Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Обзор методов параметрического синтеза АСР с ПИД-алгоритмом 9
1.1. ПИД-алгоритм и его особенности 9
1.1.1. Идеальный ПИД-алгоритм 10
1.1.2. Физически реализуемый ПИД-алгоритм 12
1.1.3. Цифровая реализация ПИД-алгоритма 12
1.1.4. Автоматические регуляторы релейно-импульсного действия 14
1.1.5. Особенности АСР с ПИД-регулятором 15
1.2. Методы параметрического синтеза АСР с ПИД-регуляторами 18
1.2.1. Задача параметрического синтеза АСР 18
1.2.2. Обзор методов определения настроек ПИД-регулятора 21
Глава 2. Особенности параметрического синтеза АСР с ПИД-регуляторами
2.1. Расчет линий заданного запаса устойчивости т - const для АСР с идеальным ПИД-алгоритмом 44
2.2. Анализ влияния настроек ПИД-регулятора на распределение корней характеристического уравнения замкнутой системы 50
2.3. Расчет оптимальных параметров настройки с использованием комплексного показателя запаса устойчивости 57
2.4. Особенности АСР с идеальным ПИД-алгоритмом и объектом управления с запаздыванием 60
2.5. Анализ распределения корней характеристического уравнения 64
2.6. Сравнение методов расчета оптимальных параметров настройки АСР с ПИД-регулятором 72
Глава 3. Методы робастнои настройки реальных регуляторов
3.1. Параметрический синтез и анализ динамики АСР с цифровым ПИД-регулятором 86
3.2. Выбор параметров электрического исполнительного механизма с ПИД-алгоритмом 100
3.3. Исследование автоколебаний в АСР с ШИМ и ЭИМ 109
Глава 4. Экспериментальное исследование
4.1. Описание экспериментального стенда 114
4.2. Получение математической модели объекта регулирования 116
4.3. Настройки регулятора и процессы регулирования по результатам эксперимента и моделирования 118
4.4. Возможные области применения ПИД-алгоритма в системах автоматизации теплотехнических объектов управления 126
Заключение 130
Список литературы 133
Приложения
- ПИД-алгоритм и его особенности
- Методы параметрического синтеза АСР с ПИД-регуляторами
- Расчет линий заданного запаса устойчивости т - const для АСР с идеальным ПИД-алгоритмом
- Параметрический синтез и анализ динамики АСР с цифровым ПИД-регулятором
Введение к работе
Анализ алгоритмических структур промышленных автоматических систем регулирования показывает, что наибольшее распространение в реальных системах получили типовые алгоритмы регулирования - пропорциональный (П-) и пропорционально-интегральный (ПИ-). К типовым относят также предложенный значительно позже этих алгоритмов пропорционально-интегрально-дифференциальный алгоритм (ПИД-). Приборостроительные фирмы разрабатывают и производят микропроцессорные ПИД-регуляторы и микропроцессорные контроллеры с библиотеками, включающими не только ПИД, но и более сложные алгоритмы регулирования. Однако, до настоящего времени ПИД-регуляторы в реальных системах применяются редко и, как правило, потенциальные возможности ПИД-алгоритма не реализуются в полной мере.
Тем не менее, именно ПИД-алгоритму посвящено основное количество научных публикаций по проблеме оптимального параметрического синтеза автоматических систем регулирования. Множество публикаций по проблеме свидетельствует как об ее актуальности, так и об отсутствии ее окончательного решения.
Актуальность этой проблемы для решения задач автоматизации объектов управления в энергетике подтверждается и тем, что ее решению были посвящены работы Е.Г. Дудникова, Е.П. Стефани, Н.И. Давыдова, В.Я. Ротача, В.В. Волгина и многих других специалистов в рамках проводимых ими исследований по автоматизации управления теплоэнергетическими процессами и установками.
Простейшие П- и ПИ- алгоритмы достаточно точно реализуются в реальных автоматических регуляторах, что позволяет использовать в решении задач анализа и синтеза автоматических систем регулирования с этими алгоритмами математические модели идеальных регуляторов. Как правило, при оптимальных настройках автоматические системы регулирования с П- и ПИ-регуляторами оказываются робастными (грубыми), мало чувствительными к вариациям параметров объекта и регулятора. Поэтому важнейшее требование к реальной системе - требование робастности - удовлетворяется при применении этих алгоритмов «автоматически» без дополнительных ограничений.
Системам с ПИД-алгоритмом присущи, по крайней мере, две особенности, обличающие их от АСР с простейшими алгоритмами.
Во-первых, идеальный ПИД-алгоритм физически не реализуем, и результаты оптимального параметрического синтеза не могут непосредственно переноситься на реальную систему. Из этого следует актуальность поставленной в работе задачи оптимального параметрического синтеза с учетом особенностей технической реализации ПИД-алгоритма. В работе наряду с идеальным алгоритмом рассматриваются ПИД-регуляторы с цифровой реализацией алгоритма (цифровые регуляторы) и ПИД-регуляторы с электрическим исполнительным механизмом постоянной скорости, в структуру которых включается широтно-импульсный модулятор (ШИМ).
Во-вторых, оптимальная система с ПИД-регулятором может оказаться негрубой и, следовательно, неработоспособной.
Для АСР с ПИД-алгоритмом важно сформулировать ограничения, гарантирующие малую чувствительность системы к вариациям параметров, и критерий качества. Известно, что качество АСР с ПИД-алгоритмом характеризует отношение значений постоянной дифференцирования Та к постоянной интегрирования Ги: с увеличением этого отношения динамическая точность АСР возрастает, однако, вместе с этим возрастает чувствительность системы к вариациям параметров.
Расчет оптимальных настроек заключается в определении значений параметров регулятора, соответствующих минимуму целевой функции при выполнении определенных ограничений и, прежде всего, ограничения на запас устойчивости системы. Для систем автоматизации теплотехнических процессов характерны объекты управления с транспортным и емкостным запаздыванием. Запаздывание в канале регулирующего воздействия снижает эффективность ПИД-алгоритма, и в этом случае представляет интерес сравнительная оценка динамической точности реальных АСР с ПИ- и ПИД- алгоритмами.
Задача оптимального параметрического синтеза может быть решена аналитическими, аналитическими итеративными или поисковым методами. Аналитическое решение позволяет определить в пространстве параметров настройки регулятора границы устойчивости и заданного запаса устойчивости, проанализировать влияние вариации параметров на свойства системы и представить результаты исследования в наглядной форме. Изучение на этой основе особенностей системы обеспечивает возможность эффективного применения современных поисковых алгоритмов для оптимального параметрического синтеза.
Целью настоящей работы является разработка формализованных аналитических методов оптимального параметрического синтеза АСР с ПИД-алгоритмом, обеспечивающих получение робастных настроек и максимально возможное качество при учете свойств реальных ПИД-регуляторов.
В работе применены и развиты аналитические частотные методы оптимального параметрического синтеза АСР с ПИД-регуляторами, методы имитационного моделирования АСР на основе цифровых моделей ее элементов и проведены экспериментальные исследования на стенде с физической моделью объекта управления и реальным микропроцессорным регулятором. Определены условия, выполнение которых позволяет в максимальной степени использовать потенциал ПИД-алгоритма.
В главе 1 рассматриваются формы математического описания ПИД-алгоритма и способы его реализации. Производится классификация и сравнительный анализ методов оптимального параметрического синтеза АСР с ПИД-регуляторами, применяющиеся в России и мировой практике. Показывается необходимость разработки нового метода параметрического синтеза ПИД-регулятора, который удовлетворял бы общепринятым показателям запаса устойчивости АСР и компромиссу качества регулирования и робастно-сти. На основе проведенного анализа формируются цель и задачи диссертационного исследования.
В главе 2 исследуется зависимость вида линий заданного запаса устойчивости и качества АСР от значения а (а = Тц/Тд). Выявляются особенности расположения корней характеристического уравнения замкнутой системы при движении по линии т = const для различных значений а; компромисс между робастностью и динамической точностью регулирования при различных значениях тпМ. Выводят расчетные соотношения и алгоритмы, позволяющие вычислить и определить оптимальные параметры регуляторов по критерию «критическое а» и совместное ограничение на корневой и частотной показатели колебательности «т = тдоп иМ= Мдоп» для идеального ПИД-алгоритма. Проводится сравнительный анализ методов параметрического синтеза ПИД-регулятора.
В главе 3 выводятся соотношения для расчета параметров ПИД-регулятора при цифровой реализации алгоритма и совместном ограничении «т и М» и выбора интервала квантования сигналов по времени. Исследуется схема ПИД-регулятора с ШИМ и электрическим исполнительным механизмом (ЭИМ) постоянной скорости, выводятся расчетные формулы для определения параметров ШИМ и ЭИМ в зависимости от параметров ПИД-регулятора и объекта управления. Исследуется режим автоколебаний в АСР с ШИМ.
В главе 4 приводятся результаты моделирования АСР в среде Simulink пакета MathLab и исследования АСР с физической моделью объекта и реальным цифровым ПИД-регулятором с ЭИМ при настройках, рассчитанных разработанным в диссертации методом.
В приложении приведены программы расчета параметров идеального и цифрового ПИД-регуляторов при ограничении «т и М» и анализа АСР с найденными настройками в среде MATLAB 6.5 и MathCad.
ПИД-алгоритм и его особенности
Понятия ПИД-алгоритм и ПИД-регулятор появились в теории автоматического регулирования в сороковых годах прошлого столетия [97]. Эти обобщенные понятия отражают принцип формирования регулирующего воздействия в виде линейной комбинации трех составляющих: пропорциональной сигналу рассогласования, интегралу и производной по времени от сигнала рассогласования.
Известно множество алгоритмических структур, реализующих этот принцип. В основе алгоритмической структуры ПИД-алгоритма находятся типовые (элементарные) звенья - пропорциональное (П-), интегрирующее (И-), идеальное (Д-) или реальное (РД-) дифференцирующие. Множественность структур ПИД-алгоритма определяется следующими основными факторами: 1) видом дифференцирующего звена - идеальное или реальное; 2) схемой взаимодействия звеньев - параллельная, последовательно-параллельная; 3) способом реализации преобразования сигнала рассогласования -аналоговый или цифровой.
В соответствии с этим автоматический регулятор, работающий по ПИД-алгоритму, определяется как идеальный (физически нереализуемый) или реальный, аналоговый или цифровой с возможностью физической и технической реализации. Схема взаимодействия элементов является второстепенным фактором.
Таким образом, идеальный аналоговый ПИД-алгоритм может представляться тремя разными алгоритмическими структурами: 1) стандартной параллельной с передаточной функцией (1.2); 2) параллельно-последовательной с передаточной функцией (1.3); 3) параллельной с передаточной функцией (1.6). 1.1.2. Физически реализуемый ПИД-алгоритм. ПИД-алгоритм, определяемый уравнением (1.1), физически не реализуем.
Цифровая реализация ПИД-алгоритма. В современных автоматических регуляторах и промышленных контроллерах алгоритмы регулирования реализуются программным путем. Вычислительное устройство преобразует в соответствии с заданным алгоритмом сигнал рассогласования, представленный дискретной числовой последовательностью. Алгоритм регулирования в этом случае представляется в форме разностного уравнения. Если входной и выходной сигналы регулятора (контроллера) являются числовыми последовательностями, регулятор определяют как цифровой (дискретный).
Однако, П- ПИ-алгоритмы не могут удовлетворить повышенным требованиям к качеству системы, и улучшения качества управления при их использовании достигается путем усложнения информационных структур систем управления (переходом к многоконтурным, каскадным схемам и схемам с компенсацией возмущений) [43].
Применение ПИД-алгоритма позволяет получить более высокое качество регулирования в сравнении с ПИ-регулятором в простой одноконтурной АСР. В зависимости от динамических свойств объекта управления переход от ПИ- к ПИД-алгоритму позволяет повысить динамическую точность системы (уменьшить дисперсию регулируемой величины) на один - два порядка. Вместе с тем, АСР с ПИД-регуляторами более чувствительны к отклонениям от оптимума параметров их настройки и поэтому предъявляют более жесткие требования к правильности выбора этих параметров. Это объясняется следующим: введение интегральной составляющей в алгоритм регулирования при прочих равных условиях ухудшает запас устойчивости системы. Вектор КЧХ разомкнутого контура с ПИ-регулятором располагается ближе к «опасной» точке -1/0 (по сравнению с П-регулятором). Чтобы восстановить требуемый запас устойчивости в системе с ПИ-регулятором, приходится уменьшить коэффициент передачи, что нежелательно по соображениям точности регулирования (линейный интегральный показатель пропорционален отношению TJkp). Эффект компенсации отставания по фазе, вносимого интегральной составляющей (по крайней мере, на определенных частотах), может быть достигнут введением в закон регулирования производной от ошибки без изменения коэффициента передачи регулятора - то есть дифференцирующей составляющей ПИД-регулятора. Причем можно не только скомпенсировать отставание по фазе, вносимое интегральной составляющей, но и ввести опережение по фазе. Однако введение воздействия по производной приводит к удалению КЧХ от точки -1,/0 разомкнутого контура только в диапазоне частот КЧХ объекта, расположенном в пределах третьего и четвертого квадратов комплексной плоскости. В пределах же второго квадрата опережение по фазе способствует приближению соответствующего участка характеристики разомкнутого контура к точке —1 г/0, следовательно, уменьшает запас устойчивости системы. Таким образом, в каждом конкретном случае имеется свое оптимальное значение веса производной в законе функционирования регулятора - значение « = ГД/Ги, которое и надлежит определить в расчете оптимальной настройки ПИД-регуляторов. Наличие неопределенности в модели объекта тоже является одной из главных причин осторожного внедрения в практику большинства разработанных АСР с ПИД-регулятром. Такая неопределенность состоит в том, что принятая в анализе и синтезе автоматических регуляторов модель, как правило, отличается от реального объекта некоторой неопределенной ошибкой, влекущей снижение качества или уменьшение запаса устойчивости. Соответственно, для оценки последствий неопределенности следует рассматривать вопросы анализа и синтеза АСР на основе не точно определенного, а интервального объекта, т.е. рассматривать систему относительно семейства объектов, параметры или характеристики которых изменяются в определенном диапазоне. Проблемы анализа и синтеза АСР, решаемые с учетом неопределенности объектов принято называть робастными.
Теоретически ПИД-алгоритм обеспечивает сколь угодно высокую динамическую точность в системах с объектами второго порядка. Однако его эффективность снижается в системах с транспортным запаздыванием. В отличие от АСР с ПИ-алгоритмом, в параметрическом синтезе ПИД- регулятора существенное значение имеет точность математической модели объекта управления.
Методы параметрического синтеза АСР с ПИД-регуляторами
Основная задача параметрического синтеза АСР заключается в определении значений параметров настройки регулятора, доставляющих экстремум целевой функции при выполнении определенных ограничений и, прежде всего, ограничения на запас устойчивости системы. Для АСР целевая функция должна характеризовать динамическую точность системы, находящейся под воздействие возмущений.
Для характеристики динамической точности АСР используют прямые показатели качества (динамическая ошибка регулируемой величины, продолжительность переходного процесса в реакции на стандартное ступенчатое воздействие) и косвенные интегральные критерии качества (линейный, квадратичный, модульный).
Прямые показатели качества, хотя и используются для решения задач параметрического синтеза, в большей степени пригодны для сравнительного анализа переходных процессов и наглядной характеристики конечного результата параметрического синтеза.
Косвенные методы оценки качества АСР с использованием интегральных критериев применяют как в аналитических, так и поисковых методах параметрического синтеза. Интегральные критерии позволяют получить усредненную оценку отклонения управляемой переменной при ступенчатом возмущающем воздействии.
Расчеты настроек АСР по интегральным критериям качества /, h не гарантируют достаточную интенсивность затухания переходных процессов. Поэтому в критерий оптимального функционирования системы регулирования приходится вводить дополнительные ограничения, с помощью которых можно целенаправленно влиять на возникающие в ней переходные процессы. Введение таких ограничений производится либо путем соответствующего усложнения показателя оптимальности (в этом случае минимизируется не просто среднее значение квадрата ошибки, а, например, взвешенная сумма квадратов ошибки и производной ошибки), либо при неизменном минимизируемом функционале вводятся добавочные ограничения на показатели, характеризующие затухания переходного процесса. Первый способ удобен тем, что он позволяет оставить неизменной процедуру поиска оптимума, лишь в той или иной степени усложняя ее. Однако при ее практическом использовании возникает определенные затруднения в каждом конкретном случае в формулировке критерия оптимальности. Например, если в критерий вводится производная от ошибки регулирования, трудно выбрать конкретное значение весового коэффициента при этой составляющей. Поэтому в практических расчетах предпочтение отдают второму способу ввода ограничений на затухание переходных процессов.
Наиболее удобными способами введения такого рода ограничений являются: 1) Задание в плоскости корней характеристического уравнения системы области, за пределы которой не должен выходить ни один из этих корней. Интенсивность затухания (степень затухания) переходного процесса при этом связывается с расположением доминирующей сопряженной пары комплексных корней s\t2 - - а ± /со характеристического уравнения системы через корневой показатель колебательности т = а /со . Этот метод был разработан Е.Г. Дудниковым [12]. 2) Задание в плоскости комплексной частотной характеристики разомкнутой системы Wp.c(/co) области, включающую в себе «опасную» точку -1, /0, внутрь которой не должна заходить эта характеристика. Этот подход использовал В.Я. Ротач [43]. В этом случае степень затухания переходного процесса коррелированна со значением частотного показателя колебательности М.
В теории и практике определения оптимальных настроек ПИД-регуляторов используют аналитические методы, основанные на выше перечисленных и аналогичных способах задания запаса устойчивости системы регулирования; методы расчетов настроек регулятора по приближенным эвристическим и основанным на аналитических методах формулам; поисковые методы с целевыми функциями, обоснование которых основано на аналитических методах. Настоящая работа посвящена развитию аналитического метода оптимального параметрического на основе совместного использования в качестве ограничения корневого т и частотного М показателей колебательности.
Обзор методов определения настроек ПИД-регулятора. Проблеме параметрического синтеза АСР с ПИД-алгоритмом посвящены сотни работ. Так, например в [63] - работе, суммирующей опыт теоретических исследований, проектирования и настройки систем управления с ПИД-алгоритмом содержатся ссылки на 205 источников на английском языке (в этот перечень не вошли работы, опубликованные в СССР и России).
Все множество методов определения настройки ПИД-регуляторов, можно разделить на три группы:
1) Методы, обеспечивающие заданный характер переходных процессов АСР по каналам управляющего и / или регулирующего воздействий в реакции на ступенчатое возмущение. Цель состоит в том, чтобы достичь конкретного демпфирования (степени затухания) для переходной характеристики замкнутой системы. Для определения настроек используются эмпирические формулы или поисковые алгоритмы.
2) Методы, в которых для обеспечения заданного запаса устойчивости используется ограничение на расположение полюсов (корней характеристического уравнения) замкнутой системы. Для выбора оптимальных настроек используются интегральные критерии качества. К этой группе относятся и методы с назначением полюсов (полюсов и нулей) передаточной функции замкнутой системы. 3) Методы, в которых для обеспечения заданного запаса устойчивости используется ограничение на расположение КЧХ разомкнутой системы. Для выбора оптимальных настроек используются интегральные критерии качества.
Включенный в работу обзор отражает в приведенной выше последовательности принципиальные основы этих групп методов.
В 1942 году Циглером и Никольсом была опубликована работа «Оптимальные настройки автоматических регуляторов» [97]. Это первая работа, в которой были предложены эмпирические правила настройки типовых линейных П-, ПИ- и ПИД-регуляторов, основанные на выполненных на реальном объекте измерениях. Согласно этим правилам замкнутая система «объект -П-регулятор» выводится путем увеличения коэффициента передачи Кр на границу устойчивости. В этом режиме определяются критическое значение коэффициента передачи (Кр)крт и период колебаний Ггр.
Расчет линий заданного запаса устойчивости т - const для АСР с идеальным ПИД-алгоритмом
Практическое требование к автоматической системе регулирования, диктуемое свойствами реальных объектов регулирования, заключается в том, что АСР должна обладать определенным запасом устойчивости. Запас устойчивости гарантирует работоспособность системы при отклонении в некоторых пределах ее параметров и изменении ее характеристик со временем из-за нестационарности объекта или при изменении режима работы в силу нелинейности объекта. Требование запаса устойчивости накладывает ограничение на область расположения корней характеристического уравнения замкнутой системы и/или расположение КЧХ разомкнутой системы в плоскости КЧХ. В первом случае в качестве меры запаса устойчивости используют корневой показатель колебательности т, во втором - частотный показатель колебательности М.
Каждому из этих показателей присущи свои специфические достоинства и недостатки. Корневой показатель колебательности в отличие от частотного удобен для аналитического расчета границ области заданного запаса устойчивости (линий т = const) в пространстве параметров настройки широко используемых на практике П-, ПИ- ПИД- регуляторов. В то же время практика расчета показывает, что при заданном значении корневого показателя не всегда обеспечивается требуемая форма переходных процессов - более определенной оказывается связь между М и Ч1. Этим определяется целесообразность установления соотношения между широко используемыми в расчетах показателями запаса устойчивости АСР.
При расчете на заданный запас устойчивости АСР с ПИД-алгоритмом определению подлежат три параметра настройки: коэффициент передачи кр, коэффициент при интегральной составляющей кн = Агр/Ги и постоянная дифференцирования Гд. Определение ограничения в трехмерном пространстве в аналитической форме на основе критерия запаса устойчивости (2.1) возможно. Однако более удобно рассматривать ограничение в плоскости параметров кр, ки. Для уменьшения размерности пространства параметров, вводят условие неизменности отношения постоянной дифференцирования Тд к постоянной интегрирования Ги. Это позволяет, используя замену Тл = аТи, исключить из непосредственного рассмотрения значение кл.
Вид линий т = const для АСР с ПИД-алгоритмом существенно зависит от значения а = Тд/ Ги. При малых значениях а линии m = const имеют форму петли. По мере увеличения а вершина петли удаляется от начала координат и при некотором значении а приобретает форму пика. Соответствующее этой форме линии m = const значение а называется критическим (оскрит). При а акрит происходит самопересечение ветвей петли, и область заданного запаса устойчивости ограничивается ветвями линии m = const, лежащими ниже точки пересечения. Типичная форма линий т - const при различных значениях а показана на рис. 2.3: кривая 1 с пиком в точке а получается при а = акрит (для данного объекта), кривая 2 с самопересечением в точке Ъ получается при а акрит, значениям а акрит, отвечают гладкие петлеобразные кривые, подобные кривой 3.
Таким образом, для АСР с ПИД-регулятором существует такое значение ос = акрит, при котором при заданном ограничении тдоп достигается максимально возможное значение (&и,макс)макс и соответственно - максимальная динамическая точность системы.
Значение акрит находится в зависимости от динамических свойств объекта, значения корневого показателя колебательности т и в общем случае не определимо аналитически. В среде MathCAD проще всего произвести оценку этого значения методом подбора (обычно в расчете достаточно сделать три -четыре пробных шага). Можно также использовать численный метод определения акрит или анимацию в среде MathCAD при достаточно малом шаге изменения параметра а.
При критическом значении а коэффициенты ки и кр имеют максимальные значения в точке (и)тах, если ее сскрит, то по достижении (кц)тах значение кр продолжается увеличиваться. На этом свойстве линий построена представленная ниже подпрограмма для вычисления сскрит с заданной точностью Да. a = ceo % осо сскрит; % задается начальное значение для нахождения. Forz=l; While z = z; a = ceo + Да; % Да приращение значения a. If &p(comax+ Aa, a) p(comax,a); % comax - частота, при которой кн (Ли)тах z = z+ 1; Else Break End a; End End Сткрит — CC - Aa/2 Критическое значение a позволяет оценить предельные возможности ПИД-алгоритма и в определенном смысле - целесообразность применения ПИД-алгоритма при условии его робастной настройки.
В одноконтурных АСР с П-, И-, и ПИ-алгоритмом регулирования при настройках на линии т = const по линейному или квадратичному интегральным критериям как правило оправдывается гипотеза доминирующей пары сопряженных комплексных корней с расчетным значением тдоп, вносящей наибольший вклад в формирование переходного процесса,. При этом между показателями запаса устойчивости т, М и \(/ сохраняется примерное1 соотношение:
Точное соответствие между т, М и ці соблюдается в частном случае, когда передаточная функция замкнутой АСР по каналу управляющего воздействия совпадает с передаточной функцией колебательного звена. Расчеты показывают, что параметры настройки ПИД-регулятора при ограничении т = шдоп и условии (&И; Макс)макс не обеспечивают выполнения гипотезы доминирующей пары корней и примерного соблюдения соотношения между показателями устойчивости т, М и \j/ для затухающих колебательных процессов.
Несоблюдение гипотезы доминирующей пары корней не позволяет использовать методику выбора оптимальных настроек на линии т = const по условиям т= таоп, („, макс )макс при общепринятых значениях показателей запаса тдоп.
Анализ влияния настроек ПИД-регулятора на распределение корней характеристического уравнения замкнутой системы
Анализ влияния настроек ПИД-регулятора на распределение корней характеристического уравнения замкнутой системы производится для выявления особенностей АСР с ПИД-алгоритмом, обоснования условий для выбора оптимальных настроек регулятора в области заданного запаса устойчивости АСР и оценки влияния вариации параметров системы на поведение АСР.
Из приведенных данных следует, что 1) среди корней характеристического уравнения нельзя выделить доминирующие корни - на форму переходных процессов оказывают влияние обе пары корней; 2) при настройках, соответствующих точкам на верхней ветви линии т = 0,366 (т. Ь), более сильное влияние на переходный процесс оказывает высокочастотная пара сопряженных комплексных корней; 3) при настройках, соответствующих точкам на нижней ветви линии т = 0,366 (т. с), более сильно влияние на переходный процесс оказывает низкочастотная пара сопряженных комплексных корней; 4) настройки, соответствующие точке а, (А:и макс )макс не удовлетворяют общепринятым значениям показателей запаса устойчивости (М= 3,47; у = 0,705);
Параметрический синтез и анализ динамики АСР с цифровым ПИД-регулятором
Современные системы управления строятся с использованием микропроцессорных контроллеров, и алгоритмы автоматического регулирования реализуются программным путем. При цифровой реализации алгоритма в структуру микропроцессорного регулятора входят вычислительное устройство (ВУ), аналого-цифровой (АЦП) и цифроаналоговой (ЦАП) преобразователи, обеспечивающие сопряжение регулятора с реальным непрерывным объектом регулирования.
При этом, поведение АСР с цифровым ПИД-регулятором будет определяться не только параметрами настройки кр, Тю Тд, но и значением интервал квантования сигнала по времени Т: с увеличением Т, запас устойчивости АСР при прочих равных условиях снижается. Эта зависимость имеет сложный характер, и для ее установления (при заданных параметрах настройки регулятора и значении Т) требуется определение показателей запаса устойчивости (степени затухания \j/, частотного показателя запаса устойчивости М) по переходным и частотным характеристикам АСР. Выбор значения Т обычно носит поисковый характер, зависит от опыта разработчика. В этой главе, кроме расчета параметров ПИД-регулятора, рассматривается выбор этого значения.
Расчет оптимальных параметров настройки регулятора с учетом интервала квантования включает в себя следующие этапы: 1. Определение в пространстве параметров настройки регулятора области заданного запаса устойчивости АСР. 2. Выбор по принятому критерию оптимальности значений параметров настройки с учетом найденных ограничений. 3. Проверка результатов расчета.
После расчета параметров цифрового регулятора значение интервала квантования Г снова проверяется по формулам (3.5) и (3.6) но уже с параметрами цифрового регулятора. Расчет границы области заданного запаса устойчивости (линии заданного запаса устойчивости т = const) производится по расширенным частотным характеристикам объекта регулирования по уравнениям, полученным на основе обобщенного критерия Найквиста.
Область устойчивости в плоскости z в этом случае ограничивается окружностью единичного радиуса. Число корней ъ\ характеристического уравнения замкнутой системы зависит от значения интервала квантования Т. Чем меньше значение Т, тем больше число корней и тем ближе динамика дискретной системы к соответствующей идеальной системе.
При изменении параметров и и кр на линии m = const, ближайшие к точке 1,у 0 плоскости z две пары комплексно-сопряженных корней характеристического уравнения замкнутой системы соответственно меняют свое расположение в зависимости от а акрит, а = акрит и а акрит. Остальные корни располагаются на удалении от точки 1, 0/. Определяемые этими корнями составляющие переходного процесса слабо влияют на общее решение: амплитуды колебаний этих составляющих в десятки раз меньше амплитуд, созданных первыми двумя корнями. Расположение корней и корневые годографы в плоскости, рассчитанные с использование дискретной модели объекта (2.11) представлены на рис. 3.3.
При настройках регулятора на линии т = const для диапазона частоты соо - »с параметры регулятора имеют неотрицательные значения. Среди корней характеристического уравнения замкнутой системы можно выделить две пары корней, которые располагаются в комплексной плоскости z ближе других к точке 1,/0. При изменении к„ и кр на линии т = const соответственно изменению рабочей частоты от со0 до сое, одна пара стремится к точке 1, у О а другая отходит от нее.
Характерной особенностью АСР с ПИД-регулятором является то, что при настройках при а акрит одна из доминирующих пар комплексных сопряженных корней характеристического уравнения замкнутой системы всегда располагается внутри области запаса устойчивости, левее кривой, определенной формулой y = exp(-mnouO)T±ja T) на плоскости z и стремится к точке 1,у 0 с при изменении настроек с увеличением частоты. При этом вторая пара корней удаляется по линии т = ттп отточки 1,у0(рис. 3.4, а). Если а акрит (рис. 3.4, в), то при настройках, соответствующих участку линии т = const выше точки самопересечения одна пара корней находится вне области заданного запаса устойчивости (рис. 3.4 в).
В случае а акрит в отличие системы с идеальным ПИД-алгоритмом при некоторых настройках, соответствующих участку линии т = const выше точки самопересечения, корни могут достигнуть границы устойчивости Рис. 3.5. Корневые годографы (объект (2.11), Т = 0.1 с. акрит) окружности единичного радиуса (рис. 3.4, в). Это явление объясняется влиянием значения интервала квантования Т. В рассматриваемом случае, если уменьшить значение Гот 0,5 с до 0,1 с при неизменных значениях других параметров, корни не выйдут за пределы области запаса устойчивости т = 0,221, таоп = 0,366 (рис. 3.5). Настройки по условию т = таоп, [(ки)тях]тях. Настройки, соответствующие точке (И)тах) на линии т = const, обеспечивают минимум линейного интегрального критерия качества при соблюдении ограничения т = тдоп.
Критическое значение а зависит от динамических свойств объекта, значений корневого показателя колебательности т, интервала квантования Т. Как и в АСР с идеальным аналоговым регулятором, наблюдается совпадение двух пар корней характеристического уравнения замкнутой системы при настройках, соответствующих точке ( и)тах на линии т = const при а = акрит.
Настройки по условиям т = тдоп и М = Мдот а = акрмт. Каждой точке на линии m = const соответствует определенное значение частотного показателя колебательности М. Введение дополнительного ограничения позволяет получить настройки, обеспечивающие примерное соответствие между показателями т, М, \\i и снизить чувствительность АСР к вариациям параметров при цифровой реализации ПИД-регулятора. Эти положительные эффекты сопровождаются некоторым понижением динамической точности АСР. Выбор параметров настройки регулятора по условию т = тдоп и М= Мдоп, а = акрит производится следующим образом: оценивается значение акрит при соответствующем интервале квантования Т; рассчитываются зависимости &и(а, т, со, Т) =Д(о) при m = тдоп и а = акрИт по уравнению (3.8) и Af(co) на линии и(сс, т, 0), Т) по (3.6); определяются параметры настройки, удовлетворяющие ограничению т = шдопиМ=Мдоп; производится прямая проверка результатов расчета по переходной характеристике АСР. Начальное значение интервала квантования Т можно определить, используя оценку сотах в расчете АСР с идеальным регулятором по (3,5). После выполнения расчета параметров регулятора, производится проверка приемлемости выбранного значения Т и оценка модуля КЧХ замкнутого контура. Путем уменьшения периода квантования можно повысить точность регулирования АСР с цифровым регулятором. При малых значениях Т, качество АСР с цифровым ПИД-регулятором сравнимо с качеством АСР с идеальным регулятором. Значение Т ограничено максимально-возможной частотой квантования микропроцессорного контроллера реальной АСР. Идеальный регулятор является пределом возможности цифрового регулятора. В примере табл. 3.1 при уменьшении Г до 0,01 с линия т = 0,366 практически совпадает с линией АСР с идеальным регулятором.
При настройках, соответствующих точкам, находящимся на верхней ветви линии m = const (т.Ь ис ), для ближайшей к точке (1, /О) плоскостиz пары корней характеристического уравнение замкнутой системы m = тдоп. Эти настройки уступают по робастности настройкам, соответствующих точкам а 98 и d , так как при этих настройках для ближайшей к точке (1, ДО) плоскости z пары корней т тдоп.
