Содержание к диссертации
Введение
1 Численная модель движения спутников юпитера 9
1.1 Структура спутниковой системы Юпитера 9
1.2 Орбитальные модели спутников Юпитера 9
1.2.1 Орбитальные модели внутренних спутников 9
1.2.2 Орбитальные модели галилеевых спутников 10
1.2.3 Орбитальные модели внешних спутников 10
1.3 Формальное представление модели 11
1.4 Дифференциальные уравнения спутникового движения 12
1.4.1 Притяжение Юпитера 12
1.4.2 Притяжение Солнца и планет 12
1.4.3 Релятивистские эффекты 13
1.5 Притяжение галилеевых спутников 13
1.5.1 Проблема моделирования возмущений от галилеевых спутников . 13
1.5.2 Упрощенная теория движения галилеевых спутников 14
1.5.3 Использование гауссовых колец 14
1.5.4 Способы вычисления эллиптических интегралов 16
1.5.5 Многоточечная модель 17
1.5.6 Использование модифицированного гравитационного параметра . 18
1.5.7 Эффективность использования упрощенных моделей влияния галилеевых спутников 18
1.6 Интегратор Гаусса-Эверхарта для численного решения дифференциальных уравнений первого порядка 20
1.7 Координатные и временные преобразования 27
2 Методика оценивания орбитальных параметров спутников юпитера из наблюдений 30
2.1 Определение орбитальных параметров 31
2.2 Проблема неоднозначного определения орбит близких спутников 33
2.2.1 Исследование свойств метода Гаусса-Ньютона на примере задачи двух тел 36
2.2.2 Метод градиентного спуска и проекционный метод 41
2.3 Моделирование областей возможных движений в рамках линейной задачи 42
2.3.1 Доверительная область 42
2.3.2 Построение начальных областей возможных движений 43
2.4 Моделирование областей возможных движений в рамках нелинейной задачи 44
2.4.1 Оценка нелинейности обратной задачи 44
2.4.2 Нелинейное оценивание параметрической точности 45
2.5 Прогнозирование эволюции области возможных движений 47
3 Моделирование движения внутренних спутников юпитера по наблюдениям 49
3.1 Описание орбит внутренних спутников Юпитера 49
3.2 Описание наблюдений внутренних спутников Юпитера 49
3.3 Проблема неоднозначного определения орбит внутренних спутников Юпитера 52
3.4 Численные результаты 52
3.4.1 Определение орбитальных параметров 52
3.4.2 Другие оценки 57
3.4.3 Сравнение с эфемеридами JUP230 61
3.5 Оценка точности орбитальных параметров внутренних спутников Юпитера 64
4 Моделирование движения внешних спутников юпитера по наблюдениям 69
4.1 Описание орбит внешних спутников Юпитера 69
4.2 Описание наблюдений внешних спутников Юпитера 70
4.3 Определение орбитальных параметров и оценка их точности 73
4.4 Нелинейное моделирование начальных областей возможных движений внешних спутников 80
4.5 S/2003 J02: спутник или астероид? 85
4.6 Оценки интервалов достоверности численной модели 85
Заключение 88
Литература 90
Приложение 96
- Орбитальные модели спутников Юпитера
- Интегратор Гаусса-Эверхарта для численного решения дифференциальных уравнений первого порядка
- Моделирование областей возможных движений в рамках линейной задачи
- Проблема неоднозначного определения орбит внутренних спутников Юпитера
Введение к работе
Актуальность проблемы
Интенсивное и широкое использование новых астрометричсских средств наблюдения за последние десятилетия вызвало небывалое повышение точности и стремительное увеличение количества наблюдательной информации о движении как уже известных, так и постоянно открываемых спутников планет. Это обстоятельство к настоящему моменту естественным образом ставит перед специалистами в области теоретической астрономии актуальную проблему о пересмотре существующих и разработке новых математических моделей, интерпретирующих наблюдательный материал.
Цели работы
Целью настоящей работы является построение высокоточных численных моделей движения внутренних (близких) и внешних (далеких) спутников Юпитера, в том числе и новых, на основе всех имеющихся астрометричсских наблюдений.
Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи.
Построена высокоточная численная модель движения спутников Юпитера.
Разработан и исследован способ для повышения быстродействия численного интегрирования уравнений движения за счет использования упрощенной модели влияния галилеевых спутников.
Исследована проблема множества решений в обратных задачах орбитальной динамики близких спутников.
Получены оценки орбитальных параметров близких и далеких спутников Юпитера по всем имеющимся астрометрическим наблюдениям.
При использовании линейных и нелинейных методов типа Монте-Карло построены начальные области возможных движений для всех далеких спутников Юпитера, а также численно исследована временная эволюция вероятностных областей.
Научная новизна работы
Научная новизна работы состоит в следующем.
1. Построена новая высокоточная численная модель движения внутренних и внешних спутников Юпитера, причем численное моделирование орбит внутренних спутников выполнено впервые.
Исследованы и решены проблемы численного моделирования возмущений от гали-леевых спутников, связанные с чрезвычайной сложностью формального представления их движения и вызываемыми ими короткопериодическими возмущениями в орбитах далеких спутников.
Сформулирована и исследована проблема множества решений в обратных задачах орбитальной динамики близких спутников.
Впервые построены области возможных движений для всех далеких спутников Юпитера с использованием линейных и нелинейных методов типа Монте-Карло, а также численно исследована эволюция этих областей.
Предложен быстрый приближенный способ оценивания размера области возможных движений на любой момент времени на основе формул задачи двух тел, а также получены оценки времени достоверности построенных моделей для планирования наблюдений спутников на основе начальных вероятностных областей.
Совместно с В.А. Авдюшевым (научным руководителем) были получены следующие результаты: построены численные орбитальные модели внутренних и внешних спутников Юпитера (Авдюшев, Баныцпкова, 2007а; Авдюшев, Баныцнкова, 2008); изучена проблема неоднозначного определения орбит близких спутников (Авдюшев, Баныцпкова, 2007b; Баныцнкова, Авдюшев, 2008), причем эта особенность в обратных задачах первоначально была обнаружена экспериментально автором данной работы, а затем объяснена Авдюшевым; применен и исследован составной подход, предложенный Авдюшевым, для уточнения орбитальных параметров близких спутников Юпитера (Авдюшев, Баныцнкова, 2008).
Самостоятельно автором работы была исследована проблема численного моделирования возмущений от галилсевых спутников (Баныцнкова, 2008а), в результате чего в задачах динамики далеких спутников для разрешения этой проблемы была использована формализация гауссовых колец, как упрощенное представление гравитационного влияния массивных спутников; из имеющихся спутниковых наблюдений получены новые оценки орбитальных параметров далеких спутников Юпитера; предложен быстрый приближенный способ оценивания размера области возможных движений на любой момент времени, а также вычислены оценки времени достоверности построенных моделей, полезные для планирования наблюдений спутников (Баныцпкова, Авдюшев, 2006а); на основе моделирования областей возможных движений получены оценки неопределенностей в орбитальных параметрах для всех внешних спутников Юпитера (Авдюшев, Баныцнкова, 2007а; Ban'shchikova, 2008).
Практическая значимость работы
Представленные в работе методы, а также разработанное на их основе программно-математическое обеспечение может быть использовано для высокоэффективного чис-
ленного моделирования спутниковых орбит, например, с целью идентификации и планирования наблюдений небесных тел. Кроме того, применяемые здесь методики вполне приемлемы и для численного исследования иных задач, не рассматриваемых в работе, которые в плане моделирования имеют тесное родство с задачами околопланетной динамики. В частности, методы нелинейного оценивания параметрической точности могут быть весьма полезными в задачах астероидной опасности для оценки вероятности столкновения объектов с Землей, особенно в тех случаях, когда астероидная орбита определяется по немногочисленным наблюдениям на очень короткой дуге и потому имеет большие параметрические ошибки.
Апробация работы
По результатам исследования опубликовано 16 работ (Баныцикова, Авдюшев, 2004а; Баныцикова, 2004; Баныцикова, Авдюшев, 2004b; Баныцикова, 2005; Баныцикова, Авдюшев, 2006а; Баныцикова, Авдюшев, 2006b; Баныцикова, 2006; Авдюшев, Баныцикова, 2007а; Баныцикова, Авдюшев, 2007; Авдюшев, Баныцикова, 2007b; Черницов и др., 2007; Авдюшев, Баныцикова, 2008; Баныцикова, 2008а; Баныцикова, 2008b; Ban'shchikova, 2008; Баныцикова, Авдюшев, 2008): 6 тезисов и 10 статей, причем 5 из них в изданиях, рекомендуемых ВАК для публикации научных работ. Результаты исследований докладывались и обсуждались на 10 конференциях:
XXXIII Международная студенческая научная конференция, г. Екатеринбург, 2-6 февраля 2004 г.;
Всероссийская астрономическая конференция ВАК-2004, г. Москва, 3-10 июня 2004 г.;
Всероссийская конференция «Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики», г. Томск, 5-7 октября 2004 г.;
VIII съезд Астрономического общества, «Астрономия-2005» Состояние и перспективы развития, г. Москва, май 2005 г.
XXXV Международная студенческая научная конференция, г. Екатеринбург, 30 января - 3 февраля 2006 г.;
Всероссийская конференция «Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики», г. Томск, 3-5 октября 2006 г.;
Всероссийская астрономическая конференция ВАК-2007, г. Казань, 18-21 сентября, 2007 г.;
XXXVII Международная студенческая научная конференция, г. Екатеринбург, 28 января - 1 февраля, 2008 г.;
9. Международная астрономическая конференция «Динамика тел Солнечной системы», г. Томск, 27 июля - 1 августа 2008 г.
10. VI Всероссийская конференция «Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики», г. Томск, 25 сентября - 2 октября 2008 г.
Все результаты, представленные в диссертации, включены в отчет по госбюджетной теме «Математическое моделирование движения, распределения и орбитальной эволюции малых тел солнечной системы по результатам измерений» N госрегистрации 01.200.1 12390. Кроме того, отдельные результаты включены в отчеты по грантам, поддержанным РФФИ (05-02-17043-а, 08-02-00359-а).
Результаты, выносимые на защиту.
Высокоточная численная модель орбитального движения близких и далеких спутников Юпитера.
Результаты анализа эффективности различных способов для разрешения проблемы, возникающей при учете короткопериодических возмущений в численном интегрировании уравнений движения далеких спутников Юпитера под действием влияния от галилеевых спутников.
Результаты исследования проблемы неоднозначного определения орбит близких спутников.
Новые оценки орбитальных параметров далеких и внутренних спутников Юпитера по всем имеющимся наблюдательным данным до 2008 г.
Результаты исследования областей возможных движений внутренних и внешних спутников Юпитера.
Краткое содержание диссертационной работы
Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованных источников (98 наименований) и шести приложений, содержит 48 рисунков и 27 таблиц. Общий объем работы составляет 125 страниц.
В первой главе работы описана структура спутниковой системы Юпитера. Дается обзор разработанных ранее другими авторами орбитальных моделей спутников Юпитера. Детально описывается орбитальная модель для внутренних и внешних спутников Юпитера, разработанная соискателем. Формулируются проблемы учета влияния галилеевых спутников при численном моделировании орбит внутренних и внешних спутников. С целью разрешения этих проблем рассмотрены и исследованы шесть упрощенных моделей влияния галилеевых спутников.
Во второй главе излагается методика оценивания орбитальных параметров спутников Юпитера нз наблюдений. Формулируется и исследуется проблема неоднозначного определения орбит внутренних спутников. Для эффективного решения обратной задачи предлагается составной подход, включающий в себя известные методы Гаусса-Ньютона и градиентного спуска совместно с так называемым проекционным методом. Рассматриваются и исследуются способы моделирования областей возможных движений для оценки параметрической точности в линейном и нелинейном случаях. Предлагается способ приближенного прогнозирования эволюции областей возможных движений.
В третьей главе представлены численные результаты моделирования движения внутренних спутников Юпитера по имеющимся наблюдениям. Описывается динамика и используемые наблюдения близких спутников. Исследуется проблема неоднозначного определения орбит внутренних спутников, связанная с множеством минимумов целевой функции обратной задачи. В процессе определения орбитальных параметров получены невязки модели и соответствующие ковариационные матрицы. Представлены результаты сравнения эфемерид, рассчитанных по оценкам орбитальных параметров, с эфемеридами JUP230 (JPL NASA). Оценена точность полученных орбитальных параметров внутренних спутников Юпитера на основе моделирования их вероятностных областей.
Четвертая глава посвящена моделированию движения внешних спутников Юпитера. Описывается динамика и используемые наблюдения далеких спутников. Представлены оценки орбитальных параметров, а также оценки параметрической неопределенности па основе моделирования областей возможных движений для 54 внешних спутников Юпитера, в том числе 46 новых. Даются так называемые временные интервалы достоверности, на которых построенные орбитальные модели могут быть пригодны для численного представления спутникового движения в угловых геоцентрических координатах с заданной точностью.
Благодарности
Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю, кандидату физико-математических наук, доценту Авдюшеву В.А. за помощь в выборе темы исследования и консультации, а также докторам физико-математических наук, профессору Бордовицыной Т.В. и профессору Чершщову A.M. за обсуждение результатов и ценные замечания.
Орбитальные модели спутников Юпитера
Первые модели движения Амальтеи были весьма просты и учитывали лишь возмущения первого порядка от сжатия Юпитера (Tisserand, 1893; Colin, 1897). В дальнейшем для описания орбиты спутника все чаще стали прибегать к кинематическим моделям, в которых используются формулы прецессирующих кеплеровских эллипсов (Van Woerkom, 1950; Sudbury, 1969; Jacobson, 1994). Несмотря на примитивность этих моделей, они довольно хорошо (даже в соответствии с точностью современных наблюдений) представляют движение Амальтеи и поэтому до сих пор применяются для обработки наблюдений спутника (Jacobson, 1994). Впрочем, следует заметить, что П.В. Садбери (Sudbury, 1969), используя модель прецессирующих эллипсов, потерпел неудачу в попытке объединить в рамках одной системы орбитальных параметров ранние наблюдения с временным пробелом около 30 лет. Выдвигались гипотезы (Sudbury, 1969; Pascu, 1977), объясняющие причину этой неудачи, которые по сути сводились к несовершенству используемой модели. Как нам представляется, наиболее вероятная причина неуда чи кроется в характерной особенности обработки спутниковых наблюдений, о чем будет сказано в третьей главе. Кроме того, следует заметить, что Р.А. Якобсону вес же удалось преодолеть эту трудность (Jacobson, 1994), не прибегая при этом к более сложным моделям. Предпринимались также попытки создания динамических моделей на основе высокоточных аналитических теорий движения Амальтеи (Кирюшенков, 1969; Аразов, 1972; Breiter, 1996), которые, насколько нам известно, не получили широкого распространения в астрономической практике. По-видимому, аналитические теории на данный момент еще дают настолько избыточно высокую точность (в сопоставлении с точностью наблюдений), что модели, построенные на их основе, пока остаются не востребованными. Что касается спутников Тебы, Адрастеи и Метиды, то для интерпретации их движения, как правило, используют прецессирующие эллипсы (Jacobson, 1994). Для галилеевых спутников в основном разрабатывались аналитические теории движения. Несмотря на то, что моделирование движения спутников-гигантов является одной из наиболее сложных проблем динамики тел
Солнечной системы, еще в восемнадцатом веке Л. Эйлер открыл у Ио (Л) вековое движение линии апсид и узлов орбиты. Это по существу был первый опыт создания теории движения близкого спутника около сильно сжатой планеты. В 1921 г. Р.А. Сэмпсон (Sampson, 1921) опубликовал полуаналитическую теорию движения галилеевых спутников Юпитера. Позже эта теория была уточнена и запрограммирована By и Сагниером (Vu, Sagnier, 1974) и обновлена Дж. Лиске (Lieske, 1998) добавлением новых членов в формулах теории. Независимо разработана новая теория В. Леней (Lainey et al., 2004b), основанная на частотном анализе результатов численного интегрирования («синтетическая» теория). Перечисленные теории построены разными методами в разное время разными авторами, но имеют примерно одинаковые точности. Можно предположить, что на интервале времени 1800-2000 гг. теория Леней немного более точная, чем другие, так как использует более полную базу данных наблюдений. Построение аналитических теорий движения внешних спутников в принципе возможно, и такие попытки делались разными авторами. Однако большая величина возмущений от притяжения Солнца очень затрудняет разработку аналитической теории движения внешних спутников планет. Первое предварительное исследования движения внешних спутников Юпитера Ги-малии и Элары было выполнено А.Ж.Д. Кроммелином и С.Д. Паррайном (Crommelin., 1905а; Crommelin, 1905b; Crommelin, 1905с; Perrine, 1905). Более полная обработка наблюдений была произведена Ф.Е. Россом (Ross, 1905; Ross, 1906; Ross, 1907), который нашел первые удовлетворительные системы элементов орбит спутников. Ф.Е. Росс учитывал основные возмущения в движении спутников, вызываемые Солнцем. Для этого он воспользовался общими разложениями, полученными С. Делоне (Delaunay, 1860-18667; Delaunay, 1872). В 1935-1937 гг. Дж. Бобоне (Bobone, 1935; Bobone, 1936; Bobone, 1937а; Bobone, 1937b) используя наблюдения, охватывающих тридцатилетний период времени, получил новую аналитическую теорию движения Гималии и Элары. В 1955 г. В.Ф. Проскурин построил аналитическую теорию движения Гималии (Проскурин, Исакович, 1962), а в 1956 г. С.С.
Токмалаева разработала теорию движения Элары (Токма-лаева, 1956). В основу этих двух теорий были положены системы элементов, найденные Дж. Бобоне. Впервые в 1909 г. П.Х. Коуэлл, Б.А. Кромелин и С. Дэвидсон (Cowell et al., 1909) путем численного интегрирования получили орбиту Пасифе и улучшили ее по наблюдениям 1908-1909 гг. В 1968 г. вышла работа П. Хэргета (Herget, 1968) посвященная исследованию движения спутников Пасифе, Синопе, Лисифея, Карме и Ананке. В 1978 г. К. Акнес (Aksnes, 1978) представил впервые численную орбиту для Леды, полученную по наблюденным данным до 1977 гг. В 1972 г. Л.Е. Быковой и Т.В. Бордовицыной были разработаны численные теории движения Гималии и Элары (Бордовицына, Быкова, 1978). В 1983 г. П. Роше (Rocher, 1983) повторил работу Быковой и Бордовицыной для Гималии и Элары, используя наблюдения до 1976 г. В последних исследованиях П. Роше и Дж. Шанрон (Rocher, Chapront, 1996) вычислили орбиты для Гималии, Элары, Писифе и Синопе, используя все наблюдения до 1993 г. В 2000 г. Р.А. Якобсон определил орбиты 8 внешних спутников Юпитера (групп Гималии и Пасифе), используя все их наблюдения до 2000 г. (Jacobson. 2000). В 2002 г. Б.Г. Марсден и Р.А. Якобсон (Sheppard et al., 2002) представили орбитальные параметры для первых 11 новых спутников, уточненные по имеющимся на то время наблюдениям. В 2005 г. Н.В. Емельянов (Emelyanov, 2005) определил орбиты 54 внешних спутников Юпитера, включая 46 новых, открытых до 2004 г. В данной работе мы представляем высокоточную численную модель движения внутренних и внешних спутников Юпитера. Формально численную модель спутникового движения рс в пространстве угловых координат р = (рьРг) относительно стандартного земного экватора J2000.0 можно представить в виде Здесь t — эфемеридное время; qDT = (q, qT) — вектор всех параметров модели; Т — преобразование перехода от йовицентрической системы координат к топоцентрической; q = (хо,хо,о 78) ) и qT параметрические векторы, связанные соответственно с движением спутника относительно йовицентра и с координатным преобразованием; х — йовицентрическое положение спутника; х0 и х0 — векторы динамического состояния спутника в начальный момент времени IQ.
Интегратор Гаусса-Эверхарта для численного решения дифференциальных уравнений первого порядка
В 1973 г. Э. Эверхарт (Everhart, 1973) предложил интегратор, разработанный им специально для численного исследования орбит, и продемонстрировал его высокую эффективность в задачах кометной динамики. По-видимому, обнаружив в дальнейшем принадлежность своего интегратора к семейству интеграторов типа Бутчера, Эверхарт акцентировал внимание на оригинально реализованный им алгоритм интегрирования и обобщил его для численного решения любых обыкновенных дифференциальных уравнений первого и второго порядков (Everhart, 1974; Everhart, 1984). Тем самым ему удалось расширить область применения своего интегратора, который, тем не менее, остается одним из самых популярных именно в решении задач небесной механики. Интегратор Эверхарта (RA15) основан на видоизмененных формулах неявных методов Рунге-Кутты бутчеровского типа, поэтому он наследует все их замечательные свойства (Butcher, 1964). Более того, именно благодаря оригинальному представлению вычислительной схемы интегратор Эверхарта обрел ряд преимуществ с точки зрения численного интегрирования: 1) алгоритм интегрирования универсален для любого порядка; 2) интегратор имеет простой критерий для выбора шага интегрирования; а также 3) в нем реализован достаточно точный предиктор решения, что позволяет выполнять численное интегрирование всего с 2 итерациями на шаге. Несмотря на это, программный код Эверхарта RA15 (Everhart, 1984) (впрочем, как и любая его модификация типа RADAU_27), на наш взгляд, довольно существенно ограничивает возможности интегратора и поэтому нуждается в дополнительной редакции.
Среди главных недостатков в программной реализации интегратора можно перечислить следующие: 1) трудночитаемый и громоздкий код; 2) много констант, связанных с порядком интегратора, что затрудняет обобщение кода на другие порядки; 3) интегратор реализован только для определенных порядков, причем для нечетных с разбиением Гаусса-Радо, хотя известно, что неявные методы Рунге-Кутты, построенные на симметричном разбиении Гаусса-Лобатто, обладают геометрическими свойствами (Hairer et al., 2002); 4) алгоритм выбора шага для уравнений первого порядка используется такой же как и для уравнений второго порядка, поэтому шаг при интегрировании уравнений первого порядка выбирается неверно; 5) стартовый шаг интегрирования в режиме переменного шага выбирается независимо от дифференциальных уравнений, поэтому не всегда оптимально; 6) ограничения на величину выбираемого переменного шага, по-видимому, заданы в интеграторе просто из эмпирических соображений и они, кроме того, не зависят от порядка интегратора. В работе мы используем новый код интегратора Эверхарта GAUSS_15 (Авдюшев, 2006), в котором разрешены названные выше трудности: 1) с использованием возможностей Фортран 90 сокращен программный код почти в 2 раза; 2) отсутствуют все константы, связанные с порядком метода (оставлены лишь константы узловых значений на шаге); 3) код позволяет получать решение 2-15 порядка точности (хотя при необходимости код без изменений можно обобщить на любой другой порядок: для этого нужно лишь получить соответствующие узловые значения); 4) исправлен алгоритм выбора переменного шага; 5) стартовый шаг выбирается по оценке интегрирующей схемы второго порядка с учетом поведения правых частей уравнений; 6) накладываются ограничения на выбираемый шаг в соответствии с порядком интегратора. Кроме того, интегратор наделен новыми возможностями: 1) интегрирование на шаге до полной сходимости итерационного процесса; 2) запоминание величины предпоследнего шага после выполнения процедуры интегрирования, что полезно при многократном использовании программного кода в режиме переменного шага; и 3) быстрый выбор стартового шага, требуемый лишь для первого обращения к интегратору (при повторном обращении используется запоминаемый шаг предыдущего обращения).
Именно перечисленные выше примечательные особенности модифицированного интегратора Эверхарта, а также положительные отзывы и рекомендации специалистов (Бордовицына, 1984; Бордовицына и др., 1991) предопределили наше решение использовать его для численного решения дифференциальных уравнений спутникового движения. При этом для улучшения поведения глобальной ошибки (Hairer et al., 2002; Ав дюшев, 2006) была взята симметричная схема интегрирования 12-го порядка, основанная на разбиение Гаусса-Лобатто. Шаг интегрирования выбирался в соответствии с локальной ошибкой порядка Ю-12 а.е. Изложим кратко общую теорию интегратора Эверхарта. В дальнейшем по причине того, что интегратор использует гауссовы разбиения, мы будем называть его интегратором Гаусса-Эверхарта (хотя обычно такие интеграторы называют гауссовыми). Основные формулы Предположим, на шаге h мы решаем задачу: Здесь t — независимая переменная; q — интегрируемые переменные, a Q — заданная вектор-функция t и q. Введем переменную т = (t — to)/h и представим правую часть уравнений (1.13) в виде полинома степени к: где коэффициенты Aj пока не определены. Интегрируя (1.14) по г, получаем решение Перепишем (1.14) в виде интерполяционного многочлена Ньютона на сетке TQ,TI, ... ,тк (то=0): Из соотношений Коэффициенты сц и dtJ являются числами Стирлинга, которые вычисляются по формулам В соответствии с (1.21) каждый коэффициент cv, представляет собой сумму всевозможных произведений і — j величин ті,..., т,_і со знаком (-1)1 . Например,
Моделирование областей возможных движений в рамках линейной задачи
Не менее важной задачей при определении из наблюдений орбитальных параметров является оценка их точности. В последнее время с появлением быстродействующих и многопроцессорных компьютеров для исследования точности орбит все чаще прибегают к моделированию областей возможных орбитальных параметров (Milani, 1999; Bordovitsyna et al., 2001; Williams et al., 2005; Muinonen et al., 2006; Авдюшев, Бань-щикова, 2007a), которые широко используются при планировании наблюдений и идентификации небесных тел, а также в задачах астероидной опасности. Область возможных параметрических значений представляет собой множество точек в параметрическом пространстве, плотность которого отвечает вероятностной плотности нахождения истинных орбитальных параметров. Вероятностные области обычно строятся на основе оценок линейной задачи наименьших квадратов (НК), поэтому их плотность асимптотически соответствует многомерному нормальному распределению. В линейной задаче, когда матрица А (2.6) постоянна, 100а% доверительной областью в пространстве оцениваемых параметров q называется эллипсоидальное множество с центром в q, содержащее с вероятностью а истинное решение q (получаемое при точных измерениях р, т.е. когда 5р = 0).
Формально доверительная область задается как (Draper, Smith Н., 1981) где о-2 — S(q)/(J — К) — несмещенная оценка дисперсии ошибок наблюдений; J = LN — число измерений; F(K, J — К, а) — cv-квантиль функции вероятности Фишера со степенями свободы К и J — К; ка = \[ КТ. В соответствии с (2.17) случайный вектор q, определяющий область возможных параметрических значений, будет асимптотически распределен по нормальному закону в А -мерном пространстве с функцией плотности Для построения области возможных движений существуют разные способы (Bordovitsyna et al., 2001; Muinonen et al., 2006; Железнов, 2008), но один из самых простых способов состоит в использовании матрицы Холецкого С1/2. Матрица Холецкого С1/2 — нижнетреугольная матрица, произведение которой на транспонированную дает ковариационную матрицу С. Такая матрица существует и единственна, поскольку ковариационная матрица (2.19) симметрична и положительно определена (Вержбицкий, 2005). Алгоритм моделирования области возможным движений с использованием матрицы Холецкого основан на формуле (Айвазян и др., 1983; Андронов и др., 2004) где Г] — А -мерный случайный вектор, несмещенный и нормально распределенный с единичной дисперсией. Нетрудно показать, что вектор q будет распределен по нормальному закону с вероятностной плотностью (2.18). После многократной подстановки в формулу (2.20) случайных векторов 77 со стандартным распределением jV(0,1) мы в итоге получим дискретное представление области возможных параметрических значений q (рисунок 2.6). Мы рассмотрели линейный случай, где предполагается, что связь между представлениями наблюдений и параметрами линейна, хотя для используемых орбитальных моделей это, вообще говоря, не так. Поэтому использование оценок линейной задачи наименьших квадратов для моделирования областей возможных движений будет обосновано только в том случае, если эти области достаточно малы, где указанная связь может хорошо представляться ее линейной аппроксимацией. Иначе оценки линейной НК-задачи будут недостоверно описывать вероятностные области.
Проблема нелинейности может усугубляться следующими факторами: во-первых, достаточно большими ошибками в наблюдениях; во-вторых, скудной информацией о движении объекта в случае, когда имеется мало наблюдений, рассредоточенных на короткой дуге орбиты. Для того чтобы определить, можно ли использовать оценки линейной задачи наименьших квадратов для моделирования областей возможных движений в нелинейной задаче, введем так называемый коэффициент нелинейности, выражающий степень влияния нелинейности на распределение параметрических ошибок. Согласно (2.17) для точек q границы доверительной области будем иметь При вариации параметра ка на величину 5к„, размеры эллипсоидальной области (2.21) изменятся и целевая функция на ее границе примет новое значение S = S + 5S, где S — значение целевой функции на границе доверительной области при ка. Тогда согласно (2.21) с точностью до малых первого порядка вариации будут удовлетворять соотношению где S — S(q). Таким образом, если мы будем знать вариацию целевой функции 6S, то по величине 5ка/ка сможем определить, насколько изменилась доверительная область в размерах. Используя полученные оценки, введем некий коэффициент я, позволяющий в нелинейном случае приближенно оценить степень отклонения уроненной поверхности, задаваемой уравнением (2.21), от эллипсоидальной, определяемой ковариационной матрицей параметров: а в качестве S выступают значения целевой функции нелинейной задачи на поверхности доверительного эллипсоида линеаризированной задачи при заданном ка. Обычно представляет интерес доверительная область, покрывающая истинные параметры
Проблема неоднозначного определения орбит внутренних спутников Юпитера
Начальные оценки орбитальных параметров q0 предварительно были получены из наблюдений методом Лапласа (Эскобал, 1970). Начальные моменты времени t0 относительно моментов наблюдений показаны на рисунке 3.2. Одна из главных трудностей в определении орбиты любого близкого спутника вызвана его быстрым движением около планеты: частота обращения спутника настолько высока, что всего за год он совершает порядка тысячи оборотов и более. Эта особенность в движении приводит к тому, что в обратных задачах целевая функция, минимизируемая по орбитальным параметрам, имеет сильно овражную структуру, что выражается в плохой обусловленности матрицы квадратичной формы, аппроксимирующей целевую функцию. Несмотря на то, что наименьшая обусловленность нормальных матриц Q достигается при выборе to внутри интервала, для Адрастеи и Метиды моменты t0 намеренно были оставлены внутри крайней группы (675 Palomar Mountain), по наблюдениям которой были получены начальные оценки q0. Как было показано в нашей работе (Авдюшев, Баныцикова, 2008) на примере круговой задачи, именно такой выбор удобен для поиска минимумов целевой функции S при малом количестве групп наблюдений, поскольку решения q, доставляющие минимум S, находятся достаточно близко друг от друга в фазовом пространстве оцениваемых параметров (рисунок 2.1). Используя комплексный подход для минимизации 5(q) с итерационными схемами (2.7), (2.15) и (2.16) и отправляясь от начальных приближений q0, всего за несколько десятков итерациіі мы получили оценки орбитальных параметров q = (хо,Хо), которые приведены в Приложении 5. Соответствующие им орбитальные элементы в усеченной форме даны в
Приложении 2. Процесс уточнения параметров начинался со схемы (2.7) (градиентный спуск) до сходимости среднсквадратической ошибки а с точностью до 0.001", затем применялась схема (2.16) (метод Ньютона-Гаусса). Если поправки в координатах Ах превосходили по величине 10 7 а.е., решение q исправлялось за его отклонение от энергетической поверхности по схеме (2.15) (проекционный метод). Этот процесс продолжался до тех пор, пока поправки в координатах по величине не достигали значения Ю-10 а.е. Все предельные величины, используемые в качестве критерия для использования той или иной схемы, подбирались предварительно опытным путем при использовании динамической модели, на основе формул задачи двух тел. Наконец, следует заметить, что для обращения нормальной матрицы в схеме (2.7) использовался известный метод Гаусса. Полученные оценки параметров дают среднеквадратические ошибки о = y/S/N, не превышающие величину 0.4" (таблица 3.1), что говорит о хорошем согласии с внешней точностью наземных наблюдений. Невязки Да cos 5 и AS, определяющие величины ошибок а, представлены на рисунках 3.4-3.7. При этом необходимо упомянуть, что в процессе определения параметров производилась отбраковка наблюдений, невязки которых превышали по величине За. Таким образом, из базы данных было исключено несколько десятков таких наблюдений. Уже отмечалось, что для повышения оперативности вычислительного процесса оценки орбитальных параметров определялись в два этапа: сначала с упрощенной круговой моделью галилеевых спутников, а затем с использованием высокоточной теории Леней L1. В связи с этим интересно отметить, что на обоих этапах мы получали почти одни и те же среднеквадратические ошибки, хотя при этом определяемые параметры были принципиально разными.
Причина этого явления состоит в толі, что огрубление модели орбит галилеевых спутников внутри динамической модели близких спутников приводит, главным образом, к вековой ошибке в долготе А , что фактически влечет сдвиг целевой функции S вдоль параметров, непосредственно связанных с частотой обращения близкого спутника, причем минимальные значения S сохраняются. Это показано в нашей работе (Авдюшев, Баныцикова, 2008) на примере круговой задачи. В результате определения орбитальных параметров нами также были получены их ковариационные матрицы С = cr2Q_1. С практической точки зрения матрицы С удобно представить в виде где W и V — ортогональная и диагональная квадратные матрицы, составленные соответственно из направляющих косинусов собственных векторов нормальной матрицы Q и ее обратных собственных чисел, которые в усеченной форме даны в таблице 3.2 и 3.3. В частности, как показывает таблица 3.3, нормальные матрицы (впрочем, как и ковариационные) имеют большие числа обусловленности (см. также таблицу 3.1). Это вызвано, прежде всего, тем фактом, что наблюдательные данные распределены на достаточно больших интервалах времени в сопоставлении с орбитальными периодами спутников Т (Приложение 2). Известно также, что плохая обусловленность нормальной матрицы неблагоприятно сказывается на точности ее обращения (главным образом, за счет усиления ошибок округления) и, как следствие, на сходимости итерационной схемы Гаусса-Ньютона. Тем не менее, в нашем случае числа обусловленности оказались все же еще не столь большими, чтобы это могло существенно отразиться на точности обращения нормальной матрицы. Несмотря на малость среднеквадратических ошибок для Адрастеи и Метиды (таблица 3.1), существуют еще и другие минимумы функционала S, в которых ошибки принимают близкие значения. (Поскольку ниже мы будем рассматривать множество различных решений, обеспечивающих минимумы S, для удобства изложения все переменные, относящиеся к полученным выше оценкам орбитальных параметров, будем обозначать тильдой.) Чтобы найти эти минимумы мы проварьировали значения полной энергии Н с шагом АН = 2H/3R, затем по схеме (2.16) нашли приближенные значения параметров q0 и, наконец, с использованием каждого приближения qo провели уже описанную выше процедуру улучшения параметров. Всего для Адрастеи были исследованы 50 соседних решений, тогда как для Метиды — 2, соответствующие минимумам С/27Г ±11 функции Ф(С) (рисунок 3.3). Примечательно, что для Адрастеи абсолютный минимум среднеквадратической ошибки достигается именно в решении q (Приложение 5). Однако, в его окрестности имеются другие близкие минимумы а, значения которых отличаются от о на величины меньше 0.01" (рисунок 3.8). Поэтому у нас есть веское основание подозревать, что наилучшие (в смысле ближайшие к истинным параметрам) оценки вполне вероятно могут находиться в соседних минимумах.
Похожие диссертации на Численное моделирование движения внутренних и внешних спутников Юпитера
