Содержание к диссертации
Введение
1 Обзор публикаций, посвященных динамике РЗС 18
1.1 Уравнения движения звезд скопления в поле скопления и Галактики 18
1.2 Исследования структуры и формы РЗС 20
1.3 Исследования экспоненциальной неустойчивости численных решений 24
1.4 Гросс-динамические исследования РЗС 27
1.5 Исследования динамики РЗС на основе статистических методов и кинетических уравнений 33
2 Параметры нестационарности РЗС 42
2.1 Введение 42
2.2 Контраст плотностей в ядрах РЗС 44
2.3 Гомологичные колебания моделей РЗС 47
2.4 Колебания ядер РЗС и их моделей 53
2.5 Динамические дисперсии скоростей звезд в РЗС 61
2.6 Выводы 63
3 Динамика корреляций между параметрами движения звезд в моделях рассеянных звездных скоплений 66
3.1 Введение 66
3.2 Времена и радиусы корреляций в моделях РЗС 68
3.3 Распределения корреляций по их величинам 76
3.4 Потоки корреляций в пространстве величин у/ 80
3.5 Выводы 86
4 Корреляционный и спектральный анализ колебаний фазовой плотности в моделях рассеянных звездных скоплений 88
4.1 Введение 88
4.2 Оценки величин тс , Vf, vr, vv в моделях РЗС 92
4.3 Взаимная функция корреляций 95
4.4 Частотные спектры и дисперсионные кривые 98
4.5 Сравнение спектров частот, полученных при разных способах выбора точек для расчета взаимных корреляционных функций 105
4.6 Выводы 107
5 Сглаживание силовых функций и спектры колебаний модели рассеянного звездного скопления 110
5.1 Введение 110
5.2 О связи параметров модели РЗС с величиной є 115
5.3 Взаимные функции корреляций 118
5.4 Частотные спектры и дисперсионные кривые 121
5.5 Выводы 127
Заключение 129
Литература 133
- Исследования экспоненциальной неустойчивости численных решений
- Гомологичные колебания моделей РЗС
- Распределения корреляций по их величинам
- Сравнение спектров частот, полученных при разных способах выбора точек для расчета взаимных корреляционных функций
Введение к работе
Актуальность темы
Результаты работ по изучению динамической эволюции моделей рассеянных звездных скоплений (РЗС) приводят к выводу о возникновении в моделях РЗС колебаний радиуса, плотности, регулярного поля и других характеристик, не прекращающихся на протяжении нескольких времен релаксации (например, [1–3]). В отмеченных работах были получены решения гросс-динамических уравнений при различных упрощающих предположениях. Однако до сих пор аналитические решения гросс-динамических уравнений не использовались для массовых оценок параметров нестационарности реальных РЗС (амплитуд колебаний величин радиуса, вириального коэффициента и др.) на основе данных о структурных параметрах этих скоплений. В настоящей работе рассмотрены четыре модели РЗС, найдены аналитические решения гросс-динамических уравнений, показано, что решения для сферической модели со структурой ядро-гало позволяют получить значения параметров нестационарности, согласующиеся с численными оценками соответствующих параметров. Аналитические решения гросс-динамических уравнений для этой модели использованы для вычисления значений параметров нестационарности и их погрешностей для 87 РЗС. Поскольку при гросс-динамическом подходе к исследованию РЗС вводятся некоторые ограничения на форму моделей РЗС или распределение звезд, то представляет интерес рассмотрение динамики РЗС в более общем случае произвольного распределения звезд в скоплениях, которое может возникать в ходе эволюции. Также неизвестен полный спектр частот колебаний РЗС, их устойчивость.
Важным методом исследования динамики РЗС являются численные расчеты N -body моделей. В большинстве существующих численных работ по динамике звездных систем используются разностные схемы 4-го порядка точности (например, [4-6]). В данной работе используются результаты численных расчетов значений фазовых координат звезд методами 10-го и 11-го порядков точности для нескольких моделей РЗС, полученные в [7]. Показано, что полученные в двух указанных порядках точности статистические распределения корреляционных функций для рассмотренных моделей одинаковы при t (3-5)tv.r. , где tv.r. – начальное время бурной релаксации модели скопления. Это время сравнимо со средним временем жизни РЗС. Достигнутая в [7] точность вычисления фазовых координат звезд позволяет проводить прямые вычисления корреляционных функций для параметров движения звезд.
В работе впервые исследованы корреляции между модулями радиус-векторов звезд, модулями скоростей звезд, удельными энергиями, плотностями распределения звезд и фазовыми плотностями, а также вычислены взаимные корреляционные функции между колебаниями фазовой плотности и потенциала в центре модели скопления и в точках на окружающих его сферических поверхностях различных радиусов. Анализ распределений корреляций, динамики корреляций и спектральный анализ взаимных корреляционных функций позволяет рассмотреть коллективное поведение звезд и колебания моделей без ограничений на распределение звезд, найти полный спектр колебаний фазовой плотности, исследовать вопрос устойчивости этих колебаний.
Из наблюдений обнаружен ряд структурных и динамических особенностей РЗС: иррегулярная форма ядер, наличие ступенчатых структур на радиальных профилях плотности, низкая дисперсия скоростей звезд в ядрах РЗС, рост дисперсии скоростей звезд с удалением от центра скопления и другие, указывающие на неравновесность РЗС ([8] и другие). Дальнодействующая природа гравитационных сил, в том числе влияние внешнего поля, является причиной немарковского характера взаимодействия звезд, возникновения корреляций в движениях звезд [9]. Колебания скоплений, иррегулярность в распределении звезд, эффекты поляризации и другие проявления нестационарности связаны с коллективными движениями звезд в РЗС. Кандруп в работе [10] предложил гипотезу об увеличении общей когерентности движений звезд (т.е. о нарастании корреляций) в далеких от равновесия звездных системах в сравнении с бесстолкновительными системами при обычной бурной релаксации. В настоящее время коллективные движения звезд, механизмы неустойчивости коллективных движений звезд и характерные величины параметров колебаний в моделях и реальных РЗС остаются малоизученными. Имеются работы (Чаванис [11] и др.), посвященные исследованию динамики систем многих частиц (в том числе гравитирующих), на основе кинетических уравнений для одночастичных функций распределения и двухчастичных корреляционных функций. Однако в этой и других аналогичных работах в конечных уравнениях, применимых к неоднородным гравитирующим системам с немарковским характером взаимодействия, пренебрегается некоторыми коллективными эффектами. На данный момент наиболее целесообразным для изучения коллективного поведения звезд в скоплениях представляется использование прямого метода вычисления корреляционных функций по данным о фазовых координатах звезд, полученных в ходе численного решения задачи N тел методами достаточно
высокого порядка точности, чтобы на рассматриваемом промежутке времени получаемые статистические характеристики сохраняли устойчивость.
Исследование корреляций для ряда параметров движения звезд в скоплениях и спектра колебаний фазовой плотности позволяет выявить и изучить коллективные движения звезд в РЗС, обусловленные действием различных механизмов. Эти коллективные движения и их неустойчивости определяют иррегулярность строения таких скоплений: иррегулярную форму ядер, не соответствующую равновесному состоянию, ступенчатые структуры на радиальных профилях плотности. Понимание природы неустойчивостей коллективных движений позволит объяснить причины формирования подобных структур в РЗС. Теоретическому изучению механизмов неустойчивости в РЗС и их моделях должно предшествовать изучение полного спектра устойчивых и неустойчивых колебаний таких систем.
Цели и задачи
-
Получение для простых моделей скоплений аналитических решений уравнений гросс-динамики и использование этих решений для оценок ряда величин, характеризующих степень нестационарности скопления (равновесного значения вириального коэффициента, абсолютной и относительной амплитуд колебаний вириального коэффициента скопления, абсолютной и относительной амплитуд колебаний радиусов ядра и гало скопления и других параметров) для 87 РЗС.
-
Вычисление двухвременных и двухчастичных корреляционных функций для ряда параметров движения звезд в РЗС: модулей радиус-векторов звезд относительно центра масс скопления, модулей скоростей звезд относительно центра масс скопления, плотностей распределения звезд, удельных энергий и фазовых плотностей звезд по численным данным о фазовых координатах звезд для моделей РЗС. Анализ результатов расчета двухвременных и двухчастичных корреляционных функций.
-
Вычисление взаимных корреляционных функций для флуктуаций фазовой плотности, Фурье-преобразование этих функций и получение спектров частот и дисперсионных кривых для колебаний фазовой плотности. Анализ спектров частот и дисперсионных кривых.
-
Исследование влияния сглаживания потенциала на спектры частот, дисперсионные кривые и характеристики РЗС, получаемые по численным данным о фазовых координатах звезд.
Научная новизна
Впервые определены параметры нестационарности для выборки из 87 РЗС: контраст плотностей n, амплитуда колебаний вириального коэффициента da, периоды колебаний ядра и гало Р1 и Р2 соответственно, относительная амплитуда колебаний радиуса ядра dR1R10, среднее по периоду колебаний значение вириального коэффициента a0, относительная амплитуда колебаний вириального коэффициента da a0, дисперсия скоростей звезд s2.
Точность численных данных, полученных с помощью разностных схем 10-го и 11-го порядков точности, позволила применить прямой метод вычисления корреляционных функций для динамических моделей РЗС. Впервые исследованы распределения корреляций между величинами модулей радиус-векторов г звезд, модулями скоростей v звезд, удельными энергиями e звезд, плотностями п распределения звезд и фазовыми плотностями / и динамика корреляций величин пи/.
Адаптирован метод спектрального анализа флуктуаций, разработанный в физике плазмы для исследования неустойчивых колебаний плазмы, для анализа флуктуаций фазовой плотности. С помощью этого метода удалось определить большое число частот устойчивых и неустойчивых колебаний фазовой плотности в моделях РЗС.
Получены параметры корреляций для величин r,v,e,n,f. Исследованы потоки корреляций указанных величин. Построены спектры частот и дисперсионные кривые для колебаний фазовой плотности и потенциала. Найдены большое число новых частот колебаний фазовой плотности (несколько десятков в каждой модели) и времена развития неустойчивости этих колебаний. В моделях РЗС обнаружены волны фазовой плотности и потенциала U, сложное поведение этих волн (отражение, распад на составляющие с соизмеримыми частотами в центральных областях или на границе ядра скопления). Обнаружены признаки слабой турбулентности в движениях звезд ядра в модели 1 с наибольшей степенью нестационарности.
Показано, что увеличение параметра сглаживания потенциала в численных моделях РЗС (приблизительно в два раза) уже может существенно влиять на спектры частот и дисперсионные кривые, а также на многие характеристики РЗС: плотность распределения звезд, среднеквадратичную скорость звезд, суммарную кинетическую энергию звезд, число звезд в ядре модели РЗС. При указанном увеличении параметра сглаживания перечисленные характеристики уменьшаются, при этом степень нестационарности почти не меняется.
Теоретическая и практическая значимость работы
Полученные значения динамических параметров РЗС можно использовать в теоретических и численных исследованиях динамики РЗС, построении моделей РЗС.
Информация о корреляциях для ряда параметров движения звезд в скоплениях и полном спектре устойчивых и неустойчивых колебаний фазовой плотности позволит выявить и изучить коллективные движения звезд в РЗС, обусловленные действием различных механизмов, и понять природу неустойчивостей коллективных движений. Эти коллективные движения и их неустойчивости определяют наблюдаемую иррегулярность строения таких скоплений: иррегулярную форму ядер, не соответствующую равновесному состоянию, ступенчатые структуры на радиальных профилях плотности.
Личный вклад автора
В совместных работах автор принимал участие в постановке задачи, выводе аналитических результатов, выполнении вычислений, обработке, анализе и обсуждении результатов.
Автором выполнены:
основная часть расчетов параметров нестационарности и их погрешностей для 87 РЗС и подготовлена публикация электронного каталога: "Dynamical parameters of open clusters" в Центре астрономических данных в Страсбурге (CDS), доступном на ;
основная часть расчетов двухвременных и двухчастичных корреляционных функций для величин v = |v|, r = \r\, энергии є движения
звезды, приходящейся на единицу массы звезды, фазовой плотности f = f(r,v,t) и плотности числа звезд n = n(r,t) для нескольких моделей РЗС, построены распределения этих функций;
основная часть расчетов взаимных корреляционных функций между радиальными колебаниями фазовой плотности в центре скопления и в точках на сферических поверхностях различного радиуса, спектров частот и дисперсионных кривых колебаний ФП в моделях РЗС;
расчеты и анализ взаимных корреляционных функций между радиальными колебаниями фазовой плотности в точках на оси скопления и в точках на цилиндрических поверхностях различного радиуса, спектров частот и дисперсионных кривых колебаний ФП в моделях РЗС;
результаты работы доложены на 7-ми научных конференциях.
Методология и методы исследования
Методологической и теоретической основой диссертационного исследования послужили труды отечественных и зарубежных ученых в области исследования динамики систем многих частиц методами гросс-динамики, применения кинетических уравнений, численных методов, а также корреляционных и спектральных методов, разработанных и применявшихся ранее для исследования неустойчивых колебаний плазмы.
Положения, выносимые на защиту
-
Аналитические выражения для периодов колебаний скоплений и ядер скоплений, равновесного значения вириального коэффициента, абсолютных и относительных амплитуд колебаний вириального коэффициента, амплитуд колебаний радиусов ядра и гало для гомологичных и негомологичных колебаний сферических моделей РЗС с радиально-симметричным распределением массы. Числовые оценки параметров нестационарности для 87 РЗС. Неточность (занижение) оценки числа звезд в гало РЗС при использовании распределения Кинга. Систематическое завышение вириальных масс РЗС при неучете неизолированности и нестационарности РЗС.
-
Корреляции между характеристиками движения звезд в моделях РЗС: модулями радиус-векторов звезд относительно центра масс, модулями скоростей звезд относительно центра масс, удельных энергий, пространственных плотностей и фазовых плотностей распределения звезд. Оценки параметров корреляций: времен корреляции и радиусов корреляции для динамических характеристик звезд, распределения корреляций, анализ потоков корреляций. Оценка темпа нагрева ядер моделей РЗС в результате разрушения корреляций между параметрами движения звезд. Слабая турбулентность в движениях звезд ядра модели скопления с наибольшей степенью нестационарности.
-
Взаимные корреляционные функции, спектры частот и дисперсионные кривые для колебаний фазовой плотности и потенциала. Большое число неизвестных ранее устойчивых и неустойчивых колебаний фазовой плотности и потенциала в моделях РЗС, времена развития неустойчивости колебаний. Независимость частот колебаний фазовой плотности от способа выбора точек для расчета взаимных корреляционных функций. Радиальные волны фазовой плотности и потенциала в моделях РЗС. Сложное поведение волн фазовой плотности (распад, отражение) внутри ядер и на границе ядер моделей РЗС.
-
Закономерности изменения спектров частот и дисперсионных кривых, характеристик РЗС при увеличении параметра сглаживания потенциала.
Согласованность спектров частот колебаний фазовой плотности и потенциала
при n <2.5tv . 1r.
Степень достоверности и апробация результатов
Результаты, полученные в работе, представлены в реферируемых статьях и выступлениях на международных и российских конференциях. Достоверность полученных физических результатов подтверждается их согласованностью с общепризнанными представлениями о возможности колебаний моделей РЗС, существующими оценками известных частот колебаний, возможности роста когерентности в движениях звезд в РЗС.
Основные результаты диссертации докладывались на следующих семинарах и конференциях:
40-я международная студенческая конференция: "Физика космоса" 31 янв
04 февр. Коуровская астрономическая обсерватория УрФУ, Екатеринбург,
2011 г.
Всероссийская конференция "Современная звездная астрономия" 15 16 июня 2011 г. Москва, ГАИШ МГУ;
41-я международная студенческая конференция: "Физика космоса" 30 янв 03 февр. Коуровская астрономическая обсерватория УрФУ, Екатеринбург,
2012 г.
Международная конференция: "Galaxies: origin, dynamics, structure and astrophysical disks", 14 18 мая 2012, Сочи.
Всероссийская конференция: "Физика космоса, структура и динамика планет и звездных систем" 14 16 ноября 2012 г. УдГУ, Ижевск.
42-я международная студенческая конференция: "Физика космоса" 28 янв 01 февр. Коуровская астрономическая обсерватория УрФУ, Екатеринбург, 2013.
43-я международная студенческая конференция: "Физика космоса" 03 07 февраля. Коуровская астрономическая обсерватория УрФУ, Екатеринбург, 2014.
Структура и объём диссертации
Диссертация содержит введение, основную часть из 5 разделов, заключение, список литературы, составленный в алфавитном порядке и приложение. Общий объем диссертации составляет 157 страниц (с приложениями), включая 25 рисунков и 10 таблиц.
Исследования экспоненциальной неустойчивости численных решений
При численном интегрировании уравнений N тел в моделях скоплений обнаружилась неустойчивость решений к малым возмущениям фазовых координат звезд. Эта проблема получила название экспоненциальной неустойчивости из-за экспоненциального расхождения фазовых траекторий систем с бесконечно малым различием начальных условий. Темп расходимости можно характеризовать временем, за которое расстояние между фазовыми траекториями увеличивается в е раз — te: где x — состояние системы, определяемое набором 6N фазовых координат.
Одной из первых работ, посвященных проблеме, была работа Миллера [101], в которой были рассмотрены малые системы с N 32 частиц. Для таких систем Миллер нашел, что te N atcr, где tcr — время пересечения звездой системы. Однако для более крупных систем эту эмпирическую зависимость применять нельзя.
Исследованию механизмов, приводящих к экспоненциальной неустойчивости, и ее зависимости от числа частиц в системе посвящен ряд работ. Согласно исследованиям Кандрупа [86, 87, 88], а также Бокалетти, Пукаччо и Руффини [37] экспоненциальная неустойчивость может быть обусловлена коллективными эффектами (флуктуации среднего гравитационного поля, стохастичность орбит), а время te имеет порядок времени пересечения системы. Для симметричных систем, близких к равновесию, основным механизмом экспоненциальной неустойчивости, согласно работе Гудмана, Хэгги и Гута [77], являются тесные сближения звезд. Согласно их результатам te f- для систем c32 iV 512. Зависимость te от числа частиц в этом диапазоне слабая: te (lnlniV)-1. Кандруп и Смит [91] для системы с iV=340 получили te f. При этом, как показал, Хэгги [80] главный вклад в рост возмущений при варьировании начальных условий для систем в вириальном равновесии вносят столкновения с прицельными параметрами р « RN , где R — радиус системы. Такие столкновения испытывает каждая звезда в среднем один раз за tcr. Кумулятивный эффект далеких сближений близок к нулю так как вносимые ими вклады в ошибку имеют разный знак и уничтожают друг друга, более тесные сближения с р RN z происходят слишком редко.
В работе Гудмана, Хэгги и Гута [77] рассматривается также зависимость темпа роста ошибок, если вводится сглаживание потенциала межчастичного взаимодействия с помощью параметра є, полагая фі = —Grrij/ (гг2- + б2)1/2. Сглаживание часто используется в моделировании iV-body, чтобы избежать вычислительных трудностей при близких сближениях, а кроме того варьирование параметра сглаживания позволяет понять относительную роль сближений с различными прицельными параметрами на рост ошибок. Подбирая є таким образом, чтобы устранить тесные сближения с прицельными параметрами порядка RN 1/2, Гудман с соавторами в [77] показали, что темп роста ошибок с увеличением N уменьшается, т. е. te растет: te N1 3. Это согласуется с тем, что основной вклад в экспоненциальную неустойчивость вносят тесные сближения ери RN 1/2. В работе Гурзадяна и Саввиди [79] приводится иная зависимость от N для темпа роста ошибок: te N1 3tcr.
В работах [91], [93], [94] Кандрупом и др. установлено, что темп развития неустойчивости по порядку величины te tcr и практически не зависит от начальных условий, начальных возмущений и числа частиц при N 200. В перечисленных работах численно исследуются и сравниваются эволюции невозмущенной и возмущенной системы — системы с малыми начальными отклонениями координат и скоростей частиц. Начальное состояние невозмущенной системы — однородная сферическая модель. Возмущением координат г-й частицы называется вектор 8ГІ = rf — rf. Полное возмущение в конфигурационном пространстве А г = In ( 2І=1 \5ГІ\2). Аналогично определяются возмущения в пространствах других координат. Для N от 100 до 4000 величина Аг почти линейно растет (значит 5г растет экспоненциально) приблизительно одинаковым образом вплоть до момента t = 2tcr. Затем кривые Дг() становятся практически горизонтальными (насыщение). Рост прекращается, поскольку возмущения в положениях частиц не могут превышать размеров системы. Возмущения в величинах энергии и углового момента растут примерно с той же скоростью, что и в величинах координат и скоростей вплоть до выхода на насыщение.
Обнаружено, что все временные шкалы, связанные с неустойчивостью (te,tr,tv,tE,tj), где помимо te перечислены соответствующие времена развития неустойчивости в конфигурационном пространстве, пространствах скоростей, энергий и угловых моментов, монотонно растут с увеличением начальной величины вириального коэффициента «о = 2Е/,у0/(—ЕРу0). Например, при изменении «о от 0.5 до 1.6 время te изменяется от 0.27tcr до 0.69tcr при iV=340. При этом не обнаружено значимой зависимости te от числа частиц в системе, если 200 N 4000, где te измеряется в единицах tcr. Величины вириальных коэффициентов моделей демонстрируют затухающие колебания со временем относительно значения а = 1 с амплитудой, пропорциональной модулю разности начального значения вириального коэффициента модели и 1.
В работе Кандрупа и др. [94] также рассматривались корреляции между координатами для невозмущенной и возмущенной моделей и аналогичные корреляции между скоростями, энергиями и угловыми моментами. В случае скопления, находящегося в вириальном равновесии, эти величины оказываются полностью скоррелированы до момента t 2tcr. Затем для всех величин корреляции начинают уменьшаться. К моменту t 8tcr корреляции координат друг с другом, а также скоростей практически исчезают, но корреляции энергий и корреляции угловых моментов еще сохраняются. Следовательно, частицы "забывают" о своих начальных значениях энергии и углового момента значительно медленнее, чем о начальных значениях координат и скоростей.
Быстрый рост начальных малых возмущений фазовых координат означает, что детальные результаты вычислений фазовых координат отдельных звезд на длительных интервалах времени сами по себе не имеют смысла. Тем не менее, при изучении динамики различных звездных систем активно используют численные расчеты при моделировании N тел, считая согласно Аарсету и Лекару [33], что статистические результаты таких численных экспериментов вполне надежны.
Влияние экспоненциальной неустойчивости орбит звезд на статистические свойства и устойчивость решений для функции фазовой плотности исследовано в работе Данилова [50]. Рассматривались модели скоплений, содержащие 500 звезд, движущиеся по круговой орбите на расстоянии 8200 пс от центра Галактики. В начальный момент времени модели имели структуру в виде двух однородных сферических подсистем с общим центром, имитирующих ядро и гало скопления. Начальные положения и скорости звезд задавались с помощью датчика случайных чисел, так чтобы в исходном состоянии скопление и его подсистемы находились в вириальном равновесии и скопление не вращалось по отношению к удаленным галактикам. В работе Данилова [50] выполнено статистическое сравнение с помощью критерия Колмогорова фазовых портретов описанных выше моделей РЗС с малыми начальными возмущениями фазовых координат звезд. Определялся момент to, такой что при t to распределения фазовых координат звезд статистически не различаются и вычисленная функция фазовой плотности может использоваться для выводов о физических свойствах моделей. Величина to увеличивается при увеличении порядка применяемого метода интегрирования, числа значащих цифр в представлении фазовых координат звезд, уменьшении до разумных пределов шага интегрирования. При интегрировании уравнений движения звезд в [62] для моделей РЗС с помощью метода Рунге-Кутта 10-го порядка точности и экстраполяции по Ричардсону, обеспечивающей 11-й порядок точности, изложенных в [28], удалось довести время to/rv.r., в течение которого выполняется статистический критерий точности вычисления фазовых координат звезд до 3.0-3.9 в центре и до 3.6-5.1 на периферии рассмотренных моделей скоплений. Таким образом, работа Данилова [50] дает важный статистический критерий (и метод реализации) контроля точности интегрирования, позволяющий определить временной интервал на котором численное интегрирование дает корректные результаты фазовых координат звезд для их использования в статистическом анализе динамики РЗС.
Гомологичные колебания моделей РЗС
Следуя [31], рассмотрим скопление, движущееся в плоскости Галактики по круговой орбите на расстоянии RQ ОТ галактического центра с угловой скоростью и = const. Уравнения движения звезды запишем во вращающейся системе координат (x,y,z), связанной с центром масс скопления, и используем разложение регулярного потенциала Галактики в ряд до квадратичных членов по координатам х, у, z. Оси х, у, z, используемые в данной работе, направлены соответственно к галактическому антицентру, вдоль скорости вращения скопления и перпендикулярно плоскости Галактики. Воспользуемся гросс-динамическим (ГсД) описанием эволюции РЗС для оценки величин 8а скоплений и изучения колебаний РЗС вблизи равновесного состояния. В рамках ГсД описания обычно рассматриваются интегральные характеристики скопления как целого. С учетом уравнений движения звезды в поле сил Галактики и скопления легко могут быть получены уравнения для момента инерции скопления I, кинетической энергии Т движения звезд скопления и углового момента Lz вращения скопления относительно оси z, перпендикулярной плоскости Галактики и проходящей через центр масс скопления (формулы (3)—(5) из [52]). Для скопления со сферически-симметричным распределением масс запишем: где I = Цт, величины Т, L2 определяются аналогично, І = Цт, q 2 = а\ + «з + 3(3, «і, «з —постоянные, характеризующие силовое поле Галактики в окрестности круговой орбиты скопления, [31] (их численные значения определены в данной работе с использованием модели потенциала Галактики [98]). Величина (3 характеризует силовое поле скопления, -рг- = —f3r, U(г) — гравитационный потенциал скопления, г—расстояние от центра масс скопления.
Рассмотрим модель РЗС в виде однородного гравитирующего шара массы Мс и радиуса і?2- В этом случае (3 = GMC/ R\. Третье уравнение в (2.2) легко интегрируется по времени t: Lz = — 2шІ/3 + Lz(0), Lz(0) = const. Пусть Lz(0) = 0 (в этом случае скопление не вращается по отношению к внешним галактикам). Подставим Lz в (2.2). Линеаризуем полученную систему, полагая: I = IQ -\- 61, Т = То + 6Т, \61\ 1о, \6Т\ То, где /о и То —равновесные значения / и Т. В результате указанных преобразований, находим: 61 = Ш - K6I, 6Т = - 61, (2.3) где К = 2 UUJ2 + q2- 9р2/(2/о3/2)) /3, ql -равновесное значение q2, р2 = GMC(0.6MC)3/2; в этом случае W = —гр2/у1 (близкий по смыслу подход к изучению колебаний моделей сфероидальных звездных систем использовался в работе [103], см. условия квази-гомологичности колебаний звездных систем, а также ссылки в работе [ЮЗ]).
Характеристическое уравнение системы (2.3) и его корни имеют вид: А3 + А Г?02 + И =0, А1 = 0, \2 3 = ±iuh, (2.4) где і = \f—\, uJh = y 2q /3 + К. Положительные значения UJ\ указывают на устойчивость рассмотренных колебаний, с -частота таких колебаний.
Интегрируя второе уравнение системы (2.3), находим: 6Т = -Ы1 + 6Т(0), где 6Т(0) = const — величина 6Т в момент времени t = 0. Рассмотрим случай Аг,з = ± /i- Согласно (2.3)—(2.4), величины 6Т , 61 могут быть представлены линейными комбинациями функций sm(uht), cos(uht). Пусть 6Т(0) = 0. Тогда 61(0) = 0 и 61 sin(uht). Варьируя величину а, учитывая 6Т = - -61 n6W = p26I/(2I3/2), находим: 6а = -[1 - q2I /2/(3p2) - Eo/Wo]6I/I0. Здесь индексами "0" помечены равновесные значения указанных величин. Для нахождения равновесных значений EQ, Wo проинтегрируем второе уравнение системы (2.2). Получим интеграл энергии скопления: Ес = Т + (аі + aa)I/6 — р2 j\fl = Е + (аі + aa)I/6 = const. Подставляя интегралы Ес и Lz (см. выше) в первое уравнение системы (2.2), получим уравнение Лагранжа-Якоби в следующем виде: I = АЕС + 2р2/л/1 — А(а\ + «з + 2OJ2)I/3. Полагая 1 = 0, находим из этого уравнения величину Ес. Используем эту величину для вычисления Е = EQ С ПОМОЩЬЮ интеграла энергии. Равновесное значение сзд = 2EQ/WQ = 1 — (а\ + аз + 4CJ2)/0 /(Зр2) 1. Неравенство «о 1 вполне согласуется с данными численных экспериментов [62]. Для моделей изолированных скоплений «о = 1, т.к. о \ = as = ш = 0. Оценим кинетическую энергию колебаний нашей модели скопления Tf. Согласно [10], решение уравнения неразрывности для нестационарных сферически-симметричных однородных скоплений звезд приводит к линейной зависимости радиальной скорости vr потока звезд на расстоянии г от центра скопления: vr = -р- Для однородного шара с плотно -П-2 стью массы р, находим: Т/ = 27гр/0 2 r2v2dr = 2n pR2R2 /5. Учитывая, что р = ЗМс/(47гі?2), находим: Т/ = 0.3Мсі?2
Пусть 8Тт , /т - амплитуды величин 8Т , / (максимальные модули величин 8Т , 81). Тогда 8Тт = Щг-81т. Для нашей модели скопления находим: / = 1.2MCR2R2. В случае малых амплитуд колебаний радиуса скопления максимальное по модулю значение / равно 8ImUh . 2
Следовательно, максимальное значение R2 = 81 о\1 {\.2МСЕІ2)2 Поэтому, максимальное значение Tf равно 8Тт = Ьш І , где Ъ = 0.3Mc/(l.2McR2)2. Учитывая, что 81т = 6—f1, см. % выше, находим: 8Тт = q$/(ЗбЬш ).
Пусть Мс = 500М, RQ = 8200 пс. При изменении величины R2 от 1 пс до 10 пс Rt 10.468 пс в модели РЗС в виде однородного шара величина 8а убывает от 1.994 до 0.973, величина «о убывает от 0.999 до -0.357, величина 81т/1о убывает от 3.986 до 1.375, величина 8Тт/То убывает от 3.984 до 1.101, период колебаний скопления Рд2 растет от 4.163 млн. лет до 56.338 млн. лет. Для оценки влияния распределения массы в скоплении на величины 8а, 8Im/Io, 8Tm/T0 и др. в данной работе были выполнены вычисления, аналогичные указанным выше, для модели скопления с плотностью p(r,t) = po(t)/r2. В этом случае уравнение неразрывности для модели скопления также приводит к решению vr = -р- , см. выше. При Мс = 500MQ, RQ = 8200 пс и при изменении величины R2 от 1 пс до 10 пс в модели с p(r,t) = p0(t)/r2 величина 8а убывает от 1.997 до 0.895, величина а0 убывает от 0.9995 до 0.548, величина 8Im/Io убывает от 3.995 до 2.077, величина 8Тт/Т0 убывает от 3.995 до 1.852, период колебаний скопления Рд2 растет от 2.407 млн. лет до 48.228 млн. лет. Таким образом, в рассмотренных нами ГсД- моделях РЗС степень нестационарности очень велика (в 10-20 раз превышает соответствующие оценки для численных динамических моделей РЗС [62]). Этот результат слабо зависит от принятого распределения плотности для модели скопления.
Распределения корреляций по их величинам
Пусть Nkijjn) — число корреляций уп в некотором интервале величин уп. Для обсуждения динамики корреляций в модели скопления 1 рассмотрим распределения чисел корреляций Nk(yn) и Nk{yf) по величинам уп и у/ для нескольких моментов времени. На Рисунках 3.5(а),(Ь) приведены гистограммы распределений Nk(yn) и Nkijjf) для моментов времени t/rv.r. = 1.06, 2.54 (на Рисунках 3.5(а),(Ь) соответствующие гистограммы помечены цифрами 1 и 2). Согласно Рисункам 3.5(а),(Ь), корреляции с малыми \уп\ и у/ значительно преобладают по их числу и плотности распределения над корреляциями с большими \уп\ и у/. С течением времени распределение Л (у/) более заметно расширяется вдоль оси абсцисс, чем распределение Nj,(yn). Согласно диаграммам (уп, rij), (yf, r ), см. Рисунок 3.4(c), малые значения величин \уп\ и у/ в основном достигаются в области больших г . На Рисунке 3.5(c) приведены зависимости от времени среднеквадратичных отклонений Ok величин у/ от среднего для данного t значения у/ в случаях r 0.5Rt, Rt, 2Rt (на Рисунке 3.5(c) соответствующие этим случаям кривые помечены цифрами 1,2,3, соответственно). На Рисунке 3.5(d) приведены зависимости от времени числа Пк пар звезд (i,j) для случаев r Q.bRt)Rt)2Rt (соответствующие этим случаям кривые помечены на Рисунке 3.5(d) цифрами 1,2,3, соответственно). Буквой t на Рисунках 3.5(c),(d) обозначена величина ( ) = + 0.5тс(г), равная среднему значению моментов времени , использованных для расчета корреляций у/, см. пояснения к формуле (3.2). Согласно Рисункам 3.5(c),(d), величины а к в основном растут, а величины Пк — в основном убывают с увеличением t, что указывает на возрастание со временем коррелированности флуктуации фазовой плотности в модели 1 скопления, особенно заметное в области малых г (т.е. в основном в ядре скопления), а также на систематическое уменьшение со временем числа звезд и числа корреляций в ядре скопления. Поскольку распределение величин / описывает строение скопления в фазовом пространстве, то в модели 1 имеет место и увеличение со временем общей когерентности движений звезд. Таким образом, подтверждается гипотеза [89] о нарастании корреляций в подобных системах. В работе [58] было показано, что энтропия системы звезд модели скопления 1 с расстояниями от его центра г Щ () в ходе эволюции убывает (Щ (ї) — приливный радиус скопления, полученный в [58] по данным о фазовых координатах звезд с обратными траекториями в скоплении). Согласно [58], уменьшение энтропии происходит вследствие уменьшения числа звезд с г Rt{t) в скоплении. Однако, второй причиной уменьшения энтропии может быть и рост корреляций в скоплении. В ходе эволюции модель 1 приближается к состоянию устойчивого равновесия и при t 2.7rv.r. уже достаточно близка к нему (Рисунок 2 из [56], где положение границы области неустойчивых колебаний для модели 1 определяется вспомогательной бесстолкновительной однородной эллипсоидальной моделью скопления [52]). Согласно Рисунку 3.5(c), в интервале значений t/rv.r. Є [2.85,3.55] рост корреляций в ядре модели 1 замедляется и величина а к даже начинает убывать. Если модель 1 скопления при t (3.1 - 3.2)7",,.,.. пересекает границу области неустойчивых колебаний фазовой плотности /, то колебания внутри области устойчивых колебаний перестают поддерживаться действием гравитационной неустойчивости и начинают затухать, что должно приводить модель 1 к устойчивому равновесию с последующим ростом энтропии и сжатием ядра за счет звездных сближений и диссипации высокоэнергичных звезд. В этом случае, согласно Рисунку 2 из [56], модель 1 снова возвращается в область неустойчивых колебаний и рост корреляций продолжается. Вероятно, в этом случае условие ( —тг ) 0 можно использовать в ка V at ) rij dc честве одного из эмпирических признаков самоорганизации таких систем (дополнительно к критериям самоорганизации, рассмотренным в [17], стр. 49, 487, связанным с миниму-мом производства энтропии в системе); здесь -Чт— производная вдоль фазовой траектории системы, dc — диаметр ядра модели скопления. К числу критериев самоорганизации РЗС и их моделей можно отнести также и наличие комплексно-сопряженных корней дисперсионного уравнения (31) из [52] в задаче о собственных частотах малых колебаний фазовой плотности в центре скопления. Таким образом, действие гравитационной неустойчивости в моделях РЗС заметно изменяет классический сценарий эволюции систем такого типа к состоянию устойчивого равновесия (с увеличением энтропии), описанный в [17].
Сравнение величин а к, полученных в рамках методов 10-го (ak,w) и 11-го (сгк,п) порядков точности, показало, что при t 2.2тг).т.. величины (Тк,іо и &k,n практически не различаются между собой (наибольшее различие ak,w и а к,и достигается при t = 2.2rv.r. и не превышает 0.4%). Затем различие ик,ю и (Тк,\\ постепенно возрастает до (17.0-17.6)% при t 3.0г .г., после чего убывает до (10.4 - 11.1)% при t 3.5г .г.. При дальнейшем увеличении различия между Uk,io и (Тк,п быстро возрастают, достигая (36.5 — 36.8)% при t 3.8г -г... В интервале t/rv.r. Є (2.2,4.0] величины (Tk,w и Cfc.n в основном возрастают с увеличением t и 7fc,io Cfc,n- По-видимому, результаты вычислений jfc для модели 1 скопления не следует использовать при t (3.6 — 3.7)rv.r.. Отметим, что при t 2.1rv.r. максимальные значения , используемые для вычисления у/, начинают удовлетворять условию 0 — 3.1г .,.. вблизи центра модели 1 скопления, что приводит к появлению заметных различий в оценках ВеЛИЧИН 7fc;io И 7fc;ii.
Сравнение спектров частот, полученных при разных способах выбора точек для расчета взаимных корреляционных функций
Представляет интерес изучение влияния различного выбора точек (зондов) для расчета взаимных корреляционных функций на вид спектров частот и спектральный состав колебаний фазовой плотности в моделях РЗС. С этой целью автором в работе [23] рассчитаны спектры частот в моделях 5 и 6 при расположении зондов внутри модели скопления на поверхностях соосных цилиндров разных радиусов и размеров по вертикали (перпендикулярно плоскости Галактики) и произведено сравнение с прежними результатами расчетов спектров частот для сферического расположения зондов на промежутке времени t от 0 до Зт .. Взаимные корреляционные функции между колебаниями фазовой плотности вычислялись в [23] для 692 пар точек с одинаковыми z-координатами парных точек. Одна из точек пары всегда находится на оси скопления (г = 0), а другая — на цилиндрической поверхности (С-поверхности) радиуса г,- = j пк, ограниченной плоскостями z = ±zmax, {zmax = 1, 2, 3, 4, 5 пк). Точки на С-поверхностях имеют координаты (р,ф,г) = (r,-, J, ±mzma;c/10), где n = 0,l,..,31;m = 0,l,..,10 (точки на оси определяются координатами р = 0, z = ±mAz). Расчеты взаимных корреляционных функций и их усреднение по узлам проводятся для каждой из 10 С-поверхностей радиусами г,- = j пк, j = 1, 2,.., 10. Алгоритм вычисления взаимных корреляционных функций и получения спектров частот такой же как в работе [66]. Результаты расчетов представленны на Рисунке 4.6.
Частоты колебаний ФП, соответствующие частотам максимумов на спектре мощности, вычисленные при использовании С-поверхностей с разными zmax и -поверхностей, практически одинаковы, хотя сами амплитуды могут различаться (Рисунок 4.6а). Следовательно, для установления спектрального состава колебаний ФП способ выбора точек для вычисления ВКФ между колебаниями ФП не имеет существенного значения. Дисперсионные кривые при использовании различных поверхностей меняются больше, чем спектры частот, из-за наличия фазового сдвига Аф = kvr между колебаниями ФП в двух точках при использовании С- и S- поверхностей.
Для ряда моментов времени в модели 5 (t/rv.r. = 0.28; 0.64; 2.10) и в модели 6 (t/rv.r. = 0.35; 0.66; 1.24) профили плотности п{г) и ФП /(г) имеют локальный минимум при г = 0 (Рисунок 4.6с). Таким образом, модели скоплений с протяженными и массивными ядрами ( 0.45;/х 1.50) могут проходить через кратковременные стадии (At 0.2rv.r.) с торообразной структурой, которая не образуется в моделях с более компактными ядрами. Возникновение тороидальной структуры плотности в 6-й модели впервые было отмечено в работе [63].
Амплитуды колебаний ФП в моделях РЗС уменьшаются с увеличением расстояния от оси г = 0 скоплений. В 5-й (6-й) модели при г Є [4, 7] пк (г Є [6, 7] пк) колебания ФП близки к периодическим с частотой v « 1.5(і/ 1.7). Здесь, как и ранее, величины v равны числу колебаний ФП за время бурной релаксации rv.r. (Рисунок 4.6с1). Спектры частот для указанных диапазонов расстояний содержат мощный пик на частоте v 1.51(1.77). В центральных областях и на периферии скопления колебания ФП становятся менее регулярными. Обнаруженным колебаниям ФП соответствуют комплексно-сопряженные корни дисперсионного уравнения, что указывает на неустойчивость этих колебаний.
В моделях 5, 6 при г = 5 пк средние разности частот v между соседними локальными максимумами спектра мощности равны соответственно 0.28 ± 0.01 и 0.29 ± 0.02 (что составляет 1.5Z/G, где VQ 0.19 — частота орбитального обращения) или кратны им, что видно из почти линейной зависимости частоты v от номера N максимума (рис 4.6Ь). На этом графике бары погрешностей не превышают размеров значков. Наименьшие частоты колебаний ФП в гало для 5-й и 6-й моделей приблизительно равны 2VQ И l.bvc- Поэтому, орбитальное обращение моделей скоплений оказывает большое влияние на формирование спектра частот. Спектры колебаний ФП в центральных областях моделей содержат большее количество частот, которые также находятся друг с другом в рациональных отношениях.
Частоты колебаний ФП в интервале расстояний г Є [2,7] пк от оси г = 0 очень слабо зависят от г. При г 2 пк и при г 2 пк низкочастотные (у 1) колебания ФП в моделях существенно отличаются по частоте (например, и 0.25 против и 0.36 в 5-й модели; v 0.46 против v 0.30 в 6-й модели соответственно). Отмеченным здесь колебаниям в моделях соответствуют бегущие от оси г = 0 волны. Частоты волн с v 1 на всех г 7 пк мало меняются с г.
1. В работе выполнены оценки времени корреляции Тс в пространстве величин / в моделях 1-6 РЗС. Корреляции в пространстве величин / наиболее быстро разрушаются в процессе эволюции модели 6. Сравнение с результатами [64] о величинах тс (время корреляции в пространстве г) показало, что тс тс моделях 1-6 РЗС. Отношение Тс /тс = q возрастает от q 2.1 в модели 1 до q 17.0 в модели 6.
2. Выполнены оценки средних фазовых скоростей Vf, vr, vv колебаний величин /, г, v в моделях 1-6 РЗС. Величины Vf и vv в моделях 1-4 в 5-20 раз меньше величин Vf и vv в моделях 5,6, что возможно обусловлено большими длинами волн колебаний величин / и v в моделях 5,6. Малые значения Vf и vv в моделях 1-4 могут быть результатом формирования и наложения нескольких встречных бегущих радиальных волн в этих моделях. Величины Vf в 10-20 раз меньше среднеквадратических скоростей vc движения звезд ядра в моделях 1-4 и приблизительно в 2 раза меньше величин vc в моделях 5,6.
3. Впервые вычислены взаимные корреляционные функции колебаний фазовой плотности / моделей РЗС. Обнаружен ряд локальных экстремумов функции Си(т, г), выходящих за пределы погрешностей величин Сі2(т, г) в точках TJ = Pj, что указывает на существование повышенных взаимных корреляций (разного знака) между колебаниями / с периодами Pj в центре скопления и на расстоянии г от его центра. Вычислен соответствующий функции Сі2(т, г) спектр частот колебаний /. Наибольший вклад в среднюю мощность колебаний / вносят низкие частоты v Є [0.5,2.4], соответствующие колебаниям ядра и всего скопления в целом. Обнаружен ряд локальных максимумов частотного спектра, выходящих за пределы погрешностей вычисления спектра, что указывает на повышенные мощность и интенсивность возбуждения колебаний / с частотами v из окрестностей точек локальных максимумов Sv. Отмечена возможная роль резонансов в формировании разных участков спектра частот. Сравнительный анализ спектров моделей 1-6 позволяет предположить, что большая степень нестационарности модели 1 по сравнению с другими моделями обеспечивается большими значениями Sv, большим числом локальных максимумов функции Sv и большей плотностью их расположения в низкочастотной области спектра.
