Содержание к диссертации
Введение
1 Введение 4
1 Кинетическое описание столкновения тяжелых ионов 8
2 Вывод кинетического уравнения в осцилляторном представлении 11
2.1 Осцилляторное представление для бозонов 11
2.2 Осцилляторное представление для фермионов 14
2.2.1 Рождение частиц в поле с фиксированным направлением A = A(t)n 20
2.3 Учет обратной реакции 21
3 Бесстолкновительное приближение 23
3.1 Усиление рождения странности 23
3.1.1 Эффекты временной протяженности импульса 25
3.1.2 Влияние формы импульса поля 27
3.2 Спектры рожденных частиц по поперечному импульсу 30
4 Интеграл столкновения 34
4.1 Интеграл столкновения Ландау 34
4.1.1 Рассеяние безмассовых глюонов 38
4.1.2 Рассеяние кварков и безмассовых глюонов 40
4.1.3 Рассеяние в системе, состоящей из двух сортов кварков 42
4.2 Проблема инфракрасной расходимости в ИС 42
4.2.1 Численное исследование предравновесной эволюции в абелевой модели КГП 44
4.2.2 Однокомпонентная глюонная плазма с источником 47
4.2.3 Двухкомпонентная плазма 49
5 Выводы 51
2 Гидродинамический подход. Численное решение уравнений релятивистской гидродинамики 52
6 Уравнения динамики 55
6.1 Методы численного решения 56
6.2 Аналитические решения 59
6.2.1 Задача Римана 59
6.2.2 D-мерный Бьеркеновский разлет 60
6.3 Сравнение аналитических и численного решений 62
7 Начальные условия 64
8 Стадия замораживания 67
9 Применение гидродинамической модели к стадии разлета в столкновении релятивистских тяжелых ионов 71
9.1 Уравнение состояния 71
9.1.1 Уравнение состояния смешанной фазы 74
9.1.2 Уравнение состояния для фазы деконфайнмента 92
9.2 Эволюция 103
9.3 Вычисление наблюдаемых величин 108
9.3.1 Адронные спектры 108
9.3.2 Выход дилептонов 108
9.4 Сравнение с экспериментом 111
9.4.1 Наблюдаемые величины с конечной стадии эволюции, выход адронов 111
9.4.2 Наблюдаемые величины, проинтегрированные по всей стадии эволюции, выход дилептонов 121
Выводы 125
- Вывод кинетического уравнения в осцилляторном представлении
- Проблема инфракрасной расходимости в ИС
- Начальные условия
- Сравнение с экспериментом
Введение к работе
Впервые изучение свойств ядерной материи при высоких температурах и плотностях в лабораторных условиях стало возможным после ускорения тяжелых ядер до релятивистских энергий в Дубне (Еіаь=3 — 4А ГэВ) и Беркли (Еіаь<2ЛА ГэВ). Впоследствии были созданы ускорители AGS (Брукхэйвен), SPS (CERN) и RHIC (Брукхэйвен). Максимальная энергия столкновения, достигнутая на коллайдере RHIC, составляет y/s = 200Л ГэВ. Кроме того, в ближайшие годы будут закончены работы по созданию коллайдера LHC (CERN), энергии столкновения на котором на порядок превышают энергии RHIC. Однако не угас интерес к исследованию столкновений тяжелых ядер и более низких энергий. Так в Дубне подготавливается тяжелоионная программа для ускорителя Нуклотрон (^аь<5Л ГэВ); результаты и опыт исследований, полученные на Нуклотроне, будут использованы при создании ускорительного комплекса FAIR (Дармштадт), где планируется изучение релятивистских столкновений тяжелых ядер с максимальной энергией Еіаь = 20 —ЗОЛ ГэВ. Параллельно с развитием ускорительной техники идет создание и разработка новых прецизионных способов детектирования частиц. Такие экспериментальные исследования были бы невозможны без теоретической поддержки. Основная сложность теоретического описания релятивистских столкновений тяжелых ядер заключается в нерешенности проблемы конфайнмента, что препятствует изучению таких процессов на языке хромодинамики. Поэтому на сегодня физика релятивистских столкновений носит феноменологический характер. Однако даже исследование результатов феноменологических моделей позволяет понять важность процессов, протекающих в столкновении, в частности, ответить на вопросы о существовании локально-равновесной стадии в столкновении, о временной длительности предравновесной эволюции, о существовании и порядке фазовых переходов деконфайнмента и восстановления киралыюй симметрии на предполагаемой равновесной стадии взаимодействия.
Для исследования предравновесных процессов рождения частиц в столкновении тяжелых ядер необходимо учитывать не только пертурбативные процессы, но и многочастич- ные аспекты теории, например, рождение частиц в сильных квазиклассических полях, так называемый непертурбатнвный механизм Швингера. Такой учет, как было показано в работе [13] для энергии RHIC (^/sjviv = 200 ГэВ), позволил описать экспериментальные данные по превышению выхода (К+ + К~)-, (тг+ + 7г~)-мезонов и (р + р), (Л + Л) в ядро-ядерных столкновениях по сравнению с протон-протонными столкновениями. Формула Швингера, полученная в 1951 году, описывает рождение частиц в стационарном поле [14]. Впоследствии в рамках квантовой теории поля с помощью зависящего от времени преобразования Боголюбова удалось обобщить этот результат на нестационарные квазиклассические поля фиксированного направления [15]. Развитие методов описания рождения частиц в нестационарных полях представлено в первой части данной диссертации.
Вследствие многократного перерассеивания рожденные в столкновении частицы могут привести к установлению термодинамического локального равновесия в системе. Анализ данных на RHIC указывает, что при столкновении двух ядер золота устанавливается термодинамическое равновесие на временах порядка 1 Ф/с. Однако до сих пор не ясно, какой механизм ответственен за столь короткие времена предравновесной эволюции. Выдвигается несколько гипотез. Одна из них основана на наличии в системе связанных цветовых состояний кварков и глюонов [16,17], эффективно приводящих к увеличению сечений рассеяния и, следовательно, к сокращению времени предравновесной стадии. Другая гипотеза предполагает изотропизацию цветового поля в столкновении [18], что может вызвать быструю релаксацию в системе. Обе гипотезы не были ни подтверждены, ни опровергнуты на эксперименте. Тем не менее установлено, что пертурбативные сечения рассеяния кварков и . глюонов предсказывают время релаксации, на порядок превышающее экспериментальные оценки.
Если все же статистическое равновесие в системе достигнуто, то последующее описание ее эволюции возможно в рамках гидродинамики. Исторически первый успех гидродинамики в приложении к физике столкновения тяжелых ядер связан прежде всего с предсказанием формирования коллективных потоков и некоторых особенностей их поведения (ядерные ударные волны), что позднее активно исследовалось экспериментально. Однако, гидродинамическое описание столкновения тяжелых ионов — не единственный инструмент теоретического исследования. Помимо гидродинамики развиваются микроскопические транспортные подходы: каскадные модели [19-23], модели квантовой молекулярной динамики [24,25]. Такие модели нуждаются во входной и часто неизвестной информации о сечениях рассеяния частиц и резонансов, времени формирования частиц и модификации свойств адронов в горячей среде. Преимущество гидродинамики заключается в возможности прямой постановки вопроса о связи уравнения состояния ядерной материи и его особенностей (например, наличия фазовых переходов), с динамикой системы и наблюда- емыми. Кроме того, гидродинамика позволяет упростить учет влияния среды на те или иные процессы, например, рождение дилеитонных пар.
Гидродинамика не позволяет описать неравновесную стадию столкновения релятивистских тяжелых ионов. На сегодняшний день существует два способа учета неравновесной стадии. Так в работах [26-31] была предложена мультижидкостная гидродинамика. Идея этого подхода заключается в представлении неравновесного столкновения двух ядер как набора равновесных "жидкостей", взаимодействующих между собой. Например, в модели трехжидкостной гидродинамики [31] предполагается, что отдельные жидкости отвечают за каждое из налетающих ядер, а также третья компонента "жидкости" выступает за частицы (в основном пионы), родившиеся в столкновении. Трехжидкостная гидродинамика успешно описывает спектр экспериментальных данных от минимальных энергий AGS (Еіаь—2А ГэВ) до максимальных энергий SPS (Еіаь=158А ГэВ) [31]. Однако в диссертации предлагается иной метод, а именно сочетание описания микроскопической каскадной модели с одножидкостной гидродинамикой. Такая схема описания тяжелых ионов получила название гибридной схемы. Согласно ей предравновесные процессы описываются с помощью микроскопической каскадной модели, в то время как небольшие объемчики системы, достигшие локального равновесия, объединяются в каплю жидкости (флюид), описание которой подчиняется законам гидродинамики. Эволюция флюида заканчивается стадией замораживания, когда гидродинамика уже не применима. Последующая эволюция вновь может быть описана в рамках каскада. Модель такого рода позволит изучить процессы, которые нельзя описать с помощью мультижидкостной гидродинамики, например, возможный, но сравнительно редкий из-за малых плотностей частиц, эффект возврата замороженных частиц обратно в гидродинамическую стадию (в том числе "затенение пионов"). Во второй части данной диссертации сделан шаг к созданию такой модели.
Целью данной диссертации является разработка кинетической и гидродинамической моделей описания релятивистских столкновений тяжелых ионов, изучение на этой основе эволюции столкновения и свойств ядерной материи при высоких температурах и бари-онных плотностях, извлечение информации об уравнении состояния ядерной материи из ограничений, накладываемых экспериментальными адронными и дилептонными наблюдаемыми.
Диссертация состоит из введения, двух частей основного содержания и заключения. В начале каждой части формулируется рассматриваемая в ней проблематика, в конце — приводятся основные результаты.
В первой части рассматривается кинетический подход к описанию столкновения тяжелых ионов, а именно, во второй главе на основе осцилляторного представления дан вывод кинетического уравнения для рождения бозонов и фермионов в сильном квазиклассиче- ском поле, рассмотрена проблема учета обратного влияния процесса генерации частиц на поле; в третьей главе в рамках тематики столкновения тяжелых релятивистских ядер даны применения выведенного кинетического уравнения, столкновительные процессы на основе интеграла столкновения Ландау рассмотрены в заключительной главе этой части.
Во второй части развит гидродинамический подход к столкновению тяжелых ионов. В пятой главе разработан численный код одножидкостной гидродинамики, проведено сравнение с известными аналитическими решениями. В последующей главе на основе каскадной модели кварк-глюонных струн (QGSM) формулируется метод нахождения начального условия для гидродинамической эволюции. Метод замораживания рассмотрен в седьмой главе. В главе 8 разработано уравнение состояния ядерной материи. Дано конкретное применение гидродинамического кода с этим уравнением состояния вплоть до сравнения с экспериментом. В последней главе даны основные выводы по второй части диссертации.
В заключении перечислены основные результаты диссертации, выносимые на защиту.
Часть I
Вывод кинетического уравнения в осцилляторном представлении
Данная глава посвящена рассмотрению процессов рождения частиц и античастиц в сильных полях и их последующей релаксации. В первую очередь здесь подразумевается описание процессов рождения и предравновесной эволюции кварк-глюонной плазмы в условиях столкновения тяжелых ионов. Кроме того, к этому кругу проблем относится также задача о генерации и релаксации электрон-позитронной плазмы, образующейся в экстремальных условиях в ряде астрофизических (например, в конусах аккреции нейтронных звезд) и космологических объектов, а также лабораторных условиях, например на установках лазеров большой мощности (см. обзорную работу [32]). Описание таких сильно неравновесных систем основано, как правило, на релятивистской кинетической теории. Далее мы будем различать начальную, неравновесную стадию и последующую, локально равновесную (или квазиравновесную), когда для описания системы достаточно сокращенного набора переменных гидродинамического типа, таких как локальная температура Т(х), локальный химический потенциал /х(Т), гидродинамическая скорость иц(х) и т.д. [33-35]. Описанию локально равновесной или гидродинамической стадии посвящена вторая часть диссертации. В основном мы ограничимся рассмотрением пространственно-однородных систем, что позволяет, в частности, игнорировать диссипативные эффекты, обусловленные пространственной дисперсией (например, затухание Ландау). С другой стороны, эффект конечности поперечного сечения объема реакции может быть важен в условии столкновения тяжелых ионов и был рассмотрен в [7,36]. В приближении пространственной однородности задачи основное кинетическое уравнение (КУ), одновременно учитывающее как процессы вакуумного рождения частиц и их аннигиляцию, так и процессы столкновений, может быть записано в виде где f(p,t) — одночастичная функция распределения, С(р, t) — интеграл столкновений (ИС), обеспечивающий перераспределение частиц по энергии и импульсу в результате столкновений; наконец, S(p, t) — источник, описывающий изменение числа частиц в результате вакуумного туннелирования в сильном нестационарном поле (нестационарный механизм Швингера). Динамическому обоснованию квантовой релятивистской кинетической теории посвящено большое количество обзорных работ (например, [33,34]). Спецификой систем, рассматриваемых в настоящей главе, является необходимость учета сверхкритических нестационарных квазиклассических полей (внешних и/или внутренних), способных вызвать вакуумное рождение частиц.
В принципе, введение столь сильных полей может привести к неаддитивному действию механизмов рассеяния и вакуумного туннелирования. Действительно, хорошо известно [35], что введение сильных полей может ока- зать заметное влияние на процесс рассеяния частиц. Ниже столь сложные ситуации не рассматриваются. Более того, аддитивное действие этих механизмов в правой части КУ (1.1) в настоящее время имеет лишь полуфеноменологическое обоснование: каждый из функционалов S(p, t) и С(р, t) удается получить на строгой динамической основе в рамках определенных модельных предположений только порознь. Совместный динамический учет этих механизмов в КУ представляет собой одну из актуальных задач релятивистской кинетической теории. Вывод КУ с источником на основе осцилляторного представления S(p, t) обсуждается в разделе 2. В разделе 3 обсуждаются основные результаты и приложения к физике ультрарелятивистских тяжелых ионов кинетической модели в бесстолкновителыюм приближении (С(р, t) = 0). В частности, в подразделах 3.1 и 3.2 рассматривается усиление рождения странности и поперечные спектры рожденных частиц в условиях столкновения тяжелых ионов. В разделе 4 обсуждается упрощение интеграла столкновения (ИС) Больцмана в приближении малых передаваемых импульсов - релятивистский ИС Ландау (квантовый вариант — ИС Беляева-Будкера), а также его свойства и модификации для ряда частных случаев. Именно этот ИС будет положен ниже в основу изучения диссипативных процессов релятивистской плазмы в сверхкритических полях. Использование этого ИС предполагает, что плотность порожденной из вакуума плазмы не очень велика. Особенно подробно в этом разделе исследован случай, соответствующий геометрии модели цветовых трубок (FTM), где до настоящего времени использовалось лишь приближение времени релаксации. Параметр времени релаксации оставался произвольным [37,38]. Здесь приводится решение этой проблемы на уровне количественной теории, обоснованной динамически, и рассмотрены возможные выводы на основе сопоставления времен релаксации, полученных численно, и экспериментальных оценок. Эти разложения могут быть получены формальной подстановкой в разложение свободного поля ш(р) = у/т2 +р2 — ш{р, t). Кроме того, прямая подстановка разложений в канонические коммутационные соотношения сводится к обычным соотношениям на операторы рождения и уничтожения: Существенно, что разложения (2.7-2.8) позволяют записать гамильтониан в диагональном представлении: Это означает, что осцилляторное представление (2.7-2.8) является квазичастичным представлением с плотностью гамильтониана (2.10). Стандартная процедура диагонали-зации гамильтониана, основанная на преобразовании Боголюбова [15], также приводит к (2.10) и соответствующим уравнениям движения на операторы рождения и уничтожения, которые мы сейчас получим.
Для этого достаточно выписать уравнения движения Гамильтона с подстановкой (2.7-2.8). После несложных преобразований имеем: Можно заметить, что эти уравнения имеют "недиагональный" вид, т.е. в каждом из этих уравнений смешаны операторы рождения и уничтожения, т.к. возможность инвариантного разделения решений волнового уравнения на положительно- и отрицательно-частотные решения связана с наличием инвариантности относительно трансляции во времени. Нестационарное внешнее поле эту инвариантность нарушает, что видно из (2.11-2.12). Кинетическое уравнение, описывающее рождение фермионов во внешнем электромагнитном поле специальной геометрии А = (0,0,0, - 4()) и основанное на квантовой теории поля, было получено в [15,42,43] в рамках подхода с использованием преобразования Боголюбова (см., например [15]). Однако данный подход содержит определенные, не решенные на сегодняшний день, трудности при переходе к электромагнитному полю произвольного направления А = (0, Al{t), A2(t), A3(t)). В работах [3,44] был предложен альтернативный метод получения кинетического уравнения для бозонных систем, изложенный в предыдущем разделе, - так называемое осцилляторное (голоморфное) представление. Здесь мы обобщим этот метод так же и на фермионные поля. Для определенности приведем стандартный лагранжиан для фермионов в электромагнитном поле: Будем искать решение уравнения движения для фермионов в виде, подсказанном преобразованием Фолди-Ваутхайзена. В свободном случае преобразование Фолди-Ваутхайзена приводит к гамильтониану с yjp2 + га2, который в конфигурационном пространстве не может быть представлен в виде конечного набора дифференциальных операторов. В случае взаимодействия будем исходить из того, что квантовое поле, взаимодействующее с однородным электрическим полем, можно в любой момент времени представить как свободное при соответствующем переопределении понятия частицы, одночастичную энергию которой естественно задать как ш(р, t) = VР2 + т2, Р = р — еА. Разложение полей на операторы рождения и уничтожения зададим следующим образом:
Проблема инфракрасной расходимости в ИС
Многочастичное рождение частиц в столкновении релятивистских тяжелых ионов на сегодняшний день до конца не изучено. Один из наиболее популярных микроскопических подходов к решению этой проблемы формулируется с помощью модели хромоэлектриче-ских струн. Изначально предполагается, что струна натянута между составными частями сталкивающихся нуклонов (кварки, дикварки). Как только последние разлетаются на значительные расстояния, энергия струны увеличивается и она становится нестабильной по отношению к рождению кварковых пар из вакуума. Образовавшиеся в результате фрагментации струн кварки и адроны могут также вступать во взаимодействие с плотной и горячей ядерной материей, что описывается в рамках специальных транспортных моделей, а также при условии наступления локального равновесия — гидродинамикой. Образование и последующий разрыв цветовой струны — общий механизм учета кварковых степеней свободы, применяемый в существующих микроскопических струнных моделях1 [48-54], которые предназначены для описания динамики тяжелых ионов при релятивистских энергиях. В однородном хромоэлектрическом поле Е вероятность рождения пары кварков с массой т, эффективным зарядом е и поперечным импульсом pt в единицу времени и объема выражается как [55,56] Проинтегрированная вероятность представляет собой следующий ряд: Формула (3.2) воспроизводит классический результат Швингера [14], полученный в спи-норной квантовой электродинамике для рождения е+е пары во внешнем постоянном электрическом иоле. Обычно рассматривается только лидирующий вклад в (3.2). Исходя из этого предположения, можно определить фактор подавления странности js как отношение вероятности рождения странной к нестранной паре кварков где к = \еЕ\ — так называемое натяжение струны. Однако, как оказалось, микроскопические расчеты занижают выход странности в столкновении тяжелых ионов [13,57]. Эта проблема тем более важна, что увеличение выхода странных частиц считается одним из сигналов кварк-глюошюй плазмы [58]. В соответствии с (3.3) рождение странности может быть увеличено либо при учете взаимодействия струн с образованием цветовых "канатов" с эффективно большим натяжением струны [59-62], либо уменьшением кварковой массы [63,04], например, вследствие восстановления киральной симметрии. Кроме того, эффекты, связанные с конечностью размера струны, могут повлиять на вероятность рождения странных частиц [7,36,65]. Здесь мы рассмотрим другую возможность — зависимость вероятности рождения от времени. Поля, возникающие в столкновении тяжелых ионов, действуют на интервалах, сравнимых с комптоновским масштабом.
Поэтому динамика рождения частиц в пространственно однородных нолях, зависящих от времени, существенно отличается от таковой в стационарных полях [5,7,15]. Метод кинетического уравнения, разработанный в предыдущих разделах, является удобным аппаратом для изучения неравновесной динамики в абелевом приближении (о применимости такого см. [66]). Источник, описывающий рождение частиц, ранее вводился в кинетическое уравнение феноменологически [67,68], впоследствии был выведен из микроскопических уравнений движения (как это было продемонстрировано в предыдущих разделах). Хотя считается, что феноменологический источник корректно воспроизводит свойства микроскопического аналога [69], однако это приближение не было проверено для нестационарных полей или многокомпонентных систем. Микроскопический источник содержит ряд динамических особенностей, например, зависимость от продольного импульса, немарковский характер временной эволюции, нетривиальный учет квантовой статистики. Относительная множественность частиц может значительно отличаться от таковой, полученной для постоянного поля. Возникновение такого нешвингеровского поведения было продемонстрировано для рождения электрон-позитронных (а также бозопных) пар в периодических лазерных полях [3, 70-73], также был обнаружен эффект фермионно-го доминирования на малых масштабах [1], заключающийся в усилении рождения тяже- лых фермионов но сравнению с легкими бозонами, были рассмотрены свойства рождения частиц и их относительные множественности в многофермионных системах [5]. В этом разделе мы подробно остановимся на последнем эффекте нешвингеровского поведения. Как уже было сказано, мы проведем анализ эффектов, вызванных быстрым изменением (хромо)электрического поля на временных масштабах порядка обратной кварковой массы, на основе кинетического уравнения (2.94-2.96). Мы аппроксимируем временную зависимость поля струны с помощью короткого импульса поля, направленного по оси столкновения начальных ядер: где Еш амплитуда поля и г — эффективное время действия импульса. Целый показатель п задает крутизну импульса: для п 1 импульс (3.4) приближается к прямоугольному. Для случая п = 2 известно аналитическое решение уравнений Дирака и следовательно уравнений (2.94- Определим зависящий от времени фактор подавления рождения странности /s, как отношение плотности числа странных кварков (s) к плотности числа нестранных кварков n(mq,t) где плотность числа кварков с массой rrif и фактором вырождения д/ задается как Решение системы (2.94-2.96) находится с помощью метода Рунге-Кутта с нулевыми начальными условиями fo(p,to) — v+(p,t0) = v (p,t0) = 0. Импульсная зависимость функции распределения /o("V)Ri_)P) найдена разбиением импульсного пространства двухмерной сеткой, в каждом узле этой сетки решается система (2.94-2.96).
Параметры сетки зависят от массы частицы и напряженности поля, и фиксируются исходя из сходимости интеграла (3.6), численно вычисляемого методом Ромберга. Для изучения влияния протяженности импульса мы будем сравнивать зависящий от времени фактор подавления странности fs(t) (3.5), рассчитанный для солитон-подобного импульса поля п = 2 (3.4), с его аналогом 7з (3-3) для постоянного поля. Входные параметры Результат вычисления асимптотического значения fs(t т) фактора подавления странности fs приведен на рис. 3.1. Швингеровская оценка дает постоянную величину, равную 7s = 0.3. Нестационарный подход демонстрирует нетривиальную зависимость фактора подавления от ширины импульса поля: для импульсов, действие которых меньше обратной массы частицы, рождение странных кварк-антикварковых пар ss значительно выше. Это может трактоваться как прямое следствие применения соотношения неопределенности на время и энергию. Для ширины импульса г 3 Ф/с fs близок к швингеровской оценке и стремится к нему в пределе т — оо. Заметим, что на характерных временах формирования кварк-глюонной плазмы г 1 Ф/с зависящий от времени фактор подавления в 1.5 раза превышает результат, полученный для стационарного поля. Рис. 3.2 показывает временную эволюцию фактора подавления fa(t) в течение действия импульса поля (3.4) равной длительности г = 1 Ф/с, но различной формы: п = б и п = 2. Можно сделать вывод, что рождение странных кварков увеличивается с ростом п, т.е. крутизны нарастания и спада импульса поля. Кроме того, промежуточное эффективное значение фактора подавления странности fs значительно превышает его конечное значение и зависит от формы импульса. Эволюция плотностей рожденных частиц n(t) представлена на рис. 3.3. Плотность как тяжелых, так и легких кварков увеличивается на ранней стадии включения импульса, далее процесс аннигиляции приводит к некоторому снижению плотности числа частиц, и после выключения поля число рожденных частиц уже не может измениться и равно стационарному значению Поо. Число аннигилировавших частиц нетривиально зависит от ширины импульса, что продемонстрировано на рис. 3.4. Поэтому осцилляции внешнего поля могут существенно влиять на значение фактора подавления странных частиц. Подобный эффект влияния формы импульса на рождение частиц в периодическом лазерном поле был изучен в [71] с помощью метода мнимого времени. В работе [62] были рассмотрены в рамках швингеровского механизма две возможности увеличения рождения странных кварков: увеличение натяжения струны или эквивалентное (см. (3.3)) снижение масс кварков. Предположим, что одетые массы кварков из набора (3.9) вследствие восстановления киральной симметрии снижаются до токовых масс кварков mU)d = 0.01 МэВ, ms — 230 МэВ, тогда простые вычисления показывают, что значение
Начальные условия
Начало приложению методов релятивистской гидродинамики к физике сильных взаимодействий адронов и ядер было положено работой Л.Д. Ландау [100] по описанию процесса множественного рождения частиц в адронных столкновениях. Хотя условия применимости гидродинамики к адронным столкновениям не столь очевидны, уже в 65-75 гг. с ее помощью были успешно исследованы глобальные характеристики и скейлинговые свойства ультрарелятивистских взаимодействий адронов, а также показана принципиальная самосогласованность гидродинамики с общими принципами квантовой теории поля (см. обзорные работы [101,102]). В семидесятые годы, с началом работ на релятивистских ускорителях тяжелых ионов в Дубне и Беркли, гидродинамика вызвала большой интерес в связи с возможностью генерации ударных волн в ядерной материи. Активные теоретические и экспериментальные исследования в этом направлении (см. обзор [103]) хотя и не привели к открытию "простых" ударных волн, но показали наличие коллективного движения возбужденной ядерной материи гидродинамической природы, существенно влияющего на динамику взаимодействия ядер. Но более важным результатом явилось четкое понимание того, что гидродинамика в приложении к столкновению тяжелых ионов предоставляет уникальную возможность извлечь информацию о глобальных свойствах сильно сжатой и нагретой ядерной материи и, в частности, о ее уравнении состояния. Именно эта идея об извлечении из наблюдаемых характеристик информации об уравнении состояния возбужденной материи, включая возможность различных фазовых состояний, стала основной в программах исследований на ускорителях следующего поколения (Брукхейвен, ЦЕРН) и на релятивистском тяжелоионном коллайдере RHIC. Одним из последних "сюрпризов" гидродинамики явилось то, что она правильно предсказала величину и поведение эллиптического потока адронов в столкновении ядер при энергии RHIC [104]. Это действительно неожиданно, поскольку при столь высоких энергиях столкновения, как ysjvjv , 100 ГэВ, можно было бы ожидать полного доминирования кварк-глюонных степеней свободы, однако оказалось, что пертурбативные партонные модели для правильного описания эллиптического потока требуют усиления сечения взаимодействия примерно в 50 раз [99]. Мы будем рассматривать гидродинамические уравнения в приближении идеальной жидкости, т.е. отбросим диссипативные процессы, связанные с наличием в ней конечной вязкости и тепловой проводимости. Обосновать это можно следующим образом.
Во-первых, учет диссипативных процессов заметно осложняет численную задачу, увеличивая число уравнений динамики с 5 до 14. Во-вторых, транспортные коэффициенты (вязкость, тепловая проводимость и т.д.) в общем случае неизвестны и необходимо вводить некоторые дополнительные предположения относительно их зависимости от температуры и химических потенциалов. И наконец, в-третьих, после частичного анализа имеющихся экспериментальных данных на RHIC было высказано предположение, что материя, рожденная в соударении тяжелых ионов высоких энергий, отличается от плазмы слабо взаимодействующих кварков и глюонов [105]. Для электромагнитной плазмы существует хорошо определенная мера силы взаимодействия - отношение средней потенциальной энергии между соседними ионами к их кинетической энергии Г = Ep0t/Ekin- Плазму с Г 2> 1 называют слабо связанной, и напротив плазму с Г С 1 называют сильно связанной. Этот критерий не применим к материи, состоящей из почти безмассовых релятивистских частиц (например, кварков и глюонов), так как потенциальная энергия плохо определена для таких систем. Поэтому за меру взаимодействия в кварк-глюонной плазме принимают отношение вязкости (пропорциональной свободному пробегу частицы) к плотности энтропии. В пределе слабой связи имеем Малое отношение 2 соответствует сильной связи. Однако это отношение не может быть сколь угодно мало (вследствие ряда кванто-механических ограничений на унитарность 5-матрицы). Нижний предел этого отношения равен 2 = [106]. Так как решеточные теории на сегодняшний день не могут дать достоверного результата о значении транспортных коэффициентов (в том числе вязкости) при конечных температурах и плотностях для КХД, мы не знаем каково отношение 2 вблизи температуры фазового перехода. Как уже было отмечено, экспериментальные результаты, полученные на RHIC, указывают, что материя, рожденная в ядерных столкновениях, имеет малое значение отношения . Эти исследования привели к выводу, что кварк-глюонная плазма вблизи температуры фазового перехода сильно связана и по свойствам более напоминает жидкость с малой вязкостью, чем разряженный газ. Однако остается неясным насколько этот результат связан с внутренней структурой кварк-глюонной плазмы, которая на сегодняшний день одинаково успешно описывается как набором связанных состояний кварков и глюонов [16,107], так и квазичастичными состояниями (несущими те же квантовые числа, что и кварки) [108]. Отметим, что учет конечности транспортных коэффициентов возможен только в приближении малых градиентов. Исходя из вышесказанного, мы считаем, что усложнение задачи диссипативными эффектами не вполне обосновано.
Цель данной главы состоит в развитии численной схемы решения релятивистских гидродинамических уравнений, описывающих разлет сжатого и высоковозбужденного сгустка материи (файербола), образованного в результате столкновения релятивистских ядер, а также анализа полученных результатов и сравнения с экспериментом. Гидродинамические уравнения представляют собой запись локальных законов сохранения энергии-импульса и зарядов (например, барионного заряда). Несмотря на кажущуюся простоту, эти уравнения не имеют аналитического решения в общем случае и приводят к определенным сложностям, связанным с их численным моделированием. Гидродинамические уравнения могут быть записаны как [109] где Т и = Т {х) и N-1 = N x) — тензор энергии-импульса и ток сохраняющегося заряда сорта г. Мы ограничимся рассмотрением идеальной жидкости, для которой в приближении локального термодинамического равновесия справедливы следующие определения: где р — давление, є — плотность энергии, щ может быть барионной ПЛОТНОСТЬЮ Пв, плотностью странности ns и т. д. Все эти величины даны в собственной системе координат жидкости, двигающейся с 4-скоростью и . Для того чтобы замкнуть систему уравнений (6.1), (6.2), необходимо ввести уравнение состояния р = р(є, щ), характеризующее свойства рожденной в столкновении ядерной материи где функция р(є, пв) часто представляет собой весьма сложную конструкцию, не выражающуюся через трансцендентные функции. Уравнения (6.1) и (6.2) удобнее переписать, введя переменные в системе центра масс сталкивающихся ядер: плотность энергии Е = Т00, плотность импульса М = Т0г и плот- ность барионного заряда Л = iV. В терминах вновь введенных переменных мы имеем Эта система гидродинамических уравнений для идеальной жидкости является гиперболической и явно удовлетворяет условию причинности. Дополненная уравнением (6.5), система (6.6) становится замкнутой, и для ее решения необходимо только определить начальные условия. Рассмотрим ядерную материю, расширяющуюся в вакуум со скоростями, сравнимыми, а иногда (на переднем фронте разлета) даже равными скорости света. Это означает, что за промежуток времени St материя распространяется в вакуум на расстояние, равное St. В численных моделях мы вынуждены работать не с реальным временем и пространством, а рассматривать их сеточное приближение, что во многих случаях оправдано и нередко является единственным способом решения той или иной задачи. Алгоритмы решения уравнений в частных производных методом конечных разностей должны удовлетворять так называемому критерию Куранта-Фридрихса-Леви (необходимый критерий устойчивости разностной схемы) [110,111]: u5t/5x 1, т. е. временной шаг St должен быть меньше шага по пространству Sx.
Сравнение с экспериментом
В данном разделе мы рассмотрим сравнение результатов, полученных с помощью разработанного гибридного гидродинамического кода, с экспериментальными данными с установок AGS (Брукхейвен) и SPS (ЦЕРН). Здесь будут представлены результаты по центральным соударениям ионов золота при энергиях Еіаь = 4, б, 8, 10.ЪА ГэВ, свинца при энергиях Eiab = 40,158Л ГэВ. В разработанной гибридной гидродинамической модели есть лишь один подгоночный параметр — плотность энергии замораживания; для всего спектра энергии и типов налетающих ядер мы зафиксируем плотность энергии замораживания равной Є/г = 0.5 ГэВ/Ф3. Все вычисления проведены при использовании ранее описанного уравнения состояния смешанной фазы (см. раздел 9.1.1). Однако ничто не препятствует применять иное уравнение состояния ядерной материи, например, обобщенное адрошюе уравнение состояния Зимани (см. раздел 9.1.1), либо двухфазное уравнение состояния.8 Расчеты с этими типами уравнения состояния проводятся в настоящее время, но анализ и сравнение полученных результатов выходит за рамки данной диссертации. Быстротные распределения частиц Здесь мы рассмотрим быстротные распределения протонов и пионов. По определению, быстротное распределение для частицы сорта а есть где подразумевается, что суммирование по Ь пробегает все возможные резонансы, распадающиеся на а. Напомним, что в данной модели учтены все резонансы с массой ть 2 ГэВ. Быстротное распределение протонов в основном определяется тормозной способностью сталкивающихся ядер и поэтому характеризует корректность описания начальной стадии столкновения с помощью QGSM. Нормировка нуклонных спектров строго фиксирована сохранением барионного заряда. Так как в модели состояния нуклонов не разделяются по изотопическому спину, протонные спектры (р) вычисляются по нуклонным (N), исходя из соотношения где Z и А — заряд и массовое число налетающего ядра (рассматриваются только столкновения идентичных ядер). На рис. 9.19 и 9.20 приведено сравнение результатов гидродинамических расчетов в данной модели с экспериментом и результатами в рамках трехжидкостной гидродинамики [31], а также с результатами кинетической модели HSD [25] при энергии Еіаь = 10.5А ГэВ. Видно, что модель хорошо воспроизводит данные при энергиях AGS и SPS. Рассмотрение столкновений при энергиях ниже АА ГэВ возможно в рамках данной модели, но только с учетом процесса образования нуклонами легких фрагментов: дейтонов, тритонов и а-частиц.
Модель, в рамках которой можно провести описание такого процесса, носит название модели коалесценции. Эта модель привносит дополнительные, зависящие от энергии налетающих ядер, свободные параметры. Однако мы придерживаемся стратегии минимизации подгоночных параметров и поэтому ограничимся в применении нашей модели снизу по энергии Еіаь АА ГэВ. Отметим, что точность описания экспериментальных быстротных распределений протонов при энергиях AGS и SPS в данной модели сопоставима с точностью результатов трехжидкостной гидродинамики [31], использующей для подгонки функцию межфлюидного трения, зависящую от энергии сталкивающихся ядер. При высоких энергиях столкновения в быстротных распределениях наблюдается локальный минимум в центральной области быстрот. Для /аЬ = 158Л ГэВ этот минимум присутствует в нашем гибридном расчете, а также в кинетическом и трехжидкостном расчетах, и согласуется с экспериментальными данными. При энергии Еіаь = АОА ГэВ расчеты в рамках гидродинамических (трехжидкостного и гибридного) подходов свидетельствуют о сохранении минимума, тогда как кинетическая модель HSD предсказывает его исчезновение. Существующих экспериментальных данных недостаточно, чтобы сделать вывод в пользу того или иного подхода. На рис. 9.21 и 9.22 представлены быстротиые распределения пионов в центральных столкновениях ионов золота и свинца с энергиями Еіаь = 4, 6, 8, 10.ЬА ГэВ и Еіаь = 40,80,158Л ГэВ соответственно. Аналогично случаю с нуклонами в модели мы не учитываем разделение пионов по изоспину, поэтому справедливо следующее равенство Наша модель несколько переоценивает выход пионов, что указывает на мягкость использованного уравнения состояния. При энергии налетающих ядер большей или равной 10А ГэВ согласие с экспериментом резко ухудшается. Это можно рассматривать как признак слишком раннего фазового перехода, который, как известно, смягчает уравнение состояния еще больше. Трехжидкостная гидродинамика [31], в которой на настоящее время проведены расчеты с уравнением состояния адронного газа, хорошо описывает быстротиые спектры во всем промежутке энергии от АА до 160Л ГэВ, как объяснялось выше, это согласие было достигнуто с помощью подбора подгоночной функции межфлюидного трения. При высоких энергиях столкновения пионные быстротные спектры имеют двугорбый вид и отличаются как по форме так и по нормировке от экспериментальных данных. Двугорбая форма спектров 7г±-мезонов свидетельствует о слишком позднем замораживании системы и может быть скорректирована уменьшением плотности энергии замораживания Є/г- Однако превышение пионных множественностей нельзя исправить вариацией Є/г. Такое превышение объясняется чрезмерной мягкостью уравнения состояния. Для выяснения роли фазового перехода и его порядка на адронные наблюдаемые необходимы вычисления с другими уравнениями состояния.
Распределения частиц по поперечной массе Распределение частиц по поперечной массе9 эффективно определяет степень нагрева материи в столкновении. Нетривиальная зависимость наклона (обратной эффективной температуры Te.fi) спектров по поперечной массе может служить адронным сигналом образования кварк-глюонной плазмы и, более того, указывать на порядок фазового перехода в нагретой ядерной материи [214-216]. Распределения частиц по поперечной массе при заданной быстроте у определяются по аналогии где интегрирование ведется по полярному углу ф. На рис. 9.23 представлены распределения протонов при средних энергиях AGS для широкого набора быстрот. Модель воспроизводит наклоны экспериментальных данных и следовательно корректно определяет эффективную температуру ядерного вещества на последних стадиях столкновения. Пионные поперечные спектры изображены на рис. 9.24 и 9.24 для энергий AGS и SPS соответственно. Наклоны пионных спектров находятся в хорошем согласии с экспериментом. Отметим, что при энергиях AGS пионные спектры, найденные в нашей модели, в области малых поперечных масс повторяют спектры тг--мезоіюв и не демонстрируют отклонения от экспоненциальной формы, которое имеет место для 7г+-мезонов. Такое отклонение является кулоновским эффектом [31] и не может быть описано в рамках нашей модели. Как было сказано ранее, основная причина превышения множественности пионов в нашей модели связана с мягкостью уравнения состояния и достаточно ранним фазовым переходом. Рассмотрим аргументы в пользу этого утверждения. Расчеты быстротных спектров пионов в рамках адронного уравнения состояния без фазового перехода и сравнение со спектрами, приведенными ранее для уравнения состояния смешанной фазы, представлены на рис. 9.26. Видно, что при энергии Ещ = 6Л ГэВ результаты, полученные с обоими уравнениями состояния, достаточно хорошо описывают экспериментальные данные. Однако при максимальной энергии AGS Ею, = 10.ЪА ГэВ только адронное уравнение состояния хорошо описывает множественность пионов. Расчет спектров при большей энергии столкновения Еіаь = 40Л ГэВ показывает, что адронное уравнение состояния несколько недооценивает множественность пионов, а уравнение состояния с фазовым переходом наоборот существенно переоценивает.
