Содержание к диссертации
Введение
1 Проблема оптимального управления техническими объектами с распределенными параметрами 18
1.1 Содержательная постановка задач оптимального управления технологическими объектами с распределенными параметрами 18
1.2 Основные типы задач оптимального управления системами с распределенными параметрами 22
1.3 Современные методы теории управления системами с распределенными параметрами 25
1.3.1 Необходимые условия оптимальности в форме принципа максимума и его модификаций для различных моделей СРП 27
1.3.2 Метод моментов в задачах управления СРП 30
1.3.3 Численные методы в задачах оптимизации СРП 33
1.3.4 Методы синтеза замкнутых систем управления с распределенными параметрами 39
1.4 Проблема управляемости и наблюдаемости распределенных систем 42
1.5 Идентификация математических моделей СРП 48
1.6 Содержательная постановка задачи исследования 50
основные результаты и выводы 51
2 Точный метод решения краевых задач оптимального управления технологическими объектами с распределенными параметрами 52
2.1 Типовые модели распределенных объектов в задачах оптимального управления 52
2.2 Общая постановка краевой задачи оптимального управления ОРП 70
2.3 Анализ возможностей решения краевых задач оптимизации с помощью стандартных процедур принципа максимума Понтрягина 73
2.4 О двухточечных краевых задачах оптимального управления СРП 82
2.5 Целевые множества допустимых конечных состояний в бесконечномерном фазовом пространстве ОРП 86
2.6 Специальная процедура последовательной параметризации оптимальных управлений на множестве граничных сопряженных переменных 90
2.7 Принцип минимальной сложности -параметризованной структуры оптимальных программных управлений
2.8 Редукция к задаче управления конечномерной подсистемой уравнений модели СРП 100
2.9 Отображения на множество параметров в временной области определения программных управляющих воздействий ( А(5) - параметризация) 102
2.10 Редукция к задачам полубесконечной оптимизации 105
2.11 Организация вычислительных алгоритмов 107
Основные результаты и выводы 113
Оптимизация процессов технологической теплофизики 115
3.1 Оптимизация процессов термохимических взаимодействий при нагреве металлических изделий под обработку давлением 117
3.1.1 Постановка задачи минимизации потерь металла в окалину 118
3.1.2 Структура алгоритмов программного оптимального управления 122
3.1.3 Параметризация управляющих воздействий 124
3.1.4 Редукция к задаче полубесконечной оптимизации 127
3.2 Двухканальная оптимизация процессов индукционного нагрева 130
3.2.1 Постановка двухканальной задачи оптимального быстродействия 130
3.2.2 Точная редукция к задаче управления конечномерной подсистемой 132
3.2.3 Параметризованные алгоритмы оптимального управления 133
3.3 Оптимальное по быстродействию распределенное управление нестацио нарными процессами теплопереноса 138
3.3.1 Точное решение задачи быстродействия в классе двухпараметрических пространственно-временных управлений 139
3.3.2 Алгоритмы квазиоптимального по быстродействию управления при ступенчатых аппроксимациях линии переключения на пространственно-временной плоскости 147
3.4 Оптимальное управление непрерывными процессами индукционного нагрева металла 157
3.4.1 Проектирование нагревателя минимальной длины 159
3.4.2 Оптимизация процессов непрерывного нагрева с управлением по напряжениям питания индукторов нагревателя 193
3.5 Оптимальное управление процессом нагрева алюминиевых заготовок, вращающихся в магнитном поле постоянного тока 220
3.5.1 Инновационная технология нагрева алюминиевых заготовок перед прессованием 220
3.5.2 Математическое моделирование процесса нагрева алюминиевых заготовок, вращающихся в магнитном поле постоянного тока 222
3.5.3 Постановка и решение задачи оптимального по быстродействию управления 241
3.5.4 Решение задачи оптимального по быстродействию управления с учетом технологического ограничения на максимально допустимую температуру 246
3.6 Методы структурно-параметрического синтеза оптимальных по быстро
действию систем управления объектами технологической теплофизики 250
3.6.1 Синтез оптимальных по быстродействию систем управления с сосредоточенными управляющими воздействиями 251
3.6.2 Синтез оптимальных по быстродействию систем управления с распределенными управляющими воздействиями 262
Основные результаты и выводы 272
Оптимальное управление энерготехнологическими комплексами обработки металла давлением 276
4.1 Математические модели управляемых процессов 279
4.2 Общая постановка задачи совместной оптимизации 285
4.3 Современные методы решения задач оптимального проектирования и управления технологическими комплексами "нагрев - обработка давлением 287
4.3.1. Методы решения задачи на максимум производительности комплекса 287
4.3.2. Многопараметрические постановки задач оптимизации технологических комплексов "нагрев - обработка давлением" 293
4.3.3. Задача оптимального проектирования ИНУ в технологических комплексах "нагрев - обработка давлением" 295
4.4 Параметрическая оптимизация температурного профиля нагреваемой заготовки перед прессованием 299
4.4.1. Постановка задачи параметрической оптимизации температурного распределения по длине заготовки перед операцией прессования 300
4.4.2. Редукция к задаче математического программирования 301
4.4.3. Альтернансные свойства оптимального процесса изменения во времени температуры пластической зоны 304
4.4.4. Решение задачи параметрической оптимизации температурного распределения по длине заготовки перед операцией прессования 306
4.5 Оптимизация процессов индукционного нагрева в технологическом комплексе "нагрев - прессование" 319
4.5.1. Базовая задача оптимального по быстродействию управления процессом индукционного нагрева 319
4.5.2. Редукция к задаче полубесконечной оптимизации 320
4.5.3. Общая схема решения ЗПО применительно к двумерной модели температурного поля 324
4.5.4. Задача оптимального по быстродействию управления процессом градиентного нагрева цилиндрической заготовки в ИНУ периодического действия 337
4.5.5. Задача оптимального проектирования ИНУ периодического действия, реализующей процесс градиентного нагрева цилиндрических заготовок 347
4.6 Совместная оптимизация режимов индукционного нагрева и обработки металлов давлением 358
Основные результаты и выводы 366
Параметрическая идентификация математических моделей технологических объектов с распределенными параметрам 368
5.1. Современные подходы к решению обратных задач теплопроводности 368
5.2 Постановка граничной обратной задачи теплопроводности 372
5.3 Редукция к специальной задаче математического программирования 374
5.4 Решение граничной обратной задачи теплопроводности 379
Основные результаты и выводы 387
Заключение 388
Библиографический список 390
- Содержательная постановка задач оптимального управления технологическими объектами с распределенными параметрами
- Типовые модели распределенных объектов в задачах оптимального управления
- Постановка задачи минимизации потерь металла в окалину
- Задача оптимального проектирования ИНУ в технологических комплексах "нагрев - обработка давлением"
Введение к работе
Актуальность проблемы
Перспективы дальнейшего развития ведущих отраслей промышленности неразрывно связаны с повышением удельного веса энерготехнологических процессов, возрастанием их энерго- и материалоемкости. В этих условиях необходимо обеспечить достижение предельно возможных технико-экономических показателей работы промышленного оборудования, что требует разработки методов усовершенствования его конструкционных характеристик и соответствующей организации режимов функционирования, оптимальных по принятым критериям эффективности. Серьезные трудности, возникающие на этом пути, определяются высоким уровнем сложности большинства ответственных энерготехнологических процессов, функции состояния которых, прежде всего, характеризуются ярко выраженной неравномерностью их распределения в пределах пространственной области, занимаемой объектом.
Указанная проблема может быть решена в основных своих аспектах на базе современной теории и техники оптимального управления системами с распределенными параметрами (СРП). К числу СРП относится широкий круг управляемых объектов, охватывающих, как традиционные, так и новейшие технологии в самых различных областях техники. Практическая реализация таких технологий с требуемыми качественными показателями невозможна без построения соответствующих алгоритмов автоматического управления, что и явилось главным стимулом к созданию теории и методов управления СРП. Задачи оптимального управления СРП оказываются качественно более сложными по сравнению с аналогичными задачами управления системами с сосредоточенными параметрами в виду целого ряда принципиальных особенностей этих систем, связанных с пространственной распределенностью управляемых величин.
Начиная с основополагающих работ А.Г. Бутковского, к настоящему времени в теории управления СРП получен целый ряд фундаментальных результатов. Здесь можно, прежде всего, отметить работы Г.Л. Дегтярева, А.И. Егорова, Ю.В. Егорова, В.А. Коваля, Ж.-Л. Лионса, К.А. Лурье, И.М. Першина, В.И. Плотникова, Л.М. Пустыльникова, Э.Я. Рапопорта, Т.К. Сиразетдинова, А.В.Фурсикова, Ф.Л. Черноусько и многих других отечественных и зарубежных ученых.
В последние годы интерес к проблеме оптимального управления СРП значительно возрастает. Однако, общая теория управления СРП вынужденно оперирует абстрактными теоретическими схемами, в которые не вписываются практические требования и многие принципиальные особенности конкретных прикладных задач. Это приводит к абстрагированию от целого ряда принципиальных для прикладных задач факторов, учет которых необходим для получения приемлемых на практике инженерных решений. При этом СРП характеризуются практически неограниченным спектром существенных особенностей, что приводит к возникновению отдельных задач управления применительно к каждому классу исследуемых процессов. Эффективные решения таких задач могут быть получены только на основе адаптации общетеоретических результатов к конкретной предметной области и максимального учёта ее базовых физических закономерностей.
Одной из центральных проблем в теории управления СРП применительно к целому ряду прикладных задач, представляющих самостоятельный интерес, остается разработка конструктивных методов решения краевых задач оптимизации СРП по переводу объекта в требуемое конечное состояние с экстремальными значениями оптимизируемых показателей качества в целях построения алгоритмов программного управления и методики синтеза замкнутых систем с обратными связями. Широко распространенные на практике подходы к этой проблеме, базирующиеся на приближенных описаниях СРП в терминах систем с сосредоточенными параметрами, характеризуются рядом существенных недостатков или вообще оказываются неприемлемыми. Точные решения задач оптимального управления для исходных моделей технологических объектов с распределенными параметрами (ТОРП) по традиционной схеме с фиксированным правым концом траектории, игнорирующей особенности большинства прикладных задач, либо не могут быть получены даже теоретически, либо существуют в классе нереализуемых управляющих воздействий.
Это вызывает необходимость разработки новых эффективных и реализуемых на практике методов поиска алгоритмов оптимального управления в подобных задачах, учитывающих практически всегда существующие допуски на отклонение от номинальной точки, фиксируемой в исходной двухточечной схеме.
Диссертация посвящена разработке, теоретическому обоснованию, построению вычислительных алгоритмов и практическому применению нового конструктивного метода точного решения краевых задач оптимизации ТОРП с подвижным правым концом траектории в бесконечномерном фазовом пространстве координат системы, базирующегося на предлагаемом специальном методе последовательной конечномерной параметризации управляющих воздействий и существенном использовании базовых закономерностей предметной области оптимизируемых процессов.
Диссертация выполнена в соответствии с планом фундаментальных научно-исследовательских работ Самарского государственного технического университета (СамГТУ), выполняемых по заданию Минобрнауки РФ. Работа поддержана грантами РФФИ (проекты 06-08-00041-а, 07-08-00342-а) и совместными грантами Минобрнауки РФ и Германской Службы Академических Обменов (DAAD).
Целью работы является разработка основ теории и техники применения эффективного метода точного решения краевых задач оптимизации ТОРП с заданным целевым множеством конечных состояний и построение на базе этого метода вычислительных алгоритмов для решения широкого круга прикладных задач оптимального управления энерготехнологическими процессами.
Для достижения указанной цели в диссертации поставлены следующие основные научные задачи:
разработка основных теоретических положений и общей схемы реализации точного метода решения краевых задач оптимального управления (ЗОУ) с заданным целевым множеством конечных состояний для широкого класса ТОРП в постановке, адекватной реальным требованиям промышленных технологий;
построение и разработка вычислительных алгоритмов предлагаемого точного метода решения ЗОУ технологическими объектами с распределенными параметрами;
построение и исследование алгоритмов оптимального управления применительно к ряду процессов технологической теплофизики;
оптимизация конструкционных характеристик и режимов работы энерготехнологических комплексов обработки металла давлением по системным критериям качества;
разработка методик и вычислительных алгоритмов параметрической идентификации математических моделей ТОРП на примере обратных граничных задач теплопроводности (ОЗТ).
Научная новизна работы определяется тем, что она расширяет и углубляет теоретические представления об общих закономерностях оптимальных процессов в краевых задачах управления СРП; предлагает новые методы их качественного и количественного описания, исследования и синтеза соответствующих алгоритмов оптимизации; устанавливает способы детализации общих закономерностей применительно к целому ряду прикладных ЗОУ ТОРП, представляющих самостоятельный интерес.
В работе получены следующие основные научные результаты в указанном направлении:
созданы основы теории и техники применения нового метода точного решения широкого круга краевых задач оптимизации ТОРП, отличающегося конструктивным способом построения алгоритмов оптимального управления, которые гарантируют перевод объекта в соответствующую исходным требованиям область допустимых конечных состояний с предельно достижимыми технико-экономическими показателями оптимизируемых энерготехнологических процессов;
на этой базе разработаны алгоритмы оптимального управления широким кругом процессов технологической теплофизики, обеспечивающие, в отличие от известных, заданную точность равномерного приближения к требуемому конечному состоянию ТОРП;
предложена не имеющая известных аналогов методика решения нового класса актуальных задач параметрической оптимизации объектов технологического нагрева с пространственно-распределенными и пространственно-временными управляющими воздействиями, позволяющая распространить предлагаемую методологию исследования ЗОУ ТОРП на комплексную проблему оптимального проектирования технологического оборудования и последующей оптимальной организации режимов его функционирования;
разработаны алгоритмы оптимизации по системным критериям качества энерготехнологических комплексов обработки металла давлением в производственных системах «индукционная нагревательная установка – пресс», устанавливающие и реализующие оптимальные начальные температурные кондиции прессуемого металла в процессе предварительного градиентного нагрева, которые, согласно существующим методикам, априори фиксируются технологическими инструкциями;
предложен метод параметрической идентификации математических моделей в обратных граничных задачах нестационарной теплопроводности, не требующий, по сравнению с известными подходами, применения специальных регуляризирующих алгоритмов и обеспечивающий поиск идентифицируемых внешних воздействий в классе физически реализуемых функций.
Научная значимость работы. В диссертации разработан новый конструктивный метод точного решения краевых задач оптимального управления технологическими объектами с распределенными параметрами, представляющий собой методологическую основу построения алгоритмов оптимизации по основным технико-экономическим критериям широкого круга производственных процессов в различных отраслях промышленности с гарантированными качественными показателями конечной продукции.
Практическая ценность работы
Предложенные в диссертации инженерные методики и способы организации вычислительных процедур распространяют предлагаемый метод точного решения краевых задач оптимизации ТОРП на ряд актуальных задач оптимального управления процессами технологической теплофизики, представляющих самостоятельный интерес для ведущих отраслей промышленного производства. Разработанное специальное математическое, алгоритмическое и программное обеспечение, на базе которого созданы пакеты прикладных программ для подсистемы автоматизированного расчета оптимальных алгоритмов управления, может быть непосредственно использовано для решения конкретных задач оптимизации энерготехнологических объектов.
Применение разработанных методов и алгоритмов оптимального управления к решению практических задач обеспечивает существенные технико-экономические преимущества перед с типовыми технологиями и известными методами оптимизации ТОРП по всем основным качественным показателям оптимизируемых процессов. При этом по сравнению с существующими типовыми алгоритмами управления в среднем достигается выигрыш по времени, и, как следствие, увеличение производительности труда до; повышение в раза точности достижения требуемых кондиций конечной продукции; снижение брака и материальных потерь на 5-15%; экономия производственных площадей до 2 раз; сокращение износа и времени простоя деформирующего оборудования в технологических комплексах обработки металла давлением.
Основные положения, выносимые на защиту:
метод последовательной параметризации управляющих воздействий на конечномерном подмножестве граничных значений бесконечного числа сопряженных переменных в условиях чебышевских оценок целевых множеств, позволяющий осуществить точную редукцию исходной задачи оптимизации ТОРП к принципиально более простой конечномерной задаче полубесконечного программирования;
принцип минимальной сложности параметризованной структуры оптимальных управляющих воздействий, устанавливающий минимально возможное число параметров, характеризующих эту структуру, в зависимости от величины допуска на отклонения от требуемого конечного состояния ТОРП, оцениваемые в равномерной метрике;
процедура точной редукции в одном классе задач оптимизации ТОРП с заданным целевым множеством к эквивалентной задаче управления конечномерным объектом, описываемым сосредоточенной подсистемой уравнений исходной модели;
вычислительные алгоритмы, базирующиеся на операции построения отображений параметризуемых структур управляющих воздействий на множество параметров в пространственно-временной области их определения, последующей процедуре точной редукции к задаче полубесконечной оптимизации и её решении альтернансным методом;
инженерные методики, способы организации вычислительных процедур и алгоритмы оптимального управления, распространяющие предлагаемый метод точного решения ЗОУ ТОРП на ряд актуальных для ведущих отраслей промышленного производства задач оптимизации процессов технологической теплофизики;
метод совместного решения задач оптимального проектирования и управления объектами технологического нагрева с пространственно-распределенными и пространственно-временными управляющими воздействиями;
метод параметрической идентификации математических моделей в обратных граничных задачах нестационарной теплопроводности с управляющим воздействием по ограниченным значениям вторых производных идентифицируемых воздействий;
результаты анализа и реализации алгоритмов оптимального управления процессами технологической теплофизики.
Методы исследований. Для решения поставленных задач использовались методы, основанные на системном подходе к решаемой проблеме, в том числе методы теории оптимального управления системами с распределенными параметрами, теории тепло- и массопереноса, аппарат конечных интегральных преобразований, методы численного и компьютерного моделирования, экспериментальные методы исследования ТОРП.
Достоверность и обоснованность полученных в диссертационной работе научных результатов, выводов и рекомендаций обеспечивается корректным использованием применяемого математического аппарата, теории управления и методов математического моделирования СРП. Справедливость выводов относительно адекватности используемых математических моделей, достоверности, работоспособности и эффективности предложенных алгоритмов управления подтверждена результатами математического моделирования и промышленными экспериментами.
Реализация результатов исследований.
Полученные в работе теоретические положения и практические результаты использованы:
при выполнении с фундаментальной НИР «Создание основ теории и способов реализации точных методов определения алгоритмов оптимального управления объектами с распределенными параметрами», проводимой в СамГТУ по заданию Минобрнауки РФ;
при выполнении НИР, проводимых СамГТУ в рамках Программы совместных научных исследований с Институтом Электротехнологий Университета им. Лейбница (г. Ганновер, Германия) в области оптимизации электротермических процессов;
при выполнении НИР «Модели последовательной конечномерной параметризации управляющих воздействий, модельный анализ и методы полубесконечной оптимизации в краевых задачах оптимального управления распределенными объектами механики сплошных сред» по Программе №22 «Процессы управления» фундаментальных исследований Президиума РАН;
при выполнении НИР по проектам Российского Фонда Фундаментальных Исследований «Разработка основ теории и методов реализации стратегии гарантированного результата в процессах идентификации и управления техническими системами с распределенными параметрами» (проект 06-08-00041) и «Разработка методов математического моделирования и оптимального управления взаимосвязанными электромагнитными и тепловыми полями в энерготехнологических процессах и установках промышленных производств» (проект 07-08-00342);
при выполнении НИР по заданиям Рособразования в рамках аналитической ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы (2006-2008 годы)»: «Алгоритмы оптимального управления технологическими процессами индукционного нагрева с гарантированными критериями качества» (Проект 2.2.2.3.9691); «Оптимальное управление технологическим комплексом «нагрев – обработка давлением» (Проект 2.2.2.3.10157); «Оптимизация процессов нагрева алюминиевых заготовок, вращающихся в магнитном поле постоянного тока» (Проект 2.2.2.3.16170);
при проектных разработках систем управления технологическим оборудованием в ОАО «СМЗ» (Самарский металлургический завод, г. Самара) и на Уральском машиностроительным заводе (г. Миасс Челябинской обл.);
в учебном процессе Самарского государственного технического университета при подготовке инженеров по специальностям 220201 «Управление и информатика в технических системах», 220301 «Автоматизация технологических процессов и производств» и магистров техники и технологии по направлению «Автоматизация и управление».
Апробация работы. Основные научные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на Всесоюзных, Российских и Международных конференциях и коллоквиумах, в том числе на Международном Научном Коллоквиуме «Modeling for Electromagnetic Processing» (MEP-08).– Ганновер, Германия, 2008; X-й Международной конференции «Проблемы управления и моделирования в сложных системах».– Самара, 2008; Международной научно-технической конференции «Мехатроника, автоматизация и управление»– Москва, 2007; IX-й Международной конференции «Проблемы управления и моделирования в сложных системах».– Самара, 2007; Международном Семинаре «Heating by Electromagnetic Sources» (HES-07). – Падуя, Италия, 2007; Седьмой Международной научно-практической конференции «Методы и алгоритмы прикладной математики в технике, медицине и экономике». – Новочеркасск, 2007; Третьей Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» – Самара, 2006; VIII-й Международной конференции «Проблемы управления и моделирования в сложных системах».– Самара, 2006; X-й Международной научно-практической конференции «Системный анализ, проектирование и управление». – Санкт-Петербург, 2006; 2-й Всероссийской научно-технической конференции с международным участием «Мехатроника, автоматизация, управление». – Уфа, 2005; 5-ом Минском международном форуме по тепло- и массообмену. – Минск, 2004; Международном Семинаре «Heating by Electromagnetic Sources» (HES-04). – Падуя, Италия, 2004; V-й Международной конференции «Проблемы управления и моделирования в сложных системах».– Самара, 2003; Международном Научном Коллоквиуме «Modeling for Electromagnetic Processing» (MEP-03).– Ганновер, Германия, 2003; Четвертой Международной конференции «Обратные задачи: идентификация, проектирование и управление». – Москва, 2003; Международном Семинаре «East-West: Electrotechnology Network».– Санкт-Петербург, 2002; IV-й Международной конференции «Проблемы управления и моделирования в сложных системах».– Самара, 2002; Международном Семинаре «Induction Heating Seminar» (IHS-01). – Падуя, Италия, 2001; Международном Форуме «Тепломассообмен ММФ-2000. Теплопроводность и задачи оптимизации теплообмена». – Минск, 2000; Международном Симпозиуме «International Symposium on Electromagnetic Fields in Electrical Engineering» (ISEF 99). – Павия, Италия, 1999; 8-ом Международном Семинаре «Induction Heating». – Флорида, США, 1998; Международном Научном Конгрессе «Молодежь и наука– третье тысячелетие». – Москва, 1997; Всероссийской научно-технической конференции «Надежность механических систем». – Самара, 1995; V Международной научно-технической конференции «Математическое моделирование и САПР систем сверхбыстрой обработки информации на объёмных интегральных схемах (ОИС) СВЧ и КВЧ». – Сергиев-Посад, 1995; Международном Симпозиуме «Научные проблемы технологических процессов, связанных с вопросами сбережения энергоресурсов и экологии». – Санкт-Петербург, 1994.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 45 научных работах, в том числе в 1 монографии и 15 статьях, опубликованных в периодических научных изданиях, рекомендованных ВАК России для опубликования результатов докторских диссертаций.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка использованных источников, содержащего 198 наименований. Диссертационная работа содержит 416 страниц машинописного текста, включающего 124 рисунка, 26 таблиц.
Содержательная постановка задач оптимального управления технологическими объектами с распределенными параметрами
Любой технический объект управления характеризуется определенной пространственной протяженностью. Следовательно, функция, характеризующая его состояние, представляет собой зависимость управляемых величин не только от времени, но и от пространственных координат, изменяющихся в пространственной области, занимаемой объектом. Таким образом, реальные объекты управления представляют собой системы с распределенными параметрами (СРП), и лишь в частных случаях их можно с некоторыми допущениями и погрешностями отнести к классу систем с сосредоточенными параметрами (ССП). Подавляющее большинство управляемых процессов, описываемых пространственно-временными характеристиками физических полей различной природы (электромагнитные и температурные поля, поля концентраций, перемещений, деформаций, напряжений, скоростей, давлений, потенциалов и т.д.), относится к СРП, для которых пренебрежение пространственной зависимостью функции состояния приводит к потере принципиальных свойств объекта и, следовательно, становится невозможным. Изменение управляемых величин СРП как во времени, так и в пространстве описывается дифференциальными уравнениями в частных производных, интегральными, интегро-дифференциальными уравнениями или системами уравнений самой различной природы [112].
К числу СРП относится широкий круг типичных управляемых объектов, охватывающих, как традиционные, так и новейшие технологии в самых различных областях техники. Практическая реализация таких технологий с требуемыми качественными показателями невозможна без построения соответствующих систем автоматического управления, что и явилось главным стимулом к созданию теории и методов управления СРП. Задачи управления СРП оказываются качественно более сложными по сравнению с ССП ввиду целого ряда принципиальных особенностей этих систем. Решение этих задач возможно лишь путем сочетания фундаментальных исследований в области общей теории управления и значительных усилий по поиску нестандартных инженерных решений [112].
Рассмотрим содержательную постановку задачи оптимального управления (ЗОУ) объектами с распределенными параметрами (ОРП). В самом общем случае эта задача сводится к отысканию таких допустимых оптимальных управляющих воздействий, которые обеспечивают реализуемый в заданных условиях перевод объекта из некоторого начального в требуемое конечное состояние с наилучшими из возможных значениями заранее выбираемых качественных показателей. Принципиальной особенностью подобной формулировки является требование достижения предельных величин используемых оценок качества процессов управления [17, 18,21-23, 112, 116, 117, 145].
В такой постановке современная теория распределенных систем и рассматривает в большинстве случаев задачи управления ОРП [17,18, 21-23, 39,40, 145,163]. Последующий переход к точным формулировкам в целях получения конкретных эффективных решений оказывается возможным только при наличии следующих исходных данных, конкретизирующих содержательную интерпретацию ЗОУ [118]: 1. Должна быть задана математическая модель объекта управления. В качестве такой модели применительно к типовым ОРП могут быть использованы: - соответствующие дифференциальные уравнения в частных производных вместе с необходимыми начальными и граничными условиями; - интегральные соотношения для управляемой функции состояния объекта в виде пространственно-временной композиции его функции Грина и управляющих воздействий; - модальные представления выхода ОРП; - точные и приближенные выражения для передаточных функций и частотных характеристик; - численные модели различного уровня сложности. 2. Должна быть выбрана формальная оценка показателя качества (критерий оптимальности), экстремальная величина которого (максимум или минимум, в зависимости от конкретного смысла критерия) ассоциируется с понятием «наилучшего из возможных» показателей оптимизируемого процесса. Задача выбора критерия оптимальности является внешней по отношению к рассматриваемой ЗОУ. При этом, способы его представления в конкретной аналитической форме, во многом определяющей получаемые результаты, представляют собой самостоятельную весьма сложную проблему. 3. Должны быть заданы ограничения на управляющие воздействия и поведение управляемого выхода ОРП (фазовые ограничения), выполнение которых обеспечивает принадлежность управлений к классу допустимых и позволяет в точных формулировках охарактеризовать процесс перехода объекта из начального в конечное состояние как «допустимый». Экстремальное значение критерия оптимальности часто достигается на предельно возможных значениях управляющих воздействий, и поэтому учет ограничений на эти величины играет принципиальную роль. Отметим также, что известные трудности, возникающие при решении ЗОУ с фазовыми ограничениями в ССП, значительно увеличиваются при оптимальном управлении ОРП, где они приобретают существенно более сложный характер. 4. Должны быть сформулированы требования к заданному состоянию объекта в конечный момент времени t = tK процесса управления. Если требуется, чтобы конечное состояние выхода ОРП Q{x,tK) в точности совпадало с его заранее заданным пространственным распределением Q (x) по координатам х, то мы получаем ЗОУ с фиксированным концом траектории. Применительно к моделям типовых ОРП, под Q в общем случае понимается вектор-функция, в роли составляющих которой могут, в частности, выступать как сама управляемая величина, так и скорость ее изменения во времени. Решение ЗОУ ОРП с фиксированным концом траектории связано с принципиальными трудностями. Эти трудности возникают либо по причине вполне возможной неуправляемости объекта относительно состояния Q (х), либо из-за невозможности реализации точных решений таких задач, представляющих собой технически неосуществимые алгоритмы управления [17, 18, 21-23]. При ослаблении требований к Q(x,tK) с учетом практически всегда существующих допусков на отклонение от Q (х) ЗОУ значительно упрощается. При этом алгоритмы оптимального управления в большинстве случаев становятся реализуемыми и могут быть найдены с любой требуемой точностью [115, 116]. Подобная постановка приводит к задачам с подвижным концом траектории, в которых допустимое множество конечных состояний объекта (целевое множество) должно определяться конкретным способом оценки отклонения Q(x,tK) от Q (x). На практике чаще всего применяются два таких способа -по среднеквадратичной или максимальной абсолютной величине погрешности приближения в пределах пространственной области, занимаемой объектом (или ее заданной части). Решение подобного рода задач, заведомо обеспечивающее достижение требуемого конечного состояния СРП с заданной точностью, соответствует построению стратегии управления по принципу гарантированного результата.
Типовые модели распределенных объектов в задачах оптимального управления
Именно эта особенность, связанная с необходимостью поиска оптимальных управлений, стесненных подобными нестандартными ограничениями весьма сложного характера, является основным препятствием на пути использования известных аналитических условий оптимальности СРП.
Типичный подход к решению подобных, некорректных в исходной постановке задач сводится к применению универсальных численных методов, усложняемых необходимостью построения регуляризирующих алгоритмов, устойчивых к малым возмущениям входных данных (А.Н. Тихонов, О.М. Алифанов и др.) [4, 158].
Основные трудности типичных способов численного решения задач идентификации в экстремальной постановке сводятся, в основном, к проблемам, связанным, во-первых, с вынужденной аппроксимацией математических моделей соответствующей СРП, и, во-вторых, с необходимостью регуляризации формулируемых некорректных задач оптимизации [4, 5, 18, 21, 61, 78, 81, 119, 162]. Приближенный характер описаний управляемых процессов приводит к необходимости выбора компромиссных схем аппроксимации моделей, обеспечивающих допустимую погрешность приближения к точным решениям при приемлемой сложности задачи, которая определяется, прежде всего, ее размерностью по числу искомых неизвестных и учитываемых ограничений [18, 21, 162]. В частности, дискретное представление СРП на выбранном сеточном шаблоне с параметризованным управляющим воздействием и редукция к соответствующей задаче параметрической оптимизации оказываются обычно удовлетворительными по требуемой точности лишь при достаточно высокой размерности конструируемых конечномерных моделей. Указанное обстоятельство во многих ситуациях не позволяет непосредственно использовать для отыекания оптимальных управлений стандартные методы математического программирования [162].
С другой стороны, в связи с некорректной постановкой задач идентификации возникает характерная проблема получения её регулярных решений, устойчивых к малым возмущениям входных данных [4, 5, 61, 78, 81]. Наряду с классическим методом регуляризации А.Н. Тихонова здесь часто применяется регуляризация «загрублением» (например, шаговая или итерационная), сводимая, по существу, к искусственному ограничению параметризуемых точностных характеристик используемых вычислительных алгоритмов и аппроксимирующих моделей [4, 5, 78], которое, в частности, может оказаться несовместимым с допустимыми погрешностями описания объектов исследования.
В связи со сказанным представляет большой самостоятельный интерес открытая до настоящего времени проблема распространения на задачу идентификации математических моделей СРП общих методов оптимизации распределенных систем в указанных выше усложненных условиях поиска гладких экстремалей.
Как следует из приведенного анализа, центральной проблемой в теории управления системами с распределенными параметрами остается разработка конструктивных методов решения краевых задач оптимизации СРП по переводу объекта в требуемое конечное состояние с экстремальными значениями оптимизируемых показателей качества в целях построения алгоритмов программного управления и методики синтеза замкнутых систем с обратными связями, в том числе, при неполном измерении состояния. Широко распространенные на практике подходы к этой проблеме, связанные с использованием конечномерных аппроксимаций при описании ОРП, характеризуются рядом существенных недостатков или вообще оказываются неприемлемыми в виду неуправляемости объекта относительно желаемого в идеале конечного состояния, а точные решения задач оптимального управления для исходных моделей ОРП по традиционной схеме с фиксированным правым концом траектории фактически не могут быть получены из-за бесконечной размерности определяющих систем уравнений, характеризующих поведение СРП в соответствующем пространстве состояний.
Применительно к широкому кругу прикладных задач оптимизации СРП эффективный путь преодоления указанных затруднений состоит в учете практически всегда существующих допусков на отклонение от номинальной точки, фиксируемой в исходной двухточечной схеме. Оценка этих допусков в заданной метрике приводит к постановке оптимальной задачи с подвижным правым концом в бесконечномерном фазовом пространстве СРП, целевое множество в которой однозначно характеризуется допустимой погрешностью приближения к желаемому в идеале конечному состоянию объекта.
Точные алгоритмы оптимального управления в подобных задачах, соответствующие стратегии управления по принципу гарантированного результата, оказываются вполне реализуемыми, а их поиск сводится путем специальных процедур точной редукции к разрешаемым известными способами конечномерным экстремальным задачам, размерность которых непосредственно определяется требуемой точностью попадания в номинальную точку и в большинстве реальных ситуаций оказывается невысокой [92,120-122].
При этом весьма продуктивным оказывается подход к организации вычислительных алгоритмов с использованием параметризации искомых оптимальных управлений на конечномерном множестве параметров, непосредственно характеризующих их поведение в пространственно-временной области своего определения, в отличие от составляющих бесконечномерного вектора начальных значений сопряженных переменных, естественным образом порождаемого применением стандартных процедур принципа максимума.
Настоящая работа посвящена разработке, теоретическому обоснованию, построению вычислительных алгоритмов и практическому применению нового конструктивного метода точного решения краевых задач оптимизации одного класса СРП в подобной постановке, базирующегося на предлагаемом специальном методе последовательной конечномерной параметризации управляющих воздействий и существенном использовании базовых закономерностей предметной области оптимизируемых объектов.
Постановка задачи минимизации потерь металла в окалину
Согласно методу моментов (1.3.2), может быть применен эффективный способ отыскания алгоритмов оптимального управления конечномерными системами с заданным конечным состоянием объекта, предусматривающий регулярную процедуру вычисления некоторого вектора параметров v = (V„),H = \,N, по существу, совпадающего с \/(/0) Однако, этот способ, применимый, в основном, лишь к линейным моделям управляемых процессов в задачах быстродействия или минимизации нормы управляющего воздействия, так же становится неработоспособным применительно к бесконечномерной проблеме моментов при N — 00 .
Численные алгоритмы построения минимизирующих последовательностей в пространстве управлений также становятся более трудоемкими при фиксации правого конца траектории за счет возрастания числа ограничений в аппроксимирующей задаче линейного программирования на последних этапах расчета оптимального процесса ( 1.3.3). В итоге, стандартные процедуры принципа максимума или метода моментов, сводимые к поиску соответствующих параметров vj/n(/0) или v„, n = l,N, не позволяют фактически получить точные решения таких задач при бесконечном числе неизвестных N = оо. Ситуация в двухточечных задачах оптимального управления ОРП, кроме того, усложняется тем обстоятельством, что в целом ряде типичных требований по характеру пространственного распределения Q ( ) в (2.76), ОРП либо оказывается неуправляемым относительно требуемого конечного состояния, либо заданное конечное состояние достигается в классе технически нереализуемых оптимальных управлений [118], и тогда равенства (2.76), (2.77) в принципе невыполнимы, т.е. решение подобной задачи с фиксированными концами траектории не существует. Такое положение складывается, например, в тех случаях, когда заданное пространственное распределение Q (JC) не соответствует граничным условиям модели объекта, либо Q (JC) представляет собой негладкую функцию пространственных координат, которая не может быть решением уравнений ОРП. В частности, типичные в технологической теплофизике требования равномерного распределения температуры Q (x) = const в конце оптимального процесса оказываются недостижимыми при управлении процессом нагрева массивных тел по мощности внутренних источников тепловыделения в индукционных нагревателях из-за несоответствия такого состояния граничным условиям на поверхности изделия при наличии тепловых потерь [117]. Принципиально возможное решение такой задачи в печах с внешним теплообменом приводит к оптимальному по быстродействию граничному управлению в форме релейной функции с бесконечным числом переключений [118]. Следовательно, при управлении по граничным условиям при заданном конечном равномерном распределении функции состояния ОРП Q (x) = const, объект оказывается управляемым относительно заданного конечного состояния, но оптимальное управление имеет вид технически нереализуемой релейной функции времени, попеременно принимающей только свои предельно допустимые максимальное и минимальное значения, с бесконечным числом интервалов постоянства, длительности которых стремятся к нулю при увеличении времени процесса [118]. Таким образом, точные решения двухточечных задач оптимизации ОРП либо вообще не существуют, либо чаще всего характеризуются технически нереализуемыми алгоритмами оптимального управления. Естественные в такой ситуации и широко распространенные на практике способы приближенного решения этих задач реализуются путем конечномерной аппроксимации моделей объекта по методу исходной дискретизации [17, 18, 21, 22, 112]. Применительно к типичной схеме с фиксированным правым концом траектории при этом обычно решается ряд задач оптимального управления «усеченными» моделями объекта, описываемыми, например, конечным числом N х первых уравнений (2.36) с заданными конечными значениями первых N фазовых переменных Оп, п = 1,JV, для ряда последовательно возрастающих значений N = 1,2,3,...N . Для их решения могут быть использованы любые известные методы оптимального управления ССП, в том числе, стандартные процедуры принципа максимума Понтрягина. Величина N увеличивается до тех пор, пока при некотором N — N погрешность в достижении требуемого конечного состояния для управляемого распределенного выхода ОРП, неизбежно возникающая в такой ситуации за счет влияния «отбрасываемых» переменных, не снижается до допустимого уровня. Преимуществом подобного метода является его простота и возможность применения апробированного аппарата теории управления объектами с сосредоточенными параметрами. Несмотря на то, что этим путем во многих прикладных задачах могут быть получены вполне удовлетворительные результаты [17, 18, 21, 22], данный подход связан с рядом существенных недостатков. Не касаясь здесь технических трудностей вычислительного характера и трудных вопросов сходимости конечномерных приближений, которые чаще всего решаются положительно, отметим лишь следующие основные обстоятельства [115, 116, 118]. 1. Краевая задача оптимального управления для приближенного описания объекта может оказаться неразрешимой при N N из-за неуправляемости точной модели относительно заданного конечного состояния ОРП. В этом случае метод «усечения» не может быть использован в принципе, поскольку решения задачи для N N не обеспечивают требуемой точности попадания в заданную конечную точку бесконечномерного фазового пространства, а при N = N эта задача не имеет решения. Именно в подобных случаях переход к другой постановочной схеме, допускающей отклонение от желаемого в идеале конечного состояния, т.е. к задаче с подвижным правым концом траектории, становится вынужденным. 2. Получаемые подобным способом приближенные алгоритмы управления могут сопровождаться существенными потерями по минимизируемым критериям оптимальности в сравнении с точными решениями ЗОУ при тех же погрешностях отклонения от желаемого конечного состояния ОРП. 3. Последовательный перебор значений N в ряде случаев приводит для N = N к алгоритмам управления более сложного вида, чем точные решения ЗОУ ОРП при одинаковых ошибках приближения к заданному положению конца фазовой траектории оптимального процесса. 4. Погрешности отклонения от заданного конечного состояния ОРП часто имеют «неблагоприятную» с точки зрения практических требований форму их пространственного распределения, средства «исправления» которой отсутствуют, поскольку она однозначным образом фиксируется расчетными характеристиками управляющих воздействий. В частности, такая погрешность может характеризоваться ярко выраженной неравномерностью ее распределения по пространственным координатам, например, резким повышением отклонения от заданной величины на границе пространственной области по сравнению с ее внутренними точками. 5. Применение данного метода может вообще привести к потерям сущностных особенностей систем с распределенными параметрами.
Задача оптимального проектирования ИНУ в технологических комплексах "нагрев - обработка давлением"
Индукционный нагрев алюминия, обладающего высокой удельной проводимостью, является одним из самых крупномасштабных электротехнологических процессов, применяющихся в цветной металлургии, особенно в технологиях горячей обработки цветных металлов давлением (прессование, прокат, штамповка). Именно этот вид нагрева алюминия в большинстве случаев является наиболее распространенным, не смотря на довольно низкий КПД, составляющий 55-60%.
При традиционном способе индукционного нагрева металлических заготовок в переменном электромагнитном поле КПД процесса зависит от величины потерь в индукторе. Даже при оптимальном дизайне индуктора (разбиение индуктора на оптимальное число секций с целью снижения плотности тока) КПД установки обычно не превышает 60% [174,179].
Для повышения энергетической эффективности процесса индукционного нагрева в последние годы была разработана принципиально новая технология, которая заключается в использовании сверхпроводящих материалов для возбуждения постоянного магнитного поля высокой интенсивности [179]. Данная технология основана на способности сверхпроводников проводить постоянный ток практически без потерь [69, 72]. Нагрев в таких установках осуществляется за счет токов, индуцируемых в заготовке, при ее вращении в постоянном магнитном поле. Коэффициент полезного действия при таком методе нагрева теоретически может достигать 90 %.
В данном разделе предложенный в главе 2 точный метод решения краевых задач оптимизации объектов с распределенными параметрами распространяется на задачи оптимизации инновационной технологии нагрева алюминиевых заготовок, вращающихся в магнитном поле постоянного тока, с использованием двумерных цифровых моделей электротепловых полей и полей термонапряжений и деформаций в нагреваемых изделиях.
При традиционном способе индукционного нагрева заготовок в переменном электромагнитном поле КПД процесса зависит от величины электрических потерь в индукторе [14, 41]. Толщина обычных (однослойных) обмоток индуктора ограничена явлением поверхностного эффекта. Потери в катушке возрастают по мере нагрева заготовки, в результате чего энергетический КПД составляет не более 50%. Внедрение многослойных обмоток в 80-х годах прошлого века позволило несколько снизить потери из-за соответственного снижения плотности тока в индукторе и повысить КПД. В типовых промышленных нагревателях используется до пяти слоев обмотки, что позволяет получить КПД 55-60%.
Эффективным способом повышения КПД является создание магнитного поля постоянными токами, протекающими в сверхпроводящей катушке. Способность сверхпроводников проводить постоянный ток без потерь отводит на второй план затраты, связанные с необходимостью обеспечения сверхнизкой температуры в целях создания эффекта сверхпроводимости [69,137].
Нагрев цилиндрической заготовки обеспечивается её вращением в постоянном магнитном поле, создаваемом практически без энергетических потерь сверхпроводниками, в результате чего КПД данной системы становится доминирующим (первоочередным) по отношению к КПД электродвигателя, вращающего цилиндрическую заготовку. С внедрением этого метода общий КПД нагревательной установки может достигать 90% [172, 173, 179].
При вращении заготовки с постоянной скоростью в направленном перпендикулярно оси её вращения (рисунок 3.49) постоянном магнитном поле, магнитный поток изменяется по синусоидальному закону, в результате чего и производится нагрев изделия индуцируемыми вихревыми токами. Конструктивные параметры системы нагрева представлены на рисунках 3.50-3.51.
Чтобы обеспечить охлаждение и выдержку сверхпроводящей катушки при низкой температуре, её размещают в криостате, в котором рабочий объём поддерживается при низкой температуре за счёт постороннего источника холода, в качестве которого используют жидкие газы с низкими температурами конденсации (азот, водород, гелий и др.).
В любом криостате необходима теплоизоляция рабочего объёма от окружающей среды. Естественно, чем ниже температура рабочего объема, тем выше требования к теплоизоляции. В криостатах, заполняемых жидким азотом или кислородом, часто используется высоковакуумная теплоизоляция. Для гелиевых криостатов такой изоляции недостаточно, поэтому, чтобы уменьшить потери за счёт излучения тепла с наружных стенок необходимо понизить их температуру, что достигается охлаждением стенок вспомогательным хладагентом (например, жидким азотом). Температуру рабочего объёма в криостате регулируют, изменяя давление паров над заполняющим криостат хладагентом или подогревая пары хладагента [170].
Известные к настоящему времени теоретические исследования инновационной технологии нагрева алюминиевых заготовок посредством их вращения в магнитном поле постоянного тока связаны, в основном, с вопросами энергосбережения и явлением сверхпроводимости. При этом небольшое число научных работ посвящено исследованиям электромагнитных и тепловых явлений внутри заготовки при её вращении в магнитном поле постоянного тока [172].
Некоторые результаты анализа поведения электромагнитных и тепловых полей в процессе нагрева алюминиевых заготовок, вращающихся в магнитном поле постоянного тока, приведены в работах [172, 173, 182].
