Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Традиционные методы восстановления сечений фотоядерных реакций 22
1.1 Метод Пенфольда-Лейсса 22
1.2 Метод регуляризации 24
1.3 Метод редукции 26
Глава 2. Статистический подход. Метод случайных интервалов 29
2.1 Характер экспериментальной информации. Постановка задачи 30
2.1.1 Ограничение на разрешающую способность «прибора» 30
2.1.2 Дискретное представление обратной задачи 32
2.1.3 Статистический критерий выбора решения 34
2.2 Поиск приближенного решения методом случайных интервалов 38
2.2.1 Поиск решения методом случайных интервалов 38
2.2.2 Схема получения последовательности приближений 40
2.2.3 Область применимости МСИ 43
2.3 Тестирование МСИ на модельных сечениях 44
Глава 3. Восстановление сечений фотоядерных реакций методом случайных интервалов 54
3.1 Алгоритмы численного построения решения МСИ 54
3.1.1 Обобщенная схема получения частного решения МСИ 54
3.1.2 Моделирования кривых выхода фотоядерных процессов 60
3.1.3 Процедура фитирования 63
3.1.4 Анализ сходимости последовательности приближений 68
3.1.5 Частные и среднее решения МСИ 70
3.1.6 Представление среднего решения МСИ суперпозицией резонансов 72
3.1.7 Способ построения решения первого приближения 74
3.2 Восстановление сечений фотоядерных реакций 78
3.2.1 Восстановление сечения реакции 63Cu(y,nf2Cu 78
3.2.2 Восстановление сечения реакции Аи{у,хп) 81
3.2.3 Восстановление сечения реакции Th(y,f) 82
Глава 4. Альтернативные методы обработки данных в экспериментах с тормозным 7-излучением 88
4.1 Метод извлечения сечений фотоядерных реакций фитированием резонансов 88
4.2 Обратная задача спектроскопии и метод итераций 93
4.3 Методика проверки применимости теоретических моделей для описания ядерной резонансной флуоресценции экспериментах с тормозным - излучением 97
Заключение 104
Литература 106
Приложение 111
- Ограничение на разрешающую способность «прибора»
- Схема получения последовательности приближений
- Моделирования кривых выхода фотоядерных процессов
- Методика проверки применимости теоретических моделей для описания ядерной резонансной флуоресценции экспериментах с тормозным - излучением
Введение к работе
В,1 Реакции взаимодействия у- излучения с атомными ядрами. .Ядерные реакции, вызываемые электромагнитным взаимодействием, являются одним из основных источников информации о структуре атомных ядер. Так, из реакций с электромагнитным взаимодействием можно получать более надёжную информацию о строении ядра, чем из реакции с сильным взаимодействием, где трудно отделить проявление структуры ядра от механизма его возбуждения. Наиболее типичной ядерной реакцией, протекающей за счёт электромагнитного взаимодействия, является фотоядерная реакция [1] (далее используется запись А[у,Ь)В ? где у- налетающий фотон,, А - ядро мишень, В - остаточное ядро, Ъ - выбитые из ядра-мишени частицы).
Особый интерес представляют фотоядерные реакции, протекающие в диапазоне энергий фотонов от порога выбивания нуклона из ядра («5-Ю МэВ) до порога рождения мезонов (=135 МэВ). Основными и наиболее хорошо изученными характеристиками процесса фоторасщепления являются: энергетические распределения частиц, образующихся в результате фоторасщепления ядра. угловые распределения продуктов фотоядерных реакций. сечения основных парциальных реакций, такие как фотопротонные \УіР\а(у,пР) и фотонейтронные <^\У,ща(у,2п), а также полные сечения поглощения ядром у- квантов ^(у,/)мсЧу,і?)+^(УЛ/?)+ст(у,и)+ог(у,2я).
Главной особенностью сечений поглощения фотонов ядрами, как функции энергии возбуждения, является наличие широкого максимума -гигантского дипольного резонанса (ДГР). Его ширина находится в приделах 4-10 МэВ, а максимум располагается при энергиях 12-25 МэВ. В первом приближении сечения фоторасщепления могут быть охарактеризованы тремя параметрами: положение, полуширина и интегральное сечение основного максимума.
Особый интерес вызывает вопрос существования сложной структуры ДГР, а именно наличие резонансов различной ширины в его составе [2]. В настоящее время для теоретического описания ядерных реакций, идущих с возбуждением ДГР, разрабатываются модели, базирующиеся на коллективизации взаимодействующих одночастичных возбуждений с учётом структуры ядра, а проведённые теоретические расчеты сечений фотопоглощений показывают расщепление ДГР (см., например, [3]). В пользу существования сложной структуры ДГР, в частности, указывают концепции конфигурационного и изосшгаового расщепления ДГР [4], [5],
В.2 Проблема восстановления сечений реакций в экспериментах с тормозным у- излучением.
Что же касается получения экспериментальных данных, то одним из главных направлений изучения структуры ядер является повышение точности определения сечений фотоядерных реакций [6-8]. Это связано с целым рядом трудностей. Так, для исследования фотоядерных реакций идеальным источником был бы источник монохроматических фотонов, позволяющий плавно изменять энергию, а так же обладающий высокой интенсивностью. Но все существующие источники У - квантов далеки от идеальных: либо не позволяют плавно изменять энергию в нужных пределах, либо не монохроматичны, и извлечение сечений из экспериментального материала осложнено формой энергетического спектра источника. Наиболее распространенные источники высокоэнергичных фотонов - электронные ускорители, создающие тормозное излучение (см., например, [9]).
Т,<Т2<Т3. 'Эиаргид іі'зтоііое, MdB
?:ч^ррил Истоков, XaD
ФИО* г
Зх-101 -
К 2к1[С -
Е, MSB
Рис. В.1. Спектры тормозного излучения при различных значениях верхних границ (а), эффективное сечение &{Еу ) фотоядерной реакции (б) и экспериментальная кривая выхода фотоядерной реакции Y(T).
В сравнении с другими источниками тормозное излучение обеспечивает наиболее интенсивные потоки 7- квантов, что особенно важно из-за малости эффективных сечений фотоядерных реакций, При этом получение тормозных 7- квантов сравнительно просто. Для получения тормозного 7-изпучения достаточно направить поток электронов на мишень-конвертор [10]. В этом случае тормозное излучение возникает за счёт ускоренного движения электронов в кулоновском поле ядер и атомарных электронов мишени. Энергетический спектр У- квантов тормозного излучения непрерывен и подчиняется зависимости у Еу , за исключением области верхней границы, где Еу. энергия испущенного фотона.
С другой стороны, практическое использование тормозного излучения сильно усложняется непрерывным характером его энергетического спектра, что не позволяет в экспериментах получать непосредственную информацию о характере интересующего фотоядерного процесса, относящуюся к определенной энергии возбуждения. Поэтому для восстановления из экспериментального выхода сечения реакции необходимо решать обратную задачу.
Рассмотрим принцип получения эффективных сечений фотоядерных реакций в экспериментах с тормозным 7 - излучением. Облучая исследуемую мишень тормозным 7 - излучением с верхней границей Т , регистрируется iV(r) событий фотоядерной реакции, сечение которой о \Еу ) необходимо определить. Имеет место связь
2V(7> EoD(T)l
Именно величина У\Г), называемая выходом фотоядерной реакции, а не эффективное сечение, и есть непосредственный результат экспериментов с тормозным J - излучением. Характерной особенностью выхода фотоядерной реакции является его монотонное возрастание с увеличением энергии Т, даже если эффективное сечение может иметь резонансный характер (рис, В. 1,6). Существование резонансов в сечении отражается лишь в слабом изменении наклона касательной к графику Y \Г) (рис. В.1,в). Таким образом, для получения эффективного сечения необходимо знать вид функции У\ґ)> что достигается проведением серии измерений при различных значениях верхней границы спектра тормозного излучения (рис. В.1,а). Результатом измерений является набор чисел а для нахождения сечения необходимо решить интегральное уравнение (В.З). Численно решение принято искать в виде вектора 0^(0^,0^,...,0^/ размерности /г, разбивая интересующий интервал энергий [jETq,"„ J на п равных отрезков шириной &Е7 = — 5 переходя тем самым к дискретному представлению. Выбор константы разбиения п задает максимальное энергетическое разрешение метода. На основании выбранного разбиения интегральное уравнение (В.З) принимает вид
У^У&)«ДЕГ5>Л (В-4)
Используя весь набор чисел Yt {і —1,2,... ,т), соотношение (В.4), а также нормализовав коэффициенты аппаратурной функции тормозного излучения W на ДЕr, получаем систему линейных уравнений ^11 Л2 Л21 Ли \^Aml Ага2 Л1и \»; (В.5)
Существует частный аналог выражения (В.5), выраженный через треугольную матрицу размерности {тхт) и применяемый во многих математических методах восстановления сечений, в частности, в работах [11], [12]. В этом случае, очевидно, максимальное разрешение по энергии фиксировано и определяется количеством экспериментальных точек кривой выхода т.
В силу вероятностного характера процесса получения экспериментального материала, результатом измерения является значение выхода, лишь статистически приближенное по отношению к истинному значению, величина отклонения от которого определяется статистической обеспеченностью эксперимента. Таким образом, реально имеется возможность получить сечение <т, лишь приближенное к истинному значению о. Это означает существование не одного, а целого семейства возможных решений системы уравнений (В.5), отличающихся друг от друга и от искомого сечения (в том числе, можно получить формальное решение, которое не имеет физического смысла).
Более того, при повышении требований к энергетическому разрешению восстановительных методик, что необходимо для выявления особенностей структуры сечений, неоднозначность решения обратной задачи возрастает, и круг методов, дающих устойчивый результат, сужается. Из-за указанной неоднозначности получаемого решения, обратная задача восстановления сечений фотоядерных реакций в экспериментах с тормозным у- излучением была отнесена к разряду некорректно поставленных задач [13]. Следовательно, особую важность приобретает наличие нескольких разных восстановительных методик, взаимно подтверждающих и дополняющих друг друга.
В настоящее время существует несколько методов решения некорректно поставленных задач, ставших уже традиционными, среди которых, следует выделить метод регуляризации Тихонова А.Н. [14], где проблема надежности решается путем так называемой регуляризации искомых решений, основанной на априорном «знании» вида решения и метод редукции [15].
Восстановленные сечения фотопоглощения традиционными методами решения обратной задачи (В.5), как правило, содержат структурные особенности, что согласуется с теоретическими предсказаниями о сложной структуре ДГР. Однако параметры составляющих ДГР резонансов (расположение, амплитуда, ширина), полученных разными методами восстановления сечений, имеют некоторые отличия, возникающие, главным образом, из-за статистической неопределённости экспериментального материала. Следовательно, при восстановлении сечений фотоядерных реакций в экспериментах с тормозным у - излучением чрезвычайно важна надёжность решения некорректно поставленной задачи. Помимо этого, существует проблема значительного расхождения данных о сечениях, полученных в экспериментах различного типа. Так, например, в работах [16-18] показано, что в экспериментах с квази-моноэнергетическими аннигиляционными фотонами сложная структура ДГР5 как правило, не проявляется.
Поэтому особую актуальность приобретает наличие альтернативного метода решения обратной задачи, учитывающего специфику физической задачи - восстановления сечений фотоядерных реакций в экспериментах с тормозным у'- излучением. Так как одной из главных задач исследования является обнаружение структуры в сечении фотопоглощения, то разрабатываемый метод восстановления должен обладать достаточной разрешающей способностью. Особенно важно это требование при работе с экспериментальным материалом с недостаточно высокой статистической обеспеченностью. При этом полученное методом решение должно быть надёжным, т.е. должен быть разработан способ оценки погрешностей восстановления сечений.
В диссертации представлен удовлетворяющий указанным условиям альтернативный метод решения обратной задачи, а также рассматривается его практическое применение для восстановления сечений фотоядерных реакций и выявления сложной структуры гигантского резонанса.
Цель работы
Целью представляемой работы являлось создание альтернативного метода решения обратной задачи и восстановление данным методом сечений фотоядерных решений в экспериментах на тормозном J-излучении. Достижение поставленной цели осуществлялось путём решения следующих конкретных задач:
1. Разработка альтернативного метода решения обратной задачи - метода случайных интервалов (МСИ), позволяющего получать устойчивое решение с высоким разрешением по энергии, что особенно важно для анализа экспериментальных данных со слабой статистической обеспеченностью.
2. Проведение тестирования МСИ восстановлением модельных сечений.
3. Восстановление МСИ сечений фотоядерных реакций из экспериментально измеренного выхода.
4. Разработка способа альтернативного представления результатов восстановления сечений - в виде суперпозиции резонансов.
5. Разработка программного кода, реализующего МСИ.
Помимо основной задачи в данной диссертации рассматриваются: способ повышения разрешающей способности аппаратуры итерационным методом и методика проверки применимости теоретических моделей для описания ядерной резонансной флуоресценции в экспериментах с тормозным 7 - излучением.
Научная новизна
Научная новизна работы заключается в том, что в ней впервые получены следующие результаты:
1. Создан новый, обладающий альтернативной структурой, метод решения некорректно поставленных задач - метод случайных интервалов (МСИ). При решении обратной задачи, МСИ выполняет поиск частного решения случайным образом, базируясь на процедуре фитирования (подбор параметров), в отличие от большинства математических методов, использующих процедуру обращения матриц.
2. Благодаря особой структуре, МСИ целенаправленно реализует так называемый «статистический подход» для поиска усреднённого решения и оценки ошибок, т.е. особым образом учитывается статистическая неопределённость экспериментального материала. Разработан способ выбора оптимального энергетического разрешения.
Предложен набор тестов для проверки корректности восстановления новым методом модельных сечений. Проведённое тестирование МСИ показало положительные результаты: устойчивость решения и корректность построения «коридора ошибок».
Из экспериментальных кривых выхода с «бедной статистикой», применил МСИ, восстановлены сечения реакций 197 А и (у, дл), 232Th(y, f) с высоким разрешением по энергии.
5. Разработан способ альтернативного представления результатов восстановления сечений - в виде суперпозиции резонансов. Указанный способ позволяет вычислять параметры различимых резонансов, составляющих структуру гигантского резонанса, а также оценивать ошибки их определения. Показано применение данного способа для представления полученных МСИ результатов восстановления сечения реакции в виде суперпозиции резонансов.
Научная и практическая ценность
Научная и практическая ценность полученных в диссертации результатов обусловлена тем, что они позволяют восстанавливать сечения фотоядерных реакций с высоким энергетическим разрешением альтернативным методом. Важная особенность МСИ - возможность получения устойчивого решения при высоком энергетическом разрешении, особенно при работе со сравнительно слабым статистическим материалом.
Так, в связи с постоянно предпринимающимися попытками объяснить сложную структуру гигантского резонанса одним из главных направлений изучения структуры ядер является повышение точности определения сечений фотоядерных реакций. Увеличение точности восстановительных методик позволяет различать наборы резонансов в полученных сечениях.
Но получаемые результаты зачастую содержат неоднозначность, объясняемую сложностью решения некорректно поставленной задачи. Это подчеркивает необходимость разработки альтернативного метода, базирующегося на нетрадиционной процедуре восстановления, который позволял бы получать устойчивые решения некорректно поставленной задачи восстановления сечений фотоядерных процессов.
Личный вклад автора.
Все основные результаты диссертации, выносимые на защиту, получены лично автором или при его непосредственном участии. Автором разработан новый метод решения обратной задачи - метод случайных интервалов,, применённый для восстановления сечений фотоядерных реакций.
Апробация работы
Основные результаты работы были представлены и обсуждены на международных и отечественных научных конференциях, б том числе на международной конференции по ускорителям заряженных частиц «PAC'2001»(Chicago, USA, 2001), на международных конференциях «Ядерная спектроскопия и структура ядер, Ядро-2002, Ялро-2003 (Москва, Россия), Ядро-2004 (Белгород, Россия)», «XXX международной конференции по физике взаимодействия заряженных частиц с кристаллами» (Москва, 2000), «Ломоносовские чтения» (Москва, 2002) и других. Результаты работы неоднократно докладывались на научных семинарах, а также были опубликованы в периодических изданиях (статьи в журналах «Ядерная физика», «Известия Академии Наук, Серия физическая», «Поверхность», «Вестник Московского Университета») и в трудах указанных конференций.
Объём и структура работы
Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения, приложения и списка используемой литературы. Она изложена на 116 страницах, включает в себя 33 рисунка, 2 таблицы и 1 приложение. Список используемой литературы содержит 52 ссылки. Диссертация написана на основании 8 публикаций.
На защиту выносятся:
1. Создан метод решения обратной задачи - МСИ, обладающий: отличной от существующих методов структурой и способностью при работе с экспериментальным материалом, включая материал со слабой статистической обеспеченностью, получать устойчивое решение с высоким разрешением по энергии.
2. Разработан способ выбора оптимального энергетического разрешения при восстановлении сечений, основанный на оценке статистической неопределённости экспериментального материала.
3. Предложен набор тестов для проверки корректности восстановления модельных сечений. Проведено тестирование МСИ на модельных сечениях.
4. Восстановлены методом случайных интервалов сечения реакций с высоким разрешением по энергии. Таким образом, показана возможность надёжного восстановления сечений фотоядерных реакций МСИ в экспериментах на тормозном у -излучении с высоким энергетическим разрешением, что позволяет выявлять резонансную структуру ДГР.
5. Предложен способ альтернативного представления результатов, полученных МСИ при восстановлении сечений фотоядерных реакций - в виде суперпозиции резонансов. Показаны результаты работы данного способа для фотоядерной реакции взСи(у, nf2Cu.
6. Предложен метод извлечения сечений фотоядерных реакций прямым фитированием параметров резонансов, разработанный для случая высокого статистического обеспечения материала, и показавший при тестировании на модельных сечениях стабильный результат.
7. Предложены способ повышения разрешающей способности аппаратуры итерационным методом и методика проверки применимости теоретических моделей для описания ядерной резонансной флуоресценции в экспериментах с тормозным У - излучением.
В.З Краткое содержание последующих разделов диссертации.
В первой обзорной главе представлены традиционные методы решения некорректно поставленных задач, применяемых для восстановления сечений фотопоглощения в экспериментах с тормозным У -излучением, такие как, метод Пенфольда-Лейсса, метод регуляризации А.Н.Тихонова, метод редукции. В связи с тем, что статистическая неопределённость экспериментальной информации является причиной неоднозначности решения обратной задачи, что особенно заметно при слабой статистике, в рассмотренных традиционных методах предусмотрены критерии выбора приближенного решения некорректно поставленной задачи. Например, принцип «гладкости» или ограничение на разрешающую способность искомого решения.
Во второй главе обсуждается структура альтернативного метода -метода случайных интервалов (МСИ) [19], специально разработанного для восстановления сечений фотоядерных реакций в экспериментах с тормозным у - излучением. Первоначальное название метода «метод кусочного, фитирования» было изменено на «метод случайных интервалов». В МСИ целенаправленно реализован статистический подход, базирующий на принципе максимальной статистической достоверности [20]. При работе с экспериментальным материалом МСИ позволяет получать устойчивое решение с высоким разрешением по энергии, включая материал со слабой статистической обеспеченностью.
Чтобы избежать неопределённости решения некорректно поставленной задачи, в МСИ вводится ограничение на первую производную искомого решения по аналогии с традиционными методами, исходя из физического соображения: любой реальный «прибор» имеет конечную разрешающую способность - разрешение. Решение некорректно поставленной задачи ищется в виде: (E~Ej {Е>Р^^ ( /V_f ^ (В.6) v 2(Ж) ; где 3р - варьируемые при поиске решения действительные параметры, 8Е - разрешение рассматриваемого «прибора».
Для определения приближенного решения МСИ, учитывая статистический характер экспериментальной информации, производится повторная выборка случайно отобранных / элементов so g=l,l множества М, причём заранее определено, что искомое решение принадлежит этому множеству.
Излагается схема получения сходящейся последовательности приближений (векторов) &0,&lfa2...,oqf... , где поиск последующих членов последовательности осуществляется итерационно, при чём при поиске вектора &q используется информация о векторе &q_^, найденном в предыдущей итерации.
Ключевая процедура МСИ - поиск на случайно выбранном интервале «улучшенного» решения обратной задачи прямым подбором для достижения наиболее статистически достоверного совпадения результатов моделирования и экспериментальных данных. Использование указанной процедуры в итерационном процессе и случайный выбор рабочих интервалов позволяют построить набор не идентичных последовательностей решений, сходящихся к решениям, максимально приближенным к искомому результату.
Критерий остановки итерационного процесса соответствует достижению максимальной статистической достоверности. Из найденных приближений строится усреднённое решение МСИ и производится оценка погрешностей. Описан также способ представления результата в виде суперпозиции резонансов.
Для проверки корректности восстановления МСИ модельных сечений предлагается набор тестов; тест на устойчивость решения и корректность оценки статистических погрешностей; тест на «раскачку» входной информации; тест на изменение сетки; тест на влияние неточно заданного ядра интегрального уравнения; тест на сходимость к точному решению; тест способа выбора оптимального разрешения. Проведённое тестирование МСИ с использованием различных модельных сечений показало положительные результаты.
В третьей главе рассматриваются вопросы практической реализации МСИ, такие как; моделирование сечений, моделирование кривых выхода фотоядерных процессов, построение первого приближения, процедура фитирования, анализ сходимости последовательности промежуточных решений, построение частного и усредненного решения, представление среднего решения суперпозицией резонансов.
Представляются результаты применения МСИ для восстановления сечений фотоядерных реакций тАи(у,хп), 63Си{у,п)62Си , 2i2Th(y,f) из экспериментальных кривых выхода. Результаты восстановления МСИ сечений указанных процессов сравниваются с результатами восстановления другими методами решения некорректно поставленных задач: методом регуляризации, методом редукции и методом минимизации направленного расхождения,
В четвёртой главе представлены методы решения обратных задач, разработанные ранее автором работы, многие идеи которых использовались при создании метода случайных интервалов. Указан метод извлечения сечений из фотоядерных кривых выхода, основанный на фитировании (подбор параметров минимизацией функционала) резонансов, где сечение представлялось набором резонансов, а фитированию подвергались параметры резонансов: расположение, амплитуда, ширина. Такой подход особенно удобен, благодаря форме получаемого результата, для сравнения результатов восстановления сечений из экспериментальных данных с расчётами на основе теоретических моделей. При тестировании эта методика показала стабильный результат, но её применение для экспериментов со слабой статистикой и малым количеством точек кривой выхода затруднительно из-за возникающей неоднозначности решения.
Предложены способ повышения разрешающей способности аппаратуры итерационным методом и методика проверки применимости теоретических моделей для описания ядерной резонансной флуоресценции в экспериментах с тормозным У - излучением.
В приложении приведены исходные кривые выхода фотоядерных процессов, используемые в работе для восстановления сечений.
Заключение содержит основные результаты и выводы данной диссертационной работы.
Автор данной работы выражает свою глубокую благодарность своему научному руководителю профессору физического факультета МГУ Гришину В.К. за осуществление научного руководства в исследованиях и при написании данной диссертации. Автор данной работы выражает свою глубокую благодарность заведующему кафедрой общей ядерной физики физического факультета МГУ и отделом ЭПВАЯ НИИЯФ МГУ профессору Ишханову Б.С. за всемерную помощь в процессе исследовании и ценные консультации, профессору физического факультета МГУ Яголе А.Г. и сотруднику ОЭПВАЯ НИИЯФ МГУ доктору физ.-мат. наук Варламову В.В. за ценные консультации, а также всем сотрудникам ОЭПВАЯ НИИЯФ МГУ за дружескую поддержку во время работы над диссертацией.
Ограничение на разрешающую способность «прибора»
Существует частный аналог выражения (В.5), выраженный через треугольную матрицу размерности {тхт) и применяемый во многих математических методах восстановления сечений, в частности, в работах [11], [12]. В этом случае, очевидно, максимальное разрешение по энергии фиксировано и определяется количеством экспериментальных точек кривой выхода т.
В силу вероятностного характера процесса получения экспериментального материала, результатом измерения является значение выхода, лишь статистически приближенное по отношению к истинному значению, величина отклонения от которого определяется статистической обеспеченностью эксперимента. Таким образом, реально имеется возможность получить сечение т, лишь приближенное к истинному значению о. Это означает существование не одного, а целого семейства возможных решений системы уравнений (В.5), отличающихся друг от друга и от искомого сечения (в том числе, можно получить формальное решение, которое не имеет физического смысла). Более того, при повышении требований к энергетическому разрешению восстановительных методик, что необходимо для выявления особенностей структуры сечений, неоднозначность решения обратной задачи возрастает, и круг методов, дающих устойчивый результат, сужается. Из-за указанной неоднозначности получаемого решения, обратная задача восстановления сечений фотоядерных реакций в экспериментах с тормозным у излучением была отнесена к разряду некорректно поставленных задач [13]. Следовательно, особую важность приобретает наличие нескольких разных восстановительных методик, взаимно подтверждающих и дополняющих друг друга.
В настоящее время существует несколько методов решения некорректно поставленных задач, ставших уже традиционными, среди которых, следует выделить метод регуляризации Тихонова А.Н. [14], где проблема надежности решается путем так называемой регуляризации искомых решений, основанной на априорном «знании» вида решения и метод редукции [15].
Восстановленные сечения фотопоглощения традиционными методами решения обратной задачи (В.5), как правило, содержат структурные особенности, что согласуется с теоретическими предсказаниями о сложной структуре ДГР. Однако параметры составляющих ДГР резонансов (расположение, амплитуда, ширина), полученных разными методами восстановления сечений, имеют некоторые отличия, возникающие, главным образом, из-за статистической неопределённости экспериментального материала. Следовательно, при восстановлении сечений фотоядерных реакций в экспериментах с тормозным у - излучением чрезвычайно важна надёжность решения некорректно поставленной задачи. Помимо этого, существует проблема значительного расхождения данных о сечениях, полученных в экспериментах различного типа. Так, например, в работах [16-18] показано, что в экспериментах с квази-моноэнергетическими аннигиляционными фотонами сложная структура ДГР5 как правило, не проявляется.
Поэтому особую актуальность приобретает наличие альтернативного метода решения обратной задачи, учитывающего специфику физической задачи - восстановления сечений фотоядерных реакций в экспериментах с тормозным у - излучением. Так как одной из главных задач исследования является обнаружение структуры в сечении фотопоглощения, то разрабатываемый метод восстановления должен обладать достаточной разрешающей способностью. Особенно важно это требование при работе с экспериментальным материалом с недостаточно высокой статистической обеспеченностью. При этом полученное методом решение должно быть надёжным, т.е. должен быть разработан способ оценки погрешностей восстановления сечений.
В диссертации представлен удовлетворяющий указанным условиям альтернативный метод решения обратной задачи, а также рассматривается его практическое применение для восстановления сечений фотоядерных реакций и выявления сложной структуры гигантского резонанса.
Целью представляемой работы являлось создание альтернативного метода решения обратной задачи и восстановление данным методом сечений фотоядерных решений в экспериментах на тормозном J-излучении. Достижение поставленной цели осуществлялось путём решения следующих конкретных задач:
Разработка альтернативного метода решения обратной задачи - метода случайных интервалов (МСИ), позволяющего получать устойчивое решение с высоким разрешением по энергии, что особенно важно для анализа экспериментальных данных со слабой статистической обеспеченностью. 2. Проведение тестирования МСИ восстановлением модельных сечений. 3. Восстановление МСИ сечений фотоядерных реакций из экспериментально измеренного выхода. 4. Разработка способа альтернативного представления результатов восстановления сечений - в виде суперпозиции резонансов. 5. Разработка программного кода, реализующего МСИ. Помимо основной задачи в данной диссертации рассматриваются: способ повышения разрешающей способности аппаратуры итерационным методом и методика проверки применимости теоретических моделей для описания ядерной резонансной флуоресценции в экспериментах с тормозным 7 - излучением.
Схема получения последовательности приближений
Как было подчёркнуто во введении, в экспериментах с тормозным у -излучением, конечной целью которых является получение эффективных сечений фотоядерных реакций, проводится серия т измерений при различных значениях верхней границы спектра тормозного излучения , i l,m. Причём, в силу вероятностного характера исследуемых явлений, число зарегистрированных событий в каждом испытании имеет статистическую неопределённость, описываемую биноминальным распределением. Число объектов наблюдений велико, и? следовательно, для описания указанной статистической неопределённости целесообразно руководствоваться соотношением Пуассона (дисперсия и среднее равны N), которое при #(7])»1 становится практически непрерывным и совпадает с нормальным распределением со средним значением и дисперсией равными N [27]. В рассматриваемых экспериментах выход фотоядерной реакции пропорционален числу зарегистрированных частиц Г(Г) ІУ(Г), и, как правило, выполняется условие iV(Z] )»1. Следовательно, можно положить, что статистическая неопределённость выхода фотоядерной реакции задаётся нормальным распределением со среднеквадратичным отклонением SY{T) JN(T). Результатом измерений являются: набор чисел Y(Tt\ i=l m, представляющий зависимость выхода фотоядерной реакции от значения верхней границы спектра тормозного излучения, а таюке набор чисел SYfo), z=l,m, представляющий зависимость среднеквадратичного отклонения выхода фотоядерной реакции. Пусть вектор «истинного» сечения G-ntuE известен. Исходя из принципа максимального правдоподобия [20], рассмотрим поведение функционала вида где у і J=l,ra - координаты вектора У- TRUE, построенного из вектора «истинного» сечения о TRUE, Ui) г== m - экспериментальные значения выхода фотоядерной реакции - случайные числа, распределённые нормально, 7(2]) i \m среднеквадратичные отклонения экспериментальных значений выхода фотоядерной реакции. В виду статистического характера экспериментальной информации функционал (2.12) принимает случайное значение с распределением, близким к % распределению (тем ближе, чем точнее указаны значения 7(7]) i \,m), так как представляет сумму квадратов случайных чисел заданных нормированным распределением. Под нормированным распределением подразумевается нормальное распределение с математическим ожиданием равным нулю и квадратичным отклонением равным единице. Следовательно, функционал (2.12), даже построенный при использовании вектора «истинного» сечения УткиЕ не определён точно, а принимает случайное значение, заданное распределением % (рис. 2.1). Плотность % - распределения, характеризующая вероятность обнаружения значений в интервале \Х2 %2 +d%2 J, имеет вид (Пирсон) Так как результатом измерения является значение выхода, лишь приближенное по отношению к «истинному» значению, то из кривой экспериментального выхода возможно восстановить сечение, лишь приближенное к «истинному» сечению О-ПШЕ- Введём обозначение: искомое сечение ох - максимально приближенное к «истинному» сечение, которое возможно с заданной точностью надёжно восстановить из имеющегося в распоряжении экспериментального выхода. В такой постановке задачи искомое сечение СУ , как вектор размерности п% удовлетворяет двум условиям (ограничениям): 1. Вектор о определён зависимостью о —Go от вектора о «свободных параметров» (2.6-2.11) (координаты вектора о - произвольные неотрицательные числа), что отражает конечную разрешающую способность эксперимента, а так же накладывает ограничение на первую производную искомого решения. Иначе говоря, для того чтобы избежать неопределенности решения, необходимо ввести корреляции между координатами вектора искомого сечения, и чем сильнее эти связи, чем больше 8Е, тем более «гладкое» решение может быть получено. 2. Для достижения наиболее статистически достоверного совпадения результатов моделирования выхода на основе вектора искомого решения ох —G& и экспериментальных приближенность искомого решения к «истинному») требуется, чтобы функционал принимал случайное значение, распределённое по закону % . При поиске решения следует иметь в виду общие положения статистического анализа [28], [29]. Нам требуется изучить совокупность однородных объектов относительно некоторого количественного признака (при поиске искомого сечения в качестве однородных объектов выступают вектора решений, приближенных к искомому, а в качестве количественного признака выступают координаты указанных векторов). Простым случайным, именно он используется в МСИ, называют такой отбор, при котором объекты извлекаются по одному из всей генеральной совокупности. Для того чтобы по данным выборки можно было достаточно уверенно судить об интересующем признаке генеральной совокупности, необходимо, чтобы объекты выборки правильно его представляли. Другими словами, выборка должна правильно представлять пропорции генеральной совокупности: выборка должна быть репрезентативной (представительной).
Моделирования кривых выхода фотоядерных процессов
Другое важное применение проверок на модельных кривых выхода -определение оптимальных значений ключевых параметров МСИ: k - число одновременно подбираемых параметров, z- коэффициент влияния на средний результат (2.20). Так, наилучшая сходимость последовательности приближений МСИ наблюдалась при z«4. Число одновременно подбираемых параметров k целесообразно выбирать максимально возможным, удовлетворяющим одновременно двум условиям: с одной стороны к п (необходимо, для того что бы решения МСИ были найдены случайным образом), с другой стороны к должно быть меньше либо равно числу параметров надёжно одновременно подбираемых используемым алгоритмом минимизации. Исходя из вышесказанного, при восстановлении сечений в данной работе использовался к=45. В данной главе рассматриваются вопросы практической реализации МСИ, такие как: моделирование сечений, моделирование кривых выхода фотоядерных процессов, построение первого приближения, процедура фитирования, анализ сходимости последовательности промежуточных решений, построение частного и усредненного решения, представление среднего решения суперпозицией резонансое.
Представляются результаты применения МСИ для восстановления сечений фотоядерных реакций Аиуу,хп), Си{у,п) Си, Th(ytf) из экспериментальных кривых выхода. Сравниваются результаты восстановления МСИ сечений указанных процессов с результатами восстановления другими методами решения некорректно поставленных задач. Как было указано во второй главе, сечение принято искать в виде вектора-столбца размерности п, разбивая интересующий интервал энергий L min max J на и равных отрезков шириной АЕ = jm . Константа разбиения ЛЁ , задает максимальное энергетическое разрешение метода и характеризует точность перехода к дискретному представлению. Таким образом, говоря о поиске сечения при указанном разбиении, подразумевается поиск вектора о = (а3, а3,..., оп } с координатами cfj, 7=1»«, как средние значения от функции У(Е) на интервалах по формуле (2.6). Значения энергий, в силу равномерного разбиения, однозначно определяются индексами соответствующих координат, таким образом, эффективное сечение можно представить в виде пар чисел \РрЕ.) j—hn где ?;- координаты МСИ выполняет построение случайным образом набора / не идентичных сходящихся последовательностей приближений (векторов) для которых выполняется условие F (oQ ) F(Oj) .t. F \&q ) ..., где F\&)-функционал (2.14) (см. п. 2.2.2). Координаты вектора о усредненного решения - решения приближенного к искомому решению сг определяются на основании координат векторов сг, o,...,gо,... а по формуле (2.15), а координаты вектора среднеквадратичных отклонений определяются по формуле (2.16). Таким образом, задача поиска решения МСИ сводится к частной задаче нахождения сходящейся последовательности oQtol,oz...,& ,... векторов размерности п для которых выполняется условие F(a0) F{6 ) ... F{pq) ..., где Fip)- функционал (2.14). Поскольку основная практическая задача МСИ в представленной работе заключалась в восстановлении сечений фотоядерных процессов в исследованиях с тормозными J- пучками, будем рассматривать способ построения последовательности приближений &0,&Xio2...,oq,... в применении МСИ для этого конкретного случая. Иллюстрации, используемые далее при объяснении, получены на примере восстановления сечения из экспериментальной кривой выхода фотоядерной реакции Си (у, п) Си . Использование экспериментальных данных, а не смоделированных, при описании структуры метода целесообразно с точки зрения наглядности отображения процесса восстановления сечения из экспериментальных данных. Для получения первого члена последовательности о0- первого приближения предусмотрены два варианта. Наиболее простой способ -использовать в качестве отправного решения вектор с нулевыми координатами oQ = (од..., of. Проводимое тестирование показало возможность такого подхода (наблюдается сходимость последующих решений).
Методика проверки применимости теоретических моделей для описания ядерной резонансной флуоресценции экспериментах с тормозным - излучением
В данной главе представлены методы решения обратных задач, разработанные ранее автором работы; многие идеи которых использовались при создании метода случайных интервалов. В частности, описан метод извлечения сечений из фотоядерных кривых выхода [24], [25], основанный на фитировании (подбор параметров минимизацией функционала) резонансов, где сечение представлялось набором резонансов, а фитированию подвергались параметры резонансов: расположение, амплитуда, ширина. Такой подход особенно удобен, благодаря форме получаемого результата, для сравнения результатов восстановления сечений из экспериментальных данных с расчётами на основе теоретических моделей. Предлагаются также способ повышения разрешающей способности аппаратуры итерационным методом и методика проверки применимости теоретических моделей для описания ядерной резонансной флуоресценции в экспериментах с тормозным у -излучением.
Представленный метод (предшествующий МСИ), посвящен задаче восстановления сечений исследуемых реакций путем прямого фитированием из кривых выхода фотоядерных процессов в экспериментах с тормозными фотонами. Метод основан на моделировании процесса образования фотоядерной кривой выхода в предположении того, что структуру сечения можно представить суперпозицией резонансов. Извлечение сечения из кривой выхода осуществляется посредством фитирования параметров резонансов: амплитуда, ширина, расположение. Рассматриваемая процедура оказывается весьма эффективной при восстановлении сечений в экспериментах с высокой статистической обеспеченностью, характерной, например, для работ на бетатроне НИИЯФ МГУ в 1960-70 гг. [1].
Тестирование метода осуществлялась на модельных кривых выхода, поэтому особое внимание в работах [24], [24] уделялось моделированию «экспериментального» материала. Рассмотрим процедуру моделирования кривых выхода. Предполагалось: за время проведения эксперимента на тормозном пучке у - излучения можно измерить около =300 точек кривой выхода со статистической точностью 0,1% на верхнем конце кривой; величины верхних границ тормозного спектра Тп (і=1,...,п) изменяются дискретно с шагом порядка 0.1 МэВ; измерения ведутся в энергетическом интервале Е\5МэВ;30МэВ1 На основе этих предположений имитировался процесс построения фотоядерной кривой выхода. Модельное сечение было представлено суперпозицией т резонансов: где величины Ак,Хй,Гйхарактеризуют высоту, положение и ширину к- ого резонанса. Модельная «экспериментальная» кривая выхода вычисляется по формуле где ду. описывает случайную погрешность выхода. Введение величины 5yt является необходимой поправкой, отражающей при моделировании случайный характер рассматриваемых процессов. Эта поправка задавалась с помощью случайного розыгрыша пуассоновского процесса со средним значением пропорциональным la- \w{Tf,E7}ymod{E7}iE7 . для построения матрицы W(jrt,Er) использовался спектр тормозных электронов, вычисленный Шиффом. Поскольку функция WyT Ey) описывающая интенсивность исходного потока у - излучения определяется с точностью до константы а, то, варьируя последнюю, можно моделировать эксперименты с различной степенью статистической обеспеченности. Методом компьютерного моделирования можно показать, какова эффективность и устойчивость того или иного выбранного восстановительного процесса; проверить отклонение восстановленных сечений от первоначальных - «истинных»; оценить корректность построенного коридора ошибок. Практика проверки на модельных сечениях и разного рода численных экспериментов, разработанная в данной работе, была в дальнейшем успешно применена и к методу случайных интервалов. Проверка на модельных сечениях подразумевает следующую последовательность действий: моделирование сечения реакций; построение по рассмотренной выше схеме «экспериментальной» кривой выхода Уе Ф(?/); восстановление сечения испытываемым методом; сравнение полученного сечения с модельным. Восстановление сечений реализуется путём прямого фитирования параметров искомого сечения, в предположении, что сечение состоит из т резонансов. Задача сводится к нахождению Ът оптимальных параметров, при которых отличие модельной кривой выхода от «экспериментальной» ускр(ТД {i l„.,,n) будет минимальным. Модельная кривая выхода строится в соответствии с (4.1, 4.2), отсутствует только случайная погрешность выхода 5yf. Параметры (А Х Г -.-.А Х Г!) не фиксируются, а остаются свободными для варьирования. Процедура фитжрования осуществляется минимизацией функционала Индекс т обозначает число подбираемых резонансов, соответственно, Ът число одновременно подбираемых параметров. Для минимизации использовался пакет программ MINUIT . Так как число резонансов т в искомом сечении заранее неизвестно, приходится использовать пошаговую процедуру оптимизации - проведение последовательности испытаний (восстановлений), в каждом из которых предполагается, что сечение имеет га={1,2,...} резонансов. При отсутствии предварительной информации оптимизацию начинают при т=1. Следующий шаг - расширение гипотезы: т=2у и т. д. На каждом шаге, после проведения процедуры фитирования, когда подобранное минимальное значение уже известно, подвергаются сравнению величины (4.3): Fl, F2 и т. д. На основании этого сравнения определяется останов оптимизационного процесса. Для этого необходимо убедиться, что на к шаге очередное расширение не приводит к статистически значимому различию между Fk и +1. Изменения значения функционала Fk при фитировании смоделированной кривой с числом резонансов, равном 5 при различных шагах оптимизации представлены на рисунке 4.1, а).
