Содержание к диссертации
Введение
1 Двухпетлевые РГ-ограничения на СМ и четвертое последовательное поколение 12
1.1 Ренормализационная группа и самосогласованность стандартной модели 13
1.2 Стандартная модель , 14
1.2.1 Калибровочный сектор 17
1.2.2 Юкавский сектор 19
1.2.3 Хиггсовский сектор 21
1.3 Четвертое киральное поколение 25
1.4 Выводы 27
2 Неопределенность двухпетлевого РГ-ограничения на массу бозона Хиггса 39
2.1 Введение 39
2.2 РГ с вычитанием сингулярной части /?-функции 40
2.3 Модификация двухпетлевых бегущих констант СМ 43
2.4 Четвертое киральное поколение 47
2.5 Выводы 48
3 Массы и смешивание кварков в СМ с вектороподобными поколениями 59
3.1 Модельнс-независимый анализ 60
3.2 Явная реализация 66
3.3 Выводы 69
Заключение 71
Приложение 1 74
Список иллюстраций 89
Литература 92
- Ренормализационная группа и самосогласованность стандартной модели
- Модификация двухпетлевых бегущих констант СМ
- Модельнс-независимый анализ
- Явная реализация
Введение к работе
В настоящее время стандартная модель (СМ) удовлетворительно описывает существующие экспериментальные данные. В общем случае, их описание в рамках СМ требует вычислений в однопетлевом и более высоких приближениях. Единственным экспериментально неопределенным параметром СМ остается масса бозона Хиггса М^. Анализ прецизионных наблюдаемых в рамках СМ дает значение Мн = 98Ізв ГэВ (ошибки соответствуют CL—68%). Обзор современного состояния прецизионных электрослабых данных и извлечения из них параметров СМ может быть найден, например, в работе [4]. В то же время, отсутствие сигнала рождения бозона Хиггса на LEP II при y/s < 208 ГэВ дают прямое ограничение Мн > 114.1 ГэВ [5|. Таким образом, наилучшее описание прецизионных наблюдаемых достигается при значении Мн, лежащем несколько ниже прямого оіраничения LEP И. Однако, несогласованность косвенноію и прямого ограничений на Мн еще не является бесспорным указанием на наличие "новой физики" за пределами СМ. Наличие принципиально новых физических эффектов в СМ можег быть выявлено путем анализа ее асимптотического поведения на энергетических масштабах /і Й> М2 методом ренормализационной группы (РГ). 1
С квантово полевой точки зрения, СМ может не быть самосогласованной теорией. Требование самосогласованности СМ как квантовой теории поля (КТП) не может быть удовлетворено при произвольном выборе ее параметров. Самосогласованность СМ существенно зависит от значения единственного до сих пор неопределенного ее параметра - массы бозона Хиггса Мн. Низкие значения Мц < 140 ГэВ приводят к отсутствию в СМ стабильного вакуумного состояния или, другими словами, к отсутствию глобального минимума потенциала СМ [7]. Отказ от рассмотрения СМ как последовательной КТП путем наложения ограничения сверху на величину макроскопического хиггеовско-го поля |0| < Acut ослабляет ограничение снизу на массу бозона Хиггса Ми > 140 ГэВ, полученное из требования существования глобального минимума потенциала СМ. Минимально допустимое значение массы бозона Хиггса теперь зависит от масштаба ультрафиолетового обрезания Acuj:
мн > м<г(Лси() -
Другая угроза самосогласованности СМ заключается в выходе за рамки применимости теории возмущений при достаточно больших значениях масштаба перенормировки
1 Достаточно полное введение в метод РГ в квантовой теории поля дано, например, в обзоре [6].
/і. Это проявляется в том, что в результате ренормгрупповой эволюции но параметру р. на некотором масштабе \i = ts.pett одна или несколько бегущих констант СМ становятся большими, 52(^}/4тг2 «J 1, jj, > Aperj. Другими словами, на масштабе Лу^ СМ входит в режим сильной связи. Требование пертурбативности СМ при ft < Лрег( позволяет получить ограничение сверху на Мц как функцию Лр^:
РГ-ограничения на Л/# Задание единого масштаба самосогласованности стандартной модели Л = Acuj = Лрег( ограничивает Мн как сверху, так и снизу:
М[Ы)(А) < Мн < MJT^A) . (В.1)
Ограничение вида (В.1) было получено в двухпетлсвом приближении в работах |1, 8, 9]. В частности, требование самосогласованности СМ вплоть до масштаба великого объединения Mqut = Ю15 ГэВ приводит к ограничению на массу бозона Хиггса 130 < Mff ; 190 ГэВ, что несколько уже современного экспериментального ограничения 114.1 < Мн < 199 ГэВ (CL=95%) [12]. Минимальная экспериментально допустимая на уровне CL=95% масса бозона Хиггса Мн = 114.1 ГэВ приводит к нарушению стабильности вакуума СМ на масштабе Л ~ 3 10s ГэВ.
Таким образом, СМ имеет проблемы в хиггсовском секторе как с экспериментальной, так и с теоретической стороны. Один из возможных путей решения этих проблем -расширение фермионного сектора СМ. Простейший вариант такого расширения состоит в введении одного тяжелого поколения кварков и лептонов с квантовыми числами, повторяющими квантовые числа трех известных поколений. В дальнейшем такое "стандартное" кварк-лептонное поколение будет называться последовательным. Существуют многочисленные исследования расширения СМ одним и более последовательными поколениями [13, 14| (см. также обзор [11]).
Возможно также расширение СМ тяжелыми вектороподобными поколениями, ки-рально-симметрично взаимодействующими с калибровочными бозонами. Различные век-тороподобные фермионы появляются во многих вариантах расширения СМ: в теориях великого объединения, суперструн, в композитных моделях и т.д. Некоторые вопросы, связанные с вектороподобными ферм ионам и, являющимися как электрослабыми дублетами, так и синглетами, рассмотрены в работах [15], [16], [17]. Некоторые вопросы расширения СМ вектороподобными поколениями рассмотрены в работах [18, 19].
Экспериментальные ограничения на четвертое киральное поколение В настоящее время не существует экспериментальных данных, с необходимостью указывающих на существование тяжелых фермионов. Прямые ограничения снизу на массы киральных фермионов могут быть получены из отсутствия сигнала рождения тяжелых фермионов в рр и е+е~ столкновениях. Прямые ограничения сущесгвенно зависят от предположений о смешивании четвертого и трех легких поколений. Косвенные ограничения на массы четвертого поколения могут быть получены путем анализа пренизиои-
ных электрослабых наблюдаемых. Последние дают совместные ограничения, на массы тяжелых киральных фермионов и массу бозона Хиггса.
Прямые ограничения. Ограничения на массы фермионов четвертого кирального поколения существенно зависят от предположений об их смешивании с легкими фермионами.
В предположении Br(t/ —+ bZ) = 100%, эксперимент CDF дает ограничение ты > 199 ГэВ (95% CL) [20]. В данном эксперименте наибольший вклад в сечение рождения ^-кварков даст КХД-процесс рр —» УУХ. Соответственно, проводился поиск конечного состояния bbZZ —» bbqqe+e~\bbqgfj,+\i~. Распад У -+ bZ, происходящий с нарушением аромата, будет доминирующим в случае тъ + mz < ту < rnt + raw, то есть когда "дре-весные'распады Ь/ —* tW* — tqq, ttv или / —> t*W —s- bWW подавлены трехчастичным фазовым объемом.
В противоположном предположении Вт{Ь' —» WX) ~ 1, эксперимент DO даст более низкое ограничение т^ > 128 ГэВ (95% CL) [21]. В данном эксперименте проводился поиск следующих сигнатур рождения пар it: efi -Ь jets, ее + jets, ftfi + jets, є 4- jets, fi+jets, причем наличие Ъ кварка в конечном состоянии не было обязательным. Таким образом, данное ограничение применимо не только к f-кварку, но и к b'- and t'-кваркам с основным каналом распада Ы, V —> WX [22].
Ограничения на массу V из экспериментов на е+е~ коллайдерах намного хуже. Наилучшее ограничение получено в эксперименте ALEPH, ту_> 46 ГэВ (95% CL) [23]. В данном эксперименте в качестве сигнатур рождения пар Ь/Ь? рассматривались изолированные заряженные частицы, изолированные фотоны, а также 4 адронных струи в конечном состоянии. Каналы распада Ь —* Ьд и Ь1 —» by исключены для Вг{1/ — Ьд) > 65% и Br{bl —> by) > 5%, соответственно. Сравнимые ограничения на т^ получены также в других е+е~ экспериментах [24].
Наилучшие ограничения на массы последовательных заряженных лептонов и нестабильных нейтральных лептонов следуют из отсутствия сигнала е+е~ — Jj+L~(NN) при y/s = 192 — 208 ГэВ в эксперименте L3 [25]. Для распада L^ — NW* при разности масс в лептонном изодублете 5 ГэВ < їтїі± — tun < 60 ГэВ получено ограничение mL± > 101.9 ГэВ (95% CL). Для распадов L* -* vtW±^ t = е,\і,т, mL± > 100.8 ГэВ (95% CL). Для стабильных заряженных лептонов mi,± > 102.6 ГэВ (95% CL).
Аналогично, для последовательного нестабильного нейтрального лептона получены ограничения тпдг > 101.3,101.5,90.3 ГэВ (95% CL) для каналов распада N —* eW, ц\У, tW, соответственно.
Современное ограничение на массу стабильного нейтрального лептона следует из данных LEP II по тормозному излучению фотонов из начального состояния: М^ > 50 ГэВ на уровне достоверности 95% [26]. Из измерений невидимой ширины 2-бозона получено ограничение MN > 45.0 ГэВ (95% CL) [27].
Косвенные ограничения. Прецизионные электрослабые данные. В настоящее время в минимальном варианте СМ остается один неопределенный параметр - масса бозопа Хиггса Мц. Таким образом, ограничения на киральное расширение СМ должны быть получены в виде допустимых областей в пространстве параметров {Afy; My; М#; М^±; Мц]. Как было сказано выше, анализ прецизионных наблюдаемых в рамках минималь-
Тэблицз В.1 Прямые и косвенные ограничения на четвертое киральнос поколение
ной СМ дает центральное значение Мц = 98l|g ГэВ (CL—68%), лежащее ниже прямого ограничения LEP II Мн > 114.1 ГэВ. Расхождение между косвенным и прямым ограничениями на Ми может быть устранено а рамках СМ, расширенной, например, четвертым киральным поколением.
Совместная подгонка Мя и масс фермионов четвертого киралыюго поколения была недавно проведена в работе [28] в предположении нулевого смешивания четвертого поколения с первыми тремя. Минимум х2 вычислялся по 17-ти прецизионным наблюдаемым следующим образом. В каждой фиксированной точке {(mt' + тпу) = 500 ГэВ; шх,±; тпи} проводилась минимизация х2 по параметрам {mt ; ots(M%)\ ct-1(M); тдг; (fflc-my)}, что соответствует udof = 17—5 = 12. Масса тяжелого нейтрино была ограничена снизу, mjv > 50 ГэВ. В частности, для mL± = 100 ГэВ минимум х2 достигается при m/v — 50 ГэВ:
для тпн = 120 ГэВ : \mt> - mv | ~ 50 ГэВ, x2/^dof = 20.6/12 ,
для тн = 300 ГэВ : \mv - mv\ ~ 75 ГэВ, x2/nDOF = 20.8/12 , для тн = 500 ГэВ : |го* - ты\ ~ 85 ГэВ, x2/nDOF = 21.4/12 .
При m^± = 300 ГэВ "плоское" направление в пространстве параметров меняется.
Минимум х2 достигается при rrtf — т& — 25 ГэВ:
для тн = 120 ГэВ : mN ~ 200 ГэВ, x2/^dof = 23.0/12 , для тн = 300 ГэВ : mN ~ 170 ГэВ, x2/nDOF = 24.0/12 ,
для niff = 500 ГэВ : т^ ~ 150 ГэВ, x2/nvoF = 24.4/12 .
В то же время, подгонка тех же 17-ти наблюдаемых в рамках минимальной СМ с вариацией параметров {тп(, гпц, as(M^.), a-1(Mf)} дает минимальный x2/nDOF = 23.8/13, что заметно хуже. Следует отметить, что плохое качество х2 в обоих случаях вызвано расхождением на уровне З.Зст значений параметра sin2#eyy, вычисленных из леп-тонных распадов и из ассиметрии АЬрВ. Кроме того, изменение значения mw, вычисляемого по данным эксперимента NuTcV, с т^ = 80.26 ± 0.11 ГэВ в 1999 г. [29] до mw = 80.14 ±0.08 ГэВ в 2001 г, [30] приводит к еще большему ухудшению х2- Тем не менее, введение четвертого кирального поколения может улучшить x2/nDOF и поднять центральное значение массы бозона Хиггса гпн, устраняя противоречие с прямым ограничением тц > 114.1 ГэВ [5|. Однако, характерная черта стандартной модели - предпочтительно легкий бозон Хиггса - сохраняется. Отличительной же чертой данного анализа является предпочтение относительно легкого массивного нейтрино, mjv ~ 50 ГэВ.
Возможность расширения стандартной модели двумя и более киральными поколениями обсуждалась, например, в работе [31]. Новые прецизионные данные допускают существование двух "частично тяжелых" дополнительных киральных поколений с mN ~ 50 ГэВ.
Вышеизложенные результаты опровергают общепринятое угверждение о закрытии прецизионными данными дополнительных киральных поколений (см., например, [32]). Основная причина этого в расхождении на уровне ~ За двух значений Мщ независимо найденных по двум наблюдаемым - Mw и определяемому из лептонных распадов sin2 6fj. Введение дополнительных киральных поколений уменьшает расхождение результатов подгонки по отдельным наблюдаемым и, вместе с тем, улучшает X2/nDOF ПРИ подгонке по всем наблюдаемым,
Таким образом, эксперимент дает прямые ограничения снизу на массы фермионов четвертого поколения и косвенные ограничения на разности масс между ними.
РГ-ограничения на четвертое киральное поколение дополнительны к экспериментальным ограничениям. Введение в СМ тяжелого кирального поколения качественно меняет ее ультрафиолетовую асимптотику. В главе 1 будет показано, что при экспериментально допустимых значениях масс фермионов 4-го поколения (Л/у, Мд > 199 ГэВ, Me > 100 ГэВ, М» > 50 ГэВ [12]) и любой массе бозона Хиггса, масштаб нарушения пертурбативности расширенной CM (СМ4)
Ас* < Ю8 ГэВ < Ааит
Отметим, что данный результат лишает смысла соображения о сужении треугольника GUT путем введения в СМ дополнительного кирального поколения [10, 11], так как объединение калибровочных зарядов здесь происходит в непертурбативном режиме. Поскольку описание прецизионных электрослабых данных в рамках СМ4 дает лучший X2/nDOF, чем описание в рамках минимальной СМ [28], то вышеизложенный результат может сигнализировать о появлении "новой физики" на масштабах Л„еш<108 ГэВ
*S! hour, что, в свою очередь, ставит под сомнение "прямолинейное" объединение калибровочных взаимодействий СМ.
Ограничения на тяжелое вектороподобное поколение Двухпетлевой ренорм-групповой анализ (см. гл. 1) показывает, что четвертое киральное поколение запрещено с учетом ограничения но прецизионным данным и требования самосогласованности СМ до масштаба великого объединения Мсит = Ю15 ГэВ. Фактически, этот результат не зависит от того, является ли четвертое поколение последовательным или зеркальным. Однако пара поколений с противоположными киральностями и относительно слабыми юкавскими зарядами обходит ограничения, следующие из самосогласованности СМ, и, таким образом, может существовать. В дальнейшем такая пара поколений будет называться вектороподобным поколением.
Для согласия с экспериментом, фермионы вектороподобного поколения должны иметь большие прямые дираковские массовые члены, что в пределе "отщепления" обеспечивает выпадение вектороподобных фермионов из спектра легких частиц. Тем не менее, при умеренных дираковских массах, скажем ~ 1 ТэВ, вектороподобные поколения могут дать заметный вклад в низкоэнергешческие взаимодействия СМ путем смешивания с легкими фермионами.
Таким образом, ренормгрупна не дает ограничений на тяжелое вектороподобное поколение. Ограничения могут быть получены из поиска правых заряженных токов, нейтральных токов с наружшением аромата, подсчета СР-нарушающих фаз в матрице Кабиббо-Кобаяши-Маскавы, а также из анализа прецизионных электрослабых наблюдаемых и из отсутствия сигнала рождения тяжелых фермионов в коллайдерных экспериментах.
Ренормализационная группа: историческая справка. Здесь мы ограничимся лишь перечислением основных фактов из истории развития метода РҐ в квантовой теории поля. Достаточно полный исторический обзор дан, например, в работе [34], которой в основном следует изложение в данном параграфе.
РГ была впервые введена в теоретическую физику в 1953 году в работе Шткжель-берга и Петермана [35] как группа конечных преобразований констант С{, входящих в 5-матрицу КЭД после вычитания ультрафиолетовых расходимостей. Было показано, что 5-матрица инвариантна относительно этих преобразований, при условии что они сопровождаются соответствующей перенормировкой заряда е.
Функциональные уравнения для пропагаторов КЭД в ультрафиолетовом пределе были получены в 1954 году Гелл-Манном и Лоу [36] с использованием преобразований Дайсона, записанных в поперечной калибровке. Для перенормированной поперечной амплитуды d пропагатора фотона было получено выражение
4-«-gfciH-*««» <в-2>
где dc - неперенормированная амплитуда, Л - импульс обрезания, е\ и ег - "затравочный" и физический заряды электрона, соответственно. Дифференциальное уравнение для поперечной амплитуды (e2d) записано не было. В работе [36] рассматривалась возможность как конечной, так и бесконечной перенормировки заряда. Следует отметить, что групповой характер преобразований (В.2) в работе Гелл-Манна и Лоу отмечен не был. Более ранняя работа [35] также не упоминалась.
Уравнения РГ в современной форме и сам термин "ренормализационная группа" впервые были введены в 1955 году в работе Боголюбова и Ширкова [37|. Функциональное уравнение для инвариантного заряда (этот термин был также введен в [37]) было записано (в современных обозначениях) как
а(х, у; a) = a (j, у; a{t, у; a)) , (В.З)
где х = fc2//i2, у = rrP/fi2, \i - импульс нормировки, а = е2/4х - бегущий заряд КЭД. Дифференцирование (В.З) по х дает
Эа(х,у;а) да(,у;а)
= Р{у,а) , /?(у,а) =
=1
д\пх ^Vi" " ^"" ' д$
Аналогично, для амплитуды пропагатора электрона было получено
= У (р а{х, у; a)J s{x, у; a) , if(y,a) =
ds{x,y\a) /у ч\ ,„ . v _/.. -\ дз(,у;а)
дЫх ' Vx' ч '*' V ^-""-' ' '«""' д$
=1
(В.4)
(В.5)
Уравнения (В.3)-(В.4) устанавливают связь между подходами работ [35J и [36[.
Метод РГ легко приводит к полученному ранее [38| путем суммирования ведущих логарифмов однопетлевому выражению для инвариантного заряда КЭД:
50)(А;2) = *Ш , (В.б)
1 - -*г1п ц
где fcg < 0 - реперная точка. Очевидно, а^(к2) имеет полюс2 при достаточно большом к2 < 0. Эта нефизическая сингулярность не устраняется в двухиетлевом и более высоких известных приближениях, что может творить о нертурбативной несам согласованности КЭД. Попытка решить данную проблему путем объединения метода РГ с требованием аналитичности инвариантного заряда КЭД была сделана в работе Боголюбова, Ширкова и Логунова [39]. В рамках метода "аналитической РГ" удается избежать появления нефизической сингулярности а(к2) в пространственно-подобной области. Аналитически модифицированный инвариантный заряд КЭД &(к2) стремится к Зя-при к2 —* —оо.
Система РГ-уравнсний для многозарядной теории была впервые записана в работе [40], где рассматривалась перенормируемая модель пион-нуклонного взаимодействия.
2Полюс а^(/:г) известен в литературе как "полюс Ландау" или "московский полюс".
Наиболее ярким результатом применения метода РГ в физике частиц является открытие асимптотической свободы в неабелевых теориях в 1971 году [41]. В частности, однопетлевое выражение для инвариантного заряда КХД записывается как
41^) = УЛ2> h2 , (В.7)
где Пр - число активных кварковых ароматов. Асимптотическая свобода сильных взаимодействий позволяет применять теорию возмущений для расчета различных жестких процессов, таких как ер рассеяние, рождение адронных струй в рр столкновениях и т.д.. Метод РГ привел также к открытию сближения бегущих калибровочных констант СМ на масштабах MGUT ~ 1014—1016 ГэВ [42]. Этот результат стимулировал создание различных вариантон теории "великого объединения" (ТВО) (см., например, обзор [43]).
Ренормализационная группа и самосогласованность стандартной модели
В данной главе в рамках двухпетлевой ренормализационной группы (РГ) исследован глобальный профиль минимальной стандартной модели (СМ), а также стандартной модели, расширенной одним последовательным киральным поколением (СМ4). Эволюция CM (СМ4) рассматривается в зависимости от характерного энергетического масштаба /і, пробегающего значения от ц — VH до масштаба калибровочной U(l)y сингулярности Л[/(і)у 1041 ГэВ. Задание масштаба ультрафиолетового обрезания Л и наложение требований (1) отсутствия сильной связи в юкавском и хиггеовском секторах МСМ (СМ4) и (2) стабильное электрослабого вакуума при /і Аші, приводит в случае СМ к ограничениям на массу бозона Хиггса Мн и, в случае СМ4, к совместным ограничениям на Ми и массовый масштаб М4 4-го кирального поколения. Для СМ данные ограничения получены в виде интервалов допустимых значений Мн, а для СМ4 - в виде допустимых областей на плоскости (Мя, Mj), в зависимости от Л .
Основной результат для СМ4 состоит в том, что при экспериментально допустимых значениях масс фермионов 4-го поколения (МІ4,М(,4 199 ГэВ, М 100 ГэВ, Mjv 50 ГэВ [12]) и любой массе бозона Хиггса, масштаб нарушения пертурбативности СМ4
Отметим, что данный результат лишает смысла рассуждения о сужении "треугольника GUT" путем введения в СМ дополнительного кирального поколения [10, 11], так как объединение калибровочных зарядов здесь происходит в непертурбативном режиме. Поскольку описание прецизионных электрослабых данных в рамках СМ4 дает лучший X2/nDOF, чем описание в рамках минимальной СМ [28], то вышеизложенный результат может сигнализировать о появлении "новой физики" на масштабах Л„ещ, 108 ГэВ что, в свою очередь, ставит под сомнение "прямолинейное" объединение калибровочных взаимодействий СМ.
Дальнейшее изложение в основном следует работе [1] и организовано следующим образом. В разделе 1.1 кратко упоминаются общие аспекты РГ-исследования СМ. В разделе 1.2 рассматривается двухпетлевая эволюция минимальной СМ в зависимости от характерного энергетического масштаба ft. Это позволяет выявить качественные черты эволюции СМ в зависимости от массы бозона Хиггса Мн, & также получить ограничения на Ми из требования пертурбативности СМ при \t Acut, где Л - заданный масштаб ультрафиолетового обрезания. В разделе 1.3 рассматривается двухпетлевая эволюция СМ, расширенной одним последовательным киральным поколением. Для этого выписаны в явном виде двухпетлевые -функции СМ, обобщенные на случай массивного нейтрино. Из требования пертурбативности СМ4 получены совместные ограничения на массы четвертого кирального поколения и массу бозона Хиггса в зависимости от масштаба ультрафиолетового обрезания Л .
Исследование теории поля методом ренормализационной группы (РГ) (см., например, обзоры [6, 47]) позволяет понять в структуру теории в целом, в зависимости от характерного энергетического масштаба. Особенно интересны случаи, когда в результате ренормгрупповой эволюции от исходного энергетического масштаба к более высокому самосогласованность теории может быть нарушена. Это может быть или признаком неприменимости теории возмущений, или/и быть сигналом появления "новой физики" при высоких энергиях.
В стандартной модели (СМ) существуют две проблемы такого рода. Первая возникает, когда бегущие константы теории неограниченно возрастают на конечном энергетическом масштабе. Хорошо известными примерами этого являются полюс Ландау в КЭД (вообще- в любой абелсвой калибровочной теории /(1)) или полюс бегущей константы в скалярной теории ф . Последняя проблема длительное время была известна как проблема тривиальности (обзор аргументов и пользу тривиальности и дальнейшие ссылки см., например, в [48]). Можно надеятся, что в техническом смысле данная проблема может быть решена путем улучшения ряда теории возмущений или применением методов сильной связи. Более вероятно, однако, что проблема тривиальности имеет физические причины и может быть решена в рамках более общей теории, приводящей к возникновению масштаба ультрафиолетового обрезания в низкоэнергетической теории (см., например, [49]). В частности, тривиальность оправдывает введение техницвета как альтернативы тяжелому элементарному бозону Хиггса.
Вторая проблема возникает, когда бегущая константа принимает нефизические значения на конечном энергетическом масштабе. В СМ это происходит, когда эффективная константа самодействия бозона Хиггса становится отрицательным, что указывает на отсутствие нижнего состояния в квантовой теории - так называемая проблема стабильности электрослабого вакуума (см., например, обзор [50]). Это действительно является проблемой квантовой теории поля, так как нарушение стабильности вакуума происходит в области применимости теории возмущений. В рамках СМ, легкий бозон Хигтса, приводящий к нестабильности электрослабого вакуума, должен быть запрещен. С другой стороны, если бозон Хиггса действительно легкий, то для стабилизации вакуума потребуются новые скалярные бозоны. Другое натуральное решение данной проблемы - легкий композитный бозон Хиггса с масштабом составленное, соответствующим масштабу нарушения стабильности электрослабого вакуума.
Исследования самосогласованности СМ в рамках одноиетлевой РГ и следующие отсюда ограничения на тяжелые частицы СМ, бозон Хиггса и t-кварк, были проведены в работах [48, 51, 52]. Обобщение на двухпетлевой уровень проделано в работах [53, 54, 8, 9]. Также были получены однопетлевые ренормгрупповые ограничения на дополнительные тяжелые киральное [56] и всктороподобнос [19] поколения.
Данная глава преследует две цели. Во-первых, мы исследуем двухпетлевой ренорм-групповой профиль СМ в ее параметрическом пространстве на всех разумных энергетических масштабах. В частности, мы уточняем ренормгрупповые ограничения на массу бозона Хиггса в свете современного значения массы f-кварка и ее неопределенности. Это дает необходимую базу для исследования возможных расширений СМ. Во-вторых, мы обобщаем на двухпетлевой уровень ренормгрупповые исследования СМ, расширенной четвертым киральным поколением, а также уточняем следующие отсюда ограничения на массу бозона Хиггса и массы четвертого поколения. Это потребовало обобщения двухпетлевых -функций СМ на случай массивного нейтрино, который мы здесь рассматриваем. В более широком смысле, мы исследуем вопрос о том, что принципиально новое появляется в глобальном профиле СМ с введением четвертого тяжелого кираль-ного поколения.
Модификация двухпетлевых бегущих констант СМ
Исследовав глобальный двухпетлевой ренормгрупповой профиль стандартной модели, мы имеем необходимую базу для рассмотрения ее возможных расширений. Здесь будет рассмотрено минимальное расширение СМ дополнительными тяжелыми фермионны-ми поколениями. Единственное дополнительное фермионное поколение должно иметь, в рамках нашего анализа, стандартную киральную структуру трех извесгных поколений. Это требование позволяет избежать смешивания тяжелого четвертого поколения с тремя легкими посредством дираковских (т.е. не юкавских) массовых членов. Введение пятого поколения создает две возможности: или оно имеет ту же кираль-ную структуру, что и первые (3 + 1) поколения, или же, но отношению к ним, его киральная структура зеркальна (другими словами, пятое поколение зарядово сопряжено к первым четырем). Первый случай не вносит ничего принципиально нового в наш анализ, увеличивается лишь число параметров. Во втором случае, в дополнение к гокавским массовым членам, могут быть введены дираковскис массовые члены, смешивающие четвертое и пятое тяжелые поколения. В этом случае, вместо двух дополнительных киральных поколений возникают два вектороподобных поколения. Это заметно увеличивает число свободных параметров и затрудняет анализ. С другой стороны, в "безмассовых" перснормировочных схемах (например, в MS) влияние дираковских массовых членов проявляется только в поротных эффектах. В остальном, двухпетлевой ренормгрупповой анализ остается таким же, как в случае с двумя дополнительными киральными поколениями.
По этим причинам мы ограничиваемся только одним дополнительным киральным поколением. С учетом экспериментального ограничения на число легких нейтрино nv = З, по меньшей мере, четвертое киральное поколение должно включать как левое, так и правое нейтрино со смешивающим их ненулевым юкавским членом. Правое нейтрино может иметь также явную майорановскую массу, вследствие чего физическая масса нейтрино может сильно отличаться от одного лишь юкавского вклада в его массу. Однако, в схеме MS явные массовые члены дают вклад только в пороговые эффекты, что позволяет пренебречь майорановской массой нейтрино. Используемые в данной работе двухпетлевые уЗ-функции СМ с тяжелыми нейтрино получены из двухпетлевьтх /2-функций калибровочной теории общего вида [57] и приведены в приложении П1.2. В практических вычислениях мы пренебрегаем юкавскими константами легких (уе,ц,т) нейтрино. /ї-функции фермионов четвертого поколения приведены в приложении П1.3.
В настоящее время не существует теоретических аргументов в пользу (или против)., существования четвертого (и последующих) поколений. Тем не менее, на массы фермионов четвертого поколения можно наложить ряд взаимодополняющих ограничений. Их можно условно поделить на две группы: ограничения на общий массовый масштаб четвертого поколения и ограничения вида на расщепление масс между соответствующими фермионами. Первая группа ограничений следует из отсутствия сигнала рождения тяжелых фермионов в коллайдерных экспериментах, вторая группа - из анализа радиационных поправок к прецизионным электрослабым наблюдаемым. Обзор ограничений на массы фермионов четвертого поколения был приведен во Введении. Здесь сделаем лишь следующее замечание. В случае кирального четвертого поколения, ограничение (1.14) требует значительного вырождения юкавских констант верхних и нижних фермионов. В случае же вектороподобпого четвертого поколения с явными дираковскими массовыми членами, для подавления больших радиационных поправок достаточно потребовать лишь вырождения физических масс соответствующих фермионов, в то время как их юкавские константы могут быть какими угодно. С целью уменьшить число свободных параметров, ниже предполагается, что Мщ — Мщ = MQ И MN4 = МЕ4 = Мь Мы рассматриваем два наиболее репрезентативных соотношения масс кварков и лептонов, M /MQ = 1/2 и 1, причем масса кварков MQ равна единому массовому масштабу четвертого поколения М\. В обоих этих случаях, выбор М\ 200 ГэВ удовлетворяет как прямым, так и косвенным ограничениям на массы тяжелых фсрмионов (см. Введение). Соответствующие ренормгрупповыс результаты представлены на рис. 1.6-1.9а. Рисунки с индексом а соответствуют ML/MQ = 1/2, с индексом б - ML/MQ — 1.
На рис. 1.6 показана эволюция а"1 в зависимости от энергетического масштаба /І.4 Видно, что двухпетлевые эффекты проявляются теперь на относительно низких масштабах, ft = (107 — 108) ГэВ. Решающую роль при этих fi играет установление режима сильной связи в юкавском секторе (см. рис. 1.7). Хиггсовский сектор также входит в непертурбативный режим при этих значениях fi (рис. 1.8). Применяя те же критерии самосогласованности, что и для минимальной СМ, получаем зависимость допустимого диапазона Ми от масштаба ультрафиолетового обрезания Л (рис. 1.9). Также показана чувствительность полученного результата к изменению массового масштаба М\, Зависимость от ДМ( намного меньше, поэтому она здесь не показана.
Наконец, на рис. 1.10 представлены одно- и двухпетлевые допустимые области на плоскости Мд-Мд, в зависимости от Л. В двухпетлевом приближении вид допустимой области (Л/4, Мн) при Л 108 ГэВ практически полностью определяется требованием самосогласованности хиггеовского сектора, влияние юкавского сектора незначительно. Независимо от значения Ми, при Л 108 ГэВ четвертое киральное поколение запрещено (рис. 1.10).5 Зависимость полученных ограничений от массы -кварка очень слабая.
Отличия глобального ренормгруппового профиля СМ с тремя и четырьмя киральными поколениями заключаются в следующем. В случае трех известных поколений, в одно-петлевом порядке юкавский сектор остается в режиме слабой связи. До планковского масштаба, сильная связь в однопстлевом порядке может возникнуть только в самодействии бозона Хиггса при достаточно большой массе последнего. Сильная связь передается из хиггеовского сектора в юкавский только в двухпетлевом порядке. В результате, юкавский сектор остается с режиме слабой связи вплоть до планковского масштаба при всех экспериментально разрешенных значениях массы бозона Хиггса, Ми 200 ГэВ. Требование сохранения пертурбативной самосогласованности СМ (втом числе и в юкавском секторе) до планковского масштаба Л = Мп — 1019 ГэВ накладывает следующие ограничения на массу бозона Хиггса ГэВ .
Введение четвертого тяжелого последовательного поколения качественно меняет характер реализации СМ. В однопетлевом порядке режим сильной связи теперь возбуждается юкавскими взаимодействиями. Также в однопетлевом порядке, сильная связь передается от юкавских взаимодействий к самодействию бозона Хиггса. Сильная связь в юкавском и хиггсовеком секторах развивается параллельно, причем на достаточно низких энергетических масштабах /i MQUT ЭТОТ однопетлевой эо крект сохраняется и в двухпетлевом порядке. В результате, требование сохранения пертурбативной самосогласованности СМ4 как фундаментальной теории вплоть до планковского масштаба или масштаба великого объединения запрещает существование четвертого кирально-го поколения с массами, но противоречащими экспериментальным ограничениям. Как низкоэнергетическая эффективная теория, СМ4 допускает существование четвертого последовательного поколения с массовым масштабом до 400 ГэВ, в зависимости от масштаба ультрафиолетово обрезания Л и массы бозона Хиггса. С учетом экспериментальных оіраничений на массы фермионов четвертого поколения MQ 200 ГэВ, ME 100 ГэВ, Л/лг 50 ГэВ, получаем Л 108 ГэВ. В случае обнаружения четвертого последовательного поколения, это является указанием на масштаб "новой физики", появляющейся много ниже масштаба ТВО Мсит = Ю15 ГэВ.
Модельнс-независимый анализ
Интерпретация существующих экспериментальных данных в рамках СМ ограничивает массу бозона Хиггса интервалом 114.1 ГэВ Мн 194 ГэВ. Нижнее ограничение следует из отсутствия сигнала рождения бозона Хиггса на LEP II на уровне достоверности 95% [5]. Верхнее ограничение получено из анализа прецизионных электрослабых наблюдаемых на этом же уровне достоверности [4]. С другой стороны, ограничение сверху на массу бозона Хиггса может быть получено из требования сохранения пертур-бативной самосогласованности СМ вплоть до масштаба ультрафиолетового обрезания Л, на котором СМ входит в режим сильной связи. Двухпетлевой ренормгрупповой анализ приводит к типичным ограничениям Мн 200 ГэВ при Л = Мсит = Ю14 ГэВ и Мн 180 ГэВ при Л = Мрі = 1019 ГэВ (см., например, [1}). Таким образом, как анализ прецизионных данных, так и требование пертурбативной самосогласованности СМ вплоть до масштаба великого объединения исключают бозон Хиггса с массой Мн 200 ГэВ, Возникает соблазн проинтерпретировать легкость бозона Хиггса как следствие самоподавления режима сильной связи в СМ. Вопрос в том, в какой степени надежны ограничения сверху на Мц, полученнные из требования пертурбативной самосогласованности СМ?
Критерий сильной связи в хиггеовском секторе СМ хорошо определен только в од-нопетлевом приближении: появление полюса одноїіеглевой бегущей константы самодействия бозона Хиггса А на конечном энергетическом масштабе Л. В двухпетлевом приближении полюс скомпенсирован, но А на этом же масштабе Л становится велика, А(Л)/4л"2 1. Последнее, само по себе, не дает однозначного критерия непертурбативно-го режима. В общепринятом предположении, что на масштабе Л вклады высших петель в эволюцию А становятся сравнимы с одно- и двухпетлевыми вкладами, были получены ограничения сверху на Ми [lj 8, 9, 10] (см. также обзор [11]). Другое предположение состоит втом, что суммарный вклад высших петель может быть мал, и, следовательно, двухпетлевой характер эволюции А сохранится и в более высоких петлевых приближениях. Это предположение позволяет значительно ослабить общепринятые верхние ограничения на массу бозона Хиггса.
В настоящее время, полный набор /3-функций СМ известен вплоть до двухпетлевого приближения. Это заставляет поставить вопрос о надежности критерия самосогласованности двухпетлевого приближения в СМ. Данная глава посвящена исследованию этого вопроса. Предложенный нами метод использует аналитические свойства двухиет-левых бегущих констант и аппарат ренормализационной группы с вычитанием сингулярной части /ї-функции (РГВ). Аналогичные методы были применены ранее для решения проблемы полюса Ландау в КЭД [39] и, недавно, для улучшения аналитических свойств бегущей константы КХД а5(//2) в инфракрасной области [44, 45]. Дальнейшее изложение следует, в основном, работе [3].
Рассмотрим систему двухпеглевых ренормгруиповых уравнений СМ: Уравнения (2.1) - (2.3) сохраняют свой смысл также для комплексных f.i2. Однако полученное численное решение не дает никакой информации об аналитических свойствах бегущих констант по переменной ц2. В двухпетлевом приближении константа самодействия бозона Хиггса А не имеет сингулярностей на действительной оси. Тем не менее, А может иметь комплексные сингулярности, проявляющиеся на действительной оси при достаточно больших /і2 в виде режима сильной связи, Д( 2)/47г2 1. Аналитическое продолжение двухпетлевого ренормгруппового анализа на комплексную плоскость /І2 позволяет косвенно найти положение этих сингулярностей. С этой целью аналитически продолжим / -функции и соответствующие бегущие константы на комплексную плоскость /х2 с разрезом вдоль действительной оси Re/л2 О (рис. 2.1). Разрез выбран так, что —7г Im In (—//2) тт. Все бегущие константы предполагаются удовлетворяющими условию эрмитовости аД//2 ) = a (fj,2). Пусть замкнутый контур С = Со U С+ U С U С + (Рис. 2.1) окружает заданную точку и2, но все сингулярности бегущих констант аД/і2) лежат вне С. Следовательно, Pi(/J?) удовлетворяют тождеству причем путь интегрирования, соединяющий точки /х2 и /и,2, должен проходить внутри С. В дальнейшем квадратный корень Л из радиуса внешнего контура С будет называться радиусом модификации. Теперь расширим внешний контур С так, чтобы по крайней мере часть комплексных сингулярностей щ(ц2) попала внутрь контура С. После этого тождество (2.5), вообще говоря, несправедливо. Более того, интегрирование системы РГ-уравнений (2.1) из ре-перной точки /iy в действительную точку (—Л2) (Л Ля), вдоль действительной оси и вдоль верхней половины контура С (показанного сплошной линией на Рис. 2.1) не приводит к одинаковому результату. Замечательно то, что в последнем случае бегущие константы Cj(—Л2) приобретают ненулевые комплексные части, в то время как в первом случае Oj(—Л2) действительны по построению. Это расхождение отражает вклад "скрытых" комплексных сингулярностей бегущих констант. Минимальное значение Л2 радиуса внешнего контура С, при котором возникает данная нерегулярность, дает оценку сверху на радиус применимости РГ в двух петлевом приближении. Это значение Л„ соответствует пересечению контуром С ближайших сингулярностей аД/г2). На масштабах, больших Лэ, исходное днухпетлевое приближение строго неприменимо. Именно при /х2 Л2 для улучшения аналитических свойств стандартных двухпетлевых бегущих констант Oj( 2) потребуются вклады высших петель.
Приведенная выше процедура достаточна для того, чтобы сформулировать четкий количественный критерий самосогласованности двухпетлевой РГ.
Явная реализация
В данной главе было показано, что включение даже одной пары ВПП кардинально меняет характеристики минимальной СМ. Во-первых, обобщенная матрица Кабиббо-Кобаяши-Маскава левых заряженных токов становится неунитарной. Более того, она неунитарна во всем пространства ароматов, а не только в секторе легких кварков, как это имеет место при расширении СМ только последовательными поколениями. Далее, возникают правые заряженные токи, векторные и скалярные нейтральные токи с нарушением аромата. Все они имеют неунитарные матрицы смешивании, содержащие дополнительные СР-нарушающие фазы. Вследствие отщепления больших прямых ди-раковских массовых членов Л/, в пределе М v расширенная СМ не противоречит эксперименту. При умеренных М v, включение пары ВПП делает феноменологию СМ, особенно касающуюся нссохранения ароматов и СР-чстности, чрезвычайно богатой. Таким образом, тяжелые вектороподобныс поколения могут быть в принципе обнаружены в эксперименте при поиске отклонений от минимальной СМ. В заключение сформулируем основные результаты. 1. Проведено двухлетлевое РГ-исследование СМ и получено ограничение на массу бо зона Хигі са Мя в зависимости от масштаба ультрафиолетового обрезания A№(. Требование сохранения пертурбативности СМ (в том числе и в кжавском секторе) до планковского масштаба А = Mpi = 1019 ГэВ накладывает следующие ограничения на массу бозона Хигі са: 2. Проведено двухпетлевое РГ-исслсдованис СМ, расширенной четвертым последова тельным поколением (СМ4). Получены совместные ограничения на Мц и массы фер мионов четвертого поколения. Введение четвертого тяжелого последовательного поколения качественно меняет характер реализации СМ, Сильная связь в юкавском и хиггеовском секторах развивается параллельно на достаточно низких энергетических масштабах \i MQUT. В результате, требование сохранения пертурбативной самосогласованности СМ4 как фундаментальной теории вплоть до планковского масштаба или масштаба великого объединения запрещает существование четвертого кирального поколения с массами, не противоречащими экспериментальным ограничениям. Как низкоэнергетическая эффективная теория, СМ4 допускает существование четвертого последовательного поколения с массовым масштабом до 400 ГэВ, в зависимости от масштаба ультрафиолетового обрезания Acut и массы бозона Хиггса. С учетом экспериментальных ограничений на массы ф ер-мионов четвертого поколения MQ 200 ГэВ, ME 100 ГэВ, MN 50 ГэВ, получаем Acut 108 ГэВ. В случае обнаружения четвертого последовательного поколения, это является указанием на масштаб "новой физики", появляющейся много ниже масштаба ТВО MGUT = 1015 ГэВ.
Метод РГ с вычитанием нефизической сингулярной части /3-функции применен для выявления неопределенности двухпетлевых РГ-ограничений на Мн в минимальной СМ и совместных ограничений на Мц и массы фермионов чегвертого поколения в СМ4.
Для минимальной СМ показано, что при массе бозона Хиггса Мн 380 ГэВ, масштаб двухпетлевой скрытой сингулярности Ая превышает планковский масштаб Мрі = 101Э ГэВ. Это означает, что Мц 380 ГэВ не обязательно приводит к установлению режима сильной связи на масштабах ниже планковского. При снижении Аа до масштаба ТВО MQUT = Ю15 ГэВ требование пертурбативной самосогласованности СМ, возможно, не налагает никакого разумного ограничения на физическую массу бозона Хиггса. Таким образом, легкий бозон Хиггса может быть предпочтителен по причинам, не связанным с пертурбативностью СМ, т.е. по причинам, лежащим вне СМ. Для прояснения этого вопроса требуется знание трех- и четырех петлевых вкладов в / -функций СМ. С другой стороны, изложенный метод не может решить проблему нестабильности вакуума СМ, возникающую при Мн 138.1 ГэВ (в двух петлевом приближении). Таким образом, из всего экспериментально допустимого в рамках СМ интервала масс бозона Хиггса, 114.1 ГэВ Мц 194 ГэВ, только наиболее низкие значения 114.1 ГэВ Мц 138.1 ГэВ определенно приводят к внутренней противоречивости минимальной СМ на масштабах ниже планковского и требуют существования "новой физики".
Для СМ4 показано, что неопределенность двухпетлевых РГ ограничений велика только для массы бозона Хиггса. Абсолютные, не зависящие от Мн ограничения на массы фермионов четвертого поколения имеют неопределенность от 10% при Acut — 1019 ГэВ до 15% при Acut — Ю4 ГэВ. Следовательно, вывод главы 1 о появлении "новой физики" до масштаба ТВО в случае обнаружения четвертого поколения остается в силе.
Рассмотрено расширение СМ парами тяжелых вектороподобных поколений (ВПП). Отмечено, что метод РГ не дает ограничений на массы вектороподобных фермионов. Случай расширения СМ одной парой реализован явно. Матрицы смешивания левых и правых заряженных, а также нарушающих аромат нейтральных кварковых токов в массовом базисе выражены через кварковые массовые матрицы токового базиса.
Показано, что включение даже одной пары ВПП кардинально меняет характеристики минимальной СМ. Во-первых, обобщенная матрица Кабиббо-Кобаяши-Маскава левых заряженных токов становится неунитарной во всем пространстве ароматов, а не только в секторе легких кварков, как это имеет место при расширении СМ только последовательными поколениями. Далее, возникают правые заряженные токи, векторные и скалярные нейтральные токи с нарушением аромата. Все они имеют неунитарные матрицы смешивания, содержащие дополнительные СР-нарушаюшие фазы.
Вследствие отщепления больших прямых дираковских массовых членов М7 в пределе М 3 VH расширенная СМ не противоречит эксперименту. При умеренных М г я, включение пары ВПП делает феноменологию СМ, особенно в вопросах несохрансния ароматов и 7.Р-четности, чрезвычайно богатой. Таким образом, тяжелые векторопо-добные поколения могут быть в принципе обнаружены в экспериментах при поиске отклонений от минимальной СМ. Считаю своим долічім иоблаї одарить моего научного руководителя профессора Ю-Ф- Пирогова за стимулирование процесса исследований и постоянную помощь в работе. Я благодарен А.И. Алексееву, М.Н. Дубинину, В.В. Ежеле, В.В. Каба-ченко и СР. Слабоспицкому за обсуждение результатов, положенных в основу диссертации. Выражаю особую благодарность Кафедре физики высоких энергий Московского физико-технического института, профессору A.M. Зайцеву и профессору Л.Д. Соловьеву. Я также благодарю коллектив ИФВЭ за создание атмосферы, способствовавшей выполнению данной работы. Диссертация частично выполнена в рамках научного проекта М- 96-02-18122, поддержанного Российским фондом фундаментальных исследований.
