Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Транспортные объекты и их характеристики 9
1.1 Общие характеристики транспортного процесса 9
1.2 Энергетические характеристики транспортных объектов и критерии движения 13
1.3 Классификационные признаки транспортных объектов 29
1.4 Транспортные объекты как человеко-машинные системы 32
Выводы по главе 1 36
Глава 2. Оптимизация расхода топлива транспортными объектами при установившемся движении 37
2.1 Основы аппроксимации энергетических характеристик 37
2.2 Численная аппроксимация энергетических характеристик судна 39
2.3 Численная аппроксимация энергетических характеристик самолета .48
2.4 Применение задач нелинейного программирования при решении задач оптимизации 59
2.5 Численное решение задач оптимизации судовой энергетической установки 66
2.6. Численное решение задач оптимизации энергетической установки самолета 77
Выводы по главе 2 83
Глава 3. Линейные управления расходом топлива в динамике 84
3.1 Линейные системы первого порядка с интегратором 84
3.2 Линейные системы первого порядка с апериодическим звеном 93
3.3 Управление объектом с двойным интегрированием минимизирующее расход топлива 97
3.4 Управления при фиксированном времени 112
Выводы по главе 3 126
Глава 4. Управления расходом топлива и временем перехода 128
4.1 Управления при ограничении времени перехода 128
4.2 Управления минимизирующие линейную комбинацию времени перехода и расхода топлива 142
Выводы по главе 4 151
Заключение 152
Литература 154
- Энергетические характеристики транспортных объектов и критерии движения
- Численная аппроксимация энергетических характеристик судна
- Линейные системы первого порядка с апериодическим звеном
- Управления минимизирующие линейную комбинацию времени перехода и расхода топлива
Введение к работе
Актуальность темы исследований непосредственно связана с эффективностью транспортного процесса, которая зависит от многих факторов. Под ними понимается работа транспортных узлов (морские и речные порты, аэропорты), наличие систем управления движением, оснащение трасс техническими средствами навигации на современном уровне. Однако основным фактором является работа транспортных объектов.
Эффективность транспортных объектов определяется безопасностью движения, точностью выполнения расписания, количеством израсходованного топлива, затратами труда на управление, отрицательным минимальным воздействием на окружающую среду. Причем работа того или иного объекта на оптимальных значениях эксплуатационных характеристик зависит не только от степени автоматизации, от профессионализма экипажа, но и от внешних условий. Под внешними условиями будем понимать, например, метеорологическую обстановку, характеристики трасс, плотность движения.
С ростом численности транспортных объектов увеличивается плотность движения на трассах. В этой обстановке вопросы оптимального использования их связаны с организацией движения, с управлением режимами работы силовых энергетических установок, с решением задач безопасности движения, с осуществлением управления при проходе гидротехнических сооружений, взлете и посадке самолетов. Перечисленные задачи решаются как собственными системами объекта, так и несобственными (централизованными), которые располагаются вне транспортного средства. Их эффективное решение определяется уровнем развития математического, алгоритмического и программного обеспечения, современной технической базой.
Имеются достаточно удачные попытки организации движения некоторым рациональным образом на водном транспорте с помощью централизованных систем. К ним относится применение береговых радиолокационных станций для проводки судов по узким фарватерам (в портах г. г. С. Петербурга, Находки, Ильичевска, Мурманска). С помощью этих радиолокационных станций осуществляется автоматизированное управление движением, которое включает следующие основные операции: измерение координат каждого отдельного судна, контроль за его скоростью, предупреждение о встречных судах, выдача информации о наличии препятствий и рекомендаций об их преодолении.
В авиации осуществляется жесткая централизация управлением самолетами, включая взлет, посадку и движение по трассе на заданной высоте. Такими системами централизованного управления оборудованы практически все трассы полетов, как для гражданских, так и для военных самолетов.
Эти примеры показывают, что современной тенденцией развития управления подвижными объектами является использование централизованных систем управления. То есть систем, которые управляют сразу некоторой группой объектов. Управляющаяся и информационная часть таких систем является общей для данной совокупности объектов.
Централизованные системы обладают значительно большей разрешающей способностью, относительно меньшей стоимостью по сравнению с собственной системой объекта, предназначенной для подобных же целей. Однако данный тип систем может эффективно функционировать только при достаточном уровне развития собственных систем управления. В диссертации разрабатывается математическое и алгоритмическое обеспечение для этих двух типов систем. Математические модели, предлагаемые в данном исследовании, могут использоваться для проектирования систем управления расходом топлива в собственных системах и для разработки программ управления движением объекта по предлагаемым комплексным . критериям, которые могут успешно использоваться в централизованных системах. Поэтому создание математического и алгоритмического обеспечения для подобного класса систем на основе современных математических методов и аппаратурных решений является актуальной задачей.
Цель работы и задачи исследования.
Цель диссертационной работы состоит в разработке математического и алгоритмического обеспечения систем автоматизированного управления мощными энергетическими установками транспортных объектов для использования в централизованных и собственных системах с целью обеспечения энергосбережения.
Для выполнения этой цели потребовалось решение следующих основных задач:
Выполнить классификацию транспортных объектов по различным признакам и в частности по энергетическим характеристикам, лежащих в основе энергосбережения, а также произвести качественный и количественный анализ возможностей энергосбережения для плавающих и летающих объектов.
Разработать математическое и алгоритмическое обеспечение для получения управлений расходом топлива в динамике летающих и плавающих транспортных объектов по минимизации энергозатрат и времени перехода для использования в централизованных и собственных автоматизированных системах.
Разработать основы аппроксимации энергетических характеристик транспортных объектов с учетом условий эксплуатации с заданной сходимостью для последующего использования в разработке энергосберегающих управлений на основе аналитических методов.
4. Предложить программное обеспечение на основе нелинейного программирования для решения задач энергосбережения транспортных объектов различного типа и предназначения, выполнить тестирование и получить численные решения с оценками эффективности результатов управления.
Методы исследования. При решении данных задач использовались методы математического моделирования, основанные на теории больших систем, математический аппарат оптимизации и в частности принцип максимума и нелинейное программирование, теория автоматического и автоматизированного управления.
Научная новизна. Основными научными положениями являются: характеристики энергосбережения для двух типов транспортных объектов: плавающих и летающих, а также доказательство их идентичности и анализ возможностей использования для управления расходом топлива, методика аппроксимации энергетических характеристик как функции нескольких аргументов с заданной сходимостью, необходимая для численного решения задач энергосбережения, комплексные критерии управления и ограничения для минимизации энергозатрат транспортными объектами, - постановка и решение задач оптимизации для данных типов транспортных объектов в статике и динамике, алгоритмы оптимального управления энергетическими установками транспортных объектов, обеспечивающие минимизацию энергозатрат при заданном и свободном времени перехода.
Результаты, выносимые на защиту. На защиту выносятся следующие основные результаты:
1. Методики и характеристики процесса энергосбережения для двух типов транспортных объектов: плавающих и летающих, а также доказательство идентичности этих характеристик,
Способы численной аппроксимации энергетических характеристик как функции нескольких аргументов с заданной сходимостью, необходимой для численного решения задач энергосбережения с помощью аналитических методов,
Комплексные критерии управления и ограничения для минимизации энергозатрат транспортными объектами,
4. Формулировка и решение задач оптимизации для данных типов транспортных объектов в статике и динамике,
5. Алгоритмы оптимального управления энергетическими установками транспортных объектов, обеспечивающие минимизацию энергозатрат при заданном и свободном времени перехода для использования в централизованных и собственных системах управления.
Практическая значимость исследований. Анализ характеристик энергозатрат для перемещения транспортных объектов, методики представления их в виде аналитических выражений позволил разработать экономичные режимы работы энергетических установок, программное обеспечение для их реализации, структурные схемы и алгоритмы необходимые при создании систем автоматизированного управления.
Реализация и внедрение результатов. Основные результаты работы использовались при проектировании систем управления энергосбережением для транспортных объектов в НПФ «Меридиан», ОАО «Техприбор», Волго-Балтийском и Волго-Донском водных путях России.
Апробация работы. Основные результаты диссертационных исследований докладывались на одной международной научной конференции по наукоемким технологиям (г. Москва), всероссийской конференции (г. Санкт - Петербург), на отраслевых семинарах в СПГУВК, ОАО «Техприбор» и НПФ «Меридиан» (г. Санкт - Петербург), на секции по наукоемким технологиям Дома ученых им. М. Горького (г. Санкт -Петербург).
Публикации. Основные положения, выводы и практические результаты опубликованы в 9 статьях и 2 тезисах докладов на научных конференциях.
Структура и объем работы. Работа состоит из введения, четырех глав основного текста, заключения и списка использованной литературы, работа содержит 150 страниц печатного текста, 46 рисунков.
В первой главе даются характеристики транспортного процесса, рассматриваются энергетические характеристики и возможности их аппроксимации для применения аналитических методов оптимизации.
Во второй главе на основе аппроксимации энергетических характеристик с заданной сходимостью производится разработка методики оптимизации энергозатрат на основе нелинейного программирования. Производится разработка программного обеспечения на платформе языка высокого уровня Visual Basic for Applications для решения задач оптимизации для установившегося режима движения.
В третьей главе на основе принципа максимума производится синтез линейных управлений расходом топлива по заданным критериям для апериодических объектов, объектов одним и с двумя интеграторами с фиксированным временем перехода. Данные управления рекомендованы для использования при проектировании конкретных систем на плавающих и летающих объектах.
В четвертой главе синтезируются управления при варьировании времени перехода объекта, что позволило предложить методики синтеза для вариантов использования транспортных средств при изменении расписания в процессе начавшегося движения.
В заключении приведены основные результаты исследований и рекомендации по их использованию.
Энергетические характеристики транспортных объектов и критерии движения
В настоящее время положение с исследованиями в области таких систем меняется. Они носят более потребительский характер, позволяют получить количественные оценки человека как звена системы управления. И также выработать конкретные численные рекомендации по его возможностям с позиций динамических и частотных свойств, уровня интеллекта, причин стрессовых явлений и возможностей выхода из них.
Конкретные данные по этим вопросам изложены в следующих источниках [44]. Системы, содержащие в своем составе человека, относятся к сложным. Под данными системами понимаются такие, в которых имеет место акт принятия решения. При современном уровне развития техники автоматического управления не имеет смысла использовать человека в системах рутинного типа: следящих, стабилизации, где акта принятия решения не происходит. Роль и ответственность человека в управлении транспортными средствами в настоящее время постоянно возрастает. Объясняется это, прежде всего, возможными последствиями аварий, как в материальном смысле, так и в социальном и экологическом. За последние 20 - - 25 лет значительно возросла грузоподъемность отдельных единиц транспорта. Так, в авиации количество пассажиров на борту выросло с 30 -г- 50 до 400 человек, на морском транспорте грузоподъемность танкеров увеличилась с 10 тыс. тонн до 300 - - 400 тыс. тонн, на речном транспорте грузоподъемность сухогрузов выросла с 2 тыс. тонн до 5 тыс. тонн. Увеличилась насыщенность трасс объектами транспорта, возросла средняя скорость движения. Водный транспорт имеет свои специфические особенности. Себестоимость перевозок в 1,5 -?- 2 раза ниже, чем по параллельным железным дорогам, а нефти, например, на Волжском и Камском бассейнах ниже в 3,5 раза. Специализируется на объемных, насыпных, наливных и навалочных грузах. Одна из главных особенностей водного транспорта - это перемещение больших объемов грузов (до 25 тыс. тонн на одной транспортной единице). В стране, районы (северные и восточные), в которых плохо развиты шоссейные и железные дороги, целиком зависят от функционирования водного транспорта. Коммуникации водного транспорта более извилисты, чем авиационные, железнодорожные и автомобильные. Так авиатрассы короче параллельных железных дорог на 20%, автомобильных на 25% и водных на 30% [67]. Проводится определенная работа по увеличению глубин фарватеров в связи с ростом грузоподъемности и осадки транспортных единиц. Создана Единая глубоководная система (ЕГС) Европейской части России, где гарантированная глубина составляет 4 - - 4,5 м [3,4]. Несмотря на это габариты водного пути с позиций эффективного и безопасного движения не отвечают современным требованиям. Большая насыщенность трасс транспортными судами, геометрические размеры которых соизмеримы с габаритами фарватеров, приводит к снижению пропускной способности и следовательно к задержкам в доставке грузов получателю или же в более худших случаях к авариям и соответственно к гибели или повреждению этих грузов. Все это потребовало от экипажей судов более серьезной квалификации на базе современных знаний, лучших психологических и физических возможностей. В данных условиях необходимы исследования, направленные, прежде всего на обеспечение безопасности движения и полетов, повышения производительности труда на транспорте на основе ресурсосбережения. Эти исследования окажутся эффективны тогда, когда будут вскрыты неизвестные ранее характеристики транспортных объектов, их энергетических установок, предложены новые технологии движения, и алгоритмы для их управления особенно на самых сложных участках трасс: на взлете и посадке самолетов, при проходе судами судоходных каналов, разводных пролетов мостов. В дальнейшем под энергетической установкой (ЭУ) будем понимать дизельную установку, нагрузкой для которой служит винт фиксированного шага (ВФШ) или колеса автомобиля, тепловоза; электрические двигатели постоянного или переменного тока, установленные на электровозе; газотурбинную установку с воздушными винтами и реактивные двигатели (самолетные установки). Эти типы ЭУ распространены на подавляющем числе транспортных объектов. Несмотря на разные конструкции энергетических установок транспортных объектов они имеют много общего: это первичные двигатели, предназначенные для движения объекта (судна, самолета, автомобиля, тепловоза, электровоза), системы передачи энергии на движители (редукторы, валопроводы, гидравлические муфты, гидротрансформаторы), движители (гребные и воздушные винты, колесная система автомобилей, тепловозов, электровозов). Транспортные объекты могут быть классифицированы по виду первичного двигателя, системам передачи энергии на движители, по типу применяемого движителя, по свойствам среды, в которой производится движение объекта. На примере судовой энергетической установки рассмотрим на качественном уровне взаимодействия составных частей транспортного объекта. Структурная схема судовой ЭУ без системы обслуживания представлена на рис. 1.1. На ней введены такие обозначения: ДАУ - дистанционная автоматическая система управления; САУ - система автоматического управления; щ - частота вращения движителя (ВФШ); Pj - упор движителя, где і = 1, ..., n; S - путь, проходимый судном при движении; U - скорость судна; ф - курсовой угол; а - угол поворота пера руля или насадки. Развернутая структурная схема дизельной энергоустановки (ДЭУ), состоящей из регулятора частоты вращения, топливных насосов, цилиндров, турбонагнетателей, валопровода, гребного винта, представлена на рис. 1.2. На схеме введены следующие обозначения: n 3aa - заданное значение частоты вращения, Z, - перемещение исполнительного механизма регулятора частоты вращения, Ир. - перемещение рейки топливных насосов, glf- цикловая подача топлива, М„. - момент дизеля, Мс - момент сопротивления.
Численная аппроксимация энергетических характеристик судна
Интерес к повышению эффективности работы человеко-машинных систем проявлялся давно, но постановка исследований и соответственно получаемые результаты носили скорее познавательный смысл с креном к чисто качественным показателям.
В настоящее время положение меняется. Исследования в области человеко-машинных систем носят потребительские оттенки в лучшем смысле этого слова. Сейчас нужны конкретные рекомендации по проектированию данных систем. А это требует знания возможностей человека, его статических и динамических характеристик, уровня интеллекта, причин стрессовых явлений и выхода из них и много другого. Причем не только на качественном, но и главным образом на количественном уровне. На основании всесторонне-го изучения возможностей человека можно грамотно спроектировать то техническое устройство, которым он впоследствии будет управлять. Это, конечно наиболее общие понятия, которые требуют обязательной детализации.
Остановимся подробнее на некоторых особенностях человеко-машинных систем. Известно, что в зависимости от условий деятельности человека в совокупности с технической системой, его поведение может быть предсказано с той или иной точностью. Точность предсказания будущего поведения зависит от многих факторов и здесь, видимо, надо выделить следующие: тип выполняемых задач управления, квалификация человека-оператора, объем перерабатываемой информации, отпущенное время на выполнение операции управления, внешние условия, индивидуальные психофизические свойства оператора.
Рассмотрим подробно эти факторы. Тип выполняемых задач управления определяется, прежде всего, целью поставленной перед той или иной системой. Цель может быть относительно простой и достаточно сложной, когда управление сопровождается опытом принятия решения на основе обработки определенного количества информации.
Наиболее простые цели управления относятся к так называемому рефлекторному управлению, т. е. управлению децентрализованному, осуществляемому по определенному набору типовых программ. Эти типовые программы есть результат тренировки оператора, причем целенаправленный. Такие тренировки создают условные рефлексы (типовые программы), которые позволяют решать те или иные задачи без акта принятия решения, как бы автоматически на уровне автономных систем управления.
Типичными примерами применения подобных программ является управление автомобилем при движении по хорошо известной водителю трассе. Остановка автомобиля у светофора, изменение скоростного режима и направления движения, объезд препятствий производится опытным водителем рефлекторно, на основании заранее записанных в долговременную память программ. В то же время движение такого водителя по малознакомой трассе сопровождается затратой значительно большего времени на обдумывание той или иной информации и на принятие решения. Здесь вступает в действие централизация, когда для управления тратятся определенные ресурсы мозга, так как она осуществляется "наверху, сознанием". Однако, централизованное управление связано с большой затратой энергии, что может привести к истощению организма. Квалификация человека-оператора тесно связана с наличием в памяти определенного количества типовых программ и навыков по их реализации. Квалификация будет повышаться, если даже в наиболее сложных ситуациях можно достаточно полно и с минимальными ошибками прогнозировать поведение оператора. И соответственно действия оператора, обладающего меньшей квалификацией, в меньшей степени поддаются прогнозированию.
Объем перерабатываемой и используемой для управления информации зависит во многом от пропускной способности оператора, как элемента системы человек-машина. Пропускная же способность зависит от индивидуальных особенностей оператора и от рационального участия в переработке информации централизованных и децентрализованных систем.
Время выполнения той или иной операции в процессе управления также определяется индивидуумом. Но часто отпускаемое время на выполнение подобных операций может меняться. Причем уменьшение отпускаемого времени вначале приводит к определенной мобилизации возможностей оператора, заставляет его действовать более быстро, решительно и с минимальными ошибками. Затем дальнейшее уменьшение отпускаемого времени приводит к срыву работы человека-оператора. Этот тип максимальной работоспособности носит название стресса. В литературе данные явления описываются показателем напряженности, под которым понимается отношение времени выполнения операции (среднего) к времени отпущенному для выполнения этой операции.
Факторы внешней среды это температура, шум, свет, вибрация, ускорение, излучение, давление, лекарственные и химические препараты и т. д. Повышение интенсивности этих факторов препятствует деятельности оператора и даже может исключить возможность выполнения программы управления.
Особое место при рассмотрении человеко-машинных систем должно уделяться психофизическим свойствам операторов. А также характеристикам человека, как звена передачи и обработки информации. Он, как и любое техническое устройство, обладает ограничениями по количеству битов на передаваемое событие так и в единицу времени.
Линейные системы первого порядка с апериодическим звеном
Рассмотрены и получены управления расходом топлива по комплексным критериям и в частности по критериям управления расходом топлива и временем перехода, обоснована исходя из физических принципов зависимость между временем перехода и расходом топлива.
Синтезированы управления при ограничении времени перехода объекта из одного состояния в другое.
Синтезированы управления минимизирующие линейную комбинацию времени перехода и расхода топлива, данные алгоритмы представлены в виде функциональных схем, на основе которых возможно создание конкретных систем автоматизированного управления.
На основании проведенных исследования можно сделать следующие основные выводы: 1. Рассмотрены основные характеристики транспортного процесса, определены основные энергетические характеристики объектов и показана идентичность оптимизации для плавающих и летающих транспортных средств. 2. Предложена классификация транспортных объектов по различным признакам: по энергетическим установкам, движителям, параметрам внешней среды, по энергетическим характеристикам. 3. Предложены основы для аппроксимации энергетических характеристик транспортных объектов, основанные на полиномах п - порядка, доказано, исходя из точности аппроксимации, что достаточной степенью полинома является степень равная трем. 4. Разработано программное обеспечение для численной аппроксимации на основе языка Visual Basic for Applications. 5. Предложена методика применения нелинейного программирования для поиска оптимальных по расходу топлива управлений при различных значениях времени перехода и известных энергетических характеристик в виде полиномов третьей степени с заданной точностью аппроксимации. 6. Выполнены количественные исследования по реализации оптимальных программ управления в статике на основе использования аналитических методов и в частности нелинейного программирования, которые предназначены для использования в системах централизованного управления. 7. На основе принципа максимума разработаны линейные управле ния расходом топлива для линейных систем первого порядка с интегратором, что соответствует поступательному движению самолета и судна на трассах без изменения курсового угла с постоянным наперед заданным временем движения (перехода). 8. Разработаны линейные управления, когда объект представляет собой апериодическое звено или звенья аналогичные данному типу. Это соответствует безинерционной энергетической установки с инерционным корпусом объекта. 9. Предложены линейные управления, когда объект представляет собой объект с двумя интеграторами (с двойным интегрированием). Это соответствует движению объекта с контролем расхода топлива и времени движения, то есть происходит измерение расхода топлива и времени движения. 10. Рассмотрены и получены управления расходом топлива по комплексным критериям и в частности по критериям управления расходом топлива и временем перехода, обоснована, исходя из физических принципов, зависимость между временем перехода и расходом топлива. 11. Синтезированы управления при ограничении времени перехода объекта из одного состояния в другое. 12. Синтезированы управления минимизирующие линейную комбинацию времени перехода и расхода топлива, данные алгоритмы представлены в виде функциональных схем, на основе которых возможно создание конкретных систем автоматизированного управления. Полученные научные результаты использованы дія проектирования систем управления и автоматизированных информационных систем в НПФ «Меридиан» и ОАО «Техприбор», а также при создании систем автоматизированного управления движением судов на Волго-Балтийском и Волго-Донском водных путях России.
Управления минимизирующие линейную комбинацию времени перехода и расхода топлива
Естественно, что уменьшение времени перехода требует увеличения расхода топлива. Поэтому ранее была сформулирована задачу 3.3, в которой время перехода было либо фиксировано, либо ограничено сверху. В этом случае управление оказалось функцией исходного состояния (1, 2) и времени перехода 7V, т. е. функцией трех величин , и Т . Если зафиксировать две из них, то получится некоторого рода кривая переключения, как в примере 3.3. Предположим, в частности, что нам задано исходное состояние (\,4г) и время перехода 7V. Задано другое исходное состояние близкое к ( i, 2). Каким образом выбрать 7V для состояния {4\ЛІ)І чтобы оптимальные по топливу траектории были в некотором смысле «близки» друг к другу? Все эти вопросы возникают из физических, а не из математических соображений. Их можно подытожить в виде вопроса: каким образом указать естественное время перехода 7V для каждого из состояний? Существует фундаментальная величина времени, связанная с каждым из состояний на фазовой плоскости. Это - минимальное время перехода / , требующееся для перевода состояния в начало координат. Минимальное время учитывает: 1) ограниченность u{t); 2) положение состояния относительно начала координат. Желательно, чтобы время перехода Ту учитывало минимальное время t . Предположим, что задано исходное состояние ІЛ\Лі) и мы нашли минимальное время t (\г)- Можно потребовать, чтобы время перехода удовлетворяло соотношению изображены также некоторые из оптимальных по расходу топлива траекторий, начинающихся из оси х\. Управление и = -1 действует до тех пор, пока траектория не достигнет кривой Га. В этот момент управление переключается с и = -1 на и = 0. Следующее переключение управления с « = 0 на и = +1 происходит по кривой /+. Из сравнения рис. 4.1 и 3.7 видно отличие в работе системы. Фиксация времени Ту при помощи соотношения Tf=J3t (i,i) превращает оптимальное по расходу топлива управление в функцию только xi(t) и л (0 Если задать соотношение, связывающее с 2 (как в примере 3.4), то получится некоторая линия переключения. Заметим, однако, что эта линия переключения является функцией «связи» между j и 2 С практической точки зрения желательно иметь систему, измеряющую текущие значения фазовых координат и вырабатывающую оптимальное управление на основе только этой информации. Иначе говоря, система должна работать, «не запоминая» никакой «зависимости» между исходными значениями фазовых координат. Этим свойством обладали все рассмотренные нами системы, оптимальные по быстродействию. Решение задачи 3.4, сформулированной ниже, также будет обладать этим свойством. Пусть ( 1,) произвольное исходное состояние. Если задать время перехода Ту , то можно найти оптимальное по расходу топлива управление и траекторию к началу координат. Обозначим через ( i(0 2(0) состояние на этой оптимальной траектории в момент времени /,ґє [О,Г]. Пусть t {х х2) минимальное время, соответствующее состоянию ( i(0 2(0)- Мы хотим найти оптимальное по расходу топлива управление, при котором Tf j3t\xhx2), J3 \ (4.14) для любых (i ,2) и te [О, Т]. Разберем физический смысл неравенства (4.14). Это соотношение гарантирует, что с помощью оптимального управления каждое состояние іхЬхі) на оптимальной по расходу топлива траектории может быть переведено в начало координат за некоторое время Tf, ограниченное сверху произведением минимального времени / ( ь 2) соответствующего этому состоянию, на постоянный коэффициент. По сути дела, уравнение (4.14) является ограничением, зависящим от времени. Смысл этого утверждения станет яснее по мере решения задачи 4.1. Предположим, что (х\,х2) - состояние из i?4 [см- Уравнение (3.107) и рис. 3.3 глава 3]. Известно, что минимальное время / {х\,х2) соответствующее этому состоянию, равно Известно также (см. лемму 3.5), что состояние {xi,x2)eR может быть переведено в (0, 0) оптимальной по расходу топлива управляющей последовательностью {0, -И}, требующей \х2\ единиц топлива и времени перехода С другой стороны, если (jq,;c2)e R2, то минимальное время, соответствующее (JCJ, x2)eR2 определяется соотношением Известно (см. лемму 3.12), что состояние (х ,х2) є R2 может быть переведено в (0, 0) оптимальной по расходу топлива управляющей последовательностью {0, -1}, которая требует (л І единицу топлива и времени, равного Обозначим через Q(T) множество состояний (х\,х2) є R4U Rz переводимых в начало координат управляющей последовательностью {0, +1}, если іхЬхі)є - 2, и требующих одинакового времени перехода.
