Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Характеристики реакции в фиксированном квантовом канале 20
1. Планарность реакции и представление спиральности 21
2. Сечение реакции в фиксированном квантовом канале 28
3. Поляризация в фиксированном квантовом канале 34
ГЛАВА II. Статистические свойства амплитуд реакции и усредненное сечение 41
1. Статистические свойства амплитуд реакции 42
2. Корреляционная функция парциальных амплитуд 51
3. Сечение в макроскопической реакции 57
ГЛАВА III. Поляризация, усредненная по каналам реакции 64
1. Функция распределения поляризации 65
2. Усредненная поляризация в макроскопической реакции 69
3. Усредненная поляризация в планарной реакции в присутствии когерентных процессов 80
ГЛАВА ІV. Модель макроскопической глубоконеупругой реакции 85
1. Вероятность реакции и энергетический спектр продуктов 87
2. Вероятность реакции с неполной диссипацией энергии 96
3. Угловые распределения в модели макроскопической реакции 100
Заключение 109
Литература 112
- Сечение реакции в фиксированном квантовом канале
- Корреляционная функция парциальных амплитуд
- Усредненная поляризация в планарной реакции в присутствии когерентных процессов
- Угловые распределения в модели макроскопической реакции
Введение к работе
Интерес к изучению реакций с участием тяжелых ионов обусловлен новыми возможностями, которые открываются при использовании тяжелого ядра в качестве бомбардирующей частицы. К ним относятся повышенная вероятность кулоновского возбуждения, получение ядер с очень высоким спином, создание и сверхтяжелых элементов. С теоретической точки зрения, в реакциях с тяжелыми ионами появляется уникальная возможность изучать сильно неравновесные процессы в конечных системах.
В зависимости от величины прицельного параметра налетающего ядра можно выделить несколько процессов в столкновении тяжелых ионов /I/. При далеких пролетах, когда величина прицельного параметра много больше чем его значение, отвечающее касательному соударению, наблюдается упругое рассеяние и кулоновское возбуждение. Траектории движения частиц в этом случае полностью определяются кулоновским взаимодействием. При касательных столкновениях ядерное взаимодействие еще мало и не приводит к глубокой перестройке ядер. Такие события соответствуют прямым реакциям, затрагивающим лишь несколько степеней свободы. Наконец, при прицельных параметрах значительно меньших касательного, налетающая частица и мишень испытывают сильное возмущение из-за интенсивного ядерного взаимодействия. Такие столкновения могут привести к образованию составного ядра, которое затем распадается либо путем испускания частиц, либо, в случае более тяжелых систем, путем деления. Однако близкие пролеты тяжелых ионов приводят также к другому, отличному от компаунд ядерного, процессу, а именно - к глубоко неупругим столкновениям. Это явление было открыто в Дубне /2/ и несколько позже, но независимо, в Орсэ /3/ и Беркли /4,5/. Оно получило несколько названий (, реакции глубоко неупругих передач, диссипативные и столкновения) в зависимости от наиболее существенных, с точки зрения авторов, особенностей протекания реакции. В данной работе мы будем придерживаться терминологии, принятой в Дубне для характеристики подобных процессов /6/.
К настоящему времени глубоко неупругие столкновения при энергиях падающих ионов 5-Ю МэВ/нуклон хорошо изучены экспериментально и результаты обобщены, например, в обзорах /6-9/. К их характерным особенностям можно отнести следующие:
1) мишенью и налетающей частицей обычно служат достаточно тяжелые ядра с массовыми числами больше 40;
2) типичные значения энергий налетающих ионов на 1-3 МэВ/ нуклон выше величины кулоновского барьера;
3) в реакциях сохраняется индивидуальность сталкивающихся ядер, хотя возможна большая передача массы;
4) угловые распределения продуктов реакции существенно неизотропны;
5) происходит сильная диссипация кинетической энергии относительного движения и углового момента;
6) глубоконеупругие столкновения занимают всю область между прямыми и компаунд-ядерными реакциями, а их вклад в полное сечение возрастает с увеличением начальной энергии и масс сталкивающихся частиц;
7) спины образующихся ядер в основном выстроены перпендикулярно плоскости реакции и величина поляризации зависит от сброса энергии.
Для описания экспериментально наблюдаемых свойств глубоконе-упругих столкновений был предложен ряд теоретических подходов, которые можно условно разбить на несколько групп. К первой относятся работы /10-18/, в которых столкновение тяжелых ионов рассматривается как движение по классическим траекториям в поле кон - 6 оервативных сил и «сил трения. Массы ядер при этом не изменяются, поэтому получить массовые распределения в этих моделях не удается. В простейшем варианте динамической модели с трением /Ю/ ядра считались сферическими в течение всего процесса. Трение возникало при сближении ядер и перекрытии их поверхностей, В качестве консервативного поля были взяты кулоновский, центробежный и ядерный потенциалы, причем последний рассчитывался как фолдинг-потенциал в приближении замороженных плотностей. Радиальные и тангенциальные формфактори сил трения считались пропорциональными квадрату градиента ядерной части потенциала. В результате решения классических уравнений движения в полярных координатах была найдена плоская траектория, а также сечение образования составного ядра и полное сечение глубоконеупругих столкновений. В дальнейшем для описания передачи углового момента относительного движения в спины, в динамическую модель были включены переменные, связанные с вращением каждого из ядер относительно фиксированных осей /12/. В этой работе также впервые было предложено использовать для сил трения выражение, зависящее от перекрытия плотностей сталішвающихся ядер и их относительной скорости.
Учет деформации ионов в глубоконеупругих столкновениях в рамках траєкторних моделей осуществлялся различными способами. Впервые деформация в качестве динамической переменной была введена в работе /13/, где считалось, что в процессе взаимодействия ядра могут принимать форму эллипсоидов вращения. Учет деформации, а также введение большого тангенциального трения и поверхностных колебательных мод, позволили хорошо описать экспериментальные зависимости потерь энергии и углового момента от угла рассеяния. Другим способом введения деформации является изменение ядерной части потенциала взаимодействия в выходном канале реакции /14/. При этом путем подбора параметров удается получить хорошее согласие с экспериментом. Интересно отметить, что введение здесь отталкивающего кора во входном потенциале привело к появлению нижнего предела по угловому моменту для образования составного ядра.
Для описания промежуточной стадии в столкновении тяжелых ионов было использовано понятие двойной ядерной системы /15/, которая образовывалась после полной диссипации кинетической энергии. Поведение такой системы рассматривалось в модели жидкой капли, а движение ядер до образования и после развала промежуточного комплекса считалось классическим. Допущение сильной деформации (с формированием шейки) двойной ядерной системы позволило объяснить наличие низкоэнергетической части спектра продуктов реакции.
В динамических моделях с трением процесс диссипации углового момента разбивается на три этапа. Начальное относительное проскальзывание поверхностей ядер из-за трения переходит в качение, а затем столкнувшиеся ядра слипаются. Наилучшее согласие с экспе-г-риментально наблюдаемыми величинами спинов фрагментов получается в приближении полного слипания, которому соответствует очень большое тангенциальное трение /9/. Отличие поляризации продуктов реакции от максимальной, в этом случае, связано с наличием отрицательных углов отклонения /II/.
Вторая группа работ /19-21/, в которых дается описание глу-боконеупругих столкновений, объединяет различные версии диффузионной модели. В ее основе лежит наблюдение /19/, что ширина зарядовых (массовых) распределений продуктов реакции увеличивается с уменьшением угла рассеяния, а положение максимума почти не ме - 8 няется. Связывая угол рассеяния с временем протекания реакции, получаем типичную для диффузионных процессов картину, когда с течением времени происходит уширение распределений. Для описания процесса диффузии нуклонов использовалось уравнение Фоккера-План-ка /19-20/ и кинетическое уравнение /21/. Было показано, что в таком подходе правильно воспроизводится экспериментально наблюдаемая корреляция между шириной массового распределения и углом рассеяния, и по ее виду был найден коэффициент диффузии. Позднее применимость методов неравновесной статистики к глубоконеупругим столкновениям тяжелых ионов была обоснована более строго, исходя из статистических свойств матричных элементов остаточных взаимодействий /22-25/.
Преимущества классических динамических моделей с трением при описании движения хорошо разделенных ядер и статистического подхода для описания диффузии нуклонов сочетают в себе объединенные модели /26-29/. В работах /26,27/ статистический подход, базирующийся на выводе уравнения Фоккера-Планка из уравнения Неймана /30,31/, сочетается с динамическим траєкторним описанием с учетом сил трения. При этом кинетические коэффициенты выбираются из одночастичной модели /32,33/. Существенным оказывается эффект деформации фрагментов в выходном канале. Без дополнительных подгоночных параметров в /27/ получено хорошее описание экспериментальных энергетических и угловых распределений для ряда реакций. В дальнейшем на основании этой версии объединенной модели рассчитывались поляризационные характеристики глубоко неупругих столкновений /34/. В частности, получена правильная зависимость векторной поляризации фрагментов от сброса энергии.
Другой способ комбинирования статистического подхода с траекторным развит в работах /28,29/. Здесь классическая функция отклонения записывается в виде суммы кулоновской и ядерной частей, параметры определяются с помощью подгонки к экспериментальным угловым распределениям. С другой стороны, определив угол поворота двойной ядерной системы через зависящие от времени спин и момент инерции, которые аппроксимированы решениями уравнения диффузии, можно из сравнения с функцией отклонения найти время реакции и характерные времена диссипации энергии и углового момента. В /29/ явно учитывалось развитие деформации промежуточного комплекса во времени. Подобный подход использован также для описания передачи углового момента относительного движения во внутренние степени свободы /35/, причем при достаточно больших временах реакции предсказания транспортной теории совпали с результатами модели полного слипания.
В отдельную группу можно выделить работы, в которых для описания глубоконеупругих столкновений тяжелых ионов используется зависящий от времени метод Хартри-Фока. Не перечисляя все имеющиеся подходы (их сравнительный анализ проведен в недавнем обзоре /36/), остановимся на общих трудностях, присущих этому методу. Наиболее фундаментальным является вопрос о выборе эффективных сил для динамических расчетов. Параметры феноменологических сил, зависящих от плотности, которые используются в стационарных расчетах по методу Хартрич&ока, определяются из подгонки статических ядерных свойств. Поэтому их употребление полностью оправдано только в состояниях, близких к основному. Тем не менее, силы Скирма применяются для описания глубоконеупругих столкновений. Другая трудность связана с тем, что в методе Хартри-Фока волновая функция является детерминантной, поэтому получить с ее помощью средние значения многочастичного оператора, т.е. элементы матрицы реакции, не задается. В столкновениях сложных ядер, когда меняется конфигурация многих нуклонов, описываемый метод дает правильные величины лишь одночастичных операторов, например, средние массы и заряды фрагментов, их энергии. Наконец, для описания дисперсий наблюдаемых распределений недостаточно учитывать только однотелъ-ную диссипацию. Необходим учет корреляций, т.е. столкновений частиц, которые отсутствуют в теории среднего поля. Несмотря на указанные ограничения, зависящий от времени метод Хартри- ока привлекает отсутствием подгоночных параметров и полнотой описания динамики процесса. Он все шире применяется для анализа реакций с тяжелыми ионами. Например, в работе /37/ выполнен трехмерный расчет с обычными феноменологическими силами для глубоконеупру-того столкновения ионов Хе с А иоВ± и получена правильная корреляция между потерями кинетической энергии и углом вьшета снаря-доподобного продукта.
Во всех рассмотренных теориях сечение выражается только через квадраты модулей амплитуд реакции, т.е. вероятности, что свойственно классическому статистическому подходу. Представляет интерес анализ столкновений тяжелых ионов, опирающийся непосредственно на квантовую теорию рассеяния. Впервые простое выражение для сечения глубоконеупругих реакций было получено в работах /38, 39/. При этом использовалась запись амплитуды реакции в представлении спиральности и считалось, что величина проекции полного углового момента на плоскость реакции равна нулю. Однако это предположение справедливо лишь в классическом пределе, в квантовой механике величина спиральности даже для строго планарной реакции равна нулю только в среднем» Позднее квантовое выражение для сечения столкновений тяжелых ионов исследовалось в работе /40/. Применяя метод стационарной фазы для выполнения суммирования по угловому моменту и используя формулу Пуассона, удалось получить аналитическое выражение для амплитуд реакции в случае малых спинов фрагментов. Аналогичным методом была найдена формула для векторной поляризации продуктов /41/, которая справедлива в квазиупругих реакциях с тяжелыми ионами, когда спины ядер в выходном канале невелики. Поэтому целью работ /42,43/, которые составляют первую главу диссертации, являлось получение, с учетом квантового закона распределения величин спиральности, простых аналитических выражений для сечений и поляризации, пригодных при больших значениях конечных спинов.
Переход от квантового к макроскопическому описанию происходит при выполнении суммирования по всем неразрешаемым в реальном эксперименте микроканалам реакции. Вводя плотность конечных состояний, такое суммирование можно заменить усреднением по многим квантовым каналам вблизи некоторого набора измеряемых характеристик реакции. Анализу усредненных сечений посвящен ряд феноменологических моделей /40,44-48/, Показано, что сечение глубоко-неупругих столкновений представляется в виде суммы двух компонент - когерентной и статистической. Первая из них связана со средними значениями квантовомеханических амплитуд реакции, которые складываются когерентно /44,49-51/. Вторая часть возникает из-за наличия корреляции между элементами -матрицы с близкими угловыми моментами, что отличает глубоконеупругие реакции от компаунд-ядерных. Существование корреляции позволяет также описывать ионы до и после столкновения одним волновым пакетом /52/, тем самым указывая на макроскопический характер статистической компоненты и возможность использования классического вероятностного подхода для ее описания /44,53/,
К настоящему времени предложено несколько методов расчета усредненных по каналам сечений в рамках феноменологических моделей. В работах /40,46-48/ задаются парциальные амплитуды ре - 12 -акции в каждом квантовом канале. Рассчитывается сечение, а затем выполняется усреднение путем параметризации соответствующих функций распределения. Авторы работы /45/ вместо расчета амплитуды рассеяния в каждом микроканале определяют по заданным законам распределения парциальных амплитуд их корреляционную функцию, а затем суммируют по парциальным волнам, чтобы получить наблюдаемое сечение. Б диссертации используется метод /44/, в котором параметризуется сразу корреляционная функция, а длина корреляции связывается с шириной углового распределения продуктов реакции.
Для перехода от поляризации, определенной в фиксированном квантовом канале, к усредненной величине необходимо сделать предположения о средних значениях и флуктуациях амплитуд реакции. Впервые макроскопическое выражение для поляризации было получено в рамках модели классических траекторий с включением статистических флуктуации /54/. При этом, однако, не учитывалась корреляция между сечением и поляризацией, которая особенно существенна при малой величине последней. Во второй и третьей главах диссертации предложен метод /55/, с помощью которого сначала находится закон распределения амплитуд реакции, исходя из общих свойств глубоконеупругих столкновений. В дальнейшем этот закон используется для определения плотности вероятности поляризации, ее среднего значения, а также корреляционной функции сечения и поляризации.
Диссертация состоит из четырех глав.
В первой главе рассмотрены характеристики реакции в фиксированном квантовом канале. Используя упрощающие предположения о свойствах парциальных амплитуд глубоконеупругих столкновений тяжелых ионов, сечение и поляризация записаны в виде, допускающем простую интерпретацию и моделирование /42,43/.
В § І сформулированы основные предположения о механизме реакции. Считается, что главный вклад в сечение дают парциальные волны с большими угловыми моментами. Кроме того, мы предполагаем, что реакция почти планарна, т.е. предпочтительной является ориентация всех спинов перпендикулярно плоскости реакции. Из этого условия вытекают ограничения на величину проекции полного углового момента на направление разлета продуктов. С увеличением ее абсолютной величины коэффициенты Клебша-Гордана быстро убывают, однако, в отличие от классической механики, из правил сложения угловых моментов в квантовой теории не следует точное равенство этой проещии нулю. Для коэффициентов векторного сложения найдены приближенные формулы, с помощью которых упрощены точные выражения для амплитуд реакции в представлении спиралыюсти.
В § 2 выведена формула для сечения в определенном квантовом канале. Использование аппроксимации для коэффициентов Клебша-Гор-дана позволило выполнить интегрирование по спиральностям и представить сечение в виде, допускающем классическую трактовку. Окончательный результат содержит два слагаемых, которые соответствуют рассеянию на ближнем и дальнем краях ядра, а интерференционный член, связанный с дифракцией Фраунгофера, исчезает при суммировании по проекциям спина. Введены две новые величины, которые являются линейными комбинациями парциальных амплитуд и могут быть отождествлены с амплитудами рассеяния на положительные и отрицательные углы,
В § 3 анализируется квантово-механическое определение поляризации продуктов реакции. Для больших конечных спинов удается в рамках сделанных выше предположений выразить поляризацию через квадраты модулей амплитуд реакции. В отличие от случая малых спинов /41/, в формулу для поляризации, как и в сечение, не входят интерференционные члены. Результат содержит множитель, учитывающий возможное отклонение от планарности, которое влияет на поляризацию тем сильнее, чем больше отношение масс фрагментов. Для строго планарной реакции полученное выражение совпадает с макроскопическим определением поляризации как асимметрии, т.е. относительной разности интенсивностей потоков частиц, рассеянных на положительные и отрицательные углы /54/.
Во второй главе рассмотрены статистические свойства амплитуд реакции, связанные с усреднением по квантовым микросостояниям системы. Исходным пунктом анализа является представление амплитуд реакции в виде суммы усредненной, т.е. слабо меняющейся при переходе от одного канала к другому, и флуктуирующей частей.
В § I рассматривается статистика случайной компоненты амплитуды реакции. Мы используем тот факт, что длины корреляции парциальных амплитуд по угловым моментам значительно меньше, чем число волн, дающих вклад в сечение. В предположении об однородном распределении фаз флуктуирующих элементов Д -матрицы показано, что, несмотря на корреляцию, действительная и мнимая части каждой амплитуды реакции статистически независимы и распределены по нормальному закону с одинаковыми дисперсиями /55/.
В § 2 анализируется корреляционная функция парциальных амплитуд реакции. Показано, что в приближенно планарной реакции длины корреляции по полным угловым моментам и конечным орбитальным моментам одинаковы, поэтому число аргументов исследуемой функции уменьшается. Конкретный вид зависимости от разности угловых моментов определяется соотношением между временем жизни двойной ядерной системы и временем ее образования. Используя параметризацию корреляционной функции /44/, установлена связь между единственным параметром длины корреляции и дисперсией совместного рас - 15 -пределения вероятности фаз случайных компонент парциальных амплитуд реакции. В заключение рассмотрены несколько возможных форм фазовых распределении и найдены соответствующие им корреляционные функции.
В § 3 изложен метод определения статистической (макроскопической) составляющей сечения реакции с помощью введенной выше корреляционной функции /44/. В результате усредненное сечение записывается в виде свертки вероятности реакции для данных значений угловых моментов и парциального углового распределения, т.е. приводится к классической вероятностной форме. При этом, поскольку явно учитывается зависимость коррелятора от конечного орбитального момента, используется функция отклонения, симметризованная по начальному и конечному состояниям /56/.
В третьей главе рассмотрена поляризация, усредненная по каналам реакции. Процедура усреднения здесь заменена интегрированием с соответствующей функцией распределения, для которой получено аналитическое выражение /43,55/.
В § I, исходя из явного вида поляризации в определенном квантовом канале (§3 главы I) и закона распределения амплитуд реакции (глава 2), найдена функция распределения поляризации в общем случае, когда вклад в сечение дают и когерентные и статистические процессы. Она зависит как от параметров от 4 величин: относительного вклада когерентных процессов в сечение реакции, поляризации, обусловленной только когерентным механизмом, эффективного числа статистически независимых каналов реакции и макроскопической асимметрии. Последняя величина определяется балансом усредненных сечений рассеяния на положительные и отрицательные углы в чисто статистической реакции и возникает из-за наличия корреляции между парциальными амплитудами. В компаунд-ядерных процессах такая корреляция отсутствует и асимметрия равна нулю.
Все параметры функции распределения, в свою очередь, зависят от угла рассеяния и других характеристик столкновения, таких как массы и заряды фрагментов, их энергии и т.д.
В § 2 проанализирована поляризация в макроскопической реакции, когда вклад когерентных процессов в усредненное сечение равен нулю. Получено аналитическое выражение для функции распределения и исследована ее зависимость от параметров задачи. Путем анализа корреляционной функции сечения и поляризации установлено, что их статистической зависимостью можно пренебречь только при большом числе независимых каналов реакции. В этом случае усредненная поляризация совпадает с асимметрией. Угловая зависимость последней величины существенно отлетается для разных форм корреляционной функции парциальных амплитуд, которым соответствуют различные соотношения между характерными временами реакции. Отсюда делается вывод, что изучение зависимости поляризации от угла рассеяния продуктов глубоконеупругих столкновений может дать дополнительную информацию о динамике процесса.
В § 3 рассмотрена усредненная поляризация в строго планарной реакции в присутствии как статистических, так и когерентных процессов. Найдено аналитическое выражение для $?тщшм распределения, с помощью которого путем численного интегрирования рассчитана усредненная поляризация для разных величин входящих параметров. При близких значениях когерентной и статистической компонент возникает интерференционный эффект, который проявляется в нелинейной зависимости результирующей поляризации от величины относительного вклада когерентных процессов. В аддитивных характеристиках реакции, таких как сечение, подобная интерференция отсутствует,
В § I описана модель для вероятности реакции, в которой предполагается, что в процессе столкновения образуется двойная ядерная система. Полная кинетическая энергия продуктов реакции считается равной сумме энергии их кулоновского взаимодействия в момент распада промежуточной системы и вращательной энергии. Влияние деформации фрагментов на энергетическое распределение эффективно учитывается с помощью введения дополнительного расстояния между их поверхностями в точке разрыва. Поскольку максимальное удлинение системы определено неоднозначно, то при формулировке модели для него постулируется вероятностное распределение с некоторыми постоянными средним значением и дисперсией. Энергетический спектр фрагментов, который полностью определяется предложенной вероятностью реакции, имеет форму, характерную для глубоко неупругих столкновений с участием очень тяжелых ионов. В качестве примера рассмотрена реакция Хе + Bi при различных значениях энергий налетающих частиц /59-61/. Рассчитанный спектр снарядоподобного продукта, правильно воспроизводя форму экспериментальной кривой, оказывается смещенным по энергии на несколько десятков МэВ.
Сечение реакции в фиксированном квантовом канале
Переход от квантового к макроскопическому описанию происходит при выполнении суммирования по всем неразрешаемым в реальном эксперименте микроканалам реакции. Вводя плотность конечных состояний, такое суммирование можно заменить усреднением по многим квантовым каналам вблизи некоторого набора измеряемых характеристик реакции. Анализу усредненных сечений посвящен ряд феноменологических моделей /40,44-48/, Показано, что сечение глубоко-неупругих столкновений представляется в виде суммы двух компонент - когерентной и статистической. Первая из них связана со средними значениями квантовомеханических амплитуд реакции, которые складываются когерентно /44,49-51/. Вторая часть возникает из-за наличия корреляции между элементами -матрицы с близкими угловыми моментами, что отличает глубоконеупругие реакции от компаунд-ядерных. Существование корреляции позволяет также описывать ионы до и после столкновения одним волновым пакетом /52/, тем самым указывая на макроскопический характер статистической компоненты и возможность использования классического вероятностного подхода для ее описания /44,53/,
К настоящему времени предложено несколько методов расчета усредненных по каналам сечений в рамках феноменологических моделей. В работах /40,46-48/ задаются парциальные амплитуды реакции в каждом квантовом канале. Рассчитывается сечение, а затем выполняется усреднение путем параметризации соответствующих функций распределения. Авторы работы /45/ вместо расчета амплитуды рассеяния в каждом микроканале определяют по заданным законам распределения парциальных амплитуд их корреляционную функцию, а затем суммируют по парциальным волнам, чтобы получить наблюдаемое сечение. Б диссертации используется метод /44/, в котором параметризуется сразу корреляционная функция, а длина корреляции связывается с шириной углового распределения продуктов реакции.
Для перехода от поляризации, определенной в фиксированном квантовом канале, к усредненной величине необходимо сделать предположения о средних значениях и флуктуациях амплитуд реакции. Впервые макроскопическое выражение для поляризации было получено в рамках модели классических траекторий с включением статистических флуктуации /54/. При этом, однако, не учитывалась корреляция между сечением и поляризацией, которая особенно существенна при малой величине последней. Во второй и третьей главах диссертации предложен метод /55/, с помощью которого сначала находится закон распределения амплитуд реакции, исходя из общих свойств глубоконеупругих столкновений. В дальнейшем этот закон используется для определения плотности вероятности поляризации, ее среднего значения, а также корреляционной функции сечения и поляризации.
Диссертация состоит из четырех глав. В первой главе рассмотрены характеристики реакции в фиксированном квантовом канале. Используя упрощающие предположения о свойствах парциальных амплитуд глубоконеупругих столкновений тяжелых ионов, сечение и поляризация записаны в виде, допускающем простую интерпретацию и моделирование /42,43/. В І сформулированы основные предположения о механизме реакции. Считается, что главный вклад в сечение дают парциальные волны с большими угловыми моментами. Кроме того, мы предполагаем, что реакция почти планарна, т.е. предпочтительной является ориентация всех спинов перпендикулярно плоскости реакции. Из этого условия вытекают ограничения на величину проекции полного углового момента на направление разлета продуктов. С увеличением ее абсолютной величины коэффициенты Клебша-Гордана быстро убывают, однако, в отличие от классической механики, из правил сложения угловых моментов в квантовой теории не следует точное равенство этой проещии нулю. Для коэффициентов векторного сложения найдены приближенные формулы, с помощью которых упрощены точные выражения для амплитуд реакции в представлении спиралыюсти. В 2 выведена формула для сечения в определенном квантовом канале. Использование аппроксимации для коэффициентов Клебша-Гор-дана позволило выполнить интегрирование по спиральностям и представить сечение в виде, допускающем классическую трактовку. Окончательный результат содержит два слагаемых, которые соответствуют рассеянию на ближнем и дальнем краях ядра, а интерференционный член, связанный с дифракцией Фраунгофера, исчезает при суммировании по проекциям спина. Введены две новые величины, которые являются линейными комбинациями парциальных амплитуд и могут быть отождествлены с амплитудами рассеяния на положительные и отрицательные углы, В 3 анализируется квантовомеханическое определение поляризации продуктов реакции. Для больших конечных спинов удается в рамках сделанных выше предположений выразить поляризацию через квадраты модулей амплитуд реакции. В отличие от случая малых спинов /41/, в формулу для поляризации, как и в сечение, не входят интерференционные члены. Результат содержит множитель, учитывающий возможное отклонение от планарности, которое влияет на поляризацию тем сильнее, чем больше отношение масс фрагментов. Для строго планарной реакции полученное выражение совпадает с макроскопическим определением поляризации как асимметрии, т.е. относительной разности интенсивностей потоков частиц, рассеянных на положительные и отрицательные углы /54/. Во второй главе рассмотрены статистические свойства амплитуд реакции, связанные с усреднением по квантовым микросостояниям системы. Исходным пунктом анализа является представление амплитуд реакции в виде суммы усредненной, т.е. слабо меняющейся при переходе от одного канала к другому, и флуктуирующей частей.
Корреляционная функция парциальных амплитуд
В предыдущей главе было показано, что в глубоконеупругих столкновениях флуктуирующие компоненты амплитуд реакции распределены по нормальному закону. Это позволяет, в принципе, найти функцию распределения сечения и с ее помощью по формуле (2.2) определить величину, усредненную по квантовым каналам реакции. Однако, поскольку сечение есть сумма квадратов модулей амплитуд реакции, то для выполнения усреднения достаточно знать дисперсии распределений вероятности амплитуд, которые выражаются через корреляционную функцию В(П,1Г) . Пер еходя к рассмотрению поляризации, которая есть отношение двух ожуктуирующих, но статистически зависимых величин, видим, что для определения среднего значения одной корреляционной функции недостаточно. Необходимо знать также более высокие моменты распределения, другими словами, найти плотность вероятности поляризации Ф(р) . Тогда усредненная поляризация р определяется как интеграл
Проблема, подобная рассматриваемой в данной работе, возника-ет также при вычислении средней поляризации частиц со спином — в статистических ядерных реакциях при энергиях, когда ширина уровней составного ядра намного превышает расстояние между ними /78-80,83-87/. Усреднение в этом случае проводится по энергии падающего пучка, а выражение для поляризации совпадает с (1.68), если под Є" понимать сечения со значениями проекции спина частицы ± -L , Существенным оказывается тот факт, что амплитуды реакции, как и в нашей задаче, статистически независимы и рас- . пределены по нормальному закону /78-80/. Поэтому математические методы, разработанные для описания компаунд-ядерных реакций, применимы также при анализе глубоконеупрутих столкновений тяжелых ионов.
В I данной главы плотность вероятности поляризации Ф{Ъ) представлена в виде интеграла от произведения функций распределения сечений (5" и 6" , Установлено, что в общем случае усредненная поляризация зависит от четырех величин: эффективного числа N независимых каналов реакции, относительного вклада ило когерентных процессов и вызванной ими поляризации у?о , а также от асимметрии of , которая связана с наличием корреляции между различными элементами матрицы рассеяния. В чисто статистическом случае, как показано в 2, средняя поляризация для фиксированного М полностью определяется величиной асимметрии, которая, в свою очередь, зависит от вида корреляционной функции б(J J jit) . Угловое распределение средней поляризации для различных форм коррелятора может быть существенно различным» .Влияние когерентных процессов рассмотренов 3 для строго планарной реакции. Оказывается, что в усредненной поляризации возникает интерференция когерентной и статистической компонент, которая отсутствует в сечении.
Рассмотрим выражение (1.68) для поляризации в фиксированном квантовом канале Т . Предположим, что механизм реакции близок к пленарному, т.е. вклад в сумму по спину S выходного канала дает относительно небольшое число слагаемых Уі ,
В дальнейшем фактор R , который вызывает уменьшение поляризации из-за отклонения реакции от планарной, будем опускать, поскольку при выполнении условия (3.2) он близок к единице. При необходимости В можно включить в рассмотрение с помощью простой перенормировки поляризации.
Перейдем к рассмотрению статистических свойств поляризации (3.3). В I предыдущей главы показано, что амплитуды (следовательно, и сечения), соответствующие рассеянию на положительные и отрицательные углы, статистически независимы. Поэтому функция распределения поляризации как случайной величины может быть записана в виде закону (2.40). Это приводит к следующей форме /88/ где безразмерные величины X и Хсо определяются как (3.8) есть сечение, связанное только с когерентными процессами. В (3.7) использовано также обозначение где п - эффективное число спиновых каналов, которое определяется из соотношения (3.9) Эффективные числа каналов Л/+ , соответствующие рассеянию на положительные и отрицательные углы, одинаковы, поэтому удобно ввести эффективное число независимых каналов Ы всей реакции как Если амплитуды 4 не коррелированы по спину р выходного - 68 -канала и их дисперсии (2.35) при разных S одинаковы, то /V-Лп. (злз) В строго планарной реакции число слагаемых в каждой сутлме по S в (1.68) равно I, поэтому эффективное число спиновых каналов Для дальнейшего рассмотрения удобно ввести три дополнительные величины: относительный вклад veo когерентных процессов в усредненное сечение реакции, когерентную поляризацию рсо и асимметрию с/ , которые определяются по следующим формулам:
Усредненная поляризация в планарной реакции в присутствии когерентных процессов
Тогда, в отсутствие интерференции, из (3.49) следует, что результирующая усредненная поляризация была бы равна нулю. Дейст-вительная величина р У В зависимости от р , рассчитанная по формулам (3.1) и (3.44), показана на рис. 9. Видим, что с увеличением абсолютной величины поляризации, обусловленной когерентным механизмом реакции, интерференционный эффект растет и достигает 20% при р - I.
С помощью указанного эффекта можно качественно объяснить экспериментально наблюдаемое /9/ явление изменения знака поляризации при уменьшении величины конечной кинетической энергии. Действительно, предположим, что поляризация рсо и асимметрия d имеют разные знаки. При уменьшении полной кинетической энергии продуктов реакции относительный вклад когерентной части процесса в усредненное сечение падает. Если считать, что Uco изменяется значительно быстрее, чем величины А и ?L , то результирующая усредненная поляризация при некотором значении J/ изменит знак (рис.8).
В заключение отметим, что поскольку усредненное сечение реакции является аддитивной величиной, то рассмотренная выше интерференция в нем не проявляется. Поэтому исследование усредненной поляризации дает дополнительную информацию о роли статистических процессов в глубоконеупругих столкновениях тяжелых ионов.
В данной главе изложено применение полученных выше формул для описания конкретных глубоконеупрутих реакций. Основное предположение, на которое опирается рассмотрение, заключается в том, что процесс столкновения считается чисто статистическим. Главншл аргументом в пользу справедливости сделанного приближения служит высокая степень диссипации энергии относительного движения в глу-боконеупругих реакциях с очень тяжелыми ионами, что приводит к возбуждению большого числа степеней свободы и, тем самым, к частичной хаотизации. Возможность описания экспериментальных данных в рамках статистического подхода можно рассматривать как критерий его применимости.
В качестве набора макроскопических характеристик реакции Т выберем энергию относительного движения в начальном состоянии , полнута кинетическую энергию продуктов реакции , и заряд легкого фрагмента Н . Для сравнения с экспериментом рассчитаем энергетический спектр cls /c/bj и угловые распределения при разных значениях , . Остальные величины, входящие в набор Т , т.е. и 2- , считаем фиксированными и поэтому в форму-лах будем опускать. Для расчета необходимо знать вероятность реакции WlIjL t.) , функцию отклонения / (Ijl?j и корреляционную функцию &(I?L? Х} ,) .В принципе, их можно вычислить, решив точно динамическую задачу о столкновении двух сложных ядер. Однако однозначного решения в настоящее время не существует. Поэтому ниже мы применим метод параметрического анализа. Нахождение параметров облегчается тем фактом, что спектр продуктов, в соответствии с (2.80), зависит только от М(з,А?ф. Таю-ш образом, расчет можно построить по следующей схеме. Выбрав из физических соображений определенную функциональную зависимость вероятности реакции от энергии и угловых моментов I и / , путем подгонки экспериментального энергетического спектра определяем значения свободных параметров. Далее, используя наеденную вероятность W(Ty Lj Et) и моделируя функцию отклонения, сравниваем с опытными данными рассчитанные с различными корреляторами eC jL/hjE.) угловые распределения с/ 5-/с1Е,б1$ . Из условия наилучшего совпадения находим величины неизвестных параметров. В том случае, если полученные значения лежат в разумных пределах, можно сделать вывод о справедливости исходного предположения о статистическом характере реакции.
В I настоящей главы описана простая модель для вероятности реакции W( 2} L.E.) в которой предполагается, что в процессе столкновения образуется двойная ядерная система. Полная кинетическая энергия продуктов реакции берется как сумма энергии их кулоновского взаимодействия в момент разрыва промежуточного комплекса и вращательной энергии. Энергетический спектр, рассчитанный в такой модели, имеет форму, характерную для глубоконеуп-ругих реакций с участием очень тяжелых ионов. В качестве примера рассмотрена хорошо изученная экспериментально /59-61/ реакция 1 Хе + Ві при нескольких значениях начальной энергии Е. . Оказывается, что подбором параметров можно хорошо воспроизвести экспериментальные данные, однако необходимо увеличить . на несколько десятков МэВ. Чтобы учесть этот сдвиг, предложена,усовершенствованная модель статистической глубоконеупругой реакции, в которой допускается отклонение Ег от суммы кулоновской и вращательной энергий. Расчет а& / dE в этом подходе и сравнение с экспериментом приведены в 2. При разумных значениях параметров получается хорошее согласие. В 3 описан расчет двойных дифференциальных сечений . Функция отклонения взята в виде суммы кулоновской части и угла поворота двойной ядерной системы за время ее жизни і , Результаты, представленные в виде контурных диаграмм Вильчинского /II/, показывают, что, используя корреляционные функции лоренцовского (2.59) и полюсного (2.63) типов, можно удовлетворительно воспроизвести экспериментальные зависимости. Таким образом, делается вывод, что рассмотренная реакция при большой неупругости является статистической.
Угловые распределения в модели макроскопической реакции
В ка-честве вероятности реакции W(I, /, ,) необходимо взять функ-цию, введенную в предыдущем параграфе, которая наилучшим образом описывает экспериментальный спектр. Однако учет неполной диссипации энергии приводит к появлению в (4.29) дополнительного интегрирования (по деформации р ), что существенно удлиняет расчет. Поэтому мы используем упрощенный вариант модели ( I), считая, что имеющийся сдвиг положения максимума спектра слабо искажает форму угловых распределений. Сравнение результатов при несколь-» ких значениях подтверждает это предположение.
Кроме вероятности реакции W(l;L ,) нам необходимо знать зависимость корреляционной функции 6(1 I, /), ,) и функции отклонения (2,75) от их аргументов. Для коррелятора парциальных, амплитуд мы используем две из рассмотренных выше воз-можных форм, для которых функция % найдена в явном виде, а именно: лоренцовскую (2,59) и полюсную (2.63). Этот выбор в большой степени произволен, поскольку результаты слабо зависят от конкретного вида . в (1/ L Л; Е,) в рамках каждого из двух описанных в главе 2 (2) классов. Так, вместо лоренцовской формы можно использовать гауссовскую (2.61), что приведет только к некоторому переопределению параметров. Зависимость параметра длины корреляции У (или обратной величины jfZ. ) от конечной энергии и угловых моментов будет проанализирована ниже.
Рассмотрим, как протекает процесс столкновения во времени, Для этого разобьем его на три этапа. На первом ядра сближаются по кулоновсгаш траекториям из бесконечности до расстояния между их центрами масс, равного радиусу входного канала #- Угол, на который к этому моменту отклонилось направление их относительной скорости от направления /. на бесконечности дается выражением /96/ С помощью первого члена в (4.30) учтено, что Л?, больше соответствующего расстояния наибольшего сближения. На втором этапе в результате ядерного взаимодействия образуется двойная ядерная система, которая существует некоторое время z . После ее распада продуь;ты реакции разлетаются по кулояовским траекториям, при этом в начальный момент движения расстояние между их центрами масс равно Рь(1,,) . Из определения величины А (уравнение (4.16)) следует, что в этом случае радиальная компонента начальной относительной скорости продуктов реакции равна нулю, т.е. совпадает с расстоянием наибольшего сближения, а соответствую-й угол отклонения составляет где параметр Зоммерфелъда для выходного канала
Поскольку в нашей модели выполняется соотношение (4.12), т.е. полный угловой момент распределяется пропорционально моментам инерции, то в (4.31) вместо L следует подставить 1(/ 0(і, );і) . Теперь можно написать выражение для полной функции отклонения
Здесь введена, новая величина - ядерная часть функции отклонения ф , (Ї, Е+) » которая связана с вращением промежуточной системы, в течение ее жизни. Она определяется углом поворота комплекса за время t и приближенно может быть записана как где 1л) [I, t.) - средняя угловая скорость
Зависимость времени жизни двойной ддерной системы от 2 и , мы возьмем в виде т.е. будем считать, что система живет тем дольше, чем больше степень неупругости реакции и чем ближе столкновение к лобовому. Из (4.36) следует, что двойная система., образованная в касатель- ных соударениях, распадается очень быстро. Это, вероятно, спра - 106 -ведливо в глубоконеупругих реакциях с участием очень тяжелых ионов. Неизвестная постоянная l0 , которая входит в определение І , подлежит определению из подгонки экспериментальных данных. С помощью соотношения (4,34) можно определить также обратную длину корреляции -О- , которая пропорциональна углу поворота двойной ядерной системы (формула (2,82)), Положив коэффициент пропорциональности равным единице, запишем
Для касательных столкновений, которые наиболее близки к когерентным процессам, длина корреляции оказывается максимальной ( SL минимальна),
Двойное дифференциальное сечение для реакции рассчитанное в приближении чисто статистического механизма реакции с корреляционной функцией ло-ренцовского типа, показано на рис, 156 в виде двумерной контурной диаграммы. Для сравнения на рис. 15а приведена экспериментальная контурная диаграмма /59/. Константа, входящая в выражение (4,29), определялась из нормировки по значению в максимуме. В расчете использованы приведенные в I данной главы параметры вероятности реакции, а в качестве временной константы взято = = 1,66-10 с. Величина d C/c/$d, , вычисленная с полюсной корреляционной функцией при тех же значениях параметров, показана на рис, 15в, Видим, что в этом случае угловые распределения по сравнению с предыдущими имеют гораздо большую асимметрию, а угловая ширина максимумов при уменьшении конечной кинетической энергии Е, увеличивается медленнее.
