Введение к работе
Актуальность проблемы. Стратегической целью любого современного производства является борьба за повышение производительности труда и качества продукции. На пути достижения этой цели ведущая роль отводится ускорению научно-технического прогресса (НТП). Повышение эффективности производства на основе НТП предполагает разработку и внедрение систем автоматизированного проектирования (САПР), автоматизированных систем управления технологическими процессами (АСУ ТП) и автоматизированных систем научных исследований (АСНИ). Разработка надежных САПР, АСУ ТП и АСНИ возможна лишь в результате широкого использования математических методов и современной вычислительной техники. Для применения математики в инженерных задачах необходимо создать абстрактные модели этих задач, т. е. возникает проблема математического моделирования задач науки и техники. Среди методов математического моделирования особое место занимают методы начертательной геометрии. Чертежи деталей, сборочных единиц и комплексов являются простейшими геометрическими моделями этих изделий. Вопросы математического моделирования разрабатываются в компьютерной (машинной) графике, которая является важной составной частью САПР.
В настоящее время во многих областях применение методов информатики сдерживается не отсутствием нужных компьютеров, а низким качеством содержательных математических моделей. Поэтому наблюдается повышенный интерес к проблеме геометрического моделирования сложных объектов, к решению задач математического описания технических устройств. Построение геометрических моделей является первым, основным этапом в процессе математического моделирования. Простота и содержательность математических моделей, которые в ЭВМ преобразуются в программы, во многом зависят от способов и алгоритмов построения геометрических моделей. А от простоты и содержательности программ зависит эффективность использования ЭВМ, следовательно, и САПР.
Из анализа накопленных до настоящего времени методов геометрического моделирования вытекают следующие выводы:
—существующие методы носят частный характер. Они в основном направлены на моделирование конкретных алгебраических форм размерности не выше двух, в то время как большинство реальных систем в практике требует разработки многомерных моделей. Совокупность этих методов не составляет функционально завершенную единую системную конструктивную теорию, которую можно было бы применять для моделирования всяких алгебраических форм, независимо от их порядка и размерности;
—исследования конструктивных свойств геометрических форм и преобразований ведутся в основном независимо друг от друга, т.е. с методологической точки зрения отсутствует единый системный подход к конструктивной теории построения геометрических форм и преобразований;
— недостаточно полно используются возможности и свойства многомерных пространств, в то время как одна из основных концепций математики утверждает, что для достаточно полного изучения какого-либо объекта и получения исчерпывающей информации о его свойствах не следует ограничиваться рамками пространства, где находится изучаемый объект;
—разработанные методы в основном имеют нелинейный характер, что во многом усложняет математическое описание технических устройств.
Отсутствуют методы и алгоритмы, позволяющие создавать оптимальные математические и графические модели, а также оценивать исходную информацию, с учетом требований конструкторской и технологической подготовки на каждом этапе проектирования изделий. Идеальная геометрическая модель отражает все существенные и второстепенные параметры формы технических устройств. Стоимость ее разработки и представления с помощью вычислительных средств при решении инженерно-геометрических задач значительно превышает допустимые границы. Поэтому на каждом этапе проектирования разработчик стремится создавать модели максимально простые, но в то же время достаточные по точности расчетов, выполняемых на их основе.
Из приведенных выше выводов и рассуждений можно заключить, что одной из актуальных проблем прикладной геометрии на данном этапе ее развития является разработка общих методов построения
графо- геометрических моделей технических устройств, применяемых при автоматизации проектирования, конструирования и воспроизведения этих объектов и процессов. К разработке именно таких универсальных методов графо-геометрического моделирования направлено наше исследование, выполненное на стыке специальностей 05.01.01 — Прикладная геометрия и инженерная графика и 05.13.12 — Системы автоматизированного проектирования.
Цель работы. Математические модели бывают либо аналитическими, либо графическими. Основным достоинством аналитических моделей является высокая точность, а недостатком — недостаточная наглядность. К основным достоинствам графических моделей следует отнести наглядность и универсальность, а к недостаткам — низкую точность. Разработка графо-геометрических моделей, обладающих достоинствами как аналитических, так и графических моделей и не имеющих вышеуказанных недостатков, явилась основной целью исследования. На основе графо-геометрического моделирования получить алгоритмы решения некоторых нерешенных до сих пор геометрических и технических задач, создать методику построения кратчайших связывающих линий в пространствах с различной метрикой, создать комплекс учебников, учебных пособий и методических разработок, отвечающих требованиям разработки и эксплуатации САПР.
Для достижения этой цели были поставлены и решены следующие задачи:
—разработка графо-геометрических моделей многомерного линейного пространства с помощью теории графов, построения графов гиперплоскостей и плоскостей любой размерности этого пространства, графов прямых и точек;
—способы преобразования графов и их применения для анализа и синтеза графо-геометрических моделей конечномерного пространства, алгоритмы решения позиционных и метрических задач на изображениях, выполненных с помощью сигнальных графов, упрощение таких изображений;
—разработка графо-геометрических моделей статически определимых систем, анализ условий равновесия систем, алгоритмы вычисления равнодействующей силы и крутящего момента из графо-геометрических моделей;
-разработка методики составления графов кинетостатики, метода возможных перемещений и общего уравнения динамики системы, вывод дифференциальных уравнений динамических систем;
—разработка методики построения графовых моделей электрических цепей и выявление геометрического смысла графов, моделирующих электромеханических устройств, что позволяет ответить на вопросы: является ли полученное решение единственным, сколько решений может иметь данная задача;
—разработка алгоритмов построения кратчайших связывающих компланарное множество точек и плоских фигур деревьев, представляющих собой проблему Я. Штейнера и нерешенной в общем виде; решение аналогичной задачи для некомпланарного множества точек и для множества точек, расположенных на поверхности;
—разработка алгоритмов построения кратчайших связывающих деревьев в пространствах с расстояниями первого порядка, с полярным и цилиндрическим расстояниями; исследование геометрии пространств с полярным и цилиндрическим расстояниями;
—определение содержания и методологии изложения курсов начертательной геометрии, инженерной графики и автоматизации чертежно-конструкторских работ, отвечающих требованиям компьютерной технологии; создание программного обеспечения учебного процесса по указанным учебным дисциплинам;
—разработка учебников, учебных пособий и других методических разработок, излагающих основы графо-гсометричес-кого моделирования и алгоритмы решения задач визуализации изображений технических устройств и процессов, хранения, переработки и воспроизведения графической информации.
Методика выполнения работы. Для решения указанных задач в работе используются в основном аналитические и синтетические методы исследования. При этом применяются аппараты многомерной начертательной, аналитической, проективной, алгебраической и вычислительной геометрий, теории графов, высшей алгебры и математического анализа, а также отдельные положения теории вероятностей, математической статистики, теории оптимальных процессов, дискретной математики, математического программирования и теории САПР.
Информационной и теоретической базой исследований служили работы:
— по геометрическому моделированию: Н. Ф. Четверухнна,
И. С. Джапаридзе, И. И. Котова, В. И. Валькова, В. Е. Михайленко,
П. В. Филиппова, А. В. Павлова, В. Н. Первиковой, Н. Н. Рыжова,
Г. С. Иванова, В. Я. Волкова, 3. А. Скопеца, А. В. Бубенникова,
B. А. Осипова, Б. А. Бусыгина, С. Н. Ковалева, Б. Н. Нурмаханова и
других;
— по вычислительной и компьютерной геометрии:
C. А. Фролова, В. С. Полозова, Е. А. Стародетко, В. М. Найдыша,
К. М. Наджарова, М. Д. Зазулевича, П. Кастельжо, П. Безье,
С. Кунса, К. А. Созомова, А. Г. Горелика и других;
— по САПР: В.И.Якунина, М. Д. Принса, Г. Шпура,
Ф. Л. Краузе, Д. Райана, А. Сазерленда, Ж. С. Сарыпбекова,
У. А. Тукеева, А. Д. Тузова, С. В. Цой и других.
Научная новизна работы заключается в следующем:
-
Для моделирования многомерного геометрического пространства, механических систем и электрических цепей была использована теория графов, что позволила получить качественно новые модели технических устройств; полученные модели обладают свойствами позиционной полноты и метрической определенности;
-
Разработаны способы преобразования графо-геометрических моделей, позволяющие получить эффективные алгоритмы определения сигнала любой вершины или передачи любой дуги соответствующего графа;
-
Определены основной элемент многомерного пространства (гиперплоскость), обеспечивающий простоту и наглядность отображения, и алгоритмы, позволяющие синтезировать остальные элементы (плоскость любой размерности, в том числе прямая и точка) «-мерного пространства;
-
Разработана методика составления графов равновесия статических систем, плоских и пространственных ферм, теорем и других закономерностей кинематики и динамики технических устройств; установлены основные признаки статической определенности и динамической устойчивости графов механических систем;
-
Предложены способы решения задач теоретической механики путем построения графо-геометрических моделей, обладающих значительной наглядностью и ускоряющих вычислительные процедуры;
-
Разработана методика составления графов электрических цепей и геометрического анализа работы электротехнических установок; установлена зависимость между количеством элементов электрических схем и минимальной размерностью моделирующего пространства;
-
Предложены эффективные алгоритмы построения кратчайших связывающих деревьев для дискретного множества точек, представляющих известную проблему Я. Штейнера и нерешенных в общем виде; разработанные алгоритмы используют фрагменты и эквидистанционные поверхности пространств с расстояниями первого и второго порядка;
-
Разработаны алгоритмы определения минимальных связывающих деревьев для некомпланарного множества точек, множества точек, расположенных на различных поверхностях, а также компланарного множества плоских фигур;
-
Введены понятия полярного и цилиндрического расстояний, создана геометрия пространств с полярной и цилиндрической метрикой. Предложены способы определения кратчайших связывающих линий на плоскости с полярными расстояниями и в пространстве с цилиндрическими расстояниями;
-
Разработанные алгоритмы позволили создать единую методику определения оптимальной конфигурации инженерных сетей (теплотрассы, газо- и нефтепроводов, автомобильных и железных дорог, линии электропередачи, оросительные системы, водопроводы и т. д.);
-
Полученные результаты использованы при составлении пакетов прикладных программ, предлагаемых для применения в разработках систем автоматизированного проектирования.
-
Определены оптимальные содержание, структура и методика изложения курсов по начертательной геометрии, инженерной графике и автоматизации чертежно-конструкторских работ, учитывающих достижения компьютерной графики и САПР; написаны и опубликованы учебники, учебные пособия и другие методические разработки на русском и казахском языках по указанным учебным
дисциплинам, отвечающие новым информационным технологиям образования.
Теоретическая значимость исследования заключается в том, что сформулированные в работах автора теоретические положения и рекомендации по графо-геометрическому моделированию многомерных пространств, основных теорем и положений механических систем, электрических цепей, кратчайших связывающих деревьев и технических устройств, разработке алгоритмов определения оптимальной конфигурации инженерных сетей на основе решения обобщенной проблемы Я. Штейнера для различных расстояний образуют новое научное направление, возникшее на стыке прикладной геометрии и систем автоматизированного проектирования и способствующее улучшению математического обеспечения графических систем и совершенствованию САПР.
Практическая ценность работы состоит в создании универсальной методики построения графо-геометрических моделей многомерного пространства, механических систем, электрических цепей и других технических устройств, независимо от их физической природы и принципа действия, что позволяет более рационально использовать научных, инженерно-технических специалистов на производстве, т. е. построением графо-геометрических моделей будут заниматься лица с углубленным высшим образованием (магистры), разработкой алгоритмов решения задач на основе этих моделей и написанием соответствующих программ — инженеры и бакалавры, вводом данных в ЭВМ и получением соответствующих результатов — техники и лица с начальным высшим образованием. Алгоритмы построения оптимальной (кратчайшей длины) конфигурации инженерных сетей позволяют значительно сократить количество конкурирующих вариантов (не исключая оптимального варианта), в результате чего повышается эффективность проектно-расчетных работ и сокращаются сроки проектирования с помощью вычислительной техники. Создан учебно-методический комплекс по начертательной геометрии, инженерной и горно-геологической графике, автоматизации чертежно-конструкторских работ, позволяющий значительно повысить качество подготовки специалистов в условиях сплошной компьютеризации производства и образования.
Реализация результатов работы. Полученные автором прикладные результаты исследований в виде методов, графо-геометрических моделей, методик, алгоритмов и пакета прикладных программ реализованы в НИПИ «Казсельзнерго», «Дирекцией тепловых сетей г. Алматы», «Каз НИПИ нефть и газ» и НИПИ Мин-водхоза Республики Казахстан.
Результаты работы внедрены также в учебный процесс Казахского национального технического университета и ряда высших учебных заведений Республики Казахстан. Материалы диссертации использованы при разработке нового спецкурса «Автоматизация чертежно-конструкторских работ», а также при написании учебника и учебных пособий по начертательной геометрии, инженерной и горно-геологической графике.
На защиту выносятся:
—теоретические основы графо-геометрического моделирования многомерного пространства, способы изображения точек, прямых, гиперплоскостей и плоскостей любых размерностей «-мерного пространства, методы решения позиционных и метрических задач на отображениях, выполненных с помощью графов;
—способы преобразования сигнальных графов для упрощения путем замены нескольких последовательно или параллельно соединенных ветвей одной эквивалентной дугой, инвертированием направления дуги, которые позволяют определить интересующий нас параметр графо-геометрических моделей минимальным числом вычислительных операций;
— методика построения графо-геометрических моделей статических систем, плоских и пространственных ферм, задач кинематики и динамики; методика составления дифференциальных уравнений динамических систем с помощью теории графов;
—способы решения задач теоретической механики путем построения графо-геометрических моделей, обладающих большой наглядностью и ускоряющих вычислительные процедуры;
—методика составления графов электрических цепей и геометрического анализа работы электротехнических установок, определения минимальной размерности соответствующего моделирующего геометрического пространства;
—алгоритмы определения связывающих множество точек, расположенных в одной плоскости или в трехмерном пространстве, кратчайших и минимальных деревьев Штейнера, использующие понятия эквидистанционных поверхностей (линий) и фрагментов;
—алгоритмы построения кратчайших связывающих линий для множества точек, расположенных на развертывающейся поверхности, и для компланарного множества плоских фигур;
—геометрия и алгоритмы построения кратчайших связывающих линий пространств с расстояниями первого порядка;
—геометрия плоскости и алгоритмы построения кратчайших связывающих линий на плоскости с полярной метрикой;
—геометрия и алгоритмы построения кратчайших связывающих линий пространства с цилиндрической метрикой;
—технология построения оптимальной конфигурации инженерных сетей средствами интерактивной компьютерной графики в диалоговом режиме;
—учебно-методические комплексы, обеспечивающие индивидуализацию и дифференциацию обучения студентов на русском и казахском языках и задающие стандарт втузовского графического образования;
—учебник, учебные пособия и методические разработки, опубликованные автором по курсам начертательной геометрии, черчения, инженерной и геологической графики и автоматизации чертежно-конструкторских работ (компьютерной графике).
Апробация работы. Основные результаты доложены и обсуждены:
—на общегородских семинарах преподавателей начертательной геометрии и инженерной графики, г. Алматы в 1972 — 1992 гг.;
—на научно-технических и научно-методических конференциях профессорско-преподавательского состава Казахского политехнического института, а ныне Казахского национального технического университета, г. Алматы, 1971, 1972, 1974, 1978, 1979, 1980, 1982, 1988,1993,1994 гг.;
—на всесоюзных научных семинарах «Кибернетика графики», г. Москва, 1974, 1982 гг.;
—-на зональной научно-методической конференции по прикладной геометрии и инженерной графике, г. Омск, 1975 г.;
—на всесоюзной научной конференции по САПР и инженерной графике, г. Орел, 1978 г.;
—на зональной научно-методической конференции «Роль инженерной графики и машинного проектирования в подготовке специалистов», г. Ленинград, 1984 г.;
—на Республиканской научно-методической конференции «Использование вычислительной техники при подготовке инженерных кадров», г. Караганда, 1986 г.;
— на секции «Теория изображений и ее приложения. Информати
ка и автоматизация» всесоюзной конференции «Современные пробле
мы механики и технологии машиностроения», г. Москва, 1989 г.;
—на всесоюзной научно-методической конференции «Компьютеризация и специализация обучения по графическим дисциплинам», г. Новочеркаск, 1990 г.;
—на X всесоюзном научно-методическом семинаре «Инженерная и машинная графика», г. Полтава, 1991 г.;
—на всесоюзной конференции «Компьютерная геометрия и графика в инженерном образовании», г. Нижний Новогород, 1991 г.;
—на Международном симпозиуме «Компьютерная технология: актуальные вопросы теории и практики», г. Севастополь, 1992 г.;
— на научно-методической конференции СНГ «Проблемы
графической подготовки инженера: непрерывность графического
образования, машинная графика, компьютерные технологии
обучения», г. Минск, 1992 г.;
—на Международной конференции «Теоретические и практические вопросы приложения начертательной геометрии в горном деле и геологии для решения инженерных и научных задач», г. Владикавказ, 1994 г.
Публикация. По теме диссертационной работы опубликовано более 120 научных работ общим объемом более 150 печатных листов, среди которых учебники, учебные пособия и методические разработки на русском и казахском языках. Из них в научном докладе охвачены только 64 публикаций.
