. е. доказаны существование и локальная единственность решения и установлена асимптотическая близость соответствующих решений иш и UQ ИСХОДНОЙ и усредненной задач; при естественных дополнительных условиях гладкости данных задачи построена и обоснована полная асимптотика решения. 2. Для уравнения третьего порядка установлено существование периодического решения, удовлетворяющего условиям: оно асимптотически близко к соответствующему стационарному решению усредненной задачи при достаточной гладкости данных задачи для него имеет место построенная и обоснованная в диссертации асимптотика. 3. Для систем уравнений n-го порядка в виде асимптотического ряда построено формальное решение {формальная асимптотика). Для систем уравнений 2-го и 3-го порядков при достаточной гладкости их данных установлены результаты, аналогичные указанным выше для случае одного уравнения. Построение асимптотики осуществляется эффективно. Перейдем к обзору содержания работы. Диссертация состоит из трех глав, разделенных на 7 параграфов. В первой главе работы рассмотрена задача о 2TT/UJ-периодических решениях дифференциального уравнения 2-го порядка где и большой параметр, функции /о(и,т) и /i(«,r) определены на множестве (и, т) (а, Ъ) х R, где a, b Ш, непрерывны и дважды дифференцируемы по и, а также являются 2тг-периодическими по т. Функция fi(u, т) обладает нулевым средним по т: Во втором параграфе первой главы при выполнении условий 1 этой главы и некоторых естественных дополнительных предположениях построена и обоснована полная асимптотика периодического решения задачи (0.0.5). Построение формальных асимптотик (формальных решений) в диссертации осуществляется с помощью алгоритма, который использовал В. В. Стры-гин [13, 14] в случае задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений первого и второго порядков. Асимптотика в 2 ищется в виде где функции V{(r) являются 27г-периодическими по г с нулевым средним, а щ — константы. Для нахождения коэффициентов ряд (0.0.6) подставляется вместо и в уравнение (0.0.5), а функции формально разлагаются в ряды Тейлора по первой переменной.

После приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях w и применения операции усреднения получается цепочка соотношений, из которых последовательно находятся все коэффициенты разложения (0.0.6) в следующем порядке: vit щ, V2, щ, щ, и так далее. Основным результатом 1.2 является следующая Теорема 1.2.1. Для любого натурального к найдутся такие положительные числа Ck и щ, что при w ujk справедлива оценка к supuw- У Л cfcu;"(A+1). При этом коэффициенты асимптотики us и v8(r) определяются эффективно. Именно, их построение сводится к нахождению 2-к-периоди-ческих с нулевым средним решений уравнений вида cPv . . В 1.3 рассмотрена задача о 27го;-1-периодических решениях системы дифференциальных уравнений 2-го порядка следующего вида: d2u Пусть Gj, j — 0,1 — ограниченные области в пространстве Жп, По = {(е, г): є Є Go X C?i, г Є 1} и fij = {{u, т): u Є Go, г R}. Предположим, что вектор-функции /о(е, г) и /i (и, г) определены на множествах QQ И 2I, соответственно, принимают значения вГ и удовлетворяют следующим условиям: 1) их компоненты /oi(e, т) и /ij(u, г) (1 г п) непрерывны, 2тт-перио-дические по переменной т, имеют непрерывные производные по и и е любого порядка; 2) средние (/ii)(u) = (/і,-(u,г)) вектор-функции fu(u,r) по г равны нулю: 2тг 3) пусть OJ(T) = /?(ti, r) — 27г-периодическая по г с нулевым средним вектор-функция, которая удовлетворяет уравнению назовем усредненным и предположим, что оно имеет стационарное решение и = щ, то есть для вектор-функции справедливо равенство 4) решение щ невырождено, то есть матрица Ф (щ) обратима. Асимптотическое разложение 27Гш_1-периодического по г решения задачи (0.0.7) ищется в виде оо где Vi(r) — 27Г-периодические вектор-функции со значениями в Жп, имеющие нулевые средние, а щ — векторы в Ж1, к Пусть Уы — &-ая частичная сумма асимптотического ряда (0.0.8): Основным результатом 1.3 является следующая Теорема 1.3.1. 1) Найдутся такие полооюителъные числа OJQ и 8, что при ш OJQ уравнение (0.0.7) имеет единственное в шаре \\u{t) -иоіісуж») 27гш-1 -периодическое решение ии и при этом выполняется равенство: Jim IK-«oilman) =- 2) ДЛЯ любого натурального к найдутся такие полооюителъные числа afc uojk, что при OJ tOk справедлива оценка Коэффициенты асимптотики us и vs определяются эффективно. Именно, их построение сводится к решению однозначно разрешимых систем линейных алгебраических уравнений и к нахождению 2ТТ-периодических с нулевым средним решений систем дифференциальных уравнений вида Во второй главе рассмотрена задача о 27г/ш-периодических решениях дифференциального уравнения 3-го порядка где и — большой параметр. Предполагается, что функции fo(u, т) и /i (u, т) определены на множестве (и, г) Є (а, Ь) х М, где а, Ь Є R непрерывны и трижды дифференцируемы по и, а также являются 2тг-периодическими по т, причем /i(u, т) обладает нулевым средним по г. Исследование уравнения {0.0.9) оказалось существенно более сложным, нежели уравнения (0.0.5). Такая сложность проявляется уже при доказательстве существования периодического решения, когда мы преобразуем (см. замены переменных (1.1.5) и (2.3.1), (2.1.9) типа классических замен Крылова-Боголюбова [2]-[5]) исходное уравнение к уравнению, не содержащему больших слагаемых. Так вот, при проведении второй замены переменных (т.е. (2.1.9)) для уравнения (0.0.9) (для уравнения (0.0.5) дело ограничивается одной заменой), в связи с тем, что большое слагаемое предыдущего уравнения (2.1.7) зависит от производной зависимой переменной, мы вынуждены отказаться от структуры уравнения 3-го порядка и смотреть на него, идо на систему двух уравнений: 1-го и 2-го порядков. Отметим в связи с этим, что в случае уравнений произвольного порядка п обозреть в целом процедуру соответствующих замен, которая бы приводила к уравнению без больших слагаемых, нам не удается.

Некоторые обобщения

При этом коэффициенты щ -и,- асимптотики находятся эффективно. Именно, их построение сводится к решению однозначно разрешимых систем линейных алгебраических уравнений и к нахождению 2ТТ-периодических с нулевым средним решений систем дифференциальных уравнений вида В третьей главе рассмотрена система дифференциальных уравнений п-го порядка вида где со — большой параметр. Пусть D — ограниченная область в пространстве R", Q = {(и,т): и = («і,и2,...,ип) Є Д г Є Щ. Предположим, что вектор-функции /о(и, т) и /і(и, т) определены на множестве П, принимают значения в Rn и удовлетворяют следующим условиям: периодические по переменной г и имеют непрерывные производные по и любого порядка; 2) средние (fu)(u) — (fu(v ,r)) вектор-функции fu(utr) по т равны нулю: 3) пусть w(r) = (иіг) — 27Г-периодическая по т с нулевым средним вектор-функция, которая удовлетворяет уравнению назовем усредненным и предположим, что оно имеет стационарное решение v = «о, то есть для вектор-функции справедливо равенство Ф(щ) 0; 4) решение щ невырождено, то есть матрица Ф (ио) обратима. Асимптотическое разложение решения задачи (0.0.13) строится в виде 00 где щ — векторы Rn, a и;(т) 2тг-периодические вектор-функции со значениями в Жп, имеющие нулевые средние. Подстановка к-ой частичной суммы Щ+YJ ш гп 2{щ + w,-(w)) в уравнение (0.0.13) приводит к невязке Ofw- -1 "/2), ш — со. Это позволяет ряд (0.0.14) называть формальным решением уравнения Все коэффициенты асимптотики (0.0.14) эффективно определяются. Их нахождение сводится к решению однозначно разрешимых систем линейных алгебраических уравнений и к нахождению 27г-периодических с нулевым средним решений систем дифференциальных уравнений вида Отметим еще, что соискатель участвовал в работе [28] о построении асимптотического разложения решения одной задачи для системы уравнений в частных производных.

Автор выражает глубокую благодарность и признательность своему руководителю доктору физико-математических наук Валерию Борисовичу Левенштаму за постановку задач, постоянное внимание и оказанную им помощь в работе. Глава 1. Уравнения второго порядка В данной главе рассмотрена задача о периодических решениях обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с быстро осциллирующими .коэффициентами, среди которых имеются пропорциональные частоте осцилляции. В 1 обоснован метод усреднения для этой задачи, а в 2 построена и обоснована полная асимптотика периодического решения. В 3 результаты 1, 2 перенесены на некоторый класс систем дифференциальных уравнений 2-го порядка. Построение формальной асимптотики в 2, 3 осуществляется с помощью алгоритма, который использовал В. В. Стрыгин [13, 14] в случае задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений первого и второго порядков. 1 Обоснование метода усреднения 1. Рассмотрим задачу о 2я-/ш-периодических решениях дифференциального уравнения 2-го порядка d2u где ш — большой параметр, функции fo(u, т) и fi(u,r) определены на множестве (и, г) Є (а, Ь) х К, где а,6ЄІ, непрерывны и дважды дифференцируемы по и, а также являются 2тг-периодическими по т. Функция fi(u,r) обладает нулевым средним по г: гж Пусть w(r) = (р(иут) — 27Г-периодическая по т с нулевым средним функция, которая удовлетворяет уравнению Замечание. Нашей ближайшей целью является обоснование метода усреднения для задачи о 2 7тш периодических решениях системы (1.1.11). Этот результат является следствием теоремы 2 [23] И. Б. Симоненко для абстрактных параболических уравнений, где предложено красивое доказательство, опирающееся на теорию неявных операторов. Однако формулировка теоремы 2 [23] и ее красивое доказательство (очень краткое) изложены в терминах дробных степеней неограниченных операторов. Поэтому здесь излагается подробное (и несколько иное) доказательство непосредственно для систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

При этом наше доказательство основано на приемах, использовавшихся в [23] и в доказательстве леммы 3.2 гл. II [29]. (Последняя тоже относится к абстрактным параболическим уравнениям.) Аналогичное замечание относится и к лемме 2.1.2 (см. ниже). Определим величину Ти = —- [ .OJ] и выберем wo столь большим, что Л1]2ТШ ф 2ктгі, кєХ. В силу леммы 1.1.1 каждое 2 -периодическое решение z уравнения (1.1.12) Отметим, что все построенные задачи для определения коэффициентов асимптотического разложения (1.2.1) однозначно разрешимы. Действительно, усредненная задача (1.2.6) по условию имеет решение щ. Подставляя его в выражение (1.2.4), найдем v\. Следующие коэффициенты разложения (1.2.1) однозначно определяются из линейных уравнений (1.2.12) и (1.2.14) при к = 1,2 и т.д. Пусть Gj, j — 0,1 — ограниченные области в пространстве R", QQ = {(е, г) : є Є Go х (?i, г Є R} и fli = {{и,г) : и G0, г Є Ж}. Предположим, что вектор-функции /о(е,т) и fi(u,r) определены на множествах Оо и Пі, соответственно, принимают значения вК"и удовлетворяют следующим условиям: 1) их компоненты /ог(е, г) и fu(u, т) (1 і п) непрерывны, 27Г-периоди-ческие по переменной т и имеют непрерывные производные по и и е любого порядка; 2) средние {/и)(u) = (fu(u,r)} функций fu(u,r) по г равны нулю: 2тг 3) пусть w(r) — р(и,т) — 2тг-периодическая по т с нулевым средним вектор-функция, которая удовлетворяет уравнению Рассмотрим вопрос о разрешимости построенных задач. Усредненная задача (1.3.2) по условию имеет решение г о- Подставляя его в выражение (1.3.7), найдем v\. Следующие коэффициенты разложения (1.3.3) однозначно определяются из линейных уравнений (1.3.13) и (1.3.16) при к = 1,2 и т.д.

Построение формальной асимптотики

произвольное натуральное число. Пусть Gi, г = 0,1 — ограниченные области в пространстве Шп, Qi = {е,т: є є Go х G\, г Є К.} и П2 = {и,т: и(?о,т1}. Предположим, что вектор-функции /о(е,т) определены на множестве Qi и вектор-функции /і (и, г) заданы на множестве S"22J принимают значения в R" и удовлетворяют следующим условиям: 1) ИХ КОМПОНеНТЫ foj{e,T) И flj(u,r) (1 j її) Непрерывны, 27Г- периодические по переменной г, имеют непрерывные производные любого порядка по е и и соответственно; Для простоты мы рассматривали уравнения (2.1.1), но аналогичным і ; образом можно исследовать уравнения вида(2.3.1). Мы ограничимся лишь описанием построения формальной асимптотики периодического решения уравнения (2.3.1) и формулировкой соответствующей теоремы 2.3.1 (см. ниже). Доказательство последней аналогично доказательство леммы 2.2.1. Асимптотическое разложение 27го;-1-периодического по т решения задачи (2.3Л) будем искать в виде где щ — векторы En, a V{(r) — 2тг-периодические вектор-функции со значением в Ж", имеющие нулевые средние. Как и в п. 1 2, подставим в уравнение (2.3.1) вместо ки выражение (2.3.3), (2.3.4) и разложим нелинейные члены /о и /і в ряды Тейлора по переменным и и е. В результаты приходим к следующим равенствам: Применяя операцию усреднения к (2.3.12), получим равенство Ф(ио) = 0, которое по условию выполнено. С учетом леммы 2.2.1 п. 1 2, решение задачи (2.3.12) представим в виде Найдя из (2,3,21) щ-2 и подставив его в (2.3.20), находим Vk+i. Рассмотрим вопрос о разрешимости построенных задач. Усредненная задача (2.3.2) по условию имеет решение щ. Подставляя его в выражение (2.3.9), найдем v$. Следующие коэффициенты разложений (2.3.3) однозначно определяются из линейных уравнений (2.3.19) и (2.3.21) при к = 3,4 и т.д. к 2. Обозначим через Wu к-ую частичную сумму асимптотического ряда (2.3,3), т.е. Справедливо следующее утверждение. Теорема 2.3.1. Существует такое положительное число ш$, что при ш шо уравнение (2.3.1) имеет 2ігш 1-периодическое решение иЫ} для которого справедливо равенство и асимптотическое разложение (2.3.3). При этом для любого натурального к найдутся такие положительные числа ( и ш , что при w 0 справедлива оценка зир\иМ-Цґ„(і)\ ;ски;-3 2. Определение коэффициентов асимптотики (2.3.3) сводится к решению двух типов задач: систем алгебраических уравнений вида Ф (щ)и = ЙС невырожденной матрицей Ф (щ) И задачи о 27г-периодических решениях с нулевым средним ((v) = 0) для систем дифференциальных уравнений вида где х 2тг-периодические вектор-функции с нулевым средним. / \ Теорема 2.3.1 доказывается аналогично теореме 2.2.1.

При этом, в частности, используется тот факт, что обратимость матрицы Ф (ио) эквивалент- , где Е — единичная матрица на обратимости матрицы размера п. В этом параграфе рассмотрена задача система дифференциальных уравнений n-го порядка вида где ш — большой параметр. Пусть D — ограниченная область в пространстве Rn, f = {(%т) - и — (ui,U2, .,ип) Є D, т Є К}. Предположим, что вектор-функции /о (и, г) и /і(и, г) определены на множестве Q, принимают значения в W1 и удовлетворяют следующим условиям: 1) ИХ КОМПОНеНТЫ /оі(и,т) И fli(u,r) (1 2 Ті) непрерывны, 27Г- периодические по переменной г и непрерывно дифференцируемы по и = (ui,щ,.-.)«п) кроме того, имеют непрерывные производные по и любого порядка; 2) средние {/и)(и) = {/ii(w,r)) функции fu(u,r) по т равны нулю: 3) пусть го(т) = (и,т) — 27г-периодическая по г с нулевым средним вектор-функция, которая удовлетворяет уравнению (см. лемму 3.1.1 ниже), то уравнение где —J V7 1") — / —5 Vn i7")) назовем усредненным и Пред положим, что оно имеет стационарное решение v = щ, то есть для вектор-функции где Uj — векторы R", a г і(т) — 27г-периодические вектор-функции со значениями в Е", имеющие нулевые средние. Уравнения для определения членов ряда получаются путём подстановки разложения (3.1.2) в уравнении (3.1.1). Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях о», приходим к следующим равенствам: В дальнейшем нам потребуется следующее известное утверждение, которое при п = 1, т.е. для уравнений первого порядка, мы использовали в главе I. Отыскав из (3.1.15) щ, и подставив его в (3.1.14), найдём v +i. Рассмотрим вопрос о разрешимости построенных задач. Усреднённая задача (3.1.7) по условию имеет решение щ. Подставляя его в (3.1.5), найдём vi. Следующие коэффициенты разложения (3.1.2) однозначно определяются из линейных уравнений вида (3.1.13) и (3.1.15) при к = 1,2,... Поскольку подстановка к-ой частично суммы ряда (3.1.2) в уравнение (3.1.1) приводит к невязке О (и к 1 2), ш - со, то ряд (3.1.2) является формальным асимптотическим решением уравнения (3.1.1). Мы выше установили, что коэффициенты щ, v{ ряда (3.1.2) эффективно определяются.