Содержание к диссертации
Введение
1 Общие сведения об астероидах, сближающихся с Землей 9
1.1 Популяция АСЗ 9
1.2 Астероидная опасность 13
1.3 Проблемы и методы исследования орбитального движения АСЗ 16
1.4 Резонансные астероиды 19
2 Дифференциальные уравнения движения и метод интегрирования 23
2.1 Вводные замечания 23
2.2 Дифференциальные уравнения движения 23
2.2.1 Классические уравнения возмущенной задачи двух тел. Модель сил 23
2.2.2 Уравнения с модифицированным временным преоб разованием сундмановского типа 24
2.3 Метод Эверхарта численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений 25
3 Программно-математическое обеспечение (ПМО) для исследования движения астероидов 29
3.1 Задачи, решаемые с помощью ПМО 29
3.2 Алгоритмы численного моделирования движения астероидов 29
3.2.1 Выявление сближений астероидов с большими планетами 29
3.2.2 Вычисление резонансных характеристик 30
3.2.3 Алгоритм построения вероятностной области движения астероида 31
3.3 Прикладная программная система «Ассоль» 34
3.3.1 Вводные замечания 34
3.3.2 Диалоговый режим системы 35
3.3.3 Демонстрационный режим системы 40
3.3.4 Тестирование системы 42
4 Исследование эффективности использования различных стабилизирующих и регуляризирующих преобразований дифференциальных уравнений движения в задачах динамики особых астероидов 46
4.1 Особенности дифференциальных уравнений движения . 46
4.2 Стабилизация дифференциальных уравнений движения . 47
4.2.1 Вводные замечания 47
4.2.2 Метод Баумгарта 47
4.2.3 Метод Накози 51
4.3 Регуляризация и стабилизация дифференциальных уравнений движения 52
4.3.1 Преобразование Кустаанхеймо-Штифеля 52
4.3.2 Стабилизированные уравнения с модифицированным временным преобразованием сундмановского типа . 53
4.3.3 Модифицированные уравнения в переменных Кустаанхеймо-Штифеля 55
4.4 Уравнения типа Энке в переменных Кустаанхеймо-Штифеля 55
4.5 Исследование эффективности алгоритмов 57
4.5.1 Методика исследования 57
4.5.2 Сравнительная эффективность алгоритмов 66
4.5.3 Выводы и рекомендации 78
5 Исследование движения АСЗ в окрестности резонансов низких порядков с большими планетами 79
5.1 Орбитальный резонанс в небесной механике 79
5.1.1 Вводные замечания 79
5.1.2 Малые знаменатели. Критический аргумент . 79
5.1.3 Геометрия резонанса 81
5.1.4 Физика резонанса 88
5.2 Перечень АСЗ, движущихся в окрестности резонансов низких порядков с большими планетами 91
5.3 Исследование движения АСЗ в окрестности резонанса 5/2
с Юпитером 103
5.3.1 Перечень АСЗ, движущихся в окрестности резонанса 5/2 с Юпитером 103
5.3.2 Исследование орбитальной эволюции АСЗ, движущихся в окрестности резонанса 5/2 с Юпитером . 105
5.3.3 Построение вероятностных областей начальных параметров движения АСЗ 109
5.3.4 Исследования эволюции начальных пучков орбит . 113
5.3.5 Анализ результатов исследования орбитальной эволюции АСЗ, движущихся в окрестности резонанса 5/2 с Юпитером 120
5.4 Исследование движения АСЗ в окрестности резонанса 1/1 с планетами земной группы 128
5.4.1 Исследование движения АСЗ в окрестности резонанса 1/1 с Венерой 128
5.4.2 Исследование движения АСЗ в окрестности резонанса 1/1 с Землей 134
5.4.3 Исследование движения АСЗ в окрестности резонанса 1/1 с Марсом 138
5.4.4 Анализ результатов исследования орбитальной эволюции АСЗ, движущихся в окрестности резонанса
1/1 с планетами земной группы 152
Заключение 153
Литература 156
Приложения 169
- Проблемы и методы исследования орбитального движения АСЗ
- Метод Эверхарта численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений
- Алгоритм построения вероятностной области движения астероида
- Стабилизированные уравнения с модифицированным временным преобразованием сундмановского типа
Введение к работе
Актуальность проблемы.
Обширный и постоянно пополняющийся вновь открываемыми объектами класс астероидов, сближающихся с Землей (АСЗ) и другими планетами, привлекает в настоящее время пристальное внимание специалистов по целому ряду причин, главной из которых является «астероидная опасность» для Земли, исходящая от этих объектов. Наличие резонансных взаимодействий между такого рода астероидами и большими планетами играет очень важную роль в процессе орбитальной эволюции астероидов. В случае устойчивого резонанса эти взаимодействия могут служить механизмом, защищающим от столкновений с Землей, а в неустойчивом случае могут приводить к возникновению хаотичности движения и делать орбитальную эволюцию объекта непредсказуемой. В этой связи исследование движения астероидов в окрестности резонансов является весьма актуальной задачей небесной механики. Сложная динамика резонансных АСЗ делает также актуальной задачу развития методов исследования движения такого рода объектов.
Целями работы являются:
разработка алгоритмического и программного обеспечения для исследования долговременной орбитальной эволюции астероидов;
выявление АСЗ, движущихся в окрестности резонансов низких порядков с большими планетами;
исследование долговременной орбитальной эволюции АСЗ, движущихся в окрестности резонансов 5/2 с Юпитером и 1/1 с планетами земной группы.
Научная новизна работы состоит в следующем:
разработаны алгоритмы, направленные на регуляризацию сближений АСЗ с третьим телом и основанные на введении модифицированного преобразования сундмановского типа в стабилизированные уравнения движения;
исследована эффективность использования в задачах численного моделирования различных форм представления дифференциальных уравнений движения особых астероидов;
выявлены АСЗ, имеющие соизмеримости низкого порядка со средними движениями больших планет;
построены области возможных движений АСЗ, движущихся в окрестности резонансов 5/2 с Юпитером и 1/1 с планетами земной группы на интервале времени несколько тысяч лет; области возможных движений строились как отображения во времени некоторых начальных областей,
полученных из анализа наблюдений рассматриваемых АСЗ. Практическая значимость работы:
создана прикладная программная система, предназначенная для исследования движения и орбитальной эволюции астероидов; данная система может быть использована в исследовательских и учебных целях;
составлен перечень АСЗ, движущихся в окрестности резонансов низких порядков с большими планетам, оценены размеры резонансных областей для этих АСЗ на интервале времени около 1000 лет;
построены области возможных движений АСЗ, движущихся в окрестности резонансов 5/2 с Юпитером и 1/1 с внутренними планетами на интервале времени в несколько тысяч лет.
Апробация работы.
Результаты работы докладывались на:
всероссийской научной конференции «Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики» (Томск, 1998);
международной конференции по сопряженным задачам механики и экологии ( Томск, 1998 );
всероссийской научной конференции молодых ученых «Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики» (Томск, 1999);
всероссийской научной конференции «Околоземная астрономия и проблемы изучения малых тел Солнечной системы» (Обнинск, 1999);
всероссийской научной конференции молодых ученых но теоретической и небесной механике (Томск, 1999);
29-ой студенческой конференции «Физика космоса» (Екатеринбург, 2000);
9th European and 5th Euro-Asian Astronomical Society Conference (JENAM) (Москва, 2000);
международной научной конференции «Астрономия, геодинамика и небесная механика на пороге XXI века» (Санкт-Петербург, 2000);
US-European Celestial Mechanics Workshop (Poznan, Poland, 2000);
«Asteroids, Meteorites, Impacts and their Consequences» (AMICO 2000) (Germany, 2000);
второй всероссийской научной конференции «Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики» (Томск, 2000);
международной научно-практической конференции «Вторые оку-невские чтения» (Санкт-Петербург, 2000);
конференция «Околоземная астрономия XXI века» (научные и практические аспекты) (Звенигород, 2001);
второй всероссийской научной конференции молодых ученых «Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики» (Томск,
2001);
-международном Симпозиуме «Небесная механика-2002: результаты и перспективы» (Санкт-Петербург, 2002);
третьей всероссийской научной конференции «Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики» (Томск, 2002);
32-ой студенческой конференции «Физика космоса» (Екатеринбург, 2003);
четвертой всероссийской научной конференции «Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики» (Томск, 2004);
всероссийской конференции «Астероидно-кометная опасность —2005 (Санкт-Петербург, 2005).
Прикладная программная система «Ассоль» внедрена в учебный процесс и научно-исследовательскую работу Астрономического института им. В.В. Соболева СПбГУ, кафедры астрономии и геодезии физического факультета УрГУ и Астрономической обсерватории УрГУ.
На защиту выносятся следующие результаты
Стабилизированные алгоритмы с модифицированным преобразованием сундмановского типа и результаты исследования эффективности различных стабилизирующих и регуляризирующих преобразований уравнений движения АСЗ в задаче численного моделирования движения этих объектов.
Прикладная программная система, предназначенная для исследования движения и орбитальной эволюции астероидов.
Перечень АСЗ, движущихся в окрестности резонансов низких порядков с большими планетам.
Результаты исследования областей возможных движений АСЗ в окрестности резонансов 5/2 с Юпитером и 1/1 с внутренними планетами на интервале времени несколько тысяч лет.
По результатам исследования, приведенным в диссертации, опубликовано 23 научных работы. Диссертация изложена на 188 страницах машинописного текста, состоит из введения, 5 разделов, заключения, списка использованных литературных источников (134 наименования), 2 приложений, содержит 82 рисунка и 45 таблиц.
Содержание работы
В разделе 1 представлена общая информация об АСЗ. В разделе 1.1 описана структура популяции АСЗ по состоянию на 30 января 2005 г. В разделе 1.2 освещена проблема астероидной опасности. В разделе 1.3 рассмотрены проблемы и методы исследования орбитального движения АСЗ. В разделе 1.4 представлены сведения о резонансных астероидах.
В разделе 2 описываются классические методы построения числен-
ной модели движения малых планет Солнечной системы. Приводятся две формы представления дифференциальных уравнений движения малого тела в прямоугольной гелиоцентрической системе координат - классические уравнения возмущенной задачи двух тел и уравнения с модифицированным временным преобразованием сундмановского типа. В конце раздела 2 изложен неявный одношаговый алгоритм Эверхарта (Everharfc, 1974b), используемый нами для численного интегрирования уравнений движения малого тела.
В разделе 3 диссертации описывается программно-математическое обеспечение (ПМО), разработанное автором для исследования движения астероидов. В разделе 3.1 перечислены задачи, решаемые с помощью ПМО.
В разделе 3.2 рассматриваются следующие алгоритмы, использованные при разработке ПМО:
алгоритм выявления сближений астероидов с большими планетами;
алгоритм вычисления резонансных характеристик;
алгоритм построения вероятностной области движения астероида. В разделе 3.3 описываются возможности прикладной программной
системы «Ассоль». Система предназначена для моделирования движения астероидов численными методами на заданных пользователем интервалах времени. Особенностями системы является удобный интерфейс и возможность демонстрации движения астероидов и больших планет на экране компьютера.
В разделе 4 рассматриваются различные стабилизирующие и регуля-ризирующие преобразования дифференциальных уравнений движения и исследуется эффективность их использования в задачах динамики особых астероидов. Описаны следующие уравнения движения:
- классические уравнения;
уравнения с модифицированным временным преобразованием сундмановского типа ds — Vdt (t - время, 5 - фиктивное время, V — гравитационный потенциал);
стабилизированные уравнения Дж. Баумгарта;
- стабилизированные уравнения Баумгарта с преобразованием
ds = Vdt;
- стабилизированные уравнения Р. Накози;
- стабилизированные уравнения Накози с преобразованием
ds = Vdt;
уравнения в KS-переменных;
уравнения в KS-переменных с преобразованием ds — Vdt;
уравнения в KS-переменных с преобразованием ds — rVdt (г -
радиус-вектор);
- уравнения типа Энке в KS-переменных.
В разделе 4.4 представлены результаты сравнения эффективности использования различных форм дифференциальных уравнений при изучении движения АСЗ.
Проблемы и методы исследования орбитального движения АСЗ
В последнее десятилетие все большее внимание уделяется проблеме астероидной и кометной опасности (Медведев и др., 1996; Боярчук, 1999; Gehrels, 1994; Milani et al., 1999; Hammergren, 2003; Trubetskaya, Shuvalov, 2003; Ward, Asphaug, 2003; Chapman, 2004; Cooke, 2004; Harris, 2003; Ipatov, Mather, 2004; Mobberley, 2004), к чему привели ряд таких неординарных событий, как падение фрагментов кометы Шумейкеров-Леви 9 на Юпитер с 5 по 12 мая 1994 г., сближение с Землей кометы 1996 В2 Хиакутаки на расстояние 0,1010 а.е. (Терентьева, Баюк, 1996), а также все возрастающее число открываемых астероидов, сближающихся с Землей.
По размерам и степени опасности астероиды, сближающиеся с Землей, можно разделить на три класса: - крупные объекты, диаметр которых превышает 1 км; встреча Земли с таким объектом может вызвать глобальную катастрофу; - астероиды средних размеров; к этому классу относятся малые планеты с диаметром от 100 м до 1 км; эти объекты способны вызвать катастрофы регионального масштаба; - мелкие астероиды размером 10-100 м, столкновение с которыми приводит к локальным разрушениям. В работе (Микиша и др., 1995) на основе статистики кратеров космо-генного происхождения была произведена оценка частоты падений небесных тел на Землю: Т — (0.25 — 0.07) - 10б - D2 — число лет, за которые на Землю упадет хотя бы одно небесное тело диаметром, большим D. Согласно этой оценке для D 2 км — (300 тыс. лет Т 1 млн. лет); для D 0.5 км — (20 тыс. лет Т 70 тыс. лет.) Приведенные оценки величин Т являются оценками математического ожидания числа лет, за которые на Землю упадет хотя бы один астероид соответствующего размера.
Катастрофические столкновения Земли с крупными космическими телами имели место в прошлом, о чем свидетельствует наличие свыше 140 кратеров ударного происхождения на поверхности нашей планеты. Самый крупный из них диаметром около 200 км обнаружен в районе полуострова Юкатан, его возраст оценивается в 65 млн. лет. Падение космических тел на Землю продолжаются и в настоящее время, достаточно вспомнить Тунгусский феномен (1908 г.) и Сихоте-Алинский метеоритный дождь (1947 г.). Следует отметить, что падение даже небольшого небесного тела в наше время может вызвать глобальную катастрофу. Это связано с появлением на Земле большого числа потенциально опасных техногенных объектов, таких как военные и гражданские ядерные объекты, химические комбинаты, хранилища токсичных отходов и т. п. Трудно предсказать последствия попадания астероида в любой из подобных объектов.
В решении проблемы астероидной опасности можно выделить следующие задачи: - выявление и каталогизация потенциально опасных астероидов; - исследование движения известных объектов; - предотвращения столкновения небесного тела с Землей. В настоящее время действует ряд крупных научно-исследовательских проектов по обнаружению и отслеживанию объектов, сближающихся с Землей. Среди наиболее крупных проектов можно отметить следую щие: LINEAR (Lincoln Near-Earth Asteroid Research), NEAT (Near-Earth Asteroid Tracking), Spacewatch, LONEOS (Lowell Observatory Near-Earth Object Search), JSGA (Japanese Spaceguard Association). Первым и наи более известным из подобных проектов был проект Spacewatch, кото рый действует с 1984 года в Аризоне. В мае 2001 года в рамках проекта Spacewatch был открыт первый потенциально опасный астероид. В на стоящее время участники Spacewatch занимаются изучением движения не только объектов, сближающихся с Землей, но и объектов основного астероидного пояса, пояса Койпера и облака Оорта (http://pirlwww.lpl.arizona.edu/spacewatch). В последние годы наиболь шей активностью отличается программа LINEAR (http://www.ll.mit.edu/LINEAR). Только за 2002 год в рамках этого про екта открыто 287 АСЗ (http://neo.jpl.nasa.gov/missions/stats.html). Кроме открытия новых АСЗ решение проблемы астероидной опас ности требует выполнения большого объема работ по слежению за уже открытыми объектами, уточнению их орбит, определению их физических характеристик. В настоящее время действует ряд программ по наблюдению за АСЗ: EUNEASO (European NEO Search к Followup) (Maury et aL, 1997), DANEOPS (DLR-Archenhold Near Earth Objects Precovery Survey), UESAC (Uppsala-ESO Survey Of Asteroids And Comets), Spaceguard и др. Проблема предотвращения столкновения небесного тела в основе своей содержит решение задач наблюдения, отождествления и прогнозирования его движения. Наиболее реальным способом предотвращения астероидной опасности, по мнению авторов работы (Микиша и др., 1995), является отклонение более крупных астероидов (D 0.5 км) за один или несколько оборотов до предполагаемого падения и уничтожение более мелких астероидов на подлете к Земле с помощью ядерных взрывов. В сентябре 2000 г. в Евпатории проходила третья международная конференция «Космическая защита Земли - 2000», на которой обсуждались различные способы предотвращения столкновения. На опасный объект можно воздействовать двумя основными способами: уничтожение (дробление) астероида или изменение его траектории. У первого способа есть один существенный минус - обломки крупного астероида будут представлять существенную угрозу, а их траекторию определить очень сложно. Поэтому более предпочтительным является второй способ, но в этом случае необходимо перехватить астероид или комету на значительном расстоянии от Земли. На конференции были рассмотрены различные способы отклонения опасного объекта, но большинство участников отдают предпочтение использованию ядерного взрыва. Проблема в том, что ООН в 1996 г. запретила все виды ядерных испытаний в космосе и на Земле. В качестве альтернативы был предложен гравитационный способ отклонения (Ведерников, 2000). Проблема изменения орбиты АСЗ рассмотрена также в работе (Ивашкин и др., 2000).
В связи с проблемой астероидной опасности особую актуальность приобретает задача прогнозирования тесных сближений астероидов с большими планетами, этому вопросу посвящено много работ (Hahn, 1991; Yoshikawa, 1994; Быкова, Тимошенко, 1998; Glukhovsky, 2003; Rossi et al., 2003). Кроме того в настоящее время в WWW действуют постоянно обновляемые сайты (http://cfa-www.harvard.edu/iau/lists/Closest.html и http://neo.jpl.nasa.gov/neo/close.html), па которых представлены таблицы сближений астероидов с Землей.
Авторами работы (Hahn, 1991) исследовано движение 75 астероидов, пересекающих орбиту Земли в проекции на плоскость эклиптики, выявлены сближения с Землей в пределах 0.2 а.е. в течение 20 и 21-го веков, отдельно рассмотрены сближения в окрестности узлов орбиты. В работе приведен список 17-и самых тесных сближений (в пределах 0.02 а.е.).
В работе (Yoshikawa, 1994) приведены самые тесные сближения на интервале времени от -606 г. до 4594 г. Кроме того, рассмотрена вероятность столкновения Земли с астероидом диаметром больше 1 км, вероятность составляет одно столкновение в сто тысяч лет.
В работе (Быкова, Тимошенко, 1998) представлен перечень тесных сближений АСЗ с планетами земной группы и Юпитером на интервале времени 1950-2050 гг. Кроме того, рассмотрено влияние ошибки начальных параметров на прогнозирование сближений и исследовано поведение оскулирующих орбитальных параметров астероидов при их сближении с большими планетами.
Метод Эверхарта численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений
С соизмеримостью средних движений могут быть связаны не только люки, но и сгущения в распределении астероидов. Характерным примером такого сгущения являются троянцы и греки — астероиды, движущиеся в резонансе 1/1 с Юпитером. Долгое время считали, что ни одна другая планета, кроме Юпитера, не может иметь своих троянцев. Открытие астероида 5261 Eureka показало, что это не так - 5261 Eureka, марсианский троянец, движется в окрестности треугольной точки либрации L&, отставая от Марса на 60. Первым астероидом, обнаруженным вблизи резонанса 1/1 с Землей, является 3753 Cmithne (Wiegert et al., 1998). В настоящее время известно несколько астероидов, движущихся в окрестности резонанса 1/1 с Венерой, Землей и Марсом, их движение изучается многими исследователями (Wiegert et al., 1998; Tancredi, 1998; Tabachnik, Evans, 2000; Быкова, Галушина, 2001a; Быкова, Галу-шина, 2001с; Быкова, Галушина, 2002; Morais, Morbidelli, 2002; Connors et al., 2004; Mikkola et al., 2004, Taylor et al., 2004, ; Morais, Morbidelli, 2005, Connors et al., 2005; Быкова, Галушина, 2005), ведется поиск новых объектов (Wiegert, Innanen, 2000; Thomas, 2000; Margot, Nicholson, 2003).
Исследование орбитальных резонансов в движении АСЗ представляет особый интерес, поскольку устойчивые резонансы позволяют сохранять определенные геометрические конфигурации в относительном движении астероида и больших планет (Murray, Dermott, 1999). А это при благоприятных начальных условиях может служить защитным механизмом от тесных сближений (Быкова, 2003).
В настоящей диссертации более подробно будет рассмотрено движение АСЗ в окрестности резонанса 5/2 с Юпитером. Этому резонансу посвящено много работ. В работе (Yoshikawa, 1991) приведен обзор предыдущих (до 1991 г.) исследований. Кроме того, автором работы (Yoshikawa, 1991) исследовано движение фиктивных астероидов в люке 5/2 полуаналитическими и численными методами, получено, что эксцентриситеты орбит астероидов сильно увеличиваются в большей части резонансной области. Аналогичные результаты получены в работах (Ipatov, 1991; Ipatov, 2002; Hahn et al., 1991).
В работе (Hahn et al., 1991) исследована орбитальная эволюция 29 астероидов главного пояса, 4 АСЗ (1985 WA, 1986 DA, 1986 JK и 1987 QB) и 6 фиктивных астероидов, большие полуоси которых близки к резонансу 5/2 с Юпитером. Исследование проводилось численными методами, интервал интегрирования составил 100000 лет. В результате было получено, что 15 астероидов главного пояса не достигают точного резонанса на рассматриваемом интервале времени, их критические аргументы циркулируют. Остальные 14 астероидов главного пояса проходят через точный резонанс, их можно разделить на 3 подгруппы: 1. Критический аргумент то циркулирует, то колеблется около 0 с амплитудой ±150. Колебания эксцентриситета достигают максимальных значений между 0.4 и 0.5. К этой подгруппе относятся 3 объекта. 2. Критический аргумент колеблется около медленно смещающегося центра либрации с амплитудой ±50. Когда критический аргумент колеблется около 0, то эксцентриситет увеличивается и достигает величин 0.5. Эта подгруппа содержит 7 астероидов. 3. Критический аргумент колеблется около смещающегося центра либрации и затем стабилизируется около 0. Такое поведение приводит к значениям эксцентриситета е 0.6 и во многих случаях к тесным сбли жениям с Юпитером, следствием чего является хаотическая эволюция. К этой подгруппе принадлежат 4 объекта. АСЗ расмотрены в этой работе отдельно, так как на их эволюцию существенное влияния оказывают сближения с планетами земной группы и Юпитером. Получены следующие результаты. Критический аргумент астероида 1985 WA колеблется около 0 с амплитудой ±40 в течение порядка 37 тыс. лет, при этом эксцентриситет достигает значения 0.8. Затем критический аргумент начинает циркулировать, происходят сближения с Юпитером, что приводит к хаотической эволюции. Критический аргумент астероида 1986 DA колеблется около 0 с амплитудой ±30 почти на всем рассматриваемом интервале времени, что приводит к квазипериодическим изменениям эксцентриситета в пределах (0.3, 0.6). Критический аргумент АСЗ 1986 JK колеблется около 0 в течение порядка 45 тыс. лет, эксцентриситет в это время изменяется более или менее периодически около значения 0-6 с амплитудой 0.08. Затем под влиянием тесного сближения с Землей критический аргумент начинает циркулировать и эксцентриситет увеличивается до 0.8, что приводит к сближениям с Юпитером. Астероид 1987 QB вследствие тесного сближения с Юпитером (0.6 а.е.) переходит в окрестность резонанса 8/3.
В работе (Ипатов, 1995) исследована орбитальная эволюция 500 фиктивных астероидов, движущихся в окрестности резонанса 5/2 с Юпитером. Метод исследования - численное интегрирование уравений движения задачи трех тел. В результате исследования получено, что более 1/6 астероидов, имеющих начальный эксцентриситет е = 0.15, могут достигнуть орбиты земли за 100 тыс. лет. Причем среднее время миграции асте роидов к Земле из люка Кирквуда 5/2 меньше, чем из других областей Солнечной системы.
Исследования резонанса 5/2 с Юпитером продолжаются и в настоящее время. Из работ последних лет стоит отметить следующие (Ipatov, 2002; Абдульмянов, 2002).
В работе (Ipatov, 2002) исследована миграция астероидов из резонанса 3/1 и 5/2 с Юпитером к Земле и проведено сравнение результатов, полученных с помощью симплектического интегратора и метода Вулиша-Штера. Получено, что в некоторых случаях симплектический метод может давать большие ошибки.
В работе (Абдульмянов, 2002) получены уравнения либрациошюго движения астероидов для соизмеримостей общего вида на основе модели обобщенного идеального резонанса, проведена классификация либраци-онных орбит и определены резонансные параметры, границы и амплитуды либрации для соизмеримостей 1/1, 4/3, 3/2, 3/1, 5/2, 7/3 и 2/1 с Юпитером. Для резонанса 5/2 границы резонансной зоны по большой полуоси составили (2.77 а.е., 2.89 а.е). На эпоху 30.01.2005 в каталоге Боуэлла содержится 15733 астероида, начальные элементы которых находятся в пределах рассматриваемой резонансной зоны (эти астероиды составляют всего 0.057% от общего числа объектов). Из них 63 астероида сближаются с Землей.
Алгоритм построения вероятностной области движения астероида
Классические уравнения движения небесных тел (2.1) имеют ряд особенностей, оказывающих заметное влияние на процесс их численного интегрирования. Во-первых, решения этих уравнений неустойчивы по Ляпунову, вследствие чего ошибки на текущем шаге интегрирования становятся ошибками начальных данных следующего и в дальнейшем усиливаются. Задача стабилизации заключается в том, чтобы ослабить влияние ляпуновской неустойчивости на численное решение и улучшить таким образом поведение неустранимых ошибок интегрирования. Во-вторых, уравнения (2.1) сингулярны в начале координат и при тесных сближениях с возмущающими телами. Для орбит АСЗ, имеющих большие эксцентриситеты, когда скорость изменения центрального радиуса растет при приближении к перицентру и убывает при удалении от него, наличие особенности в начале координат приводит к неравномерному изменению функций правых частей уравнений движения. При численном решении задачи такая неравномерность требует постоянного изменения шага интегрирования и приводит к непроизводительным затратам машинного времени. Процедуру, позволяющую устранить сингулярность дифференциальных уравнений движения, называют регуляризацией.
В случае тесных сближений с возмущающими телами также появляется неравномерность в изменении функции правых частей уравнений движения, приводящая к потере точности интегрирования. Наиболее сложный случай представляет собой движение долгопериодических комет и рассматриваемых в настоящей работе астероидов, сближающихся с большими планетами. Эти тела движутся по высокоэксцентричным орбитам и имеют тесные сближения с планетами.
Традиционные методы регуляризации (например, преобразование Кустаанхеймо-Штифеля) устраняют сингулярность в начале координат, но при рассмотрении движения АСЗ этого недостаточно. В данной работе чтобы избавиться от сингулярности при сближении астероида с большими планетами в стабилизированные уравнения вводится модифицированным временное преобразование сундмановского типа (2.3), позволяющее при тесных сближениях понижать скорость изменения функции правых частей уравнений движения.
Родоначальниками стабилизации в небесной механике являются Дж. Ваумгарт (Baumgarte, Stiefel, 1974) и П. Накози (Nacozy, 1971). Их стабилизирующие методы основаны на применении известных интегралов, которые содержат дополнительную информацию о решении и рассматриваются как необходимые условия, предъявляемые к решению.
Технически стабилизация достигается путем исправления численного (ошибочного) решения за его уклонение от интегральной поверхности в фазовом пространстве интегрируемых переменных. В возмущенной задаче, когда интегральная поверхность динамична, а ее интегральный параметр становится переменным, для оценки уклонений решения используются те же интегральные соотношения, однако система уравнений дополняется уравнением для интегрального параметра, которое интегрируется численно совместно со всей системой (Baumgarte, Stiefel, 1974).
Стабилизация применяется как непосредственно к самому решению в процессе интегрирования (Nacozy, 1971), так и посредством введения дополнительных так называемых стабилизирующих членов в дифференциальные уравнения (Baumgarte, Stiefel, 1974). Очевидно, в этом случае стабилизация тем эффективнее, чем слабее возмущения и чем медленнее меняются параметры опорных интегральных поверхностей.
Из всех интегральных соотношений авторы стабилизирующих методов выделяют энергетические, поскольку, как показывает практика, именно стабилизация по энергии наиболее эффективна в борьбе с ляпу-новской неустойчивостью.
Эффективный метод стабилизации был предложен Дж. Баумгартом (Baumgarte, Stiefel, 1974). Метод Баумгарта основан на идее искусственного введения в дифференциальные уравнения движения так называемых стабилизирующих (возмущающих) членов, компенсирующих отклонения численного решения от некоторой опорной интегральной поверхности (точного решения). Рассмотрим метод на примере систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Пусть система уравнений первого порядка
Условие стабилизации определяется знаком 7: для стремления АС к нулю при увеличении независимой переменной t (At 0) параметр у должен быть больше нуля, в противном случае (At 0) — меньше. При этом значение параметра 7 по модулю должно быть не больше единицы. Пусть теперь система уравнений (4.1) возмущается некоторой функцией Р: В возмущенном случае опорное значение С интегральной функции становится переменной величиной. В соответствии с (4.3) и (4.4) ее поведение будет описываться дифференциальным уравнением (4.8) в возмущенную систему (4.7). В результате стабилизированная система в возмущенном случае примет вид С аналитической точки зрения, при q = q стабилизированная система (4.9) эквивалентна системе (4.7), так как АС = 0. Однако в отличие от последней первая асимптотически устойчива по С. Это свойство дифференциальных уравнений весьма ценно при численном интегрировании, поскольку оно позволяет удерживать численное решение около интегральной поверхности, при этом учитываются топологические свойства точного решения. Тогда как численное интегрирование нестабилизи-рованных уравнений сопровождается дрейфом ошибки от интегральной поверхности. Говоря о начальных условиях стабилизированной системы, следует заметить только, что стартовое значение переменной С задается по начальным значениям переменных q: Со = C(qo). Несмотря на то, что после стабилизации уравнения становятся сложнее и требуют больше вычислительного времени, они могут значительно повысить оперативность интегрирования, так как стабилизация позволяет увеличить шаг интегрирования, сохраняя при этом точность численного решения. В случае возмущенной задачи двух тел (см. раздел 2.2.1) стабилизированные уравнения Баумгарта примут вид:
Стабилизированные уравнения с модифицированным временным преобразованием сундмановского типа
Наблюдения планет и астероидов показывают наличие в Солнечной системе большого числа соизмеримостей между средними движениями планет и астероидов. Говорят, что астероид и планета движутся вблизи некоторой соизмеримости, если периоды обращений астероида и планеты относятся между собой приблизительно как взаимно-простые малые числа. Такую соизмеримость обычно называют орбитальным резонансом. Как было сказано в разделе 3.2.2, явление резонанса можно охарактеризовать величиной резонансной щели и критическим аргументом. В настоящем разделе мы остановимся на этом вопросе более подробно.
Исследование поведения критического аргумента является важной составляющей в изучении резонансного движения, поэтому остановимся на этом понятии более подробно. Кроме того рассмотрим связанную с критическим аргументом проблему малых знаменателей. Эффект малых знаменателей был открыт французским астрономом и математиком П.С. Лапласом (Laplace, 1799) при попытке решить проблему «неправильностей» в системе Солнце - Юпитер - Сатурн, которая заключалась в том, что движение Юпитера и Сатурна не удавалось объяснить с помощью существующих в то время аналитических теорий. Рассмотрим возмущенную задачу двух тел. В этом случае уравнения Эйлера для оскулирующих элементов орбиты (Дубошин, 1968) можно записать в виде: где эок — элементы оскулирующей орбиты астероида, э — элементы оскулирующей орбиты j-й планеты, nij — масса j-Й планеты, і — время, — некоторая функция времени и двенадцати оскулирующих элементов 3ofc И 3jfc- Каждая функция Е: может быть представлена шестикратным рядом Фурье по синусам и косинусам сложного аргумента где ko,kj,li,l2,k,h — целые числа; Х{ — МІ + ШІ = щ{Ь — п) 4- tUi — средняя долгота, Mj — средняя аномалия, ШІ — долгота перицентра, t — время, ТІ — время прохождения через перицентр, Qi — долгота восходящего узла, Ui — аргумент перицентра, г принимает значения «О» или «J», причем индекс «О» относится к астероиду, индекс «j» — к планете. Мы можем записать где коэффициенты зависят от больших полуосей, эксцентриситетов и наклонений, к означает всю совокупность шести индексов и суммирование производится по всем этим индексам, так что каждый из них принимает все значения от —со до со таким образом, чтобы все индексы одновременно не равнялись нулю. Считая в первом приближении все коэффициенты А и В постоянными, после интегрирования уравнений (5.1) получим Полученное решение содержит вековую и периодическую часть. При этом каждый отдельный периодический член имеет период В зависимости от величины периода периодические члены делятся на короткопериодические и долгопериодические. В случае, если средние движения астероида и j -й планеты рационально почти соизмеримы, то при интегрировании уравнений Эйлера появляется малый делитель к$щ — kjUj и амплитуда данного периодического члена может оказаться значительной. Вследствие этого члены, содержащие малые делители, нельзя не учитывать при построении аналитической теории. В случае орбитального резонанса соответствующий аргумент р будет колебаться около некоторого центра (при отсутствии соизмеримости аргумент циркулирует). Такой аргумент называют критическим или резонансным (Красинский, 1973; Гринберг, 1980; Murray, Dermott, 1999). В ряде работ критический аргумент рассматривается в качестве основной характеристики резонанса. В работе (Yoshikawa, 1991) приводится следующее определение резонансного астероида: астероид является резонансным, если его критический аргумент либрирует или медленно циркулирует (период циркуляции больше чем 1000 лет). Аналогичного определения придерживаются авторы работы (Hahn et al., 1991): к резонансным относятся астероиды, критический аргумент которых колеблется около неподвижного или смещающегося центра либрации. Однако резонансными могут быть астероиды, для которых в течение длительного времени сохраняется малая резонансная щель, но они не проходят через значение точной соизмеримости. В таком случае критический аргумент будет циркулировать (Чеботарев, 1973). Поэтому для исследования резонанса лучше использовать обе характеристики: резонансную щель и критический аргумент. В данной работе исследуется движение АСЗ в окрестности резонан-сов низких порядков с большими планетами. При рассмотрении таких движений особое значение имеет геометрия резонанса, т.к. устойчивые геометрические конфигурации могут служить защитным механизмом от сближений. В описании геометрии и физики резонанса мы будем следовать монографии (Murray, Dermott, 1999).
Рассмотрим механизм резонанса с геометрической точки зрения на примере движения астероида в резонансе 2/1 с Юпитером.
На рис. 35 показаны относительные конфигурации астероида 26166 1995 QN3 и Юпитера, такие что в начальный момент времени to = 2454188.5 Юпитер и астероид находятся в соединении и астероид расположен в перигелии своей орбиты (рис. 35а). Так как они находятся в резонансе 2/1, то астероид проходит два полных периода, тогда как Юпитер один. Будем рассматривать положения через одну четверть периода Юпитера. Относительное положение астероида и Юпитера в момент времени t = 2455269.5 показано на рис. 35Ь, в этот момент астероид находится в афелии, а Юпитер прошел \ орбиты. Хотя наитеснейшее сближение между орбитами находится в афелии орбиты астероида, Юпитер в этой момент находится далеко от астероида. Аналогичная ситуация повторяется, когда Юпитер достигает этой позиции в момент времени t = 2456392,5, но астероид уже будет в перигелии (рис. 35с). В момент времени t — 2457392.5 астероид возвращается в опасную точку, но Юпитера там нет (рис. 35d). Когда t = IQ + TJ, конфигурация орбиты совпадает с конфигурацией, показанной на рис. 35а (за Tj принимается период Юпитера). Таким образом, хотя в данном случае и появляется возможность для тесного сближения и больших возмущений от Юпитера в афелии орбиты астероида, такие сближения благодаря резонансному механизму не происходят. Это пример устойчивого равновесия между Юпитером и астероидом.
Похожие диссертации на Численное моделирование движения резонансных астероидов, сближающихся с землей
