Содержание к диссертации
Введение
1. Литературный обзор и постановка задачи исследования 11
1.1. Описание технологической схемы и основных аппаратов установки МИДАС-250 для получения активированного угля из отходов переработки древесины 12
1.1.1. Общие сведения об установке 12
1.1.2. Технологическая схема установки 13
1.1.3. Основные аппараты установки 17
1.2. Литературный обзор научных работ, посвященных процессам, протекающим в основных аппаратах установки МИДАС-250 для получения активированного угля 24
1.2.1. Высокотемпературное разложение углеродсодержащих веществ 25
1.2.2. Тепло- массоперенос в псевдоожиженном слое 29
1.2.3. Влияние на теплофизические свойства древесины температуры, влажности и других параметров 33
1.2.4. Итоги литературного обзора 40
1.3. Анализ установки МИДАС-250 для получения активированного угля как объекта оптимизации 41
1.3.1. Словесная формулировка задач оптимизации технологических режимов установки 42
1.3.2. Особенности установки с точки зрения задач оптимизации ее режимов 43
1.3.3. Установка как объект оптимизации 45
1.4. Цели и задачи исследования 53
1.4.1. Цель исследования 53
1.4.2. Предварительная формализованная постановка задачи оптимизации технологических режимов установки 54
1.4.3. Основные задачи исследования 57
2. Разработка математических моделей технологических процессов, протекающих в основных аппаратах установки МИДАС-250 для получения активированного угля 58
2.1. Математическое описание процессов в пиролизере 59
2.1.1. Основные положения и допущения 61
2.1.2. Механизм и кинетика химических реакций. 62
2.1.3. Процессы в пиролизере на интервале работы 66
2.1.4. Процессы в пиролизере на интервале выгрузки- 77
2.2. Математическое описание процессов в активаторе с перегревателем пара 80
2.2.1. Основные положения и допущения 81
2.2.2. Механизм и кинетика химических реакций 85
2.2.3. Процессы в активаторе на интервале работы 86
2.2.4. Процессы в активаторе на интервале выгрузки 96
2.2.5. Процессы в перегревателе пара на интервале работы 99
2.3. Математическое описание процессов в парогенераторе 104
2.3.1. Основные положения и допущения 106
2.3.2. Процессы втопке на интервале работы 108
2.3.3. Процессы в котле на интервале работы 110
2.4. Алгоритмы решения уравнений математических описаний процессов, протекающих в основных аппаратах установки 116
2.4.1. Краткий анализ математических описаний процессов, протекающих в основных аппаратах 117
2.4.2. Выбор методов решения систем дифференциальных уравнений с частными производными, обыкновенных дифференциальных уравнений и смешанных систем 119
3. Идентификация математической модели установки МИДАС-250 для производства активированного угля по экспериментальным данным 132
3.1. Математическая модель установки 132
3.2. Методика идентификации математической модели установки 135
3.3. Анализ математических моделей отдельных аппаратов установки как объектов идентификации 138
3.3.1. Модель «Работа пиролизера» 140
3.3.2. Модель «Работа перегревателя пара» 144
3.3.3. Модель «Работа активатора» 147
3.3.4. Модель «Работа топки парогенератора» 149
3.3.5. Модель «Работа котла парогенератора» 152
3.4. Идентификация математической модели установки 154
3.5. Результаты проверки математической модели установки на адекватность 158
4. Исследование и оптимизация технологических режимов работы установки МИДАС-250 для производства активированного угля, функционирующей при различном исходном сырье 161
4.1. Исследование технологических режимов работы основных аппаратов установки 162
4.1.1. Свойства технологических режимов пиролизера 164
4.1.2. Свойства технологических режимов активатора 166
4.1.3. Выбор эффективных управляющих воздействий 176
4.2. Построение областей допустимых значений для расходов агентов в пиролизерах и активаторах 178
4.2.1. Формулы для расчета 179
4.2.2. Области допустимых значений 181
4.3. Уточненная формализованная постановка задачи оптимизации технологических режимов установки, функционирующей при различном исходном сырье 185
4.4. Алгоритм решения задачи оптимизации технологических режимов установки, функционирующей при различном исходном сырье... 187
4.4.1. Замечания о методах решения задач оптимизации 188
4.4.2. Описание алгоритма решения задачи оптимизации технологических режимов установки 191
4.5. Результаты решения задачи оптимизации технологических режимов установки при различном качестве исходного сырья 196
Выводы 204
Список использованных источников 205
- Влияние на теплофизические свойства древесины температуры, влажности и других параметров
- Выбор методов решения систем дифференциальных уравнений с частными производными, обыкновенных дифференциальных уравнений и смешанных систем
- Анализ математических моделей отдельных аппаратов установки как объектов идентификации
- Описание алгоритма решения задачи оптимизации технологических режимов установки
Введение к работе
Актуальность работы. В настоящее время вопросы утилизации отходов промышленного производства, оказывающих отрицательное воздействие на состояние окружающей среды, имеют исключительно важное значение. Одним из действенных методов (а в ряде случаев и единственным) борьбы с загрязнением окружающей среды является сорбционная доочистка промышленных стоков с использованием активированного угля. В частности, она дает хорошие результаты при очистке воды от фенолов, нефтепродуктов, органики и некоторых тяжелых металлов.
Однако этот сорбент, получаемый из обладающих высокой плотностью ценных пород древесины, каменного угля, торфа и косточковых структур фруктовых деревьев, весьма дорог, что препятствует широкому применению сорбционных методов очистки промышленных сточных вод. В то же время существует проблема использования отходов деревоперерабатывающей промышленности, часть из которых может рассматриваться как потенциальное сырье для получения недорогих сорбентов.
Процесс переработки таких отходов является обычно непрерывно-периодическим и сопряжен с большими затратами электроэнергии и природного газа. Поэтому в условиях, когда доля энергозатрат в себестоимости конечного продукта становится определяющей, возникает задача их минимизации. Эта актуальная задача может быть решена путем нахождения и реализации оптимальных технологических режимов процесса, соответствующих требуемым в конкретные периоды времени производительностям установки, перерабатывающей такие отходы, и обеспечивающих нужное количество активированного угля с качеством не хуже заданного. Еще одной актуальной и практически важной задачей оптимизации является достижение максимально возможной производительности установки по активированному углю при выполнении требований на его качество и при ограничениях на энергозатраты.
Впервые в России в пос. Малиновка Тамбовского района Тамбовской
области ЗАО «Экос-А» построена и функционирует разработанная НИР-ЭНИН им. Г.Р. Кржижановского и НВІД-КВАРТО мощная промышленная установка МИДАС-250 (Мобильное Изготовление Дешевых АдСорбентов). Она позволяет получать около 250 кг/час сравнительно недорогого активированного угля из отходов деревопереработки.
Технология получения активных углей (адсорбентов) предусматривает осуществлять тепло- и массообменные процессы в режиме слоя, взвешенного острой струей газа (СВОС). Благодаря высокой интенсивности проведения этих процессов кардинально сокращается цикл обработки материала (до 5 -10 мин.) по сравнению с традиционной технологией, осуществляемой в аппаратах барабанного типа со значительно большим циклом обработки (5 — 7 часов).
Технология и установка предназначены для производства активированного угля из различной древесины и могут быть применены в химической и энергетической отраслях промышленности.
Вследствие высокой мощности установки МИДАС-250 практически невозможно без серьезных экономических потерь обеспечить в полном объеме проведение экспериментальных исследований для определения оптимальных технологических режимов. Поэтому в качестве основного метода исследования в данной работе использован метод математического моделирования.
В соответствии с вышеизложенным была сформулирована следующая цель работы: исследование и оптимизация технологических режшмов установки МИДАС-250 путем создания адекватной данной установке математической модели.
В рамках сформулированной общей цели решались следующие конкретные задачи:
разработка адекватной математической модели технологических режимов установки МИДАС-250;
создание соответствующего программного обеспечения, которое позволяет эффективно решать уравнения математического описания, т.е. разраба-
8 тывать алгоритмы решения и довести их до уровня рабочих программ;
исследование технологических режимов установки МИДАС-250;
определение входных, выходных переменных, возмущающих и управляющих воздействий;
нахождение областей допустимых управлений установкой;
построение зависимостей выходных переменных установки от входных;
нахождение оптимальных зависимостей выходных переменных установки от управляющих воздействий.
Научная новизна.
Впервые поставлена и решена задача оптимизации технологических режимов производства активированного угля из отходов переработки древесины, функционирующего при разном исходном сырье и разной производительности по перерабатываемому сырью (на примере установки МИДАС-250).
Проведен анализ технологического процесса как объекта оптимизации и установки как объекта управления, что позволило выявить основные аппараты установки, от которых в решающей степени зависит качество и количество получаемого продукта и сформулировать различные задачи оптимизации.
Разработаны в виде отдельных модулей математические модели технологических процессов, протекающих в основных аппаратах установки.
Построена по модульному принципу математическая модель установки (представленной в виде совокупности основных аппаратов) для исследования и оптимизации технологических режимов ее работы при различном исходном сырье и разной производительности.
Проведена идентификация математической модели установки по экспериментальным данным.
Исследованы технологические режимы установки, определены эффективные управляющие воздействия, для которых выявлены области их допустимых изменений.
Разработан алгоритм решения задачи оптимизации и найдены опти-
мальные технологические режимы установки для различных видов перерабатываемого сырья.
Практическая значимость. В ЗАО «Экос-А» (г. Тамбов) используется комплекс разработанных программ при исследовании и оптимизации технологических режимов установки МИДАС-250, функционирующей при различных видах перерабатываемых древесных отходов.
Результаты диссертационного исследования апробированы на региональных, вузовских и аспирантских научных и научно-практических конференциях и нашли отражение в публикациях соискателя.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, выводов, списка цитируемой литературы и приложений. Основная часть диссертации изложена на 149-страницах, содержит 36 рисунков и 5 таблиц, список литературы включает 123 наименования.'
В первой главе дана общая характеристика.технологии получения активированного угля, приведено описание технологической схемы» установки МИДАС-250, предназначенной для производства' активированного угля, а также ее основных аппаратов, оказывающих решающее воздействие на качество готовой продукции. Представлен литературный обзор опубликованных работ по производству сорбентов, ожижению твердого топлива, влиянию те-плофизических характеристик древесины на качество получающегося активированного угля. Проведен анализ установки как объекта управления, позволивший формализовать задачи оптимизации технологических режимов ее работы. Сформулированы цели и задачи исследования.
Во второй главе разрабатаны математические описания технологических процессов, протекающих в основных аппаратах установки МИДАС-250: пиролизере, активаторе с перегревателем пара, парогенераторе. Приведено описание алгоритма, используемого при решении соответствующих уравнений математических описаний. Таким образом, разработаны математические модели пиролизера, активатора с перегревателем пара, и парогенератора, оформленные в виде отдельных модулей.
В третьей главе на основе математических моделей основных аппара-
тов построена и идентифицирована по экспериментальным данным математическая модель установки МИДАС-250. Описана использованная методика идентификации. При этом определена наиболее рациональная последовательность расчета моделей этих аппаратов, которая позволяет весьма эффективно использовать в последующем построенную модель для решения сформулированных задач оптимизации. Проведен анализ математических моделей основных технологических процессов как объектов идентификации, указаны их настроечные параметры. Показано, что в связи с невозможностью контролировать некоторые важные при оценке адекватности технологические переменные на установке с помощью локальных средств КИП и А, следует определить такую последовательность идентификации отдельных математических моделей, при которой выходные переменные уже идентифицированных моделей используются в качестве «псевдо-измеряемых» входных переменных для моделей, подлежащих идентификации. Приведены результаты идентификации.
В четвертой главе решены задачи оптимизации технологических режимов работы установки МИДАС-250, функционирующей при различных видах исходного сырья — древесных отходов, а также в режиме переменной производительности по конечному продукту - активированному углю. Предварительно проведено исследование, целью которого было определение чувствительности выходных переменных установки к входным параметрам и выделение наиболее эффективных фактических управляющих воздействий. Построены области допустимых управлений для различных, важных для практики, режимов работы установки. Предложены технические решения, позволяющие эффективно реализовывать оптимальные технологические режимы.
Благодарности: автор признателен за оказанную помощь, предоставле-ные материалы для исследования и полезные консультации генеральному директору АО «Экос-М» Головину В.М, заместителю генерального директора Селезневу А.П., и начальнику технологической службы Савинкову В. А.
Влияние на теплофизические свойства древесины температуры, влажности и других параметров
Теплопроводность - это один из видов переноса теплоты (энергии теплового движения микрочастиц) от более нагретых частей тела к менее нагретым, приводящий к выравниванию температуры. В этом случае перенос энергии в теле осуществляется в результате непосредственной передачи энергии от частиц (молекул, атомов, электронов), обладающих большой энергией, частицам с меньшей энергией.
Коэффициент теплопроводности X обозначает количество тепла, передаваемого в единицу времени через единицу поверхности при единичном температурном градиенте, т.е. при перепаде температур в один градус на единицу длины по нормали к тепловому потоку. Для каждого значения X указывается температура, которой это значение соответствует. Когда такое указание отсутствует, данные относятся к комнатной температуре.
С точки зрения теории теплопроводности древесина является сложной дисперсной системой с тонковолокнистым строением [82]. Теория теплопроводности для таких материалов в настоящее время разработана весьма неполно и только в общих чертах. Древесина не в полном смысле слова твердое тело, а дисперсный материал, для нее X — условный коэффициент, поскольку передача тепловой энергии в ней производится всеми тремя способами - теплопроводностью, излучением и конвекцией. Это означает, что тепловой поток в древесине распадается на поток тепла через клеточные оболочки (твердый каркас) и на поток тепла через поры (полости клеток). Последний род передачи тепла распадается на излучение, теплопроводность и конвекцию. Так как размеры пор в древесине очень малы, то конвекцией можно пренебречь. Теплопередача излучением в древесине также при обычных температурах не велика.
Как уже ранее отмечалось, влажная древесина, вообще говоря, представляет трехфазную систему, включающую в себя: твердую фазу — древесное вещество; жидкую фазу, состоящую из свободной и связанной воды; и газообразную фазу — воздух и водяные пары. Теплопроводность каждого из трех компонентов различна. Для древесного вещества в плотном состоянии (пористость равна нулю) А, находится в пределах от 0,25 до 0,34 Кдж/(м-час-К). Коэффициент теплопроводности воды, находящейся в порах, равен 0,5 Кдж/(м-час-К), т.е. выше, чем у древесины. Молекулярная теплопроводность воздуха, находящегося в порах разхмером не более 0,1 мм, составляет 0,0216 Кдж/(м-час-К). Поэтому влажность древесины является одним из важнейших факторов, определяющих ее теплопроводность, а замена воздуха в полостях клеток на воду вызывает значительное увеличение коэффициента теплопроводности.
Влияние влажности W на X сильнее, чем можно было предполагать, исходя из значений коэффициентов теплопроводности составляющих древе-сину компонентов, особенно при невысоких значениях влажности. Причина в I том, что первые порции воды, обволакивая волокна древесины, увеличивают X именно тех участков ее, которые составляют основную часть общего термического сопротивления, образуя как бы мостики теплопроводности.
Другим фактором, влияющим на теплопроводность древесины, является температура, с повышением, которой X возрастает, что весьма характерно для теплоизоляционных материалов. Это связано с увеличением доли теплопередачи через клеточные оболочки посредством лучеиспускания.
Плотность древесины, косвенно отражающая ее пористость, также оказывает значительное влияние на теплопроводность, так как при ее изменении изменяется весовое соотношение между отдельными компонентами, X для которых различна. С увеличением объемного веса или с соответствующим уменьшением пористости теплопроводность древесины увеличивается. На теплопроводность древесины влияет не только пористость, но форма, размеры, а также расположение пор. Поскольку размеры пор различны в различных направлениях древесины, то отсюда следует анизотропный характер ее теплопроводности.
Одним из первых русских ученых, исследовавших теплопроводность древесины, был И. Н. Георгиевский. Полный обзор данных по теплопроводности древесины дан в работе Б.Н. Кауфмана [38], где приводятся обобщения по теплопроводности органических материалов, включая древесину, с учетом влажности, объемного веса и температуры.
Согласно [38] зависимость теплопроводности древесины от температуры в большинстве случаев подчиняется уравнению: где Х0 - коэффициент теплопроводности древесины при 0С; (3 - коэффициент пропорциональности, учитывающий влияние породы (объемный вес древесины и индивидуальные особенности ее строения — размеры и объем сердцевинных лучей, процента поздней древесины, ширины годовых слоев и т. д.), t - температура. Формула (1.6) справедлива только при влажности древесины W = const, 4 что было подтверждено Г. М. Кондратьевым [43] для древесины сосны, Е. Г. Кротовым [45] для древесины березы и многими другими исследователями. Для теплопроводности древесины поперек волокон Б. Н. Кауфман [38] получил следующую общую формулу среднего прироста коэффициента теплопроводности 8w на 1% объемной влажности в зависимости от ее объемного веса (в %): Формула (1.7) справедлива лишь при влажности W 30%. При W 30% линейный характер зависимости X = f(W) нарушается, так как при заполнении полостей клеток водой влияние влажности на теплопроводность постепенно уменьшается. Это согласуется с теорией теплопроводности в дисперсных материалах [82]. Н.М. Кириллов [41] полагает, что зависимость X = f(W) носит не линейный, а криволинейный характер в диапазоне влажности от 0 до 100%. Многие исследователи считают, что порода оказывает весьма существенное влияние на ее теплопроводность [41, 43, 104]. Так, Г.М. Кондратьев [43] и Н.М. Кириллов [41], сравнивая, например, сосну и дуб и встречаясь с фактом более высокого значения X для древесины дуба, относили это за счет влияния породы. Вместе с тем есть и другое утверждение, чти влияние породы на Ху незначительно и что более высокое значение X древесины дуба объясняется не столько особенностями анатомического строения ее, сколько влиянием более высокой плотности. Последняя точка зрения, высказанная Б.С. Чудиновым и В.И. Степановым в [104] представляется нам более правильной, так как дает возможность в расчетах свести до минимума влияние такого трудно выразимого посредством цифр фактора, как порода. Влияние породы в этом случае обусловлено лишь некоторыми несущественными особенностями анатомического строения древесины. Что касается таких важнейших особенностей отдельных пород, как пористость, процент поздней древесины, то их влияние на X может быть выражено посредством условного объемного веса уу. Это дает возможность получить наиболее обобщенную картину теплопроводности древесины любой породы, что, конечно, является большим преимуществом.
Выбор методов решения систем дифференциальных уравнений с частными производными, обыкновенных дифференциальных уравнений и смешанных систем
Активация, по данным, приведенным в технологическом регламенте установки, включает в себя следующие основные процессы : подвод активирующего агента АА к поверхности поступивших в активатор частиц ПК; диффузию компонентов потока АА в поры частиц; химические реакции, протекающие в потоке АА и внутри частиц; отвод газообразных продуктов реакции с поверхности частиц.
Скорость процессов, происходящих при активации, и формирование пористой структуры частицы активированного угля АУ, согласно [101], зависят в решающей степени от температурного и гидродинамического режимов в аппарате, времени іц цикла взаимодействия частиц ПК с АА, реакционной способности перерабатываемого материала, размера частиц ПК.
Перегреватель пара, расположенный на крышке активатора, играет вспомогательную, хотя и очень важную роль. С его помощью нагревается до температуры 1150С водяной пар ВП, непрерывно поступающий из парогенератора, который необходим для активации загружаемого в активатор полукокса ПК.
Технологически перегреватель пара предшествует активатору, который обладает следующей особенностью - по твердому веществу (полукоксу ПК) он является циклически работающим аппаратом, а по газовым потокам - непрерывно работающим. Учитывая степень важности и сложности протекающих в этих аппаратах процессов, вначале рассмотрим и математически опишем работу активатора, а затем перегревателя пара. Будем учитывать тот факт, что активатор время Тц цикла работает с загруженной в него порцией полукокса ПК, затем в течение некоторого времени igp идет выгрузка получившегося активированного угля АУ в охладитель и вновь процесс повторяется. Причем перед поступлением в активатор полукокс ПК некоторое время Тц находится в дозаторе, куда он выгружается из пиролизера. При выводе соответствующих уравнений далее, дополнительно к предположению, сделанному во введении к главе, о восьмикомпонентном составе обрабатываемых частиц и участвующих в технологическом процессе газообразных потоков принимаются следующие допущения: - частицы ПК в пиролизере имеют форму параллелепипеда, одинаковы по размеру и их количество в порции ПК постоянно ; - в активаторе и перегревателе пара гидродинамический режим близок к режиму идеального перемешивания; - температура в любой точке объема частицы ПК считается одинаковой; - тепловой эффект химических реакций, по сравнению с количеством тепла, подводимого в рабочий объем активатора от электронагревателя ЭН и с потоком АА, пренебрежимо мал; - природный газ и воздух, поступающие в камеру сгорания перегревателя пара, находятся в стехиометрическом соотношении, т.е. природный газ ПГ сгорает полностью; - смесь газов в перегревателе пара описывается уравнением состояния для идеального газа; - воздух представляет собой двухкомпонентную смесь (21% кислорода 02 и 79% азота N2); - природный газ ПГ полностью состоит из метана СН4. Предположение о форме и размерах частиц ПК основано на том, что перерабатываемая в установке древесина предварительно измельчается в рубильной машине. Число же частиц для соответствующей производительности
Постоянно для конкретной производительности установки. определяется поступившей в активатор порцией ПК. Допущение о режиме идеального перемешивания для активатора основывается на том, что процесс активации проходит в псевдоожиженном слое, а для перегревателя пара оно является следствием высоких скоростей подачи в аппарат природного газа ПР и воздуха, а также водяного пара ВП. Равенство температуры по объему частицы было обосновано в выводах авторов [17], подтверждено серией проведенных нами" расчетов, показавших, что нагревание частиц ПК (из-за их небольшого размера) происходит во много раз быстрее самого процесса активации, а также на данных, приведенных в [26, 78, 77]. Суммарный тепловой эффект химических реакций,с учетом того, что некоторые из них являются эндотермическими реакциями, по нашим подсчетам, не составляет и 1 % от тепла, подводимого в активатор электронагревателем ЭН и приходящего с активирующим агентом АА. Остальные допущения, относящиеся к перегревателю пара, представляются очевидными и весьма распространенными.
Заметим, что качество процесса активации определяется концентрациями химических компонентов в порах частиц АУ. Процесс активации будем считать завершенным, если в порах частиц ПК концентрация углерода превосходит суммарные концентрации остальных компонентов в 20 раз. При достижении этого условия практически заканчивается за приемлемое время процесс удаления из пор частицы АУ ненужных компонентов.
Анализ математических моделей отдельных аппаратов установки как объектов идентификации
При решении дифференциальных уравнений с частными производными, которые возникают при исследовании инженерных задач, используют аналитические и численные методы. Однако, аналитические решения удается получить только в простейших случаях. В основном, особенно при решении систем таких уравнений или смешанных с обыкновенными дифференциальными, или с алгебраическими, или с интегральными уравнениями систем, приходится применять различные численные методы [15, 24, 28, 27, 28, 30, 31, 36, 37, 50, 51, 53, 54, 70, 81, 84, 87, 92, 103].
Широкое распространение получил метод сеток, под которым понимается собирательное название группы приближенных методов решения дифференциальных, интегральных и интегро-дифференциальных уравнений. Применительно к дифференциальным уравнениям с частными производными этот термин имеет синонимы «метод конечных разностей» и «разностный метод». Он является одним из наиболее распространенных универсальных методов решения задач, связанных с дифференциальными уравнениями.
При решении задач сеточными методами получается совокупность приближенных значений функции в некоторой конечной системе точек, для которой, в случае необходимости, можно построить формулу приближенного представления решения во всей области изменения переменных.
В этих методах исходное дифференциальное уравнение с частными производными, представляют его разностным аналогом. При этом необходимо: - заменить область непрерывного изменения аргумента областью дискретного его изменения; - заменить дифференциальный оператор некоторым разностным оператором; - сформулировать разностный аналог для краевых условий и начальных данных. После осуществления такой процедуры решение дифференциального уравнения сводится к решению системы алгебраических уравнений. Свойства разностного решения и, в частности, его близость к точному решению зависят от выбора разностной схемы. Существует три вида разностных схем: явные, неявные и экономичные [5, 13, 14, 21, 21, 49, 55]. Разностная схема называется явной, если значения искомой функции восстанавливаются от слоя к слою. Ее устойчивость зависит от соотношения шагов по времени т и пространственным координатам h; схема будет устой х чивой, если —г-О.5 [52, 83]. Преимуществом схемы является то, что на каж-h дом шаге не требуется решать систему алгебраических уравнений, а недостаток состоит в том, что при малых значениях шага h требуется, соответственно, значительное уменьшение шага по времени.
Если конечно-разностное уравнение построено таким образом, что связывает несколько точек слоя с одной точкой предыдущего, то такая разностная схема называется неявной [55]. Преимуществами такой схемы является ее устойчивость при любом выборе шага, а недостатком - необходимость на каждом шаге решать систему алгебраических уравнений.
При решении систем разностных уравнений, аппроксимирующих нестационарные задачи с числом пространственных переменных два или более, возникают затруднения, связанные с тем, что число арифметических операций, необходимых для отыскания решения на новом временном слое резко возрастает при измельчении сетки. Разностную схему называют экономичной, если отношение числа действий, необходимых для отыскания решения на новом временном слое, к числу узлов пространственной сетки не зависит от числа узлов сетки. Обычно неявные многомерные разностные схемы не являются экономичными. Наиболее эффективным приемом построения экономичных разностных схем является метод сведения многомерных задач к нескольким одномерным задачам. Любой сеточный метод для дифференциальных уравнений приводит к большим системам линейных алгебраических уравнений. Например, в случае многомерных стационарных задач число уравнений достигает порядка 104 10б. Одномерные разностные задачи обычно решают методом подгонки, представляющим собой вариант метода последовательного исключения неизвестных. Наиболее распространенными методами решения многомерных сеточных уравнений являются интеграционные методы. Более удобным методом численного решения резко сокращающим число вычислительных операций, является переход от уравнений в частных производных к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, который осуществляется заменой всех частных производных отношением конечных разностей, кроме одной, являющейся независимой переменной в полученной системе обыкновенных дифференциальных уравнений. При таком подходе, как при чисто разностном решении, вся область, в которой ищется решение, разбивается на ряд зон. Материальные и тепловые балансы составляются и решаются для каждой из зон последовательно, причем число уравнений в системе соответствует числу зон. Для решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений используют метод Эйлера и различные методы Рунге - Кутта, являющиеся од-ношаговыми, т.е. такими, в которых для вычисления функции на следующем шаге достаточно знать ее приближенное значение на предыдущем шаге. Существуют также и многошаговые методы, в которых необходимо знать значения функции в нескольких предыдущих точках - экстраполяционный, или явный, и интерполяционный, или неявный. Применение многошаговых методов возможно лишь в случае, если известны значения решения в первых к-ых узлах. Для нахождения этих значений обычно пользуются одношаговыми методами, погрешность которых пропорциональна соответствующей степени шага h. Для решения линейных краевых задач широко применяется метод прогонки. Ряд специфических краевых задач можно решить методом пристрелки, а для остальных применяются различные варианты метода Ньютона решения нелинейных краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений или варианты других методов решения нелинейных краевых задач. Иногда используются вариационные методы: метод Ритца, метод Га-леркина и т.д., сводящие решение краевой задачи к задаче минимизации функционала.
При выборе разностной схемы, которую планируется использовать для решений дифференциальных уравнений в частных производных следует учитывать, будет ли она использоваться отдельно или совместно с другими уравнениями математического описания. Например, в нашем случае дифференциальные уравнения с частными производными (2.8) используются совместно с уравнениями химической кинетики (2.5) и (2.7), покомпонентного и теплового балансов пиролизера (2.15), которые вместе образуют жесткую задачу. Применять экономичную или неявную схему в данных условиях не имеет смысла, так как увеличение шага по времени достаточно сильно сказывается на точности интегрирования вышеперечисленных дифференциальных уравнений.
Описание алгоритма решения задачи оптимизации технологических режимов установки
Существует большое разнообразие методов поиска экстремума функций, которые условно можно разделить на классические, безградиентные, градиентные и методы случайного поиска.
Под классическими методами подразумеваются те подходы к поиску точек экстремума функции, которые основаны на дифференциальном исчислении. Обычно они применяются при поиске для «хороших» функций (непрерывных, гладких и т.д.) одной и нескольких переменных, у которых существуют аналитические выражения. Эти методы достаточно подробно описаны в учебниках по математическому анализу [28,27,28,30,31].
Однако, на практике эти методы не применимы, так как аналитического выражения для целевой функции как правило нет, поскольку она является трудновычислимой функцией, каждое значение которой определяется с помощью весьма непростых математических моделей реальных объектов.
К численным методам минимизации (максимизации) функций одной переменной относят следующие методы: деления отрезка пополам, «золотого сечения», чисел Фибоначчи, ломаных, покрытий и т.д. Такие методы используются как вспомогательные, при поиске минимума целевой функции многих переменных с помощью какого-либо метода при движении вдоль выбранного определенным образом направления (в зависимости от метода) в пространстве изменения независимых переменных.
К безградиентным методам поиска экстремума функции относят такие методы, которые не требуют вычисления производных. Это, например, метод Гаусса — Зейделя, симплексный метод и т.д. Они достаточно просты, поскольку нет необходимости вычислять производные, которые требуют много времени, особенно для сложновычислимых функций. Однако, движение к оптимуму здесь происходит по траекториям, достаточно далеким от наилучших. Имеются и другие недостатки.
Существует также большое количество градиентных методов минимизации, связанных с вычислением частных производных, функций нескольких переменных. В них движение к экстремуму происходит по более рациональным траектория, поскольку градиент (антиградиент) показывает направление наискорейшего возрастания (убывания) целевой функции. К ним относят методы: градиентный, наискорейшего спуска, проекций вектор-градиента, проекции субградиента, условного градиента, возможных направлений, линеаризации, сопряженных направлений, метод покоординатного спуска, метод штрафных функций и т.д. [24].
Каждый из перечисленных методов предполагает выбор направления движения в пространстве поиска и наиболее эффективен при решении задач определенных классов. Например, первые два — градиентный метод и метод наискорейшего спуска основаны на свойстве градиента или антиградиента функции показывать направление наибыстрейшего изменения функции. Метод же линеаризации на каждой итерации использует линейные аппроксимации минимизируемой функции и функций, задающих ограничения.
Скорость сходимости упомянутых методов поиска на овражных функциях сильно зависит от правильного выбора шага: при большом шаге на крутых поворотах оврага может произойти выброс из оврага, а при очень малом шаге поиск можен сильно замедлиться. Кроме того, в градиентном методе, методе скорейшего спуска, методе проекций градиента, методе проекции субградиента, методе условного градиента, методе возможных направлений, методе линеаризации, использующих градиент функции, на каждой итерации учитывается информация лишь о линейной части приращения минимизируемой функции в окрестности получаемой точки [24]. К примеру, с помощью этих методов точку минимума квадратичной функции можно гарантированно найти теоретически лишь за бесконечное количество итераций.
Метод сопряженных направлений является одним из тех методов, которые позволяют найти минимум квадратичной функции за конечное число шагов и дает удовлетворительные результаты для неквадратичных функций. Также этот метод сходится к точке минимума гладких функций быстрее градиентных методов, поскольку в окрестности точки минимума гладкая функция достаточно хорошо аппроксимируется квадратичной функцией.
Метод покоординатного спуска [5, 15, 37, 103] применяется в случае, когда минимизируемая функция либо не обладает нужной гладкостью, либо является гладкой, но вычисление ее производных с нужной точностью требует слишком большого объема работ или машинного времени.
Метод штрафных функций дает простую и универсальную схему решения задач минимизации при ограничениях типа неравенств. Он заключается в том, что к минимизируемой функции добавляются так называемые штрафные функции, увеличивающие значение минимизируемой функции в случае нарушения ограничений. Однако, хотя сам метод достаточно прост, при его использовании в решении практических задач минимизации можно встретить определенные трудности. Например, для хорошего приближения к решению задачи минимизациии штрафной коэффициент приходится брать достаточно большим, при этом свойства функции могут ухудшиться (например минихмизируемая функция может стать более овражистой).
Методы случайного поиска [24] объединяют в себе группу методов поиска, характеризующихся намеренным введением случайности в алгоритм поиска. В них, либо случайным образом генерируется требуемая, достаточно большая последовательность точек в пространстве поиска, в которых вычисляется значения целевой функции, и тем самым с заданной вероятностью обеспечивается поиск минимума этой функции. Либо случайным образом выбираются подходящие направления убывания целевой функции, вдоль которых ищется минимум, и так до тех пор, пока не будет найдена точка, из которой нет подходящих направлений убывания. Однако, вследствие непредсказуемой сходимости, такие методы не подходят для данного исследования, где расчет всего лишь одного приближения целевой функции занимает несколько часов.
Вышесказанное, а также личный опыт автора позволяют сделать вывод о том, что в данной работе для поиска экстремума целевой функции нескольких переменных целесообразно использовать метод сопряженных направлений. Этот метод хорошо зарекомендовал себя на овражистых функциях и имеет достаточно хорошую сходимость. Исходя из опыта автора, для его сходимости достаточно 50 итераций на модельных овражистых функциях.
