Содержание к диссертации
Введение
Глава I Динамическая модель 14
1.1 Многомерные уравнения Ланжевена 14
1.2 Параметризация формы и коллективные координаты . 16
1.3 Транспортные коэффициенты в уравнениях Ланжевена . 23
1.4 Расчет двумерных массово-энергетических распределений осколков деления 30
1.5 Потенциальная энергия ядра 33
1.6 Свойства седловых конфигураций в выбранной параметризации 40
1.7 Статистическая ветвь расчетов. Объединение динамической и статистической ветвей расчетов 46
Глава II Критерии разрыва делящегося ядра на осколки 53
2.1 Критерий разрыва нулевого радиуса шейки 53
2.2 Критерий разрыва, основанный на гидродинамической неста бильности 54
2.2.1 Капиллярная неустойчивость или неустойчивость Рэлея 58
2.3 Критерий разрыва конечного радиуса шейки 64
2.3.1 Критерий равенства сил 64
2.3.2 Вариационный расчет в модели жидкой капли . 69
2.4 Вероятностный критерий разрыва 73
Глава III Результаты расчетов и их обсуждение 85
3.1 Первый и второй моменты энергетического распределения 87
3.2 Эксцесс и асимметрия энергетического распределения 99
3.3 Аналитическая аппроксимация энергетического распределения осколков деления 105
Заключение и выводы 109
Приложение 112
Литература 115
- Транспортные коэффициенты в уравнениях Ланжевена
- Критерий разрыва, основанный на гидродинамической неста бильности
- Вариационный расчет в модели жидкой капли
- Аналитическая аппроксимация энергетического распределения осколков деления
Введение к работе
Несомненная актуальность практических приложений процесса деления атомных ядер, а также уникальная возможность исследовать свойства ядер в коллективном движении большой амплитуды, обусловили интерес к этой реакции, неослабевающий с момента ее открытия вплоть до наших дней. За более чем полувековую историю изучения процесса деления атомных ядер и благодаря интенсивным исследованиям международного масштаба удалось накопить обширный экспериментальный материал и добиться заметного прогресса в теоретическом осмыслении целого ряда выявленных закономерностей. Однако полного количественного описания всей совокупности имеющейся экспериментальной информации о массово-энергетических (МЭР), зарядовых и угловых распределений осколков деления к настоящему моменту достичь не удалось. Проблема теоретического описания экспериментально наблюдаемых МЭР тесно связана с динамикой протекания процесса деления, с термодинамическими и диссипативными свойствами делящихся ядер, с критериями разрыва делящегося ядра на осколки. Поэтому в последнее время основное развитие в теоретических исследованиях получило изучение динамики деления.
Стохастические методы традиционно широко используются в естественных науках: физике, химии, астрономии, биологии, в технических приложениях радиофизики и квантовой оптики. Интерес к случайным флукту-
ациям и описывающим их стохастическим методам чрезвычайно возрос в последние два десятилетия, что нашло свое отражение в недавних монографиях [1-3], а также в обширной библиографии этих монографий.
Начиная со времени открытия ядерных реакций глубоконеупругих передач [4] — с середины 1980-х годов, стохастические методы широко используются и в ядерной физике. Использование стохастических уравнений в ядерной физике берет свое начало с классической работы Крамерса [5]. В своем подходе, названном диффузионной моделью, Крамере предложил описывать процесс деления ядер с помощью небольшого числа степеней свободы, которые взаимодействуют с «термостатом», образованным всеми остальными одночастичными степенями свободы. В этом случае динамика коллективных переменных становится похожа на динамику броуновской частицы, так как в одном акте взаимодействия с одночастичиой подсистемой энергия коллективной подсистемы изменяется на относительно малую величину. Адекватными динамическими уравнениями в такой физической модели является уравнение Фокксра-Планка (УФП) для функции распределения коллективных координат и сопряженных им импульсов или физически эквивалентные ему уравнения Ланжевеиа.
Используя аналогию динамики деления ядра с движением броуновских частиц, Крамере вычислил скорость диффузии броуновских частиц, первоначально находившихся в потенциальной яме, через потенциальный барьер, разделяющий начальное и конечное состояние системы. В своем подходе Крамере уточнил полученную годом раньше формулу Бора и Уилле-ра [6] для делительной ширины. Уточняющий крамерсов фактор учитывает влияние ядерной вязкости на скорость деления (делительную ширину).
Стохастический подход, основанный на УФП, успешно применялся для
решения многих задач коллективной ядерной динамики: теории глубокоие-упругих передач [7], вынужденного деления [8-10], описания множественности предразрывных нейтронов [11]. В последнее время предпочтение, тем не менее, отдается альтернативному использованию уравнений Ланжевена, поскольку точное решение УФП возможно лишь для ограниченного числа модельных случаев малой размерности [8], а в общем случае требует использования различных приближений. В то же время, уравнения Ланжевена могут быть решены на основе численных методов без привлечения дополнительных упрощений и для многомерного случая. Однако и при использовании уравнений Ланжевена на нынешнем этапе развития вычислительной техники возникают серьезные трудности. Для описания большого числа экспериментально наблюдаемых характеристик процесса деления необходимо введение как можно большего числа коллективных координат. Введение же каждой новой координаты значительно увеличивает объем вычислений. Поэтому естественно, что первыми были проведены одномерные, а затем и двухмерные ланжевеновские расчеты. Одномерные расчеты позволяют вычислить вероятность деления и множественности испаряющихся предразрывных частиц. Двухмерные модели кроме этого дают возможность рассчитать либо массовое распределение осколков, соответствующее наиболее вероятной кинетической энергии осколков, либо энергетическое распределение, соответствующее заданному отношению масс осколков.
Экспериментально наблюдаемое двухмерное МЭР невозможно получить в рамках одно- и двухмерных ланжевеновских расчетов. Для этого необходимо как минимум три коллективные координаты. Для одновременного описания еще и зарядового распределения неизбежно требуется введение
и четвертой коллективной координаты, определяющей разделение заряда между осколками.
Вопрос об условии разрыва делящегося ядра на осколки неизбежно встает при любом теоретическом описании и моделировании процесса деления, одним из отличительных признаков которого является разделение исходного компаунд-ядра преимущественно на два осколка. Под разрывом здесь следует понимать переход от единой конфигурации ядра, которая становится по ряду причин неустойчивой, к конфигурации системы уже разделенных осколков. Проблема разрыва перемычки(шейки) между будущими осколками поднималась неоднократно [12-21], однако в полной мере до сих пор еще не решена, и сегодня остается одной из самых неясных в физике деления. Проблема существенно осложняется тем, что ни сам момент разрыва ядра на осколки, ни форма ядра перед разрывом не являются экспериментально наблюдаемыми, и информация о них может быть получена только при сопоставлении ряда экспериментально наблюдаемых величин с результатами расчетов, выполненных в рамках тех или иных моделей или подходов, описывающих процесс деления атомного ядра. В качестве таких экспериментально наблюдаемых величин можно использовать энергетическое распределение осколков деления. В настоящей работе использовались его первые четыре момента. Следует отметить, что в теории деления в основном применяются два критерия (условия) разрыва, которые являются очевидными предельными случаями по отношению друг к другу. Так, например, в многочисленных работах Никса и др. [22-26] и в работах других групп [27-30] за критерий разрыва принимается условие обращения в нуль радиуса шейки, Ду = 0. Хотя данное условие разрыва является согласованным в моделе жидкой капли (МЖК) с резкой поверхностью
ядра [12-15,31], но оно неудовлетворительно [16], так как описание ядра в МЖК теряет смысл, когда радиус шейки становится сравнимым с расстоянием между нуклонами [16]. Привлекательным с физической точки зрения является определение условия разрыва на основе критерия неустойчивости ядра относительно вариации толщины его шейки [16], когда исчезает гребень, разделяющий долины деления и разделенных осколков. Данное условие разрыва соответствует предразрывным конфигурациям делящегося ядра с конечным радиусом шейки, в среднем равным 0.31 (Rq — радиус исходного сферического ядра) [12-16,32-35]. Другим физически разумным и приемлемым является критерий разрыва ядра, основанный на балансе сил кулоновского отталкивания будущих осколков и ядерного притяжения между ними [36]. В моделе случайного разрыва Брозы и др. [17,18] использовался критерий гидродинамической нестабильности шейки относительно разрыва, который также приводит к предразрывным конфигурациям ядра с радиусом шейки Ду — 0.3 — 0.41.
Начало теоретического изучения вопроса разрыва делящегося ядра на осколки было положено в работах Струтииского с соавт. [12-15]. В этих работах на основе решения иитегродиффереициального уравнения в МЖК было впервые дано физически последовательное определение критической конфигурации делящегося ядра как узкой области деформаций, в которой на энергетической поверхности образуется выход из долины деления (непрерывных форм ядра) в долину разделенных осколков [12-15]. В. М. Струтииским с соавторами было установлено, что при деформациях, больших этой данной критической деформации не существует сплошных фигур условного равновесия, а есть только фигуры условного равновесия, соответствующие разделенным осколкам. Данная критическая деформа-
ция интерпретируется как точка разрыва делящегося ядра на осколки. Ей соответствует расстояние между центрами тяжести будущих осколков Dcnt ~ 2.3jRo и радиус шейки ядра RN ~ 0.24. Для Z2/A ~ 0 и pent ^ 2.38i?o и Rn ^ 0.27і?о для Z2/A с± 36. Суммируя все вышесказанное, можно сделать вывод о том, что в большинстве теоретических подходов разрыв ядра на осколки происходит при достаточно толстой шейке, в среднем соответствующей Rn — О.ЗЛо-
Заметим, что наличие двух долин на энергетической поверхности в МЖК и хребта между ними, исчезающего для вытянутых форм, подтверждено микроскопическими расчетами по методу Хартри-Фока [37].
Особо отметим, что условие разрыва делящегося ядра на осколки является одним из двух конечных условий при моделировании распада возбужденного составного ядра. Вторым конечным условием является образование остатка испарения.
Остаток испарения регистрируется при уменьшении энергии возбуждения ядра в результате эмиссии легких частиц и 7~квантов Д значений ^int + ДюИ^р) < min(^/5 Аг), где Bf и Вп — соответственно величина барьера деления и энергия связи нейтрона.
При моделировании динамики деления в многомерном подходе считается, что ядра делятся на осколки при достижении поверхности разрыва. Поверхность разрыв - это геометрическое место точек разрывных конфигураций ядра. В случае N коллективных координат поверхность разрыва будет гиперповерхностью размерности N — 1. Например, в двухмерном случае поверхностью разрыва является линия. В трехмерном случае это будет поверхность.
Выбор условия разрыва особенно сильно влияет на такие важные ха-
рактеристики процесса деления, как средние значения и дисперсии энергетических распределений осколков деления. Такая чувствительность параметров энергетического распределения очевидна: в основном кинетическая энергия осколков определяется энергией их взаимодействия в момент разрыва.
Во всех упомянутых теоретических подходах критическая деформация ядра в разрыве оказывается практически постоянной в широком интервале делящихся ядер. Важным следствием постоянства критической деформации для широкого круга ядер, как отмечено в работах [12-15], является линейный вид зависимости средней кинетической энергии осколков деления (Ек) от параметра Z2/A1/3, что собственно и составляет полуэмпирический закон, установленный Терреллом на основе анализа экспериментальных данных [38]. На данный момент все наиболее известные систематики экспериментальных данных по (Ек) [19,38] используют линейный вид зависимости (Ек) от Z2/A1/3, но с различными коэффициентами. Величина этих коэффициентов, в частности, зависит от расстояния между центрами масс формирующихся осколков непосредственно перед разрывом на осколки. Во всех условиях разрыва предполагается, что исходное компаунд-ядро, достигнув в процессе своей эволюции критической деформации, которая может соответствовать тому или иному условию разрыва, с единичной вероятностью делится на осколки. В недавней работе [39] был предложен вероятностный критерий разрыва ядра на осколки. В этом подходе предполагается, что существует ненулевая вероятность разделения ядра на осколки после появления шейки в форме ядра. Динамические расчеты, проведенные в [39], показали, что при использовании однотельного механизма ядерной вязкости данный критерий разрыва дает результаты
для наиболее вероятной критической деформации, близкие к результатам, найденным в работах Струтинского с соавт. [12-15].
Теоретические оценки третьего и четвертого моментов энергетического распределения осколков деления атомного ядра в рамках ланжевсновского формализма были даны в работе [40]. В этой же работе [40] был проведен анализ критериев разрыва делящегося ядра на осколки, критерий нулевой шейки, например, не давал хорошего согласия с экспериментом. Следует отметить, что в работе [40] были представлены расчеты двухмерной лап-жевеновской динамики, в то время как в настоящей работе использовалась трехмерная модель.
Целью настоящей работы являлось систематическое описание первых четырех моментов энергетического распределения осколков деления, а также других экспериментально наблюдаемых величин, в рамках трехмерной лаижевеновской динамики деления при использовании различных критериев разрыва ядра на осколки традиционных для современной теории деления. В качестве условий разрыва мы применяли критерий равенства нулю радиуса шейки Ду = 0, критерий конечного радиуса шейки Ду = О.ЗД) и вероятностный разрыв. Используя экспериментальные данные по всем наблюдаемым характеристикам, нам хотелось бы отобрать один или несколько критериев, которые лучше других описывают экспериментальные данные. В проведенном анализе величина ядерной вязкости не варьировалась.
Данные по средней кинетической энергии осколков (Ек) - первому моменту энергетического распределения, довольно часто использовались [19, 24,36,41,42] в динамических вычислениях, в том числе, и в двумерных лан-жевеновских расчетах [40] для определения механизма и величины ядерной вязкости [36,43-45].
Хотелось бы также подчеркнуть, что систематические расчеты МЭР осколков и средней множественности предразрывных нейтронов, проведенные в последние годы [41, 46] позволили сделать однозначный выбор в длительной дискуссии относительно того, какой механизм ядерной вязкости (двухтелыюй или однотельной) реализуется при делении возбужденных ядер. Одновременное описание параметров МЭР осколков и средней множественности предразрывных нейтронов достигается при однотельном механизме вязкости в его модифицированном варианте с коэффициентом редукции вклада от формулы стены ks = 0.25 — 0.5 [41]. Однако, детальный анализ зависимости параметров энергетического распределения от дисси-пативных эффектов показывает, что влияние этих эффектов трудноотличимо от влияния параметризации формы и количества коллективных координат, использованных в расчетах [47]. Поэтому возникающая неопределенность в результате анализа энергетического распределения не позволяет однозначно определить величину ядерной вязкости.
В наших расчетах мы использовали модифицированный однотельный механизм с коэффициентом редукции вклада формулы стены ks = 0.25, поскольку именно это значение приводило к хорошему описанию [33,41] как параметров МЭР, так и средней множественности предразрывных нейтронов при делении возбужденных ядер. Кроме того, это значение близко к значению ks = 0.27, которое было определено из анализа экспериментальных данных по ширинам гигантских резоиаисов [43,44] независимо от деления.
Результаты, представленные в диссертации, докладывались на V и VI международных конференциях "Ядерная и радиационная физика" в г. Ал-маты, Казахстан, сентябрь 2005 года и июнь 2007 года, соответственно,
на научных семинарах кафедры теоретической физики и физического факультета ОмГУ им. Достоевского и опубликованы в 5 печатных работах [48-52]
В первой главе описана модель, на основе которой получены все основные результаты в рамках трехмерных ланжевеновских расчетов. В ней представлены коллективные координаты, транспортные коэффициенты, статистическая ветвь расчетов и другие ингридиенты модели.
Во второй главе представлены различные критерии разрыва, применяемые в современной физике деления атомных ядер.
В третьей главе представлены и проанализированы результаты расчетов.
В заключении диссертации сделаны основные выводы и обсуждены перспективы будущего применения многомерного стохастического подхода для описания динамики реакций деления ядер.
Работа выполнена на кафедрах Теоретической физики и Экспериментальной физики Омского государственного университета имени Ф.М. Достоевского.
Транспортные коэффициенты в уравнениях Ланжевена
Важным ингредиентом динамических моделей являются так называемые транспортные коэффициенты — массовый (инерционный) и фрикционный параметры. Как показано в многочисленных расчетах, транспортные коэффициенты в основном определяют характер движения делящейся системы и непосредственно влияют как на параметры МЭР, так и па времена деления и множественности пред- и постразрывных частиц. В связи с этим расчет транспортных коэффициентов является крайне важным и, возможно, решающим моментом при проведении динамического моделирования. Инерционный и фрикционный тензоры часто рассчитываются в рамках гидродинамического приближения для несжимаемой безвихревой жидкости. В этом случае механизм ядерной вязкости называют двухтельным. В гидродинамическом приближении получающееся уравнение Навье-Стокса для вязкой среды обычно решают, опираясь на приближение Вернера-Уиллера [63], которое позволяет получить достаточно простые выражения для инерционного и фрикционного тензоров. В основе приближения Вернера-Уиллера лежит представление о движении жидкости в виде цилиндрических слоев из которых частицы жидкости при движении не выходят. Точность приближения Вернера-Уиллера при расчете транспортных коэффициентов исследовалась в [64,65]. Было получено, что для степени свободы удлинения при расчете массового тензора приближение Вернера-Уиллера обладает очень высокой точностью. Так, например, при описании формы ядра с помощью параметризации Лоуренса компонента массового тензора, вычисленная по координате удлинения в приближении Вернера-Уиллера, практически совпадает с точным решением соответствующей гидродинамической задачи Неймана [66, 67], полученным методом, основанном на теории потенциала .
Для параметризации овалоидов Кассини небольшое различие между решениями появляется только для форм с практически нулевым радиусом шейки [64]. В тоже время для коллективной координа ты, определяющей эволюцию перемычки в форме ядра, различие между решениями более значительное, и для параметризации Лоурепса, например, оно достигает 10% [66,67]. В [63] было показано, что различие в массовых параметрах, определенных решением соответствующей задачи Неймана и методом Вернера-Уиллера, увеличивается прямо пропорционально мультипольности колебаний вблизи сферической формы. Для тензора трения приближение Вернера-Уиллера для коллективной координаты, связанной с удлинением, так же, как и в случае массового тензора, дает хорошее согласие с результатом, полученным при точном решении соответствующей задачи Неймана [66,67]. В тоже время для координаты, связанной с эволюцией перемычки, приближение Вернера-Уиллера для параметризации Лоуренса приводит к переоценке соответствующей компоненты фрикционного тензора до 30 — 40%. В работах [66,67] было получено выражение для двухтелыюго механизма ядерной вязкости, учитывающее конечность размеров ядра. Данное выражение отличается от выражения для бесконечной среды [63] на величину, создаваемую работой диссипативных сил при смещении жидкости вдоль поверхности ядра. Результаты расчетов [66,67] показали, что учет конечности размеров ядра приводит к значительно меньшим величинам компонент тензора трения по сравнению со значениями, полученными согласно выражениям [63] для двухтельного механизма ядерной вязкости. Для расчета фрикционного тензора наряду с двухтельным применяется также однотельный механизм ядерной вязкости [42,68].
В этом механизме ядерной вязкости учитывается тот факт, что ядро — это система фермио-нов, в которой действует принцип Паули, который запрещает рассеиваться нуклонам в занятые состояния, что налагает ограничения на длину сво бодпого пробега частиц (она увеличивается до размеров самой системы), поэтому роль двухчастичных столкновений существенно уменьшается. Нуклоны удерживаются в пределах ядра благодаря наличию среднего поля, т. е. частицы двигаются почти свободно в пределах формы и упруго ударяются лишь о «стену», моделирующую поверхность ядра, которая сама обладает некоторой скоростью, поскольку среднее поле, в котором движутся нуклоны, зависит от положения этих нуклонов, т. е. от коллективных координат ядра. В работах [42,68] были получены формулы, называемые «стена» и «стена + окно». Первая из них описывает диссипацию для форм ядра без шейки, а вторая для сильно вьшшутых форм ядра, когда можно выделить сформировавшиеся осколки, соединенные шейкой. Квантовое рассмотрение од-нотельной диссипации показало , что величина вязкости в ядре составляет лишь около 10% от значений, рассчитанных по формуле «стены» [42], хотя функциональная зависимость величины вязкости от формы ядра формулой «стены» воспроизводится верно. В связи с этим Никсом и Сирком был предложен модифицированный вариант однотельной диссипации, приводящий к формуле «поверхность + окно», в которой вклад от формулы «стены» в диссипацию уменьшен (редуцирован) почти в 4 раза. Значение коэффициента редукции ks было найдено из анализа экспериментальных ширин гигантских резонаисов и составило ks = 0.27. Из сравнения рассчитанных средних значений кинетической энергии осколков деления с экспериментальными данными было получено [43,44], что значение ks лежит в пределах 0.2 ks 0.5. В данной работе применялся механизм однотельной вязкости.
Фрикционный тензор, соответствующий формуле «поверхность + окно», в цилиндрических координатах может быть записан в виде где Дд, 1 — положения центров масс будущих осколков, ks — коэффициент редукции вклада формулы «стены». Полной одиотельной вязкости соответствует ks = 1, тогда выражение (1.20) соответствует формуле «стена + окно». Два слагаемых в квадратных скобках в формуле (1.20) соответствуют формуле «стены» для левого и правого осколков. В дальнейшем мы будем обозначать компоненты фрикционного тензора, рассчитанные по формуле «стены» 7гч- Для форм ядра без шейки фрикционный тензор обычно рассчитывается по формуле «стены», а для сильно деформированных форм с тонкой шейкой применяется формула «поверхность + окно». Для описания диссипации в промежуточном случае обычно используют выражения вида: Из = йя7/(п\0+7 (l-/(nv)). Выбор функции f(rN) является достаточно произвольным. Обычно ее выбирают так, чтобы она плавно менялась в пределах от /(0) = 0 до /(1) = 1. Однако этот выбор является далеко не однозначным, и может влиять на значения рассчитываемых характеристик В работах [42,69] было показано, что предположения, используемые при выводе формулы «стены», могут не выполняться при определенных условиях. Так предположение о хаотичности движения частиц внутри формы
Критерий разрыва, основанный на гидродинамической неста бильности
Данный критерий был предложен и разработан У.Брозой с соавторами [17, 18]. Предложенный критерий основывается на случайном разрыве шейки. Многие физические величины, такие, как нейтронная множественность, полная кинетическая энергия и др. зависят от предразрывной формы атомного ядра. Достаточно посмотреть на данные, чтобы представить исходную предразрывную форму без каких либо вычислений. Особенно сильно от предразрывной формы зависит полная кинетическая энергия осколков деления. Эта величина обратно пропорциональна длине ядра в предраз-рывном состоянии. Высокие значения кинетической энергии соответствуют предразрывным формам с небольшой длиной, а низкие соответствуют вытянутым формам. Атомное ядро медленно растягивается, а после того как происходит разрыв, кулоновская сила отталкивания удаляет осколки ядра друг от друга. У.Броза считает, что для эволюции деления атомного ядра необходимо как минимум три события: прохождение через барьер сдвиговая неустойчивость капиллярная неустойчивость Прохождение через потенциальный(ые) барьер(ы) является частью процесса деления, оно появилось в 1939 году. Даже сегодня его иногда считают причиной деления атомного ядра, однако, это лишь первый шаг сложного пути. Сразу после преодоления последнего барьера в форме ядра начинает формироваться шейка между будущими осколками. Поначалу в середине нее находится выпуклость. С последующим растяжением ядра шейка становится идеально ровной и после этого начинает сужаться в своей центральной части. Таким образом, кривизна формы шейки меняет знак с отрицательного на положительный. При ровной шейки удавление может произойти где угодно. Положение будущего сужения, которое на первых шагах представляет собой незначительную впадину, может сдвигаться вдоль ровной шейки, представляя собой неустойчивое движение. На последнем этапе вступает в силу капиллярная неустойчивость или неустойчивость Рэлея. На этом этапе прекращается смещение углубления в шейке, происходит сужение, фиксируется асимметрия и ядро рвется. Случайный разрыв шейки - это явление, которое включает в себя явление сдвиговой и капиллярной неустойчивости. Разрыв шейки происходит вследствие капиллярной неустойчивости (неустойчивость Рэлея), в то время как сдвиговая обеспечивает элемент случайности. Чтобы вывести подходящие уравнения для предразрывной формы, необходимо использовать некоторые формулы
Рэлея, а также использовать идею сдвиговой неустойчивости. Использование неустойчивости Рэлея, несомненно, является новым шагом в физике деления. Ее можно считать идентичной критической точки Струтинского [12-15]. Однако в более раннем подходе есть две проблемы. Во-первых, неустойчивость Рэлея не могли распознать в характерном перегибе на карте потенциальной энергии. Из-за этого, никто не мог понять, что этот перегиб является следствием только поверхностного натяжения, а кулоновское отталкивание здесь играет лишь второстепенную роль. Как следствие, не было получено важное соотношение (см. ниже (2.6)) и, следовательно, не была определена предразрывная форма. Второй недостаток был связан с с так называемым сверхрастяжением: если исследовать график только потенциальной энергии, то можно заметить лишь появление капиллярной нестабильности. В этот момент величина сужающей силы близка к нулю. В силу инерции ядро продолжает растягиваться и рвется только тогда, когда сужающая сила становится достаточно большой. Сдвиговая неустойчивость полностью доминирует за счет инерции и ее нельзя распознать на графике, подобному карте потенциальной энергии. Сдвиговая неустойчивость Сдвиговую неустойчивость проще всего объяснить с помощью рисунка. На рис. 2.1 представлена идеализированная форма атомного ядра сразу после появления сдвиговой неустойчивости. Почти невидное углубление в шейке, помеченное треугольниками, смещено вправо. Изначально треугольники находились над открытым квадратом, который показывает геометрический центр формы атомного ядра. Стрелками представлено поле
Вариационный расчет в модели жидкой капли
Обычно, в теории деления для расчетов равновесных форм ядер минимизируют функционал энергии ядра на некотором классе пробных функций, задающих форму ядра. При этом всегда возникает вопрос о полноте класса профильных функций. Кроме того, подобные расчеты связаны со значительными затратами вычислительного времени. В работах [12-15] был предложен метод, который позволяет сразу получать искомую профильную функцию, реализующую минимум капельной энергии: с: не прибегая к какой-либо параметризации. В (2.58) Es - поверхностная, а Ес - кулоновская энергия ядра. Минимизация энергии в (2.58) ведет к тривиальному ответу - сферической форме. Чтобы получить форму с заданной деформацией, минимизация (2.58) должна быть дополнена условием вида R\2 — const, где Ru - некоторая величина, задающая деформацию формы. В работах [12-15] было предложено выбрать в качестве R\2 расстояние между центрами тяжести левой и правой частей ядра, объем ядра не менялся с деформацией, где RQ - радиус сферы такого же объема, как и объем V (деформированного) ядра. Минимизация энергии (2.58) с условиями (2.59) и (2.60) эквивалентна решению вариационной задачи: где величины Лі и Л2 являются неопределенными множителями Лагран-жа, которые для заданных V и Ru определяются из уравнений (2.59) и (2.60). Решая вариационную задачу (2.61), находим последовательно форм условного равновесия, зависящих от Ru как от параметра. Для каждого Ri2 можно рассчитать энергию Е и таким образом получить функцию Edef(Ri2), имеющую смысл энергии деформации. Деформация Ru = R\2i для которой соответствует абсолютному экстремуму, то есть соответствующая профильная функция описывает основное состояние или седловую точку. Для невращающихся ядер вариационноая задача (2.61) имеет своим решением аксиально симметричные формы.
Такие формы можно получить вращением профильной функции p{z) вокруг оси z. Все слагаемые в функционале (2.61) выражаются только через профильную функцию, где Ф3(г,р(г)) - кулоновский потенциал на поверхности ядра, z\ в (2.66) выполняется по поверхности ядра(точка p(z) лежит на поверхности). Величины F(a, b) и є (a, b) являются полными эллиптическими интегралами первого и второго рода, Величина х в (2.64) является так называемым параметром делимости (половина отношения кулоновской энергии сферического ядра к его поверхностной энергии). Объем и деформация тоже легко выражаются через профильную функцию Уравнения (2.62)-(2.70) позволяют выразить функционал (2.61) через профильную функцию p(z). Поэтому вариация (2.61) по отношению к форме поверхности ядра сводится к вариации по отношению к профильной функции. Вариьирую (2.61) относительно p{z), получаем уравнение Эйлера, Решение (2.70) должно удовлетворять очевидным граничным условиям Для масс симметричных форм достаточно найти решение уравнения (2.70) только на интервале 0 z z , где z — z% = —z\. В результате вариационных расчетов В.М. Струтинским с соавторами было установлено [12-15], что при деформациях больших этой данной критической деформации не существует сплошных фигур условного равновесия, а существуют только фигуры условного равновесия соответствующие разделенным осколкам. Данная критическая деформация интерпретируется как точка разрыва делящегося ядра на осколки. Ей соответствует расстояние между центрами тяжести будущих осколков jDmf 2.37До и РаДиУС шейки ядра RN 0.36i?o Для Z2/A 39 Z2/A 39 и cHi 2.27Д0 и JRJV — О.ЗЗЛо для Z2/А 24. Следует отмстить, что мы сравнились с вариационными расчетами Струтииского эффективного момента энерции. Результат сравнения представлен на Рис. 1.4. Условие разрыва конечного радиуса шейки ядра определяет предразрыв-ные формы на основе разных критериев нестабильности. Эти нестабильности происходят из разных физических являений, таких как гидродинамическая нестабильность Рэлея, баланс сил кулоновского отталкивания и ядерного притяжения между формирующимися осколками [36], а также характеристики ландшафта потенциальной энергии, которые позволяют определить критическую деформацию [12-15]. Ядро становится нестабильным относительно разрыва шейки при достижении соответствующих предразрывных форм. Однако, остается вопрос, просходит ли разрыв мгновенно при достижении нестабильности или система динамически эволюционирует в течение некоторого времени после появления нестабильности. Таким образом, в принципе, можно предположить, что разрыв шейки происходит с некоторой вероятностью для всех деформаций в области между появлением нестабильности и областью с нулевым радиусом шейки. В работе [99] наилучшее согласие с экспериментальными данными было получено для предразрывных деформаций, согласующихся с нестабильностью Рэлея. В динамических вычислениях параметров энергетического распределения [100] разрыв шейки был смоделирован в области между деформациями с радиусом шейки Ду = О.ЗЛо до области деформаций с нулевым радиусом шейки. Интересно отметить, что так называемые „выходные де
Аналитическая аппроксимация энергетического распределения осколков деления
Вопрос об аналитической аппроксимации энергетического распределения осколков деления возник из анализа экспериментальных данных в мульти-модалыюм делении. Наиболее часто используемая аналитическая аппроксимация представляет собой гауссиан, при этом 71 — 0 и 72 = 0- Многочисленные эксперименты показали, что такая аппроксимация обладает хорошей точностью. Но есть и другой вид аппроксимации. Он основан на гауссовом распределении среднего расстояния между центрами масс осколков деления D [129]: Детальный анализ, проведенный в работе [128], показал, что это распределение имеет положительную асимметрию. Таким образом, гауссовая аппроксимация D-распределения расходится с экспериментальными данными симметричного деления. В работах [130,131] был предложен полуфеноменологический подход к описанию энергетического распределения многомодального деления. Этот подход основан на гипотезе, что вероятность разрыва ядра равна нулю, если расстояние между фрагментами меньше величины Dmin, которая зависит от модальности деления, от массы осколков и нуклонной структуры. Согласно [130,131], энергетическое распределение можно записать в виде: где Dmax определяет наиболее вероятное значение Ек, Ddec - параметр ширины D-распределения. Следует особо отметить, что значение асимметрии 7i отрицательно для распределения (3.23), несмотря на хорошее согласие с экспериментом. На Рис. 3.12 представлено D-распределение симметричного деления составного ядра 233Ра: сравнение полученных значений -распределения с гауссиа-иом для различных критериев разрыва. Как видно из рисунка, полученные значения достаточно точно описываются гауссовым распределением. Соответствующее данному D-распределениго энергетическое распределение симметричного деления воспроизводит значения величин 7і и 72 близкими к экспериментальным значениям.
Таким образом, небольшие отклонения D-распределения от гауссовой формы вместе с учетом влияния энергии ядерного притяжения и предразрывнои кинетической энергии приводят к отклонениям формы энергетического распределения от гауссового. Также можно заметить, что вероятностный критерий разрыва, описанный в насто ящей диссертации, удовлетворяет гипотезе, на которой основано распределение (3.23). В вероятностном критерии разрыва существуют параметры, аналогичные Dmin, наименьшее возможное D и Dmax, наиболее вероятное значение D. Величина Dmin соответствует деформации делящегося ядра, когда начинает расти вероятность деления(Д(7 становится отриацательной в уравнении (2.73)). Величина Dmax соответствует значению D, в котором вероятность деления максимальна. На основе проведенных трехмерных ланжевеновских расчетов дана динамическая интерпретация средней кинетической энергии осколков деления. Из анализа значений дисперсии сделан вывод о недостаточном разнообразии форм выбранной параметризации. Используемая модель позволяет получать значения высших моментов энергетического распределения, которые удовлетворительно согласуются с экспериментальными данными. Проведено сравнение расчета моментов энергетического распределения настоящей работы с результатами двумерных расчетов, что позволило сделать вывод о целесообразности включения третьей координаты. Ниже представлены более детальные выводы.
Среднее расстояние между будущими осколками в момент разрыва линейно увеличивается с ростом кулоновского параметра. Оно меняется от 2.37#о для шСе до 2.657 для 256Fm Увеличение среднего расстояния с ростом кулоновского параметра не является настолько значительным, чтобы систематика Виолы, предполагающая постоянство среднего расстояния между осколками в момент разрыва, нарушалась даже для тяжелых ядер. Вероятностный критерий разрыва ядра на осколки приводит к почти
