Введение к работе
Актуальность темы. Последние достижения наблюдательной астрономии наравне с интереснейшей информацией, добываемой космическими экспедициями, требуют создания адекватных теоретических построений. Это тем более справедливо для задач определения фигуры, гравитационного потенциала и внутреннего строения небесных тел.
В недавних работах [1, 2] с участием автора были поставлены и решены задачи построения частных решений в классической теории фигуры медленно-вращающихся небесных тел К леро Ляпунова [4], проведены необходимые обоснования.
Для нужд практики необходима как полная алгоритмизация^вывода соответствующих уравнений теории фигуры для любого приближения, так и дальнейшие обобщения, расширяющие область применимости теории к реальным объектам.
Выбор метода Ляпунова за основу обусловлен его полной надежностью в связи с существованием предела Ляпунова, гарантирующего сходимость в общем случае, в отличие, скажем, от метода Лапласа, использование которого может привести к расходимости. Такие допущения теории, как монотонное убывание плотности и баротропность жидкой массы приемлемы для практики. В то же время классическая теория ограничена условием твердотелыюсти вращения и требует обобщения. Оценки соответствующих поправок от дифференци-альности вращения показали их превалирование над точностью экспериментальных определений характеристик фигур и гравитационных полей.
Естественно напрашивается вслед за "внутренней" задачей Клеро-Ллпунова рассмотреть задачу Стокса определения внешнего гравитационного потенциала. Обязательны при этом доказательство сходимости используемых рядов, в частности, ряда Лапласа, и конечно, применение построенных алгоритмов к реальным небесным телам.
Цель работы. Настоящая работа представляет собой дальнейшее развитие, полную алгоритмизадию теории Ляпунова и ее применение к определению фигур и гравитационного потенциала небесных тел в предположении гидростатического равновесия их недр. Решаются следующие задачи:
полная алгоритмизация вывода уравнений теории фигуры (интегро-дифференциальных уравнений Клеро) как в классическом твердотельном случае, так и в случае дифференциального вращения;
Обращение оператора Клеро аналитически в случаях: ньютоновской модели постоянной плотности, модели Гюгейнса-Роша сосредоточенной в цепгпре массы, плотности, изменяющейся по степенному закону, аналитической плотности, ступенчатой плотности, а также методом последовательных приближений при произвольной плотности.
Определение радиуса сходимости решений для однородных фигур равновесия.
Решение задачу. Стокса определения внешнего гравитационного потенциала, вычисление постоянных Стокса при известном распределении эквиденсит и/или при известной поверхности тела. Оценки сходимости ряда Лапласа и разложений гармонических коэффициентов. Обобщение метода па тела с дифференциальным вращением.
Моделирование фигур и гравитационных потенциалов тел Солнечной системы с использованием разработанных методов.
Научная новизна. В развитии теории фигур небесных тел можно выделить следующие ключевые направления. Однородные фигуры равновесия. Предположение однородности имеет мало общего с
действительностью, однако позволяет теории продвинуться наиболее далеко, не ограничиваясь, в частности, условием медленного вращения. Фигуры равновесия с внутренними течениями — направление, начатое трудами Р.Дедекипда и Б.Римана. Начиная с работ С.Чандрасекара получила развитие теория фигур равновесия с внутренними источниками энергии. Фигура равновесия медленно врашаюшейся жидкости по данным о невозмущенном распределении масс. Классиками этого направления являются А.Клеро, решивший задачу в первом приближении, П.Лаплас, применивший разложения по сферическим функциям, и А.М.Ляпунов, построивший строгую теорию [4]. Последняя является теоретическим фундаментом проводимых автором исследований.
Научная новизна работы заключается в следующем:
-
полная алгоритмизация теории Ляпунова средствами компьютерной алгебры;
-
обобщение теории в случае слабодифференцпального вращения;
-
обращение оператора Клеро аналитически в произвольном приближении в случаях постоянной плотности, плотности, изменяющейся по степенному закону, ступенчатой плотности;
-
определение радиуса сходимости ляпуповских разложений в случае однородных фигур; обоснование сходимости решений для аналитической плотности в первом и втором приближении;
-
построение алгоритма решений уравнений Клеро методом последовательных приближений с применением сплайн-интерполяции для дискретно-заданной плотности;
-
построение разложений зональных гармоник гравитациоппого потенциала и оценка сходимости этих рядов и ряда Лапласа;
обобщение алгоритма в случае слабодифференциального враще-
ния;
7. применение построенных алгоритмов и программ к моделированию гравитационного поля и внутреннего строения тел Солнечной системы.
Научная и практическая ценность. Построен и запрограммирован алгоритм решения уравнений теории фигуры методом Ляпунова в произвольном приближении для ряда важных случаев невозмущенного распределения масс. Метод Ляпунова обобщен на тела с дифференциальным вращением, что расширяет класс объектов применимости. Получены алгоритмы вычисления постоянных Стокса внешнего гравитационного потенциала как при твердотельном, так и в случае дифференциального вращения.
Сконструированный комплекс программ позволяет выводить уравнения Клеро и уравнения для определения зональных коэффициентов внешнего гравитационного потенциала в произвольном приближении по малому параметру теории фигуры и параметрам дифференциальности; получать аналитические и численные решения этих уравнений для вышеуказанных моделей невозмущенного распределения масс. Особенностью программы, строящей численные решения, является возможность представления результатов с предписанной точностью, в частности, без ошибок округления при использовании рациональной арифметики.
Автор выносит на защиту:
1. Построение алгоритмов и программ, позволяющих определять фигуру и гравитационный потенциал в произвольном приближении относительно малого параметра теории фигуры при твер-
дотелыюм вращении; обобщение на случай дифференциального вращения.
2. Обращение оператора Клеро методом последовательных при
ближений при произвольной плотности, а также аналитически
в случаях:
ньютоновской модели постоянной плотности,
модели Гюгейнса-Роша сосредоточенной в центре массы,
плотности, изменяющейся но степенному закону,
аналитической плотности,
ступенчатой плотности;
Определение предела Ляпунова для однородных фигур равновесия.
-
решение задачи Стокса определения внешнего гравитационного потенциала и построение алгоритмов вычисления постоянных Стокса при известном распределении эхвидепсит и при известной поверхности тела; оценки сходимости ряда Лапласа и разложений гармонических коэффициентов; обобщение метода на тела с дифференциальным вращением.
-
Моделирование фигур и гравитационных потенциалов тел Солнечной системы с использованием разработанных методов.
Апробация работы. Основные результаты выполненных исследований докладывались на:
-
семинарах кафедры пебесной механики и астрофизики СПбГУ;
-
Зимних Астрономических Конференциях, Екатеринбург, 1993, 1994, 1997 г.;
3. международных конференциях — " Математические методы изу-
чения структуры и динамики гравитирующих систем", Петро-
заводск, 1993, 1995 г.; "Теоретическая, прикладная и вычислительная небесная механика", "Современные проблемы теоретической астрономии", ИТА РАН, СПб, 1993, 1994,1995; III Inter. Workshop on Astrometry and Celestial Mechanics, Cuenca, Spain, 1994.;
4. конференциях "Глобальные проблемы геодинамики", Казань,
1994, "Стохастические методы и эксперименты в небесной ме
ханике", Архангельск, 1995.
Объем и структура диссертации. Диссертация изложена на 155 страницах, включая 38 страниц приложений, содержит 47 рисунков и 12 таблиц. Состоит из введения, трех глав, заключения и трех приложений. Список использованных литературных источников включает 112 наименований.
