Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Обзор работ в области моделирования приводов станков с ЧПУ. Сравнительный анализ возможностей некоторых программных продуктов для математического моделирования
1.1 Обзор работ в области моделирования и динамического расчета приводов станков с ЧПУ 9 стр.
1.2 Обзор возможностей современных программных продуктов для математического моделирования динамических систем 21 стр.
1.2.1 Основные свойства системы MATLAB 22 стр.
1.2.2 Основные свойства системы MathCAD 25 стр.
1.3 Выводы. Задачи, решаемые в диссертационной работе 29 стр.
Глава 2. Математические модели элементов приводов станков в среде MathCad: модели двигателей, модели механических передач, модель трения
2.1 Некоторые общие положения и понятия 32 стр.
2.2 Математические модели двигателей 36 стр.
2.2.1 Модель асинхронного двигателя с короткозамкнутым ротором 38 стр.
2.2.2 Модель двигателя постоянного тока с независимым возбуждением 52 стр.
2.3 Математическое моделирование механизмов передачи движения в среде MathCAD 56 стр.
2.3.1 Общие положения 56 стр.
2.3.2 Расчет собственных частот и форм колебаний для двухмассовой системы 61 стр.
2.3.3 Расчет собственных частот и форм колебаний для цепных и разветвленных систем с произвольным числом элементов 64 стр.
2.3.4 Упрощение расчетных схем 71 стр.
2.3.5 Моделирование механизмов преобразования движения во временной области 78 стр.
2.4 Математическая модель движения ползуна по направляющим при гранич
ном трении 85 стр.
2.4.1 Общие положения 85 стр.
2.4.2 Математическая модель движения ползуна по направляющим в среде Mathcad 87 стр.
2.5 Выводы 95 стр.
Глава 3. Идентификация модели механической части привода методом цифрового преобразования Лапласа: постановка задачи, алгоритм решения, численные эксперименты
3.1 Общие положения и основные понятия 97 стр.
3.2 Методика идентификации линейных динамических систем при помощи дискретного преобразования Лапласа 101 стр.
3.3 О влиянии помех на достоверность идентификации по методу ЦПЛ 110 стр.
3.4 Выводы 117 стр.
Глава 4. Моделирование оптимальной структуры следящего привода подач станка с ЧПУ в среде Mathcad
4.1 Основные положения и понятия 119 стр.
4.2 Модель двухкоординатной системы следящего привода станка с ЧПУ в среде Mathcad 122 стр.
4.3 Исследование влияния нелинейностей в скоростном контуре и параметров механической части на сохранение оптимальных свойств следящего привода 132 стр.
4.3.1 Влияние токоограничения 134 стр.
4.3.2 Влияние зоны нечувствительности 136 стр.
4.3.3 Влияние соотношения параметров электропривода и механизма преобразования движения 139 стр.
4.4 Выводы 141 стр.
Основные результаты работы и общие выводы 146 стр.
Список литературы
- Обзор работ в области моделирования и динамического расчета приводов станков с ЧПУ
- Некоторые общие положения и понятия
- Общие положения и основные понятия
- Основные положения и понятия
Введение к работе
С середины 70-х годов XX века в СССР проводились интенсивные работы по автоматизации проектирования металлорежущих станков, в частности - в области автоматизации расчетов станочных узлов и механизмов. Ведущую роль в этих работах играли такие конструкторские организации и предприятия, как СКБ-1, СКБ-6, з-д «Красный Пролетарий» (Москва), ОКБС, з-д им. Свердлова (Санкт-Петербург), УГСКБ ТиУС (Ульяновск), ГСПО (Нижний Новгород) и др. Лидером в области автоматизации расчетно-конструкторских работ являлся Экспериментальный Научно-исследовательский институт металлорежущих станков (ЭНИМС), где в период с 1974 по 1989 годы был выполнен комплекс НИР, посвященных этой проблематике. Их результатом явилось создание автоматизированной системы (АСРКР), охватывающей основные узлы и механизмы станков в рамках подсистем: «Главный привод»; «Привод подач и вспомогательных перемещений»; «Шпиндельный узел»; «Несущая конструкция».
Первые программные реализации перечисленных подсистем были написаны на языке ФОРТРАН-IV и эксплуатировались на больших ЭВМ семейства ЕС в «пакетном» режиме обработки данных. Однако первый опыт использования показал, что для реальной эксплуатации в конструкторских организациях и на предприятиях такое решение практически непригодно. Дело в том, что машины семейства ЕС ЭВМ эксплуатировались в вычислительных центрах в условиях «закрытого предприятия»: пользователь должен был сдавать в вычислительный центр подготовленное по специальной форме задание и получать результаты, в лучшем случае, через несколько часов, а иногда и через несколько дней. Естественно, что для оперативной работы конструктора такой режим был неприемлем. Кроме того, обработка заданий в вычислительном центре часто выполнялась с техническими ошибками оператора (наиболее распространенная ошибка - не- правильный порядок перфокарт в «колоде», предназначенной для обработки, в результате чего появлялись бессмысленные результаты). Наконец, основное предназначение вычислительных центров состояло в организации АСУП - автоматизированных систем управления предприятием, т.е., в первую очередь (на том уровне развития) в выполнении учетных функций и выпуске всякого рода отчетов для вышестоящих организаций. В этих условиях задания конструкторских подразделений рассматривались как необязательные и выполнялись в последнюю очередь.
Все это привело разработчиков АСРКР к выводу о необходимости перехода на принципиально иной класс вычислительных средств, обеспечивающий, в отличие от пакетного, диалоговый режим обработки данных с участием конечного пользователя - конструктора, расчетчика. Таким классом технических средств явились появившиеся в конце 70-х г.г. так называемые «малые ЭВМ» семейства СМ ЭВМ. Эти машины, в отличие от ЕС ЭВМ, требовали значительно меньше производственной площади (12 - 15 кв. м. вместо 40 - 60 кв. м.) и стоили на порядок дешевле. Это предопределило возможность установки этих ЭВМ непосредственно в конструкторских залах и прямой доступ к ним конечных пользователей. На базе СМ ЭВМ стали создаваться автоматизированные рабочие места (АРМ) конструкторов, оснащенные первыми образцами средств машинной графики: графическими дисплеями, графопостроителями и т.д.
Перенос программного обеспечения АСРКР на СМ ЭВМ обусловил существенный прогресс в деле внедрения системы в практику расчета и проектирования станков: за несколько лет система была внедрена более чем в 30 конструкторских бюро (самостоятельных и заводских). Она использовалась при проектировании свыше 50 моделей станков с общим годовым выпуском свыше 3000 шт.
Следующий этап развития и внедрения системы АСРКР связан с появлением персональных компьютеров (ПК), которые в конце 80-х г.г. стали распространяться на предприятиях и в конструкторских бюро станкостроения. В это время были сделаны первые попытки переноса программного обеспечения сие- темы на ПК с использованием присущих этой технике графических средств. К сожалению, в силу известных социально-экономических причин, этому этапу не суждено было завершиться. В 1991 - 1992 г.г. все работы были прекращены, коллектив разработчиков распался, и система практически прекратила существование.
Указанные годы оказались «роковыми» для отечественного станкостроения в целом. Отрасль оказалась неконкурентоспособной, многие предприятия и конструкторские организации были закрыты, объемы выпуска металлорежущего оборудования сократились на порядки. Такая ситуация в отрасли сохраняется и в настоящее время.
Следует, однако, отметить, что провозглашенный руководством России курс на инновационное развитие отечественной экономики [ ] вряд ли может быть в полной мере реализован без возрождения станкостроения. Внедрение современных высоких технологий требует соответствующего технологического оборудования, которое сегодня в РФ не выпускается. Практически стопроцентный импорт станков может породить новую зависимость России от западных партнеров, со всеми вытекающими из такой зависимости негативными последствиями.
Возрождение отечественного станкостроения потребует, в первую очередь, восстановления конструкторского корпуса, кадровый потенциал которого в значительной мере утрачен. Один из путей преодоления указанного отрицательного фактора, обеспечивающий решение проблемы с минимально возможной и необходимой численностью квалифицированных конструкторов и расчетчиков, состоит в автоматизации проектирования вообще и автоматизации расчетов в частности. Для реализации этого пути следует в полной мере использовать опыт, накопленный несколькими поколениями отечественных исследователей и инженеров, в том числе отмеченный выше опыт создания АСРКР.
Если восстановление программных реализаций системы АСРКР сегодня представляется практически невозможным (программные коды утеряны), да и нецелесообразным (вследствие коренных изменений в методах и технологиях программирования), то научно-методические решения в значительной степени сохранили актуальность и требуют лишь некоторых доработок, учитывающих современное состояние мирового станкостроения. Это, в первую очередь, относится к математическим моделям узлов и механизмов станков, в частности -узлов, механизмов и систем привода исполнительных органов станков с числовым программным управлением (ЧПУ). Следует отметить, что эти узлы, механизмы и системы относятся к числу наиболее ответственных составных частей современного станка, в значительной мере определяющих его точность, производительность и общую технологическую эффективность.
Для современных ПК разработаны и имеются на рынке программных продуктов специализированные прикладные программные средства (ПС), позволяющие реализовать любые математические модели без применения программирования и, как следствие, без привлечения профессиональных программистов. Все эти ПС позволяют успешно возобновить работы по математическому моделированию узлов, механизмов и систем привода исполнительных органов станков с ЧПУ на новом научно-методическом и программно-техническом уровне.
Все вышеизложенное свидетельствует об актуальности темы настоящей диссертационной работы, основная цель которой состоит в совершенствовании методов математического моделирования и расчета узлов, механизмов и систем привода исполнительных органов станков с ЧПУ посредством оптимизации указанных объектов (в первую очередь - по критерию точности) с использованием современных прикладных программных средств на персональном компьютере.
Работа состоит из введения, четырех глав и заключения.
Первая глава содержит аналитический обзор результатов работ в области математического моделирования узлов, механизмов и систем привода исполнительных органов станков с ЧПУ, в том числе ранее выполненных в ЭНИМС. Приводятся результаты сравнительного анализа имеющихся на рынке прикладных ПС для математического моделирования и дается обоснование выбора ПС, используемого для практической реализации процедур моделирования и оптимизации. Уточняются цель и задачи работы.
Во второй главе описываются, развиваются и реализуются в среде выбранного ПС математические модели основных элементов приводов станков с ЧПУ. Приводятся результаты исследования основных свойств этих элементов методом численного эксперимента на ПК. Описывается методика формирования общей модели привода станка с ЧПУ из моделей элементов.
Третья глава посвящена весьма важному в теоретическом и практическом плане вопросу идентификации модели механической части привода, свойства которой оказывают существенное влияние на качество системы привода в целом. Разработана оригинальная методика такой идентификации, Приводятся результаты проверки методики в вычислительном эксперименте.
В четвертой главе решается задача структурной оптимизации следящего привода подачи станка с ЧПУ, описывается методика оптимальной настройки регуляторов и анализируются условия поддержания оптимальных свойств привода при учете влияния нелинейностей. Приводятся результаты проверки методики численными экспериментами.
В Заключении сформулированы основные выводы по работе.
Обзор работ в области моделирования и динамического расчета приводов станков с ЧПУ
Эффективность применения любого металлорежущего станка, в том числе станка с ЧПУ, зависит, в первую очередь, от его производительности и точности. Как известно, эти характеристики тесно связаны между собой. Так, например, высокой производительности можно добиться, применяя форсированные режимы резания, однако при этом почти неизбежна потеря точности, обусловленная возрастанием сил резания и, следовательно, увеличением деформаций и уровня вибрации в технологической системе станка, увеличением динамических погрешностей следящих приводов и т.д. Возможна и обратная ситуация, когда повышения точности обработки добиваются за счет существенного снижения производительности (увеличение числа проходов при малых глубинах резания, уменьшение подачи и т.д.).
Помимо указанной связи производительности и точности, имеют место связи производительности и точности с надежностью (в смысле безотказности и ремонтопригодности), металлоемкостью и энергопотреблением. Эти связи под-робно раскрыты в [ ]. В этой работе также показано, что на основные характеристики станка1 существенно влияет качество приводов главного движения, подач и вспомогательных перемещений, в первую очередь - динамические свойства этих приводов.
Приводы станков с ЧПУ представляют собой сложные технические системы, состоящие из элементов различной физической природы: механических, гидравлических, электрических, электромеханических, электронных и др. Их динамика описывается нелинейными системами дифференциальных уравнений, корректное решение которых возможно только методами математического моделирования.
В 70-ых - 80-ых г.г. XX века отечественные и зарубежные исследователи уделяли проблеме динамического расчета приводов станков самое серьезное внимание, о чем свидетельствует большое количество опубликованных работ. В этих работах многими авторами были предложены различные методики и математические модели, с помощью которых получены важные научные результаты. Многие исследователи продолжили работы и в наступившем веке.
В первую очередь здесь необходимо отметить многочисленные работы В.Л. Вейца и его учеников, посвященные различным аспектам динамики машин и машинных агрегатов, в том числе приводов станков [3,4,5 и др.]. Одной из последних по времени публикации является монография [б,2] в которой впервые в мировой научной литературе представлены в систематизированном виде результаты исследований динамики приводов технологических машин с самотормозящимися механизмами. В приводах станков такими механизмами являются передачи «винт - гайка скольжения» и червячные передачи. Рассмотрены процессы трения в этих механизмах, выполнено исследование нелинейных вынужденных колебаний приводов. Рассмотрены вопросы устойчивости стационарных равновесных режимов движения приводов, представленных различными динамическими моделями. Изучены нестационарные режимы, в частности, режимы разгона, свободного выбега и динамического торможения приводов с жёсткими и упругими звеньями. Развиты общие положения динамики систем приводов с кусочно-линейными характеристиками.
Из числа ученых - механиков большой вклад в динамику приводов технологических машин внесли М.З. Коловский, В.И. Бабицкий, В.К. Асташев, кото-рые в книге [ ] представили модели и концепции динамики машин и управления в соответствии с основными этапами проектирования. Машина рассматривается авторами как динамическая система, включающая двигатель, механизмы и систему управления. Показано ее поведение в различных режимах и взаимодейст- виє составляющих машины под действием динамических нагрузок. Объяснены наиболее важные динамические эффекты в машинах. Проанализировано влияние составных частей машин и механизмов на точность, эффективность, стабильность работы. Рассматриваются динамические особенности цифрового управления и ряд других вопросов.
Основные сведения о принципах построения динамических моделей механизмов и приводов машин, их математическом описании и методах расчета приводятся в работе И.И.Вульфсона [ ].
Важный вклад в рассматриваемую проблему внесли работы О.П. Михайлова, в том числе обобщающая монография [9], где динамика электромеханического привода металлорежущих станков рассматривается с позиций инженера -станкостроителя.
В контексте данной работы нельзя не отметить многочисленные труды в области автоматизированного электропривода (в том числе - с шаговыми электродвигателями) ученых Московского энергетического института (МЭИ, ныне технический университет): М.Г. Чиликина, В.И. Ключева, А.С. Сандлера [10,п,12 и др.], Б.А. Ивоботенко [ ] и многих других.
Не обошли вниманием проблему динамического расчета приводов машин ученые Государственного института машиноведения (ИМАШ) АН СССР. Здесь можно выделить труды А.Е. Кобринского [14], А.И. Корендясева [15] и др.
В зарубежной научно-технической литературе проблемам динамики приводов машин вообще и металлорежущих станков в частности посвящены сотни (если не тысячи!) публикаций американских, немецких, английских, японских и других исследователей, так что сколько-нибудь полный обзор этих публикаций в ограниченном объеме диссертации не представляется возможным. Поэтому здесь мы ограничимся упоминанием нескольких работ, результаты которых будут использованы в дальнейшем. К их числу отнесем работы [1б,17,18519,20]. В [15] описывается методика построения моделей механизмов с помощью графов связей, в [ ] обсуждаются вопросы динамики привода с силовыми шаговыми дви-гателями. Работы [ ] посвящены описанию математических моделей приводов с асинхронными электродвигателями. В статье [19] рассмотрены нелинейные модели, описывающие переходные процессы в крутильных колебательных системах.
Во всем многообразии работ по динамике и моделированию приводов станков особое место занимают труды ученых Экспериментального научно-исследовательского института металлорежущих станков (ЭНИМС). Этому корпусу работ присущи как широта и комплексность охвата проблемы, так и глубина проработки ее различных аспектов. Важным общим свойством этих работ является доведение их результатов до практического применения, как в форме многочисленных методических рекомендаций (отраслевых руководящих материалов), так и в форме расчета конкретных конструкций металлорежущих станков различных технологических групп.
Работы специалистов ЭНИМС в области исследования и расчета динамических свойств приводов станков можно с известной степенью условности разделить на три группы: 1) работы, посвященные преимущественно электротехническим аспектам и проблемам динамики электропривода; 2) работы, посвященные вопросам динамики гидравлических приводов; 3) комплексные работы, рассматривающие динамику электромеханических, гидромеханических, электрогидромеханических систем привода.
Некоторые общие положения и понятия
Как известно, задача приводов исполнительных механизмов металлорежущего станка - осуществление всевозможных механических движений. Эти движения реализуются посредством преобразования различных видов энергии (электрической, энергии движущейся жидкости или газа и т.д.) в механическую работу. В соответствии с общеизвестными физическими законами движение происходит в пространстве и во времени. Для описания процессов движения применяются математические модели, получившие название динамических систем. Ниже приводятся краткие сведения о динамических системах, необходимые для лучшего понимания дальнейшего содержания работы.
Пусть изучаемая система в произвольный момент времени Т находится в некотором состоянии, описываемом вектором Xh Компоненты вектора Хг -величины, однозначно определяющие состояние системы и называемые (по аналогии с известным понятием теоретической механики) обобщенными координатами. В момент времени Т+АТ система придет в состояние Х2, причем в силу ее физических свойств между состояниями Xi и Х2 существует связь вида Х2(Т+А T)=L Xj(T) , (2.1) где L - оператор, преобразующий предыдущее состояние в последующее. Множество X всех возможных векторов состояния образует векторное пространство, именуемое пространством состояний или фазовым пространством. Оператор L порождает в пространстве X множество траекторий, которое принято называть фазовым портретом системы, характеризующим ее динамическое поведение. Пространство X и оператор L представляют собой множество и заданное на нем отношение, о которых говорится в абстрактном определении математической модели, приведенном в [53], где утверждается, что «математической моделью принято называть мнооїсество (класс) абстракт ных математических объектов (чисел, векторов и т.д.) и отношения между ними».
Если величина J Г принимает конечные значения, то динамическая система, определяемая выражением (2.1), называется дискретной. Если же оператор L сохраняет смысл при AT — 0 , динамическая система называется непрерывной. Оператор L может зависеть от вектора параметров q : L = L(q) (2.2) Векторы q принадлежат пространству параметров Q, т.е. q є Q, и каждому значению вектора q отвечает свой фазовый портрет, т.е. динамическое поведение системы зависит от параметров. Операторное представление динамической системы вида (2.1) редко используется в приложениях. На практике применяют два вида описаний динамических систем, эквивалентные приведенному выше: - в форме системы обыкновенных дифференциальных уравнений: = F[X(t),U(t),q,t] (2.3) at где X(t) - «-мерный вектор состояний системы, зависящий от времени t; U(t) - ш-мерный вектор внешних воздействий; q - к - мерный вектор параметров; -F-я-мерная вектор-функция; - посредством передаточной функции, как это принято в теории автоматического регулирования [54] : X = WU (2.4) где X, U - лапласовы изображения векторов X(t) и U(t), W - передаточная функция (точнее - матрица передаточных функций, передаточная матрица). Форма описания (2.4) применяется преимущественно для линейных динамических систем, когда понятия преобразования Лапласа и передаточной функции имеют четко определенный теоретический и практический смысл. Форма (2.3) наиболее универсальна, может быть использована при любом виде функции F, в том числе и при ее существенной нелинейности, и является основой моделирования динамических систем с помощью компьютера. Покажем на простом примере связь между формами (2.3) и (2.4) и возможность их преобразования друг в друга.
В данном разделе приводятся реализованные в среде Mathcad математические модели нескольких типов двигателей, наиболее часто применяемых в приводах металлорежущих станков. Дифференциальные уравнения этих моделей даны в окончательном виде (без вывода). Более подробную информацию и вывод уравнений можно найти в [2 31].
Описываемая здесь математическая модель асинхронного электродвигателя с короткозамкнутым ротором позволяет изучить динамические свойства такого двигателя в режимах пуска, реверса, изменения частоты питающей сети (частотное регулирование), приложения и снятия внешней нагрузки и др. Известно [ ], что процессы пуска и реверса сопровождаются интенсивными колебаниями момента, развиваемого двигателем, причем пиковые значения момента при колебаниях могут в несколько раз превосходить величину номинального момента двигателя. Колебания возникают как в начале переходных процессов, так и при выходе на стационарный режим. Последние объяснены и воспроизведены в модели, описанной в [ ]. Что касается колебаний в начале процесса, то для них в [ ] дается весьма искусственное объяснение, далекое от истинной природы. Вместе с тем, с этим явлением необходимо считаться при проектировании механизмов, приводимых в движение асинхронными двигателями, поскольку в переходных процессах разгона и торможения противовключением (реверса) из-за неблагоприятных сочетаний параметров двигателя и механической системы могут возникать резонансные явления, а пиковые значения движущего момента следует учитывать при расчете механизма на прочность3.
Общие положения и основные понятия
Система, совершающая прямолинейные колебания Несмотря на внешнюю простоту, расчетные схемы, подобные приведенным выше, отличаются большим разнообразием как по числу элементов (степеней свободы), так и по структуре, подразделяясь, в первом приближении, на цепные (см. рис. 2,19, 2.20) и разветвленные. Схемы, в которых каждая из масс соединена не более чем с двумя смежными массами, будем называть цепными, а схе мы, в которых хотя бы одна из масс соединена более чем с двумя смежными, назовем разветвленными.
В отличие от моделей двигателей, в которых для получения результата моделирования достаточно задать необходимые исходные данные, моделирование механизмов передачи движения требует значительной подготовительной работы, включающей в себя следующие основные этапы: 1. Анализ технической документации (чертежей сборочных единиц и от дельных деталей) и подготовка расчетной схемы в виде цепной или разветвлен ной системы. Обычно такая (исходная) схема может содержать несколько де сятков инерционных элементов (сосредоточенных масс) и соответствующее число соединяющих эти массы упругих элементов («невесомых пружин»). Me то дика подготовки расчетных схем подробно описана в [ ]. 2. Предварительные вспомогательные расчеты (определение спектра собственных частот и основных форм колебаний) 3. Упрощение исходной расчетной схемы, т.е. сведение ее к системе с 2 - 5 степенями свободы. Общие принципы и некоторые алгоритмы такого упрощения описаны в работах [23,56,57]. 4. Вспомогательные расчеты по п. 2 для упрощенной расчетной схемы. 5. Формирование уравнений движения для упрощенной расчетной схемы и их численное интегрирование.
Для механических колебательных систем с сосредоточенными параметрами в качестве обобщенных координат принято выбирать либо абсолютные перемещения масс системы, либо их относительные перемещения, т.е. деформации элементов, соединяющих массы. В нарушение теоретикомеханическои строгости будем в дальнейшем эти элементы именовать связями.
Обе формы записи абсолютно эквивалентны с точки зрения адекватности отображения свойств моделируемой системы, однако различаются в отношении организации вычислений.
Уравнения вида (2.38) удобно использовать при расчете собственных частот (частот собственных колебаний) системы (см. ниже), а уравнения (2.39) - при моделировании систем, у которых левый конец левой пружины не заделан, как это показано на рис.2.20, 2.21, а перемещается по некоторому предписанному закону xrj(t). В этом случае возможно неограниченное нарастание координат x-j и Х2, что отрицательно сказывается на точности вычислений. В то же время деформации qoi, q-2 остаются, как правило, ограниченными, а их изменения с достаточной полнотой характеризуют колебательные процессы в системе. Поэтому оказывается удобным одновременное использование обеих систем координат, одну из которых (X) будем называть (условно!) основной, а другую (Q) - вспомогательной [31].
Все вышеизложенное допускает обобщение на системы с произвольным числом элементов (сосредоточенных масс и невесомых пружин) и с произвольной схемой их соединения (т.е. для цепных и разветвленных систем). На рис. 2.19 - 2.21 показаны примеры цепных систем. Уравнения (2.43), (2.44), (2.45), (2.46) являются универсальными и описывают системы с любым числом элементов и любой структуры. Специфика конкретной системы отражается в размерах матриц М и С, а также в размере и форме матрицы A. Mathcad позволяет формализовать процедуру формирования необходимых матриц. Описание этой процедуры начнем с цепных систем. В первую очередь введем правила нумерации элементов. 1) Пронумеруем массы слева направо, присвоив им номера от 0 до N (N = К -1, где К -число масс в схеме). 2)
Нумерацию элементов выполним по сформулированным выше правилам, приняв для определенности следующий порядок (не являющийся, впрочем, обязательным): массам верхнего ряда присвоим номера от 0 до 4, а массам нижнего ряда - от 5 до 7. Аналогично предыдущему примеру выполним и нумерацию упругих связей. Тогда векторы J, С1 и матрицы Jl, G сохранят свой вид и размер, а все особенности новой структуры найдут отражение в форме матрицы А1.
Смысл этих изменений становится понятным, если рассматривать эту матрицу как своего рода таблицу соединений. Единицы на главной диагонали свидетельствуют о том, что каждая масса "соединена сама с собой". Число -1 вне главной диагонали (т.е. в ячейке, находящейся на пересечении і - ого столбца и к - ой строки, причем k i) означает, что масса J соединена с массой Jj пружиной ( расположенной слева от массы Jfc. Для цепных систем, где массы "следуют друг за другом", это приводит к тому, что значениями -1 оказывается заполненной диагональ, расположенная непосредственно под главной (см. матрицу А1). Именно такая "стандартная" матрица формируется программой, приведенной на рис. 2.24. В разветвленной системе, когда нельзя заранее сказать, в каком месте находится разветвление, а двойные индексы не предусмотрены, приходится действовать следующим образом.
Сначала при помощи программы A(N) формируем матрицу А1 так, как будто система является цепной. Затем создаем матрицу А2 и присваиваем ей значение А1. В строке с номером к (номер первой массы в ответвляющемся участке) выполняем следующие изменения: 1) в ячейку (к, к-1) вместо -1 заносим 0; 2) в ячейку (к, і) вместо 0 заносим -1 (і - номер массы, находящейся в точке разветвления. Ниже все это показано на примере. Матрица А1 получена для цепной системы, показанной на рис. 2.23. Далее ее значение присвоено матрице А2. Поскольку, согласно рис. 2.26, разветвление начинается от массы J2, а первая масса в ответвлении - J5, в ячейку (5,4) матрицы А2 вместо -1 помещаем 0, а в ячейку (5,2) - вместо 0 помещаем -1, после чего матрица А2 приобретает вид, показанный ниже: Г 1 0 0 0 0 0 0 о Г і 0 0 0 0 0 0 ) -1 1 0 0 0 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 0 А1 = 0 0 0 0 -10 1 -1 01 0 0 0 - 0 "сг0 0 -1 о"" 1 01 0 0 00 00 00 00 0\ 0 0\ч(К -1-ч і" -1 01 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 сГ0 -1 01 0 0 1о 0 0 0 0 ч ч ч -1ч ч ч ч 1. U- о 0 0 0 0 -1 1 Выполняя далее преобразование (2.44), получим матрицу жесткостей G2 для разветвленной системы: G2:= A2T-G-A2 ґ я 1.3x10 -1.3Х 106 0 0 0 0 0 0 -1.3X106 2.03 х 107 -1.9Х 107 0 0 0 0 0 0 -1.9 х 107 5.2 х Ю7 -5х 106 0 -2.8 х 107 0 0 G2 = 0 0 -5х106 8.9x106 -3.9 х 106 0 0 0 0 0 0 -3.9 х 106 3.9x106 0 0 0 0 0 -2.8 х Ю7 0 0 5.8 х Ю7 -Зх 107 0 0 0 0 0 0 -Зх 107 3.39 х 107 -3.9 х 106 І о 0 0 0 0 0 -3.9 х 106 3.9 хЮ6 j 70 В отличие от матрицы G1 матрица G2 не является трехдиагональной, хотя и остается симметрической. Далее ее можно использовать для нахождения собственных частот и форм колебаний разветвленной системы в точности так же, как это было сделано выше для цепной системы. Описанная выше методика расчета собственных частот и форм колебаний цепных и разветвленных механических систем реализована в документе Mathcad mechanicxmcd, фрагменты из которого приведены в настоящем разделе. Чтобы использовать эту методику для расчета конкретной системы, необходимо выполнить следующие операции: 1) подготовить расчетную схему (структуру) системы и определить ее параметры (массы и коэффициенты жесткости); 2) открыть документ Mathcad mechanicxmcd и сохранить его под другим именем (с помощью команды «сохранить как» в меню «Файл» в главном окне Mathcad); 3) задать в соответствии с расчетной схемой количество элементов К и сформировать векторы J и С1; 4) если подлежащая расчету система - цепная, то достаточно с помощью программы A(N) сформировать структурную матрицу А1, и переместив курсор так, чтобы на экране был виден график форм колебаний (рис. 2.25), нажать кнопку "=" на панели инструментов или клавишу F9, получить все необходимые результаты; при этом все, что относится к разветвленным системам, а также комментарии, которые, по мнению расчетчика, окажутся лишними, из рабочего документа можно исключить (сохранить следует только те элементы документа, которые в приведенных фрагментах подсвечены).
Основные положения и понятия
При решении любой технической задачи разработчик располагает набором (множеством) функциональных элементов, из которых он создает некоторые комбинации - структуры, обладающие необходимыми свойствами. Понятно, что решение одной и той же задачи возможно при помощи разных структур, которые не могут быть равноценными, в связи с чем необходимо ввести меру их качества. Такой мерой, как правило, служит расход тех или иных ресурсов: материала, энергии, времени и т.д. Каждому /-му варианту структуры можно (при прочих равных условиях) поставить в соответствие расход ресурса Qi (і = 1,2 ... N). Множество вариантов всегда ограничено, и в нем не все варианты допустимы. Подмножество допустимых вариантов имеет численность М N.
Пусть требование к системе состоит в том, чтобы расход ресурса был минимален. Тогда задача структурной оптимизации состоит в том, чтобы из множества допустимых вариантов выбрать вариант, имеющий (при заданном способе нумерации) номер], для которого Qj -»min(l j М) .
Отсюда следует важный практический вывод: приводы станков с позиционными системами ЧПУ, не испытывающие в процессе работы переменных нагрузок от сил резания, следует настраивать по критерию максимального затухания, обеспечивающему подход к заданной координате с одной стороны; приводы станков с контурными и многокоординатными системами ЧПУ, воспринимающие в процессе работы значительные переменные нагрузки, обусловленные силами резания, предпочтительно настраивать по критерию точности либо по критерию Грехема - Летропа.
Модель двухкоординатной системы следящего привода станка с ЧПУ и все относящиеся к этой модели эксперименты описаны в документе servodrive.xmcd. В последующем тексте приводятся фрагменты этого документа.
В документе использована модель двигателя постоянного тока с независимым возбуждением, описанная в разд. 2.2.2 (документ Mathcad ДвПостТока.хтс(Г). Модель представлена уравнениями (2.27) - (2.32). Для конкретности, как и в упомянутом разделе, приняты параметры высокомомент-ного двигателя ДК 1-5.2-100.
В первую очередь рассмотрим вопрос о реализации передаточных функций оптимальной структуры скоростного контура по формулам (4.2) и (4.3). Эти передаточные функции можно получить различными способами, в частности, по принципу подчиненного регулирования [ ]. Здесь мы рассмотрим иной способ синтеза оптимальной структуры привода. Предположим, что скоростной контур содержит два последовательно включенных звена: двигатель постоянного тока (ДПТ) с независимым возбуждением и регулятор, состоящий из силового блока и блока коррекции.
Реализация выражения (4:7) при моделировании сопряжена с трудностями, обусловленными необходимостью дифференцирования (член (ТмТер) в(4;7)). Этитрудности известны и заключаются в чувствительности дифференцирующих алгоритмов к внешним и внутренним высокочастотным помехам;
Блок-схема регулируемого электропривода с оптимальным регулятором Согласно этой схеме, оптимальный регулятор имеет три канала: пропорциональный с коэффициентом передачи (ТеТм), интегральный 1-го порядка с коэффициентом передачи (Тм) и интегральный 2-го порядка с коэффициентом передачи, равным единице. На вход регулятора поступает сигнал рассогласования Ue = UBX - Uoc (UBX - входной сигнал (напряжение), Uoc - сигнал обратной связи по скорости (например, напряжение тахогенератора, связанного с валом двигателя). Выходные сигналы перечисленных каналов суммируются, образуя сигнал U-i, который пропускается через фильтр с передаточной функцией 1/(Тр+1). Выход фильтра (сигнал 1) вычитается из Ui, и эта разность подается на силовой преобразователь, имеющий коэффициент передачи (Dc/T), где формируется напряжение U, пропорционально которому изменяется угловая скорость Q вала двигателя в соответствии с передаточной функцией (4.4). Чтобы не перегружать схему, на ней не показана связь по моменту сил сопротивления на валу двигателя (см. разд. 2.2.2).
Моделирование процесса контурной обработки выполняется с помощью двух идентичных моделей следящего привода, рассмотренных выше. В качестве примера рассматривается обработка прямого угла со сторонами, повернутыми на 10 относительно оси х.
