Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Рассеяние интенсивной электромагнитной волны на свободных нейтронах .
1. Волновые функции нуклона в поле электромагнитной волны .18
2. Рассеяние электромагнитной волны на свободных неполяризованных нейтронах 28
3.Поляризационные эффекты при рассеянии электромагнитнойволны на свободных нейтронах 40
Выводы 44
Глава 2. Воздействие интенсивного электромагнитного поля на распад нейтрона .
4.Матричный элемент распада нейтрона в поле электромагнитной волны с круговой поляризацией . 47
5. Дифференциальная вероятность распада нейтрона в поле электромагнитной волны с круговой поляризацией 55
6.Распад нейтрона в поле круговой электромагнитной волны при значениях параметра 64
7.Распад нейтрона в поле круговой электромагнитной волны при значениях параметра .73
8. Распад нейтрона в постоянном скрещенном электромагнитном поле .81
Выводы 85
Глава 3. Воздействие интенсивного электромагнитного поля на распад мюона .
9. Матричный элемент и дифференциальная вероятность распада мюона в поле электромагнитной волны с круговой поляризацией 89
10.Распад мюона в поле круговой электромагнитной волны при значениях параметра 96
11.Распад мюона в поле круговой электромагнитной волны при значениях параметра 101
Выводы 106
Заключение 108
Приложение
- Рассеяние электромагнитной волны на свободных неполяризованных нейтронах
- Дифференциальная вероятность распада нейтрона в поле электромагнитной волны с круговой поляризацией
- Распад нейтрона в постоянном скрещенном электромагнитном поле
- Матричный элемент и дифференциальная вероятность распада мюона в поле электромагнитной волны с круговой поляризацией
Введение к работе
Постановка задачи Получение мощных пучков света от лазеров открыло новые возможности для исследования различных квантовых процессов, появилась возможность наблюдения и изучения ряда новых физических явлений, обусловленных воздействием достаточно интенсивного элек-г тромагнитного излучения на вещество и отдельные частицы. Сформировалось новое направление, лежащее на границе между оптикой, физикой атомов и молекул, квантовой физикой, физикой плазмы и физикой элементарных частиц - исследование элементарных нелинейных оптических явлений. Для экспериментального наблюдения таких явле?-ний необходимы электромагнитные поля с большой плотностью числа фотонов. Шизические явления, возникающие за счет влияния интенсивного электромагнитного поля, по роду участвующих частиц можно разделить на две группы: явления, обусловленные взаимодействием излучения с квантовомеханическими системами /атом, молекула, вещество/, и явления, возникающие при действии излучения на элементарные частицы. В первом случае рассматриваются такие задачи, как многотонная ионизация и многофотонное возбуждение атомов, резонансная диссоциация молекул, нелинейный поверхностный фотоэффект, зависимость сечения рассеяния и показателя преломления от амплитуды волны и многие другие. Во втором случае исследуется влияние электромагнитного поля на различные элементарные процессы и рассматриваются такие задачи, как многофотонное образование; пары в вакууме и поле ядра, многофотонный эффект Комптона, влияние поля на процессы распада частиц и так далее. В этом случае квантовые процессы можно разделить еще на две группы: процессы, индуцирован-ные электромагнитным полем и не идущие без поля, и процессы, идущие в отсутствии поля и изменяемые полем. В настоящей работе будут рассматриваться только процессы с элементарными частицами.
Область взаимодействия элементарных частиц столь мала, что процессы тройных и кратных столкновений обычно не рассматриваются из-за их малой вероятности. Но, если потоки частиц достаточно интенсивны, то можно ожидать,что с заметной вероятностью в области взаимодействия окажется несколько частиц. В этом случае кратными процессами пренебрегать нельзя.Подобная ситуация начинает реализоваться в отношении фотонов,поскольку с развитием лазеров стали экспериментально доступны пучки света с очень большой интенсивностью.Оценку плотности числа квантов электромагнитного поля,при которой начинают проявляться кратные процессы,можно произвести следующим образом.Рассмотрим область пространства,например,вокруг электрона.Размер области взаимодействия электрона с фотоном можно определить комптоновской длиной волны fib/mc и длиной волны ZJrc/u), С учетом слабости электромагнитного взаимодействия,условие существенности кратных процессов состоит в том,что число фотонов в этом объеме должно быть порядка обратной постоянной тонкой структуры (L - JA0 С- /if jf % ,JL(P -магнитная постоянная.Это соответству ет плотности числа фотонов А/0-тьо/2jr t01ie. .Для характеристики действительной плотности числа ротонов /V можно ввести безмерный инвариантный параметр b -ed/mc ,где -амплитуда векторного потенциала электромагнитной волны.Значение параметра определяется интенсивностью поля электромагнитной волны.Можно показать,что Hjhla .Действительно,например, в волне с круговой поляризацией амплитудные значения полей = а?л ,/3=A A/C , амплитудное значение плотности энергии C-uozaZ/2ju0с .С другой стороны,=//fica ,поэ-тому H=cjO /z ffficz и отношение H/H Jf2 .Параметр t также можно представить в виде $=(тс%(Х ) Е/В0 »гДе Е0 тс1/Ы ftq-W в/м -напря?-женность критического поля. Существование критического поля следует из соотношения неопределенностей А В лі "-»
При виртуальном рождении электрон-позитронной пары характерная длина пути частиц й 1г/тс . Для перехода пары из виртуального состояния в реальное необходимо поле такой напряженности, чтобы электрон имел возможность получить от поля на длине волны &- энергию порядка энергии покоя электрона. Из соотношения eEji/mc= -тс получается значение величины Ва .
Обычные квантовоэлектродинамические расчеты, проводимые с использованием теории возмущений, справедливы при % i , при этом потенциал падающей электромагнитной волны нормируется на один фотон в единице объема. При взаимодействии сильной электромагнитной волны с частицнй, когда 4 1 , существенную роль могут играть эффекты, связанные с поглощением из волны или с испусканием в волну нескольких фотонов одновременно. При этом сечения и вероятности процессов начинают зависеть от интенсивности электромагнитной волны. Нелинейные эффекты приводят также к изменению угловых и спектральных распределений частиц в различных физических процессах. Исследование этих явлений способствует дальнейшему развитию квантовой электродинамики и квантовой механики. С другой стороны эти явления лежат в основе ряда астрофизических процессов, процессов взаимодействия мощного лазерного излучения с веществом, ряда новых методов получения и диагностики плазмы.
Целью данной работы является исследование влияния поля электромагнитной волны при разных значениях частоты и напряженности на процессы распада нейтрона и мюона. Для этого, решая обобщенное уравнение Дирака, вычисляются волновые функции нуклона в поле электромагнитной волны и проводится анализ полученных решений. С целью оценки величины нелинейных эффектов рассматривается процесс рассеяния интенсивных электромагнитных волн; на неполяризо-ванных нейтронах. Далее исследуется влияние поля электромагнитной волны с круговой поляризацией на энергетическое и угловое распределения электронов, скорость протекания распада нейтрона при различных значениях частоты и интенсивности, В последней главе работы исследуется влияние поля круговой волны на процесс распада мюона.
Рассеяние электромагнитной волны на свободных неполяризованных нейтронах
Рассмотрим далее действие электромагнитного поля на процессы распада элементарных частиц. Распады описываются V - Я - вариантом теории слабых взаимодействий в первом порядке теории возмущений. В работе [2J исследовалось влияние электромагнитного поля на распады ft-- jiy , еї , в работе Гб7 основное внимание уделяется распадам на три частицы: И— ev) 9 ft— іїе У Взаимодействие частиц с электромагнитным полем учитывается путем ис -пользования в матричных элементах процессов волновых функций частиц в электромагнитном поле. Действие поля электромагнитной волны на распад элементарной частицы приводит к тому, что дифференциальная и полная вероятности распада начинают зависеть от характеристик поля. Матричный элемент процесса — -evv в поле плоской волны записывают в виде: где іЄ9 Xjt - волновые «Іункции электрона и мюона в плоской электромагнитной волне, Ту , Туи - волновые функции свободных нейтрино. Используя (4), в матричном элементе можно провести интегрирование тем же методом, что и в случае испускания фотона электроном. После интегрирования матричный элемент (9) можно представить как сумму отдельных матричных элементов jx -распада с испусканием или поглощением из волны определенного числа фотонов. Обычным образом усредняя и суммируя квадраты отдельных матричных элементов по спиновым состояниям можно записать вероятность распада с участием ft. фотонов и, далее, суммируя по числу фотонов,полную вероятность распада частицы в поле волны. Интегрирование по импульсам нейтрино можно провести с помощью известной формулы Ленарда. Полная вероятность распада получается интегрированием полученного выражения по квазиимпульсам электрона. Сложности, возникающие при суммировании по числу фотонов и интегрировании по квазиимпульсам электрона, приводят к тому, что достаточно точно можно оценить вероятность распада только в предельных случаях, когда & і, либо когда &»1 . При + L получают вероятности распада мюона с поглощением или испусканием одного или нескольких фотонов. Случай &»і соответствует распаду мюона в скрещенном поле. Определяя эффективные значения переменных при, &»1, можно оценить вероятность распада мюона в скрещенном поле следующей формулой m - масса электрона, ju ,р - масса и импульс тош,/і6сс, /Шіг-вероятность распада свободного мюона. Формула (I0J справедлива при достаточно малых X ,Кофициент Сх 0 , поэтому скорость распада мюона должна увеличиваться при включении поля. Действие поля на распады усиливается с уменьшением разницы масс начальной и конечной частиц. В случае jt-m формула (10 J описывает нейтринное излучение от электрона в скрещенном поле.
Матричный элемент распада t — - Я +е +v записывается через произведение пионных и электронных токов в поле плоской электромагнитной волны. Конечные результаты можноз оценить только- в предельных случаях & l ,t,»i . При «1 получают вероятность процесса с поглощением или испусканием одного фотона. В скрещенном поле главная поправка к вероятности распада за счет действия поля пропорциональна
Так как cz a ,вероятность распада при включении поля увеличивается. Для распадов ir— jfV , ev в скрещенном поле главная поправка пропорциональна с х A -{-(m/fffr) , т -масса электрона или мюона. Для мюонного распада cz 0 9 поэтому включение электромагнитного поля должно ускорять распад пиона на мюон и замедлять распад пиона на электрон, так как в этом случае Cz 0 . Если считать, что распад представляет собой проникновение частиц через потенциальный барьер, то следует ожидать, что включение электромагнитного поля будет всегда увеличивать вероятность распада. Во всех рассмотренных случаях, кроме электронного распада пиона, это действительно так. Таким образом, приходят к выводу, что не только величина,но и знак поправки за счет действия поля зависят от вида взаимодействия между частицами,ответственного за распад.
Выводы В задаче о воздействии интенсивного электромагнитного поля на процессы с элементарными частицами, сделано многое. При с і , разлагая фикции по степеням Є, , получены общие формулы для вероятностей процессов с участием небольшого числа квантов поля. Используя мощный математический аппарат удалось получить оценки: вероятностей различных процессов в скрещенных электромагнитных полях. В тоже время остаются не выясненными многие детали воздействия поля на процессы при больших, но конечных значениях при различных значениях напряженности внешнего поля. Кроме того, не было рассмотрено воздействие поля на такой важный процесс, как распад нейтрона. Решению этих вопросов и посвящена данная работа.
Глава I Рассеяние интенсивной электромагнитной волны на свободных нейтронах I. Волновые функции нуклона в поле электромагнитной волны Движение частицы со спином J/z , зарядом в и массой т во внешнем электромагнитном поле описывается уравнением Дирака где Лц - компоненты четырехмерного потенциала внешнего электромагнитного поля. Уравнение Дирака не является точным даже для электрона, учет взаимодействия электрона с собственным электромагнитным полем приводит к радиационным поправкам в уравнении (1,1), Но, вследствии малости этих поправок, уравнение (i.lj широко применяется для описания поведения электронов и мюонов во внешних электромагнитных полях. Точное уравнение, описывающее взаимодействие нуклона с электромагнитным полем, если оно возможно, должно учитывать дополнительное взаимодействие с электромагнитным полем через посредство мезонных полей. Как известно, при величина ядерного магнетона. В первом приближении можно учесть аномальный магнитный момент нуклонов, вводя в уравнение Дирака дополнительное взаимодействие между "аномальной" частью магнитного момента // и электромагнитным полем в виде -ул б Н , для нейтронами=. ,для протона =JJ / 0, И -напряженность магнитного поля волны, в -матрицы Паули. Соответствующее релятивистски: инвариантное уравнение, описывающее состояние нуклона в электромагнитном поле имеет вид:
Дифференциальная вероятность распада нейтрона в поле электромагнитной волны с круговой поляризацией
Основы теоретико-полевой трактовки слабых взаимодействий были: заложены в 1934 году [41J. Дія объяснения процесса J -распада ядер Ферми предположил, что нуклоны ядра окружены электронно-нейтринным полем и: взаимодействие этого поля с нуклонами является причиной распада ядер. Записав плотность гамильтониана взаимодействия в виде произведения векторных токов частиц, Ферми по измеренной вероятности распада вычислил константу взаимодействия. Взаимодействие такого типа получило название слабого четырехфермионного взаимодействия. В релятивистски инвариантной теории возможны несколько вариантов записи плотности гамильтониана взаимодействия. В 1956 году Ли. и Янг [42] указали на возможность нарушения законов сохранения пространственной и зарядовой четностей.Экспериментально было обнаружено 43] максимальноез нарушение указанных законов.Маршак иХударшан [44] исходя из идеи, что во всех слабых взаимодействиях имеет место максимальное несохранение четности,указали,что в слабых взаимодействиях осуществляется комбинация (V-A) -вариантов взаимодействия. В 4-А -теории, слабого взаимодействия плотность гамильтониана взаимодействия записывается в виде: где Ь.М -четырехмерный ток, являющийся суммой лептонних и адрон-ных слабых токов.Все известные проявления слабого взаимодействия при невысоких энергиях можно описать в рамках этой теории. С помощью (АЛ) МОЖНО записать матричные элементы процессов в любом: порядке теории возмущений по константе слабого взаимодействия,но вполне удовлетворительные результаты получаются лишь в первом порядке;поправки высших порядков дают расходящиеся результаты. Дальнейшее развитие теория слабого взаимодействия получила в рамг ках объединенной теории электрослабого взаимодействия, где взаимодействие слабых токов осуществляется путем обмена заряженными и нейтральными тяжелыми бозонами,являющимися квантами полей Янга -Миллса, иі была сформулирована теория перенормировки.Теория электрослабого взаимодействия воспроизводит все успешные предсказания 4-А -теории, но в отличие от нее является самосогласованной. В рассматриваемых нами процессах передаваемые импульсы при распадах частиц заведомо небольшие)и.нас будут интересовать вероятности процессов в первом порядке теории возмущений,поэтому обменное взаимодействие через бозоны фактически! переходит в контактное взаимодействие (4.1) и можно использовать более простую V-Л -теорию. Обычно в процессах,за которые ответственны слабые взаимодействия, на конечные результаты оказывают заметное влияние более сильные взаимодействия - сильное и электромагнитное.Так,при ft-распаде ядер и свободных нейтронов необходимо учитывать взаимодействиє нуклонов с ядром и между собой, электромагнитное взаимодействие заряженных частиц.Влияние сильного взаимодействия между нейтроном и протоном можно учесть введением формфакторов [46J.Электромагнитные поправки к слабому взаимодействию возникают за счет обмена виртуальными фотонами между частицами в начальном и конечном состояниях, за счет испускания заряженными частицами реальных фотонов и за счет влияния электрического поля атош.Радиационные поправки можно вычислить в рамках квантовой электродинамики, их вклад, обычно не превышает 1-2 % от вклада за счет слабого взаимодействия. Влияние электрического поля атома на протекание jS -распада рассматривалось в ряде работ Джелепова и других [47].
Задачей в этой главе является изучение влияния интенсивного электромагнитного поля на распад нейтрона в этом поле.Распад будем описывать в рамках V-Л -теории слабых взаимодействий в первом порядке теории возмущений.Взаимодействие частиц в начальном и конечном состояниях с внешним электромагнитным полем будем учитывать используя в записи матричного элемента процесса распада волновые функции, полученные при решении уравнения Дирака для этих частиц в заданном внешнем электромагнитном поле (I 18,1.21). Рассмотрим распад нейтрона в поле монохроматической электромагнитной волны с круговой поляризацией, так как в этом случае характеристики процесса более простым образом выражаются через функции Бесселя, но щ инципиальной разницы с распадом в плоской волне нет.Амплитуды потенциала поля волны (4.2) удовлетворяют соотношениям (а az) = 0, аі-а\ ая .Волна распространяется вдоль направления Х5 декартовой системы координат.Волновая функция частицы с электрическим зарядом ви спином 1/2 в поле согласно ҐІ.І9] имеет вид: средний кинетический импульс частицы в поле круговой волны, Ри -импульс частицы в свободном состоянии, к(к,1и )-импульс фотона волны.Как было показано ранее, взаимодействие нейтрона с интенсивным электромагнитным полем ввиду значительной массы нейтрона и малости его магнитного момента,незначительно. STO взаимодействие будет несколько изменять разовый объем образующихся частиц, их угловое распределение и поляризационные состояния, но величина ожидаемых изменений настолько мала, что они.нез должны оказывать существенного влияния на. ход распада нейтрона. Позтоіду в матричном элементе будем использовать волновую функцию свободного нейтрона. Также можно пренебречь взаимодействием с электромагнитным полем аномального магнитного момента протона по сравнению с взаимодействием, возникающим за счет электрического заряда протона.Действительно,интенсивность взаимодействия электрического заряда с электромагнитным полем по порядку в е раз большее интенсивности взаимодействия с полем аномального магнитного момента.Нейтрино обычных энергий практически не взаимодействует с электромагнитным полем,поэтому в записи матричного элемента нужно использовать волновые функции свободных нейтрино. Матричный элемент процесса распада нейтрона в поле круговой волны в первом порядке теории возмущений, с учетом принятых прибли-жений,имеет вид:
Распад нейтрона в постоянном скрещенном электромагнитном поле
Распад нейтрона в поле круговой электромагнитной волны при значениях параметра г і Оценим экспериментально возможные значения некоторые параметров в формулах для вероятностей jS-распада в поле электромагнитной волны.При использовании лазерной техники амплитуда напря жен-ности; электрического поля волны в лабораторной системе координат достигает значения Е 10 &/м .Если частота волны сл) JD сГ ,то в этом случае амплитуда векторного потенциала & i-О В с/М ,коэффициент в аргументе функций Бесселя /0 ,параметр t, io z. При использовании техники СВЧ достигаются значения г іо , -//7-5. Параметр и аргумент і функций Бесселя являются релятивистскими инвариантами, их значение в системе покоя нейтрона не зависит от движения нейтрона в лабораторной системе.Значения частоты и напряженности поля волны в системе покоя нейтрона определяются полем и энергией нейтрона в лабораторной системе.Если экспериментально измеримыми величинами считать Е/Еа, со , то ,=(т/со) Е/Ео , b-(m/u)f Е/Е0 .Аргумент функций Бесселя за счет параметра квадратично увеличивается с уменьшением частоты вол-ны.Как функция угла & , величина монотонно возрастает от 2=0 , при 9=0 ,Д0 2=тах=9-//л ,при & =#/# ,далее монотонно убывает ДО НуЛЯ ПрИ 9=І- .
При ї возможны значения »1 , і , Ь « і .Рассмотрим распад нейтрона в поле волнн,когда»і .В этом случае в системе покоя нейтронаг импульс фотона ьо с еа : пг , напряженность поля Е/Е0 &1 ,что соответствует приведенным выше оценкам, при небольших энергиях нейтрона в лабораторной системе.Так как » , то аргумент функций Бесселя может достигать больших значений и в процессе распада нейтрона и формировании конечного состояния могут принимать участие большое число фотонов,но вероятность распада в таком поле очень мало отличается от вероятности распада свободного нейтрона.Основной вклад в вероятность дают процессы с tyo-fym .Интегрируя 5.17,5.20,7 по углу Q , получаем основное выражение для энергетического распределения электронов в конечном состоянии:
Оценим вклад в вероятность распада, определяемый формулами (5.19,5.21) .Если, отСі ) ,то суммирование по числу фотонов должно начинаться с п0 - %т Iе0 tмаксимальное значение аргумента функций Бесселя ZmaK {c;(fm/co)/7o ,rfle f - J . Поэтому в (5.19,5.21) могут быть существенны значения o fom » при этом/ / л и ширина интервала интегрирования по энергии электрона $%т .Так как 71пкдп(1) к ,то величина вклада за счет формул (5.19,5.21) будет порядка 5 и им можно пренебречь. Из (бЛ) видно,что электромагнитное поле несколько уменьшает энергетическое распределение электронов в интервале (/7, 2 ?от/з) и увеличивает в интервале [Z fom /3, fom )
Для вычисления вероятности распада нейтрона необходимо 6.1,6.2,) проинтегрировать по энергиям электронов в пределах от # =/?? до Ho-fym .Если обозначить X=f# - ;/W ,то $,= +f/x)/z и вычисляемые интегралы сводятся к табличным.Выполняя все вычисления с точностью до членов г приходим к выводу,что вероятность распада нейтрона в поле электромагнитной волны с круговой поляризацией при значениях i , »i должна определяться выражением:
Рассмотрим процесс распада нейтрона в поле волны, когда с { , но параметр і .В этом случае частота волны в системе покоя нейтрона со-еа т ,напряженность поля / і .Если « і , то возможны три случая: т»ш , 2г/ъ ; т -со ,/0 ; т и), Е/Є0 і. . Во всех,указанных выше случаях, эффективное число испущенных или поглощенных квантов невелико.Действительно, например,при поглощении п. фотонов,максимальная энергия электрона в конечном состоянии (f0- (?omi-nto ,при этой энергии и уравнение 2 -/1 имеет решение п $%т/т i .Поэтому,при суммировании по числу фотонов можно ограничиться учетом нескольких первых гармоник. В случае,когда ыг т , h і ,полностью остаются в силе аргументы, приведенные для случая »1 доказывающие малость вклада в величину вероятности распада процессов с поглощением фотонов при CjQ (?от и малость ошибки при распространении суммирования по числу испущенных фотонов до бесконечности. Таким образом, вероятность распада нейтрона при значениях { сог гп должна определяться формулой Гб.З).
Если частота поля и) /72 ,то максимальное число испускаемых фотонов пропорционально (Цот- о)/1 »при oo (q0-m#) процессы с испусканием фотонов становятся невозможными.Зффективные значения числа поглощаемых фотонов п -1 ,так как w"-#,/7?»T0 становится возможным заметный вклад процессов с энергиями электронов % у - 67 -При , 1 ,ь)т максимальное значение аргумента ункций Бесселя Z . і ,поэтому интервал эффективных энергий электронов(т #в2ы). Вычисление вероятности распада нейтрона можно провести численными и приближенными методами.При вычислении вероятности распада численными методами необходимо при заданных значениях , ш вычислить интервал энергий электронов,при которых энергетическое распределение заметно отлично от нуля.Далее,при заданном значении % из найденного интервала энергий,определяется интервал углов # ,при которых угловое распределениез электронов заметно отлично от нуля, значения ПР , nl .Суммирование по числу фотонов можно провести, вычисляя функции Бесселя по библиотечной програм-ме.Величина вероятности распада находится численным интегрированием по углу 9 и энергии fa . При вычислении вероятности распада приближенными методами в рассматриваемом случае -с і ,и) т можно ограничиться учетом: вкладов процессов при n = 0 ;±І,В этом приближении.
Матричный элемент и дифференциальная вероятность распада мюона в поле электромагнитной волны с круговой поляризацией
В отличие от распада нейтрона в рассматриваемом случае не возникают члены пропорциональные ш(є/Єр) . Из полученных фор мул видно,что электромагнитное поле из-за малости отношения Jf очень слабо влияет на скорость протекания распада мюона.При , Lo -rn и заданной напряженности поля вероятность распада медленно уменьшается с уменьшением параметра .Так как ,то при сог ц , jf это уменьшение вероятности должно сменяться логарифмическим ростом. Исследуем действие на распад мюона интенсивного электромагнитного поля,когда параметр М/т .Будем считать,что квазистацио-нарноа состояние: мюона успевает сформироваться до момента распа-да.При нашем выборе системы отсчета,где:; =// tf -O ,мюон вначалев двигается навстречу волне с импульсом р3- т .Если выбрать систему отсчета, где р=а ,то в этом случае в квазистацио-нарном состоянии мюон будет иметь квазиимпульс fe l &j-m и вероятность распада мюона будет зависеть не только от поля волны, но и от движения мюона.Если (-(/vT)C///m) ,то возможны процессы распада мюона как с испусканием, так и с поглощением фотонов »Есші. & (J/ )(/( /m) ,то эффективная масса электрона i% становится больше oJn ,в этом случае возможны процессы распада только с поглощением фотонов .Максимальное число испускаемых фотонов при fy fj и минимальное число поглощаемых фотонов при q %, определяется целой частью величины fa+lfi-fiml/co) .%Qm(lffi-fJ„l/tv) 2+/1f6zY/3 ,то можно пренебречь поправкой в (10.3) за счет испускания фотонов или,при $0 ГГ) рвкладом за: счет поглощения фотонов.Уравнение (lfi foml/vo)=ma l имеет два решения:
При значениях b i&H Sh + ІЇ tfo Jt / «3а счет отношения і /)" величина верхней границы интервала эффективных значений энергии электрона в конечном состоянии; даже при измерении в массах мюона может достигать очень больших значений.Сравнивая эффективные значения пР 9п0 и Zmaxt видим,что в случае раппада мюона,в отличие от распада нейтрона,величины /ъ fnJ могут сильно отличаться от і .Поэтому использование рекуррентных формул для функций Бесселя или формул (7.9,7.10} при проведении суммирования на всем интервале от /г-/? до а ак может приводить к заметным вычислительным ошибкам. Для суммирования по числу фотонов іначале интервала от п=Ло до n nai i-s,5-z(z/z)/s можно использовать для функций Бесселя приближение Лоренца б07:
Можно показать,что приближение Лоренца в рамках нашей задачи практически совпадает с приближением Лантера (7.6} при 2»i/i, it Как известно, формулы Лангера дают равномерное приближение с погрешностью порядка п 3, поэтому и приближение Лоренца в рамках вашей задачи должно давать погрешность того же порядка.
С помощью приближения Лоренца суммирование по числу фотонов от fi=flt до п, П„ можно заменить интегрированием:
Если в шормулах (її.3J положить /Ь-Y ,/fc/ ;2 ,то получим главные члены формул суммирования из приложения I. Это связано с тем, что сумма ряда. 2_n U fe) формируется в основном при значениях /Zv2.
При определении вероятности распада мюона в поле волны возникают определенные вычислительные трудности, связанные с необходимостью вычисления большого числа функций Бесселя и интегрированием на реоких максимумах углового распределения. Кроме того, дифференциальная вероятность получается как малая разность больших чисел, поэтому выражения, по которым вычисляется вероятность, должны быть записаны в форме, минимизирующей вычислительные ошибки. Если не учитывать зависимость вероятности от направления вращения плоскости поляризации, то формулу (9.11 для дифференциальной вероятности распада с поглощением или испусканием а нужно записать в следующем виде:
Вычисление вероятности распада мюона в поле волны производилось по программе ІЕ5 . По задаваемым значениям оо , EfEe в выбранной системе отсчета вычислялись постоянные коэффициенты в (ИЛ) и интервал эффективных значений энергии электрона в конечном состоянии. Для этого численными методами решается уравнение, следующее из (5.22,9.15 J при здесь maf{№lmx)(cj/u ) и от левой части уравнения берется целая часть. Так как эффективные значения 0 очень близки к единице, то вместо и%& использовалась величина x={-c&i&. Интервал эффективных значений ее находился из условия (5.22) , которое в данном случае имеет вид:
Корни: уравнения (II.6) определяют границы интервала Х/,Хг эффективных значений величины X . Интегрирование по « ,X на интервалах (fa ,Цоъ) , (Xj,Xz) проводилось по формуле Симпсона с выделением максимума в угловом распределении.
При значениях Z i с помощью рядов вычислялись пункции JoLi) і J І ft) t суммирование по числу фотонов проводилось по рекуррентной формуле. При значениях i Z fSO для суммирования использовался алгоритм вычисления функций Бесселя (6.22J, при этом в формуле (II.4) появляется дополнительный множитель Л и функции Бесселя заменяются Функциями Fn . Если значения то в (ИЛ) пренебрегалось вторил слагаемым, так как при больших значениях индекса и аргумента соседние функции Бесселя мало отличаются друг от друга. В этом случае для суммирования от п.-По до n-rioi использовались формулы (11.3}, дальнейшее суммирование до n-ftK проводилось с помощью приближения Лангера (7.6)и рекуррентной формулы или с помощыр пункций Эйри. Приближение (7.7) через функции Эйри применялось при і ІО , при этом суммирование по ft заменялось интегрированием по величине у и формула (II.4) приобретала следующий вид:
