Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Математическое описание теплофизических процессов в печах вторичного рафинирующего переплава 36
1.1. Уравнения неразрывности, движения, энергии 36
1.2. Система уравнений, описывающих движение жидкой среды и теплообмен 43
1.3. Начальные и граничные условия 45
1.4. Математическое описание теплофизических процессов ВРП
с радиальным расположением электродов 47
1.5. Математическое описание теплофизических процессов печиЭШП... 53
1.6. Уравнения теплообмена в ОМС с жидкометаллическим теплоносителем 60
1.7. Математическое описание теплофизических процессов в печи
ВДП 64
Выводы к главе 1 69
Глава II. Модели теплообмена в ОМС с учетом гидродинамики 71
2.1. Теплообмен в ОМС с не жидкометаллическими средами 72
2.2. Теплообмен в ОМС с жидкометаллическими средами 85
Выводы к главе II 92
Глава III. Численное моделирование теплофизических процессов ВРП 94
3.1. Смешанная задача для системы операторов 95
3.2. Схема численного решения уравнений 97
3.3. Алгоритм численного решения уравнений теплообмена 99
3.4. Анализ устойчивости разностной схемы 102
3.5. Оценка на адекватность математической модели теплофизических процессов 105
Выводы к главе III 110
Глава IV. Оптимизация процесса переплава методами математического моделирования 112
4.1. Расчет оптимального комплекса силы тока, диаметра электрода, глубины ванны 112
4.2. Определение зависимости глубины ванны от скорости охлаждающего теплоносителя и толщины стенки кристаллизатора 115
4.3. Определение оптимальной толщины стружки, снимаемой с боковой поверхности слитка 116
4.4. Оптимальное управление режимом выведения усадочной раковины слитка 125
4.5. Получение однородной структуры слитка путем электромагнитного перемешивания 128
4.6. Оптимальное управление ОМС расходом одной из сред 130
4.7. Математическое моделирование затвердевания поверхностных слоев слитков 136
4.8. Кинетика зародышеобразования 142
4.9. Обсуждение результатов расчета 145
4.10. Исследование дендритной структуры поверхностных слоев слитков 152
Выводы к главе IV 157
Глава V. Математическая модель напряжённо-деформированного состояния слитка 161
5.1. Тензор напряжений и уравнения равновесия 162
5.2. Тензор деформаций и уравнения совместности деформаций 164
5.3. Девиаторы напряжений и деформаций 165
5.4. Линейно-упругая определяющая зависимость 166
5.5. Определяющие уравнения для линейной термоупруговязкой среды 167
5.6. Пластическая деформация и условие текучести 168
5.7. Определяющие уравнения при упруго-пластической деформации... 169
5.8. Уравнения напряжённо-деформированного состояния слитка 169
5.9. Потенциальная функция перемещений 171
5.10. Алгоритм численного решения системы уравнений 172
5.11. Окружные напряжения в осевой зоне слитка 173
5.12. Локализация деформации в поверхностном слое слитка 177
5.13. Анализ условий зависания слитка на пояске 182
Выводы к главе V 183
Глава VI. Экспериметальные исследования переплавных процессов 186
6.1. Технология вакуумного дугового переплава 187
6.2. Эмпирические модели газового режима при ВДП 192
6.3. Упрощенные модели теплового режима при ВДП 198
6.4. Методика экспериментальных исследований 199
6.5. Температура стенки кристаллизатора 200
6.6. Влияние подачи гелия в зазор между слитком и стенкой кристаллизатора 201
6.7. Температура стенки кристаллизатора в зоне контактного пояска...207
6.8. Температура стенки кристаллизатора в электродной зоне 209
6.9. Теплоотвод через поддон кристаллизатора 214
6.10. Эмпирическая оценка температуры поверхности слитка ВДП 215
6.11. Оценка температурного градиента в краевой зоне слитка ВДП 218
6.12. Оценка количества тепла, аккумулированного электродом 220
6.13. Оценка потерь тепла путем излучения с боковой поверхности электрода 221
6.14. Оценка потерь тепла излучением с зеркала ванны 222
6.15. Расчет потерь тепла в результате утечки тока с боковой поверхности электрода 223
6.16. Определение неизвестных коэффициентов є3, єв, qy 224
6.17. Оценка глубины и формы жидкой ванны 225
6.18. Методика определения механических свойств слитка 232
Выводы к главе VI 236
Заключение 238
Библиографический список
- Система уравнений, описывающих движение жидкой среды и теплообмен
- Теплообмен в ОМС с жидкометаллическими средами
- Алгоритм численного решения уравнений теплообмена
- Определение зависимости глубины ванны от скорости охлаждающего теплоносителя и толщины стенки кристаллизатора
Введение к работе
Актуальность проблемы. Металлургия базовая отрасль промышленности, где высокотемпературное оборудование является основным потребителем энергетических и сырьевых ресурсов. Поэтому особую актуальность приобретает проблема экономии используемых ресурсов путем углубления фундаментальных научных исследований и выработки на их основе новых технологических решений, совершенствования действующих пирометаллургических установок, внедрения методов их интенсификации и управления.
Расширяются инвестиции по финансированию автоматизированных и экологически чистых электросталеплавильных комплексов. Выплавка стали в России в 2003 г. составила 62,7 млн. т, на 2010 г. прогнозируется 70...72 млн. т. Производство электростали от этого объема составляет 16,70%.
Особое место в производстве высококачественных сталей и сплавов занимают вторичные рафинирующие переплавы: вакуумно-дуговой, электрошлаковый, плазменно-дуговой, электронно-лучевой эти процессы являются конечными в технологической цепи производства стали. Именно в результате этих переплавных процессов формируется микроструктура, происходит рафинирование и доводка стали до требуемых потребительских свойств. Технологические режимы рафинирующих переплавов определяются теплофизическими процессами, необходимость рассмотрения которых диктуется тем, что формирование слитка является агрегатным превращением при высоких и градиентах температуры как в самом слитке, так и элементах переплавных печей.
В связи с наметившимся увеличением производства качественной электростали, возникла необходимость теоретического обоснования вновь создаваемых промышленных процессов, оптимизации существующих технологических режимов, синтеза систем управления им. Рафинирующие переплавы требуют особого теоретического обоснования так как они обеспечивают особые качества сталям и сплавам. За последние годы явно ощущается дефицит в теоретических разработках этих процессов. В настоящее время нет обобщающей математической модели теплофизических процессов рафинирующих переплавов, позволяющей рассматривать процессы теплообмена с движущимися средами в широком диапазоне изменения начальных и граничных условий, параметров технологических режимов. Разработке теоретического обоснования вторичных рафинирующих переплавов, получению обобщающих математических моделей теплофизических процессов в них посвящена данная работа.
Работа выполнялась в соответствии с научно-техническими направлениями и программами ЮУрГУ, Министерства образования и науки РФ, с отраслевыми планами Министерства черной металлургии. При исследовании теплофизических процессов в распределенных системах были выполнены по научному направлению «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» темы:
Математическое описание процессов теплообмена в противоточных теплообменных аппаратах. Вывод уравнений. Численное решение (№ 270). По научному направлению «Металлургия черных, цветных и редких металлов» выполнены темы: Математическое моделирование и управление процессов тепло-и массообмена в туннельной печи (№ 286). Исследование методами математического моделирования зависимости качества слитков от диаметра электрода и температурного поля ВДП (№ 79/98). Математическое моделирование зависимости качества слитков ВДП от термонапряжений (№ 81/96). Исследование особенностей кристаллизации поверхностной зоны слитков (№ МТ 2844-85).
- Математическое моделирование теплофизических процессов при ЭШП выполнялась при поддержке гранта Президента Российской Федерации МД 101.2003.08.
Объектами исследования являются пирометаллургические печи для получения высококачественных, жаростойких сталей и сплавов. Вакуумные дуговые печи (ВДП), электрошлаковые (ЭШП), вакуумные двухэлектродные (ВДЭП), плазменные дуговые (ПДП) в сфере металлургического производства образуют целую отрасль специальной металлургии.
Постановка задач, направленных на совершенствование тепловой работы изучаемых печей в значительной степени определяется спецификой протекающих в них технологических процессов. ЭШП, ВДП, ВДЭП являются высокоэффективными рафинирующими процессами, так как они повышают общую чистоту металла, снижают содержание в нем вредных примесей, устраняются ликвационные и усадочные дефекты, повышают служебные характеристики металла. Однако номенклатура сталей и сплавов, производимых для отраслей новой техники настолько широка и многообразна, а уровень требований к применяемому материалу настолько высок, что металлурги вынуждены продолжать поиски новых технологических режимов, процессов, обеспечивающих возможность производства сталей и сплавов новых, более сложных композиций, более эффективных условий энергосбережения и интенсификации рассматриваемых металлургических установок. Решение этих задач требует глубокого изучения сущности протекающих в них теплофизических процессов, создания научных методов их развития.
Быстрое, эффективное решение этих задач можно получить только на основе фундаментальных исследований методами математического моделирования теплофизических процессов, протекающих в переплавных печах, с применением современной вычислительной техники.
Разработка математических моделей теплообмена в переплавных печах и обоснование новых технических и технологических решений, оптимизация систем управления имеют существенное значение для ускорения научно-технического прогресса в спецметаллургии.
Целью работы является повышение эффективности работы высокотемпературных металлургических переплавных установок на основе результатов математического моделирования теплофизических процессов.
Основные задачи исследования:
Теоретическое обобщение методов анализа, расчета теплофизических процессов по всем зонам переплавных установок в целом.
-разработка и совершенствование инженерных методов расчета высокоэнергетических установок в направлении учета движения в них сред и теплообмена между ними;
-создание многомерных математических моделей сложного теплообмена между жидкометаллическими теплоносителями в металлургических переплавных печах;
-получение эффективных алгоритмов численного моделирования теплообменных процессов, устойчивых и быстродействующих при реализации;
- расчетно-теоретическое исследование влияния элементов конструкций и режимных параметров на показатели теплообмена в высокотемпературных металлургических печах с целью выявления рациональных условий их эффективной эксплуатации;
-проведение экспериментальных теплотехнических исследований переплавных процессов на промышленных установках с целью выявления особенностей их работы, получения необходимых параметров для построения математических моделей и оценки их адекватности;
-разработка и внедрение эффективных тепловых режимов, конструкций, методов управления работой действующих и вновь проектируемых переплавных металлургических установок на основе результатов математического моделирования высокотемпературного теплообмена.
Методы исследования. В работе использовались теоретические методы, включающие научный анализ теории тепломассообмена, математическое моделирование с применением современных средств вычислительной техники, экспериментальные исследования в лабораторных и промышленных условиях согласно действующим стандартам с привлечением современных методик и средств измерений основных теплотехнических параметров.
Достоверность полученных результатов обеспечивается использованием современных методов исследований в области тепло- и массообмена, базирующихся на фундаментальных законах сохранения массы, энергии, импульса, уравнениях математической физики, теории подобия, методов решения сеточных уравнений, теории динамики сплошных сред.
Использованием методов математического моделирования, численных и натурных экспериментов, доказательством существования и устойчивости разностных схем. Обоснованность подтверждается:
• экспериментальной проверкой полученных математических моделей;
• сопоставлением теоретических результатов с опытными лабораторными и промышленными экспериментами;
• внедрением математических моделей в производство.
Научная новизна и положения, выносимые на защиту. Теоретическое обобщение теплофизических процессов в объектах многослойной структуры (ОМС) на основе которого:
1. Разработаны новые и усовершенствованы существующие инженерные расчеты сложного теплообмена в многослойных по радиальной и продольной координатам системах между движущимися средами в переплавных металлургических печах ВДП, ЭШП, ВДЭП, включающие в себя:
- методику расчета теплообмена с учетом градиента скоростей в средах;
- методику расчета теплообмена с учетом потока тепла в направлении оси движения обусловленного турбулентной и молекулярной теплопроводности в жидкометаллических средах;
- методику вычисления частотных и переходных характеристик процесса теплопередачи для использования их в системах управления;
- методику выбора разностных схем при решении смешанных систем дифференциальных уравнений в частных производных высокого порядка, описывающих теплообмен в ОМС;
- доказательство устойчивости разностной схемы;
- методику расчета зависимости глубины конической части жидкой ванны от силы тока и диаметра электрода.
2. Впервые разработаны принципиально новые математические модели теплофизических процессов в высокотемпературных металлургических установках как объектах многослойной структуры:
- математическая модель теплофизических процессов при ВДП;
- математическая модель теплообмена в установках ВДЭП;
- математическая модель теплообмена при ЭШП.
3. На основе разработанных моделей теплофизических процессов как базовых получен целый комплекс математических моделей по оптимизации переплавных процессов с целью увеличения выхода товарного металла:
- математическая модель оптимального управления вывода усадочной раковины в головной части слитка;
- математическая модель формирования кристаллической структуры поверхностных слоев слитка;
- математическая модель зависимости толщины снимаемой стружки слитка от среднего расстояния в зазоре между дендритами;
- математическая модель формирования мелкодисперсной кристаллической структуры слитка с вращением жидкометаллической ванны.
4. Впервые получены расчетные оценки термоусадочных характеристик в формируемых слитках в любой момент времени наплавлення и любой точке с целью прогноза образования трещин, назначения параметров технологических режимов для дальнейшего передела слитков (ковка, прокатка). Получены условия зависания слитка на контактном пояске в кристаллизаторе.
5. Комплексы программ для компьютерного обеспечения алгоритмов численного математического моделирования.
Личное участие автора в получении представленных научных результатов Все приведенные в диссертации основные положения, теоретические результаты и выводы получены лично автором или при непосредственном участии и под его научным руководством. Автору принадлежит постановка проблемы и решение задач исследования, обработка и обобщение полученных результатов, личное творческое участие и руководство всеми этапами реализации численных методов на ЭВМ, физических лабораторных и промышленных экспериментов. Некоторые задачи решались при участии П.В. Ефимова, М.С. Бугаева, Л.М. Пучкова, Г.А. Хасина. Большое влияние на формирование проблемы и некоторую помощь в ее решении оказали профессор Б.Н. Девятое, профессор Н.Д. Демиденко, профессор Е.В. Торопов.
Практическая значимость и реализация результатов работы
1. Разработаны и реализованы научно-обоснованные методы инженерных расчетов теплофизических процессов в коаксиальных трубчатых аппаратах с движущимися средами, включающая математические модели тепломассообмена, основанные на системах дифференциальных уравнений в частных производных высокого порядка, законов сохранения массы и энергии импульса. Все расчеты представлены в виде алгоритмов с программным компьютерным обеспечением.
2. Рассчитаны оптимальные режимы тепломассообменных процессов в тунельных печах по сушке пористых материалов и внедрены на ЛПК г. Красноярска.
3. Разработаны и внедрены в производство оптимальные режимы технологии переплавных процессов при ВДП на Златоустовском металлургическом заводе Минчермета.
Полученные математические модели теплофизических процессов в ОМС и предложенные на их основе технологические решения позволили:
- оптимизировать технологию вакуумной дуговой плавки, в результате чего удалось:
• при оптимальных значениях силы тока и диаметра электрода увеличить производительность переплава на 7...13% в пределах того же качества металла слитка;
• рассчитать оптимальные режимы вывода усадочной раковины, реализация которых позволила повысить на 5% выход годного сплава;
• снизить энергозатраты на 14%;
• получить вакуумный дуговой металл с большей кристаллической однородностью;
- спрогнозировать влияние термонапряжений на формирование поверхностных слоев слитка;
- расширить теоретические представления о динамике теплофизических процессов в ОМС с капиллярно-пористой структурой.
Переданы в производство программные комплексы «ТЕПЛО 8», «ШЛАК», «ТЕПЛО 9».
4. Получены расчетные зависимости между температурными полями газожидкостной системы в теплообменных аппаратах холодильной установки, что позволило сократить на 20% число отказов в ее работе. Результаты внедрены на ООО «Завод сложной бытовой техники ПОЛЮС-М».
5. Разработана математическая модель формирования кристаллической структуры поверхностных слоев слитка и программный комплекс «Кристалл Слой» переданы ОАО ЗМК, ОАО «Завод Булат». Использование компьютерного расчета момента доливки «холодного» металла сокращает время на подготовку производства металла. В результате улучшается качество поверхностных слоев, увеличивается выход годного металла на 2...3%.
6. Результаты исследования некоторых теплофизических процессов апробированы в учебном процессе, опубликовано учебное пособие «Математические модели теплофизических процессов при вакуумном дуговом переплаве» для студентов, обучающихся по специальностям 110300 - «Теплофизика, автоматизация и экология промышленных печей», 110100 - «Металлургия черных металлов». Учебное пособие объемом 10,23 печатных листов издано с грифом УМО по образованию в области металлургии.
Апробация работы и публикации
Основные результаты работы доложены и обсуждены на Международных, Всесоюзных, Российских и Межвузовских конференциях, симпозиумах и совещаниях:
Юбилейной конференции по итогам научных исследовательских работ СТИ, Красноярск, 1967; Второй Межвузовской конференции по автоматизации химических производств, Москва, 1968; Вузовской конференции по итогам научно-исследовательских работ, Красноярск, СТИ, 1969; Межвузовской конференции по автоматизации химических производств, СТИ, 1971; Научно- технической конференции молодых ученых, Красноярск, СТИ, 1976; IX научно- технической конференции «Неразрушающие методы контроля», Киев, 1976; IV Всесоюзной конференции «Современные проблемы электрометаллургии стали», Челябинск, ЧПИ, 1980; Научно-технической конференции «Совершенствование машиностроительных материалов, конструкций машин и методов обработки деталей», ЧПИ, ЧГТУ, ЮУрГУ, 1978, 1980, 1995, 1996, 2000; Второй Всероссийской ФАМ конференции, Красноярск, ИВМ СОР АН, 2003; VI Международной конференции ВМТ г. Курск, 2003; III Международной конференции «Математическое моделирование в образовании, науке, производстве» г. Тирасполь, 2003; III Региональной научно-технической конференции, г. Магнитогорск, 2004; XII Международной конференции «Современные проблемы электрометаллургии стали», г. Челябинск, 2004; Международной научно-технической конференции «Компьютерное моделирование - 2004», Санкт-Петербург, 2004.
По материалам диссертационной работы опубликовано 48 печатных работ, 1 монография, 1 коллективная монография.
Структура и объем работы
Диссертация состоит из введения, шести разделов, выводов. Основное содержание изложено на 308 страницах машинописного текста, включая 28 таблиц и 56 иллюстрации. В списке литературы приведено 219 наименований работ отечественных и зарубежных авторов, приложения.
Система уравнений, описывающих движение жидкой среды и теплообмен
Для определения полей трех зависимых переменных {в, р, w) располагаем тремя основными уравнениями: уравнением энергии, уравнением движения и уравнением неразрывности. Однако в эти уравнения помимо в, р, и w входят физические свойства р, ср, р, Л, которые в общем случае зависят от в и р и поэтому могут изменяться в пространстве и времени. Кроме того, в уравнение энергии входит мощность внутренних источников тепла qv, также зависящая в общем случае от координат и времени. Следовательно, чтобы замкнуть систему уравнений, к трем основным уравнениям необходимо добавить зависимости физических свойств жидкости (А ср, р, Л) от 9 и р и зависимость qv от координат и времени. Из сказанного видно, что система уравнений, описывающая процесс теплообмена в потоке вязкой жидкости с переменными физическими свойствами, очень сложна, и ее решение в общем виде связано с большими трудностями. Эти трудности вызваны нелинейностью уравнений движения и энергии, обусловленной наличием конвективных членов в их левой части, и зависимостью физических свойств жидкости от температуры. Вследствие зависимости ju, р от в, поля скорости и температуры оказываются взаимно связанными. Поэтому уравнения движения и неразрывности нельзя решать независимо от уравнения энергии.
Задача существенно упрощается, если предположить, что р и р постоянны. В этом случае уравнения движения и неразрывности становятся независимыми от уравнения энергии и поле температуры не оказывает никакого влияния на поле скорости. Последнее можно определить, решив уравнения движения и неразрывности (как и в случае изотермического движения). Подставив найденное распределение скорости в уравнение энергии, можно вычислить поле температуры.
Предположение о постоянстве физических свойств существенно упрощает систему уравнений, благодаря чему становится возможным решение многих задач конвективного теплообмена. Вместе с тем это предположение ограничивает область применения получаемых результатов такими реальными процессами, в которых физические свойства жидкости изменяются незначительно. Тем не менее задачи о теплообмене при постоянных физических свойствах представляют большой интерес, так как позволяют выявить основные закономерности, присущие различным процессам теплообмена. В дальнейшем нам понадобятся уравнения энергии, движения и неразрывности, записанные в цилиндрических координатах. Для двумерного осесимметричного движения вязкой несжимаемой жидкости с постоянными физическими свойствами эта система уравнений имеет вид:
Приведенные в этой главе уравнения энергии, движения и неразрывности для нестационарных полей температуры, скорости и давления справедливы как при ламинарном, так и при турбулентном движении. Стационарные процессы движения и теплообмена, при которых действительные значения зависимых переменных (в, w ир) в каждой точке потока не изменяются во времени, возможны только при ламинарных течениях. В турбулентном потоке значения скорости, температуры, давления непрерывно случайным образом изменяются во времени.
Если в уравнениях (1.15) и (1.16) положить d/dr = 0, то получим соответствующие системы уравнений для стационарных процессов конвективного теплообмена и движения жидкости.
Если в процессе конвективного теплообмена участвуют две и более взаимодействующие среды, то уравнения (1.16) запишутся для каждой среды. В правой части уравнения энергии появятся слагаемые с коэффициентами физических свойств сред теплопередачи, умноженными на разности температур взаимодействующих сред в соответствии с законом Фурье.
При выводе уравнений энергии, движения и непрерывности отвлекаются от конкретных условий, в которых осуществляется движение жидкости и процесс теплообмена. Между тем формирование полей температуры, скорости и давления существенно зависит от конкретных условий, в которых эти процессы протекают. Поэтому для решения задач о движении жидкости и теплообмене к основным уравнениям необходимо присоединить ряд условий, конкретизирующих задачу. Эти условия подразделяются на начальные и граничные.
Начальные условия состоят в задании полей скорости, температуры и давления во всем объеме рассматриваемой области (в том числе и на ее границах) в начальный момент времени. Если процессы движения и теплообмена стационарны, то надобность в задании начальных условий отпадает.
Граничные условия сводятся к заданию геометрической формы рассматриваемой области и условий движения жидкости и теплообмена на ее границах. Границы области могут быть как твердыми (поверхности твердых тел, омываемых жидкостью), так и жидкими.
Граничные условия для скорости на твердой непроницаемой поверхности задаются, исходя из положения о прилипании вязкой жидкости к этой поверхности; поэтому скорость жидкости на поверхности неподвижного непроницаемого твердого тела равна нулю.
Граничные условия для температуры на поверхности непроницаемого твердого тела формулируются, исходя из положения о непрерывности поля температуры на границе жидкость — твердое тело (стенка), которое можно записать следующим образом: 0L=0cU, (1.18) где в — температура жидкости; вс —температура стенки; п — нормаль к границе раздела жидкость — стенка, направленная в сторону жидкости (п О — область жидкости, п О — область стенки). Если на границе раздела жидкость — стенка не выделяется и не поглощается тепло, то по закону сохранения энергии плотность теплового потока в стенке на границе раздела должна быть равна плотности теплового потока в жидкости на той же границе. Поскольку жидкость на границе неподвижна, то перенос тепла в жидкости на этой границе осуществляется только теплопроводностью. Поэтому согласно закону Фурье Чс= К-г- =- Я , (1.19) где qc — плотность теплового потока на границе жидкость — стенка; Л и Лс — коэффициенты теплопроводности жидкости и стенки.
Уравнения (1.18) и (1.19) называются условиями сопряжения температурных полей в жидкости и стенке.
Положения об отсутствии проскальзывания жидкости на поверхности твердого тела и о непрерывности температурного поля на границе жидкость — твердое тело хорошо подтверждаются опытом для различных жидкостей и газов (исключение составляют сильно разреженные газы) и конденсирующий газ.
Теплообмен в ОМС с жидкометаллическими средами
Жидкометаллические теплоносители, применяемые в энергетике, имеют ценные свойства, отличающие их от воды, органических теплоносителей. Прежде всего они имеют высокую температуру кипения, что позволяет их нагревать до 500...600 С, тем самым получать водяной пар высоких параметров во вторичном контуре.
Для подготовки электродов для переплава ВДП, ЭШП расплавленный металл по технологии подается в водоохлаждаемые изложницы или разливочные машины. Для расчета температурных режимов, скоростей подачи расплава и других параметров возникают задачи по разработке математических моделей теплообмена между средами с жидкометаллическим теплоносителем. Жидкие расплавы обладают высокой теплопроводностью, обеспечивающей большие значения коэффициентов теплоотдачи. Например, при движении жидкого металла в кристаллизаторе печи ВДП в зоне контактного пояска коэффициент теплоотдачи достигает величины 3500 Вт/м2-град. Высокая теплопроводность определяет поток тепла в направлении движения. Поэтому в математических моделях теплообмена следует учесть продольную молекулярную, турбулентную теплопроводность.
Рассмотрим непрерывно протекающие технологические процессы, описываемые уравнениями (1.43) в частных производных с диффузионными членами, которые характеризуют величину потока тепла, массы, обусловленную теплопроводностью или диффузией.
По структуре матрицы В ничего нельзя сказать об области локализации собственных чисел. Проблема нахождения характеристического спектра для таких матриц остается открытой.
Рассмотрим частный случай данной задачи, когда система уравнений (2.24) состоит из двух операторов. Этому описанию соответствует двухфазный процесс, при котором среды двигаются с одинаковыми скоростями в сечении аппарата. Отсутствие градиента скоростей можно наблюдать при развитом турбулентном течении в трубчатых аппаратах, в слое насадки. Остановимся более подробно на этом широко распространенном в практике случае.
Пунктирные кривые соответствуют процессу с идеальным вытеснением сред, а остальные — процессу с учетом продольного потока тепла, — обозначены экспериментально полученные данные. АФХ рассчитывались при двух режимах с целью выяснения влияния интенсивности протекания процесса на смешение сред. Условия проведения эксперимента были следующими [481: w\-616 м/ч, .-1 ГЛ _11 ,..2/.. _Л _п _п )._тш -I , = 138 ч , Аэ = 11,1 м7ч, / = 2 м, w2 = Дь = 0, к2=3\0 ч" кх = 1258 ч Параметры интенсивного процесса: W\ = 8000 м/ч, к2 = 1365 ч-1, Аэ = 28,6 м2/ч, / = 2м. по методу, Построение экспериментальных АФХ осуществлялось приведенному в работе [49].
Из расчетных данных следует, что при низких частотах влияние продольного потока тепла сред незначительно. Это значение частот соответствует выходу процесса на стационарный режим. При увеличении частот, в рассматриваемом примере около частоты 600 ч-1, расхождение как в усилении, так и фазе резко возрастает.
При интенсивном режиме расхождение сдвигается в сторону увеличения частоты, в примере это наблюдается около частоты 1900 ч-1. Высокие частоты, как известно, соответствуют начальному участку переходной кривой, поэтому несовпадение переходных характеристик с учетом и без учета смешения сред происходит в начальном отрезке времени. Поэтому в зависимости от параметров процесса значительное расхождение между двумя математическими моделями наступит при некоторой частоте. И если эта частота попадает в область, меньшую частоте среза объекта, то учет фактора смешения становится необходим.
Для численного моделирования теплообмена с учетом продольного потока тепла в жидкометаллических теплоносителях матричная система дифференциальных уравнений в частных производных (2.24) интегрировалась комбинированным методом, по которому с помощью конечных разностей система была заменена системой обыкновенных дифференциальных уравнений.
Необходимые данные для расчета были получены из физического процесса, протекающего в теплообменнике из трех секций. Длина каждой секции 4,32 м, толщина стенки внутренней латунной трубы ,= 0,15 мм, а внешней — 52= 0,20 мм, внутренний диаметр внешней трубы d\ = 27 мм, внутренний диаметр внутренней трубы d2 = 19 мм. Объемные скорости горячей воды Q\ = 12 л/мин, холодной — Q2 = 19 л/мин. Полученные параметры уравнений имели следующие значения: / = 12,96 м, w{ = 0,705 м/с, w2 = 1,122 м/с, а і = 2,077, а2 = 1,294, ті = 0,614, г2 = 0,386.
Шаг по х g = 0,02439. Величина коэффициентов Дэ и Д э рассчитывалась по формуле )э = 1,0044 Re7/V, полученной из результатов Тейлора.
В стационарном режиме расчетные кривые совмещены с экспериментальной кривой. Это значит, что параметры объекта рассчитывались, исходя из условий совпадения стационарных характеристик. Расчеты проводились в вычислительном центре Сибирского отделения РАН.
Полученный в данной работе метод расчета динамических характеристик с учетом профиля скорости и потока тепла вдоль оси движения позволяет определять длину переходного участка или зону перемешивания, например, при непрерывной разливке стали. Для повышения производительности МНЛЗ сокращаются простои оборудования путем увеличения количества плавок в серии при работе методом «плавка на плавку». В одной серии разливают стали различных марок, в результате чего в слябе образуются переходные участки смешанного химического состава и увеличиваются потери металла в виде брака или перевода в пониженную марку. Поэтому прогнозирование длины зоны перемешивания разных марок сталей позволит сократить брак. При этом предполагается что перемешивание сталей происходит в канале для разливки без фазовых превращений. После кристаллизации участок перемешанных сталей вырезается из сляба.
Алгоритм численного решения уравнений теплообмена
Блок-схема алгоритма численного решения исходных уравнений (3.1)-(3.6) с использованием схемы расщепления (3.10) приведена на рис. 3.1.
В первом блоке предусмотрено введение в память компьютера исходных данных, всех теплофизических, геометрических параметров процесса ВДП, шагов дискретизации h, Аг, Дг разностной схемы. Во втором, третьем блоках вводятся начальные условия (3.4), т.е. распределения температуры в(т,и,0) в начальный момент времени г о вузлах {mh, иАг) плоскости хг, координата J верха наплавляемого слитка, координата Z, граница твердой и жидкой фаз в начальный момент времени для каждого коаксиального слоя и печи ВДП.
Координата J (блок 6) верха наплавленного слитка рассматривается как функция времени и зависит от скорости наплавлення w3. Наплавление заканчивается в определенный момент времени, и поэтому в блоке 4 предусмотрена проверка на окончание процесса наплавлення сравнением координаты J верха слитка с ее максимальным значением F.
Если процесс наплавлення не закончен, то в каждый следующий момент г + Дг времени пересчитываются граничные условия решения уравнений (значения температур в граничных точках по длине аппарата). Для всех коаксиальных слоев и аппарата задаются температуры в граничных точках с индексами: т = 0, что соответствует началу аппарата, т = J — верху слитка, m=J+ W— нижнему концу электрода, т = F— концу наплавлення.
В блоке 8 предусмотрена процедура расчета Z (и) координаты фазового перехода из жидкого в твердое состояние слитка. Расчет подвижной границы Z {и) осуществляется с помощью дискретизации уравнения (3.5) по переменной X для каждого коаксиального слоя и:
В блоках 9, 10 представлены процедуры расчета температуры в{т, и, п) для каждого коаксиального слоя и. Процедура представляет собой расчет температуры по общему уравнению системы (ЗЛО): С =. +Ar{±W(2//rfe+1,„ -С И«+,.. -1в1и +C.J+ где для одного значения и в процедуре рассчитываются последовательно температуры в1, для т = 0, 1,..., J в процедуре 8 для слитковой зоны аппарата, и для m = J+ W,...,F в процедуре блока 9 для электродной зоны. Используя методику работы [103], температуру в узловых точках (т + 1, и) и (т, и) таких, что mh Znu (т + \)h, пересчитывали в каждый момент времени Т = ПАТ. Это обусловлено тем, что подвижная граница Znu фазового перехода, имея постоянную температуру, оказывалась с течением времени на различных расстояниях от смежных узловых точек (т + 1, и) и (т, и). Поэтому температура в этих точках считалась по неявной разностной схеме с использованием переменных шагов дискретизации по оси X.
На рис. 3.1 приведена подробная блок-схема расчета температур в точках смежных с точкой Znu. Расчет осуществлялся по двум формулам в зависимости от того, перешла подвижная граница Znu узловую точку за момент времени Дг или нет (блок 15). Если перешла, то расчет осуществлялся по формуле в(т,щп) = в2- " тП (вж-Є(т-1,и,п)) Zu -(m-l)h блока 18, в противном случае — по формуле в (т, и, п) = \в (т, и, п -1) + т[кы ц_, в {in, и-1, п) + кии_х в (пг, и +1, п -1) + + 2а((Нхвх+Нувх)/(НхНу(Нх+Ну))\}/ {1 + Ат[ки +к +]+2а /(НхНу) блока 20. Здесь Hx=h, Hy=mh-Znu -Znu, вх=в{т + \,и,п), 0у=в2, если рассматриваемая смежная точка имеет координату, большую чем Z"u, и в противном случае HX=Z"U - mh, Ну =h, вх=в2, ву= в{т -1, и, п), где вг — температура в точке Znu. Индексное число MN, используемое в блок-схеме, равно т при условии, что mh Znu (т + \)h.
Анализ устойчивости разностной схемы
Устойчивость разностной схемы при наличии аппроксимации гарантирует сходимость решения разностной схемы к решению исходной системы дифференциальных уравнений [31]. Однако строгие исследования на устойчивость проводятся чаще всего на простых модельных примерах и представляют затруднения при анализе многомерных уравнений и уравнений высокого порядка. Поэтому очень часто результаты исследования на модельных примерах пытаются как-то перенести на более сложные примеры, откладывая окончательное решение вопроса об устойчивости до численных экспериментов [153].
Докажем устойчивость разностной схемы (ЗЛО). Для этого примем некоторые допущения.
Во-первых, введем в рассмотрение соотношение между пространственными шагами разностной сетки Аг и h как Ar = h/p. (3.15)
Это предположение оправдывается тем, что при численном решении конкретной разностной схемы типа (3.10) шаги дискретизации Аг и h выбираются постоянными. Во-вторых, рассмотрим зависимость коэффициента а от w вида w2 Аг а = аи + , где аи — коэффициент температуропроводности материала коаксиального слоя и. При w = 0 получаем зависимость а = аи, что соответствует коэффициенту температуропроводности неподвижного слитка, электрода и стенки кристаллизатора. В противном случае w = w{ (скорость движения воды), при 3ж2 А г аи = 0 получаем а = —-—. Выбор этой зависимости объясняется тем, что при а\ = 0 {ах« гх) разностная схема (3.10) аппроксимируется со вторым порядком относительно h _ wx2 AT при значении коэффициента а — —г— [31]. С другой стороны это соответствует и искусственному введению коэффициента турбулентной температуропроводности, учитывая который получаем неразрывное решение. В-третьих, получим некоторые ограничения на шаги дискретизации, учитывая монотонность рассчитываемой температуры в и.
Определение зависимости глубины ванны от скорости охлаждающего теплоносителя и толщины стенки кристаллизатора
Изменение скорости движения воды в 1,5 раза повлияло незначительно на распределение температур по слитку, на форму жидкой ванны и скорость кристаллизации. Изменение скорости воды в четыре раза привело к большим изменениям. На рис. 4.4 показано изменение глубины ванны с изменением скорости воды с 0,01 м/с до 0,16 м/с. Видно, что глубина ванны изменяется слабо, однако полная глубина ванны больше с меньшей скоростью воды при прочих равных условиях.
Слабую зависимость процесса кристаллизации от изменения скорости воды можно объяснить следующим: из-за хорошей теплопроводности медной стенки кристаллизатора вода при скорости w = 0,01м/с уносит определенное количество тепла в, нагреваясь до температуры вит. При скорости воды, например, в два раза большей, вода уносит примерно то же количество тепла вх=вг, нагреваясь до температуры 62 в{. Конечно, при W = 0,013M/4 коэффициент сс2Х теплоотдачи от стенки кристаллизатора к воде больше, нежели при W = 0,01M/4, но и время пребывания воды в рубашке кристаллизатора вдвое сократилось, так что в2=вх. Эти рассуждения верны, видимо, только для некоторого интервала изменения w и для вх 100С. Приведем выкладки, подтверждающие предыдущие рассуждения.
Количество тепла, уносимого водою, выражается формулой Q = a2l(0c -0B)-F. Коэффициент конвективной теплоотдачи oc2l= NuX D и Nu = 0,023 Re Pr . Подставлем число Re = — в формулу количества тепла, v получаем ( п\0 3 6 = 0,023 — Pr0A\Oc-eB)-F. \ У J Откуда видно что Q зависит от w слабо.
И особенно это утверждение верно для больших значений w.
Расчеты с варьированием толщины стенки кристаллизатора, показали слабую зависимость температурных полей слитка и формы жидкой ванны. По крайней мере, увеличение толщины стенки с 19 мм до 38 мм не привело к различимым результатам. Это и справедливо, так как известно, что наличие толстых стенок сказывается только на характере протекания переходных процессов, но не на характере теплового стационарного режима работы аппарата.
Поэтому при проектировании печи ВДП толщину стенки целесообразно выбирать из экономических соображений или соображений надежности и т.д., но не с целью улучшения качества слитка. С другой стороны температура стенки кристаллизатора, в отличие от рассмотренных ранее параметров, является, так сказать, выходной или наблюдаемой величиной. Знание температурных полей стенки позволяет судить о стабилизации или отклонениях других параметров процесса ВДП, что может быть использовано при создании автоматизированных систем управления процессом переплава.
На рис. 4.5 показано изменение температурных полей стенки при изменении силы тока и скорости охлаждающей воды. Видно, что температура стенки является чувствительным параметром к изменению управляющих параметров процесса ВДП. Увеличение температуры стенки с увеличением силы тока происходит вследствие увеличения теплосодержания слитка и, особенно, температуры поверхности слитка. А уменьшение температуры стенки с увеличением скорости воды — вследствие увеличения коэффициента теплоотдачи от стенки к воде.
Условия теплообмена на боковой и торцевой поверхностях слитка однозначно определяют его температурное поле и, следовательно, форму, размеры жидкой ванны. Одним из основных условий является геометрия системы — это диаметр кристаллизатора и электрода. В работе [157] отмечается, что экономически целесообразно применять кристаллизаторы возможно большего размера, ограничиваемого затратами на деформацию слитков, особенностями свойств стали и сплавов. Дополнительные возможности выхода годного металла усматриваются в увеличении длины слитков, а также в дальнейшем сокращении потерь металла в виде обрези и стружки. Найдем зависимость между толщиной стружки и диаметром электрода.
Температурное поле в печи ВДП во многом определяет условия формирования кристаллической структуры слитка, а тем самым качество готового металлического изделия.
