Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 Расчет и исследование металлодиэлектрического резонатора микроволнового измерителя влажности газа
1.1 Введение 21
1.2 Построение электродинамической модели МДР и выбор методаисследования 23
1.3 Составление характеристического уравнения 27
1.4 Результаты расчета резонансной частоты 31
1.5 Исследование распределения электрического поля в резонаторе 35
1.6 Исследование влияния температуры диэлектрической пластины идавления газа на резонансную частоту 39
1.7 Составление выражения для расчета добротности 43
1.8 Результаты расчета добротности 49
1.9 Заключение 55
Глава 2 Расчет и исследование металлодиэлектрического резонатора с поглощающей пленкой
2.1 Введение 58
2.2 Составление характеристического уравнения и расчетноговыражения для добротности резонатора 59
2.3 Результаты расчета резонансной частоты и добротности 62
2.4 Исследование влияния пленки воды или высших углеводородов 64 на распределение электрического поля в резонаторе
2.5 Заключение 71
Глава 3 Разработка алгоритмов расчета металлодиэлектрических резонаторов, предназначенных для экспериментального исследования параметров диэлектрических материалов
3.1 Введение 72
3.2 Исследование цилиндрического резонатора со вставкой изпоглощающего диэлектрика 82
3.2.1 Составление характеристического уравнения 82
3.2.2 Методика расчета параметров диэлектриков. Результатычисленного моделирования 85
3.3 Расчет и исследование цилиндрического резонатора сдиэлектрической пластиной и кольцевой щелью 89
3.4 Применение разработанного алгоритма для измерения параметров диэлектрических материалов 96
3.4.1 Методика измерений резонансной частоты и добротности 96
3.4.2 Результаты расчета параметров диэлектриков 102
3.5 Заключение 106
Глава 4 Расчет и исследование металлодиэлектрического резонатора для рубидиевого стандарта частоты
4.1 Введение 108
4.2 Построение электродинамической модели и составлениехарактеристического уравнения исследуемого резонатора 111
4.3 Разработка расчетного алгоритма 113
4.4 Результаты расчета и исследования характеристик резонатора взависимости от параметров металлической пленки 118
4.5 Исследование факторов, влияющих на частоту РСЧ 123
4.5.1 Исследование влияния на частоту РСЧ параметров СВЧрезонатора и количества металлического рубидия в ячейке 123
4.5.2 Анализ причин «старения» РСЧ по частоте. Определениеспособов снижения влияния этих причин на частоту стандарта 126
4.6 Заключение 128
Заключение 130
Литература 133
Приложение
- Построение электродинамической модели МДР и выбор методаисследования
- Составление характеристического уравнения и расчетноговыражения для добротности резонатора
- Исследование цилиндрического резонатора со вставкой изпоглощающего диэлектрика
- Построение электродинамической модели и составлениехарактеристического уравнения исследуемого резонатора
Введение к работе
Диссертация посвящена расчету и исследованию объемных резонаторов СВЧ диапазона с неоднородным диэлектрическим заполнением и тонкими металлоди-электрическими включениями (металлодиэлектрических резонаторов - МДР).
Актуальность темы. Разработка строгих методов расчета СВЧ-устройств [1-3] является важнейшим направлением современной прикладной электродинамики. В СВЧ-устройствах различного назначения широко применяются [4-8] металлоди-электрические резонаторы (МДР). Неоднородное диэлектрическое заполнение таких резонаторов расширяет функциональное назначение созданных на их основе СВЧ-устройств, позволяет уменьшить их размеры и улучшить технические характеристики. Резонаторы с частичным диэлектрическим заполнением применяются для построения различных частотно-избирательных и частотно-разделительных устройств [6, 7], миниатюрных генераторов и усилителей СВЧ [8, 9], объемных [10] интегральных схем, колебательных систем квантовых дискриминаторов [11, 12] и др.
Важным направлением использования МДР является их применение в установках для контроля и измерения параметров различных веществ, в частности нефти [13] и природного газа [14-16]. Транспортируемый потребителю газ по своим параметрам (плотность, температура, влажность и др.) должен соответствовать определенным стандартам [16]. В связи с этим большой практический интерес представляет разработка микроволновых измерителей указанных выше параметров и, в частности, измерителя влажности газа. Применение частично заполненного МДР в качестве датчика температуры «точки росы» (ТТР) в таком измерителе открывает большие возможности [15] для повышения его точности.
При измерении параметров диэлектриков резонансным методом [17-19] МДР используются в составе установок в качестве измерительных резонансных ячеек. Обычно изготавливается образец диэлектрика специальной формы, который помещается в резонансную полость; проводятся измерения резонансной частоты и добротности резонатора, по данным которых расчетным путем определяются параметры диэлектрика (относительная диэлектрическая проницаемость е и тангенс угла диэлектрических потерь tg5). Однако изготовление образца диэлектрика определен- ной формы не всегда возможно или нежелательно (в частности, если требуется определение параметров образцов листовых диэлектриков с геометрическими размерами, существенно превышающими размеры резонансной ячейки). В этом случае используются так называемые «неразрушающие» измерения [20], при которых не требуется изготовления образца специальной формы. Причем, в связи с необходимостью учета особенностей используемой для «неразрушающих» измерений конструкции резонансной ячейки (нерегулярность экранирующей поверхности резонатора, диэлектрик, выходящий за пределы экрана и т.п.), усложняются алгоритмы и программы расчета параметров диэлектриков.
Еще одним важным практическим применением МДР является их использование [11, 12, 21] в качестве колебательных систем дискриминаторов квантовых стандартов частоты и времени (КСЧ): рубидиевых, водородных и др. В рубидиевых стандартах частоты (РСЧ) на стабильность частоты стандарта влияет нестабильность характеристик МДР (в частности, резонансной частоты и добротности) вследствие так называемого механизма «затягивания частоты». Кроме того, на стабильность частоты рубидиевого стандарта влияет изменение количества металлического рубидия в ячейке РСЧ, происходящее вследствие его взаимодействия со стенками ячейки. В этом случае для обеспечения высокой стабильности частоты РСЧ требуется обеспечить стабильность характеристик МДР и определенное количество металлического рубидия в ячейке рубидиевого стандарта. Указанные задачи могут быть решены с использованием неоднородно заполненных МДР. В частности, для обеспечения требуемого количества рубидия в ячейке РСЧ можно бесконтактным способом контролировать его количество в ячейке в процессе изготовления рубидиевого дискриминатора, что может быть осуществлено с применением МДР.
При использовании МДР для физических исследований определяемые величины находятся вычислительным путем, поэтому точность определения этих величин зависит от строгости применяемых методов расчета и степени учета конструктивных особенностей резонаторов. Таким образом, расчет и исследование характеристик МДР, применяющихся в качестве чувствительных резонансных ячеек или микроволновых датчиков в аппаратуре для физических исследований, с использованием строгих и обоснованных методов расчета и создание на основе этих методов быстродействующих и эффективных алгоритмов и программ является актуальной проблемой. Ее решение представляет собой важную научную и практическую задачу. Микроволновые датчики и резонансные ячейки, построенные на основе МДР, могут быть использованы в научных и производственных целях, что позволит расширить область применения микроволновых методов измерений.
Целью диссертации является разработка (на основе строгих и обоснованных методов) эффективных быстродействующих алгоритмов и программ расчета характеристик цилиндрических металлодиэлектрических резонаторов, использующихся в аппаратуре для физических исследований {датчике температуры «точки росы», установках для измерения параметров диэлектриков и определения количества рубидия в ячейке РСЧ), а также оптимизация параметров указанных выше МДР для улучшения технических характеристик созданных на их основе приборов и установок.
Для достижения указанной выше цели в диссертации проводится электродинамическое исследование ряда конструкций МДР, использующихся в аппаратуре для физических исследований, а именно: резонатора микроволнового датчика ТТР, рис. В1; двух резонансных ячеек для измерения параметров диэлектриков (цилиндрического резонатора с поглощающей вставкой для измерения параметров диэлектриков с большим уровнем потерь и резонатора для «неразрушающих» измерений параметров листовых диэлектриков, рис. В2); резонатора со стеклянной ячейкой и пленкой рубидия для РСЧ, рис. ВЗ. $&$$№*
У. О. ' -" v
, *..'/
2" \>3\
Рис.ВІ Рис."В2 РисВЗ
Первая из указанных выше конструкций, рис. В1, используется [15] в микроволновом измерителе влажности газа и представляет собой цилиндрический волно-водный резонатор с диэлектрической пластиной, расположенной вблизи одного из его торцов. В резонаторе возбуждается симметричное магнитное колебание, близкое по структуре к колебанию Н0ц цилиндрического резонатора. Нижняя поверхность диэлектрической пластины металлизирована, К ней плотно прижат микрохолодильник-нагреватель, с помощью которого температуру пластины можно изменять в широких пределах. Через резонатор прокачивается исследуемый газ. При достижении пластиной температуры, соответствующей ТТР, на ее поверхности, обращенной внутрь резонатора, конденсируется пленка воды или жидких высших углеводородов. Значение температуры пластины, соответствующее моменту выпадения пленки (который индицируется по сдвигу резонансной частоты и изменению добротности резонатора), позволяет при известном давлении газа определить с помощью термодинамических методов его влажность. Таким образом, влажность газа не связана с характеристиками резонатора. Однако их расчет необходим для оптимизации геометрических размеров датчика ТТР с целью повышения его чувствительности. Поскольку датчик ТТР работает в КВЧ-диапазоне, он имеет очень малые геометрические размеры, что существенно усложняет его экспериментальную доводку. Поэтому строгое электродинамическое исследование резонатора датчика ТТР и расчет его основных характеристик имеют большое практическое значение.
Частным случаем конструкции МДР, рис.ВІ, при є2 = I является исследуемый в диссертации цилиндрический резонатор с диэлектрической вставкой. Такая конструкция описана в известной литературе [17—19] и применяется, в частности, при измерении параметров диэлектриков. Обычно б и tgS диэлектриков определяются по измеренным значениям резонансной частоты и добротности. Однако, при высоком уровне потерь в диэлектрике измерения последнего параметра оказываются затруднительными и имеют невысокую точность. В связи с этим представляет интерес разработка новых подходов, позволяющих с помощью указанной выше резонансной ячейки измерять параметры поглощающих диэлектриков. В диссертации предлагается способ определения параметров диэлектриков со сравнительно высоким уровнем потерь по значениям резонансных частот полностью и частично заполненных исследуемым диэлектриком резонаторов.
Вторая конструкция, рис. В2, используемая для «неразрушающих» измерений параметров листовых диэлектриков, представляет собой цилиндрический волновод-ный резонатор, один из торцов которого закрыт диэлектрической пластиной. С внешней стороны пластины расположен экран. В резонаторе возбуждается симметричное магнитное колебание, близкое по структуре к колебанию Н0ц цилиндрического резонатора. Края пластины выходят за пределы резонансного объема. Фланец резонатора и нижний слой металлизации образуют заполненную диэлектриком кольцевую щель, которую можно рассматривать как радиальный волновод, запредельный на рабочей частоте. Для повышения точности измерений в первую очередь стремятся уменьшить инструментальные погрешности. Однако при косвенных измерениях необходимо также минимизировать ошибки, вносимые расчетным алгоритмом. В связи с этим представляет интерес разработка алгоритма, позволяющего учесть конструктивные особенности измерительной ячейки. Анализ литературы по исследованию параметров материалов на СВЧ показал, что конструкция, аналогичная приведенной нарис. В2, в известной литературе не рассматривалась.
Третья конструкция, рис. ВЗ - это объемный цилиндрический резонатор со стеклянной ячейкой (колбой), аналогичный резонатору РСЧ. На внутреннюю поверхность ячейки напылена пленка металла (в РСЧ - рубидия). Такой МДР можно использовать для определения количества рубидия в ячейке РСЧ путем определения толщины рубидиевой пленки. Для обеспечения требуемой стабильности частоты РСЧ необходимо [11], чтобы в ячейке находилось определенное количество изотопов рубидия. В диссертации конструкцию, рис. ВЗ, предлагается исследовать - с наиболее общих позиций - как трехслойный МДР, в котором металлическая пленка рассматривается как слой диэлектрика с комплексной диэлектрической проницаемостью, мнимая часть которой значительно превышает действительную. Конструкция, подобная приведенной на рис. ВЗ, рассматривалась в литературе [22], однако при этом все слои являлись идеальными диэлектриками.
Поскольку в МДР, рис. ВЗ, металлическая пленка очень тонкая (ее толщина много меньше толщины скин-слоя), то для расчета характеристик этого резонатора можно воспользоваться также методом поверхностного тока (МПТ) [23]. Применение МПТ при исследовании различных электродинамических структур с тонкими проводящими (резистивными) пленками подробно рассмотрено в работах [23-25]. Представляет интерес получить характеристическое уравнение резонатора, рис. ВЗ, двумя методами (МЧО и МПТ) и сопоставить полученные результаты.
Методы исследования. Основные результаты теоретических исследований, представленные в диссертации, получены на основе строгого электродинамического метода - метода частичных областей (МЧО). Причем при расчете рассматриваемых в диссертации электродинамических структур использовались различные модификации МЧО (МЧО с дискретным набором собственных функций, МЧО с непрерывным спектром собственных функций), отличающиеся способами разбиения исследуемых резонаторов на частичные области и процедурами «сшивания» полей на границах раздела. Кроме того, расчет характеристик МДР с пленкой рубидия осуществлялся как методом частичных областей, так и методом поверхностного тока.
Научная проблема, решаемая в диссертации. Рассматриваемые в диссертации резонансные структуры, рис.В1 — ВЗ, представляют собой достаточно сложные объекты для электродинамического исследования: они имеют частичное диэлектрическое заполнение (как с потерями, так и без) в сочетании с нерегулярной экранирующей поверхностью (наличие кольцевой щели, рис. В2) и металлическими (металлическая пленка, рис.ВЗ) включениями. Цилиндрические полностью экранированные МДР являются хорошо исследованными структурами. Для их исследования применялись разные методы и, в частности, различные варианты метода интегрального уравнения [26-29], метод моментов [30], численные методы [31-33]. Однако наиболее эффективным и часто используемым при исследовании конструкций МДР, подобных рассматриваемым в диссертации, является метод частичных областей [34,35]. Он позволяет получать достаточно простые расчетные алгоритмы, обладающие необходимой точностью. На сегодняшний день разработано много модификаций и разновидностей МЧО [1-3, 22, 35-42]. Эффективность применения этого метода зависит от способа разбиения резонансного объема на частичные области и от полноты системы собственных функций (СФ), используемых для представления поля в этих областях [43].
Анализ литературы [22,23,42-62] показывает, что МЧО широко применяется при исследовании различных волноведущих и резонансных структур СВЧ-диапазона и, в частности, цилиндрических волноводов и резонаторов с частичным диэлектрическим заполнением. Поскольку данная диссертация посвящена расчету и исследованию цилиндрических МДР рассмотрим применение МЧО при исследовании таких резонансных структур. Простейшими резонаторами этого типа являются двухслойные структуры, схематически показанные на рис.В4 и рис.ВЗ, в которых естественным образом производится разбиение на частичные области (ЧО).
Рис. В5 лі'; х у v x\;v < У \ 'V Є2,
Рис. В4
При этом фаница раздела ЧО 1 и 2 в обеих структурах совпадает с границей раздела диэлектриков с относительными проницаемостями Si и Є2. Применение процедуры МЧО для данных резонаторов позволяет сразу получить систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Поскольку в областях 1 и 2 координатная зависимость полей вдоль границы сшивания одинакова, она сразу исключается из функциональных уравнений, которые следуют из граничных условий. Характеристические уравнения резонаторов получаются из условия нетривиальности решений соответствующих СЛАУ.
Резонаторы, рассматриваемые в диссертации, конструктивно весьма близки к структурам, показанным на рис.В4 и В5. В связи с этим укажем на основные работы, посвященные исследованию таких структур. В частности, в работах [44-46] с использованием МЧО исследовались цилиндрические резонаторы с диэлектрическими стержнем или втулкой; причем в работе [44] приведены результаты исследования для симметричного магнитного колебания, в [45] - для симметричных и несимметричных магнитных и электрических типов колебаний, а в [46] - для несимметричных колебаний с большими азимутальными индексами (п > 3).
Цилиндрические резонаторы с диэлектрической пластиной (при использовании колебания Нои в качестве рабочего типа) и диэлектрическим стержнем или втулкой (при использовании колебания Еою) также рассматривались в литературе, посвященной измерению параметров диэлектриков на СВЧ, в частности, в моногра- фиях [17 - 19]. В этих работах приведены характеристические уравнения резонаторов, рис.В4 и В5. С их помощью в предположении малых размеров диэлектрических образцов получены простые расчетные выражения для определения є и tg5 диэлектрика по данным измерений резонансной частоты и добротности резонатора.
Характеристические уравнения резонаторов, рис. В4 и В5, можно также получить, рассматривая их как закороченные на концах отрезки двухслойных волноводов (соответственно, плоского радиального, рис.Вб, и круглого цилиндрического, рис.В7). Круглый волновод с двухслойным диэлектрическим заполнением относится к числу хорошо исследованных электродинамических структур [22,47-49]. х v > ''ХХЛ- -^,,,-,,,,,,,,. '' N v V v < *s -.- j- v v > ".,-,-.-..
1 : - -
Рис. B6 Рис. B7
Для этого волновода разработана классификация типов волн [22] и подробно исследованы дисперсионные свойства большого числа волн [47], включая комплексные [48]. Плоские радиальные слоистые волноводы на практике не используются как направляющие системы, поэтому их дисперсионные свойства изучены в меньшей степени [23]. Плоский трехслойный радиальный волновод исследован в работе [23], в которой рассчитаны дисперсионные характеристики основных типов волн.
На практике используются и более сложные цилиндрические металлодиэлек-трические резонаторы. Примером является исследуемый в диссертации МДР, рис.В2. Для исследования резонатора, рис. В2, можно использовать различные варианты метода частичных областей, в том числе с использованием базисов собственных функций цилиндрического (рис. В6) и плоско-параллельного (рис. В 7) слоистых волноводов [23]. «Горизонтальный» вариант разбиения резонансного объема на частичные области (с выделением цилиндрических слоев аналогично тому, как это сделано на рис. В6) в данном случае не подходит (42], поскольку кольцевая щель не закорочена металлической поверхностью. Однако можно использовать «вертикальный» вариант разбиения резонансного объема МДР, рис. В2, на частичные области, при котором свободная от диэлектрика часть резонансного объема (область 1) и часть диэлектрической пластины, ограниченная цилиндрической поверхностью резонатора (область 2), образуют в совокупности отрезок двухслойного радиального волновода (40 1-2), а кольцевая щель - отрезок однородно заполненного радиального волновода, запредельного на рабочей частоте (ЧО 3). Очевидно, что на основе такого разбиения можно построить «строгий» вариант МЧО, но соответствующий ему расчетный алгоритм будет обладать низкой сходимостью, поскольку запись поля в области 1 резонансного объема в виде СФ радиального слоистого волновода не позволяет учесть граничных условий на цилиндрической поверхности экрана, размеры которого вдоль оси резонатора при малой толщине щели велики по сравнению с размерами границы сшивания Ч01-2 и 40 3. Чтобы обеспечить выполнение этих условий потребуется очень большой набор СФ слоистого волновода.
В соответствии со сказанным выше для резонансной структуры, рис. В2, больше подходит такой вариант МЧО, при котором области 1 и 2 выделяются в качестве самостоятельных 40. При этом область 1 можно рассматривать как коротко-замкнутый отрезок полого круглого волновода. Область 2 в этом случае обладает следующей особенностью: на ее границах отсутствуют граничные условия, соответствующие краевой задаче Штурма-Лиувилля, поэтому полный набор СФ для нее является непрерывным. При таком разбиении на 40 резонатора, рис. В2, его исследование можно проводить либо приближенно, подобрав подходящий набор СФ для описания поля в области 2 [50], либо строго - с использованием непрерывного спектра собственных функций (НССФ) в 40 2 [51-60].
Отметим, что непрерывный спектр собственных волн или собственных колебаний, в основном, находит применение при исследовании открытых линий передачи или открытых резонаторов [57-61]. При исследовании экранированных волнове-дущих и резонансных структур (то есть при решении внутренних задач электродинамики) НССФ использовался в сравнительно небольшом числе работ [51-56]. В [51] впервые указано на необходимость введения в некоторых случаях непрерывно- го спектра во внутренних задачах электродинамики. В работе [52] указан ряд структур, при исследовании которых возникает необходимость введения НССФ в одной из 40. В качестве конкретного примера электродинамической задачи, решаемой с использованием НССФ, в [52] рассмотрен прямоугольный коаксиал. В работах [53,54] МЧО с непрерывным спектром собственных функций был применен для исследования прямоугольного гофрированного волновода. Показано, что использование условий непрерывности тангенциальных составляющих полей на границах этой 40 приводит к системе интегральных уравнений (ИУ) относительно неизвестных спектральных функций (неизвестные спектральные функции при использовании МЧО с НССФ являются аналогами неизвестных амплитудных коэффициентов в представлениях полей дискретными наборами СФ), Для решения полученных систем интегральных уравнений (СИУ) в этих работах был предложен метод выделения «доминирующей части» непрерывного спектра. В работе [56] непрерывный спектр использовался при исследовании цилиндрического резонатора с диэлектрическим стержнем, применяемого для измерения параметров диэлектриков, а в [55] - при исследовании резонатора для радиоспектроскопа.
Метод частичных областей с НССФ приводит [62] к системам ИУ с бесконечными пределами интегрирования относительно неизвестных спектральных функций (или спектральных амплитуд), которые являются аналогами неизвестных амплитудных коэффициентов при представлении полей дискретными наборами СФ. Решение таких СИУ является достаточно сложной задачей [62] и может быть осуществлено различными методами [52 - 56,62]. В частности, для этой цели может быть использовано разложение неизвестных спектральных амплитуд в ряды по подходящим системам базисных функций, обеспечивающим сходимость интегралов с бесконечными пределами интегрирования; можно также воспользоваться методом выделения «доминирующей части» непрерывного спектра (НС) [53-55]. В последнем случае непрерывный спектр ограничивают конечным набором наиболее интенсивных составляющих с неизвестными значениями волновых чисел, которые определяются затем в ходе решения задачи вместе с амплитудами этих составляющих.
В работах [53 - 55] для алгебраизации систем ИУ предлагается использовать дискретный набор спектральных составляющих с неизвестными амплитудами, эквидистантно расположенных вдоль оси продольного волнового числа а с неизвест- ным пространственным периодом Т. Недостаток такого варианта метода выделения «доминирующей части» НС заключается в том, что только первая спектральная составляющая будет заведомо соответствовать наиболее интенсивной составляющей непрерывного спектра, последующие же (отстоящие от нее по оси а на Т, 2Т, ЗТ, и т.д.) в лучшем случае могут оказаться лишь вблизи таких составляющих. В диссертации для резонансной структуры, рис.В2, исследование которой основывается на МЧО с НССФ, предлагается новый вариант метода выделения «доминирующей части» непрерывного спектра. В этом варианте для определения взаимного расположения спектральных составляющих на осях волновых чисел используется дополнительная априорная информация о геометрии резонансной ячейки.
На основе проведенного выше анализа разновидностей МЧО наметим пути исследования рассматриваемых в диссертации металлодиэлектрических резонаторов. Для МДР, рис. В1, естественно использовать вариант МЧО с «горизонтальным» разбиением, а для резонатора, рис.ВЗ - МЧО с «вертикальным» разбиением на частичные области, что отвечает особенностям геометрии этих резонансных структур. Для исследования структуры, рис.В2, целесообразно использовать МЧО с непрерывным спектром собственных функций.
Обоснованность и достоверность научных положений, выводов и рекомендаций, сформулированных в диссертации, подтверждается: использованием теоретически обоснованных методов расчета; контролем результатов путем проверки выполнения предельных переходов и исследования внутренней сходимости решений; сопоставлением результатов расчета с экспериментальными данными. Научная новизна. В результате выполнения работы:
На основе МЧО разработаны математические модели ряда конкретных конструкций МДР, используемых в аппаратуре для физических исследований, а именно: в микроволновом датчике ТТР и резонансных ячейках для измерения параметров диэлектриков и определения количества рубидия в ячейке РСЧ.
Разработан алгоритм расчета характеристик (резонансной частоты и добротности) резонатора датчика ТТР с учетом поглощающей пленки, осаждающейся на поверхности диэлектрической пластины. Исследовано влияние пленки на характеристики и распределение поля в резонаторе.
Разработан алгоритм расчета параметров диэлектриков с потерями по известным значениям резонансных частот полностью и частично заполненных исследуемым диэлектриком резонаторов.
Развит метод частичных областей с непрерывным спектром собственных функций, а именно: разработан новый вариант метода выделения «доминирующей части» непрерывного спектра, основанный на использовании априорной информации о геометрии резонансной ячейки.
На основе двух методов - МЧО и МПТ - получены характеристические уравнения резонатора с диэлектрической втулкой и металлической пленкой на ее внутренней поверхности. Показано, что при малой толщине пленки и ее высокой проводимости эти уравнения приводят к одинаковым результатам.
Теоретически исследованы факторы, влияющие на частоту рубидиевого стандарта частоты, к которым относятся параметры СВЧ резонатора РСЧ и изменение со временем количества металлического рубидия в ячейке РСЧ. Определены и указаны способы снижения этого влияния.
Практическая ценность работы заключается: в разработке алгоритмов и программ, позволяющих производить расчет и оптимизацию технических характеристик датчика температуры «точки росы»; в разработке алгоритмов и программ для проведения расчета и оптимизации характеристик резонансных ячеек, используемых для измерения параметров диэлектриков; в разработке способа определения и методики измерений параметров диэлектриков с большими потерями на СВЧ и алгоритма расчета этих параметров по известным значениям резонансных частот полностью и частично заполненных исследуемым диэлектриком резонаторов; в разработке способа определения и методики «неразрушающих» измерений параметров листовых диэлектриков на СВЧ и алгоритма их расчета по измеренным значениям резонансной частоты и добротности; в разработке способа определения количества рубидия в ячейке РСЧ; в исследовании факторов, влияющих на частоту РСЧ и определении путей снижения этого влияния. в выборе оптимальных параметров исследуемых МДР;
Реализация и внедрение результатов. Результаты, полученные при выполнении диссертации, внедрены в Научно-исследовательском институте измерительных систем и Нижегородском научно-исследовательском приборостроительном институте. В Научно-исследовательском институте измерительных систем при разработке микроволнового измерителя влажности газа внедрены результаты теоретического исследования его чувствительного элемента - резонансного датчика температуры «точки росы». В Нижегородском научно-исследовательском приборостроительном институте внедрены результаты исследования МДР для рубидиевого стандарта частоты, результаты теоретического анализа физических эффектов в РСЧ, а также результаты исследования факторов, влияющих на частоту РСЧ и способы снижения этого влияния.
Публикации и апробация работы. По теме диссертации опубликовано 23 работы [93-115]. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на следующих научно-технических конференциях: на III Международном симпозиуме «Биофизика полей и излучений и биоинформатика» в г. Тула (2000 г.); на I, II и III Международных научно-технических конференциях (НТК) «Физика и технические приложения волновых процессов» в г. Самаре и г. Волгограде (2001, 2003, 2004 г.г.); на V и VII Всероссийских НТК «Методы и средства измерения физических величин», г. Н. Новгород (2000, 2003 г.г.); на Всероссийской НТК «Информационные системы и технологии», посвященной 65-ти летиго факультета информационных систем и технологий НГТУ, г. Н, Новгород (2001г.); на III и IV Всероссийских НТК «Информационные системы и технологии», г. Н. Новгород (2003, 2004 г.г.); на НТК факультета информационных систем и технологий НГТУ, г. Н. Новгород (2000, 2002 г.г.); на региональном молодежном научно-техническом форуме «Будущее технической науки Нижегородского региона» в г. Н. Новгороде (2002 г.); на II Региональной молодежной НТК «Будущее технической науки Нижегородского региона», г. Н. Новгород, 2003г.; на IX Нижегородской сессии молодых ученых и специалистов в с/п «Голубая Ока» (2004 г.).
На защиту выносится: 1. Алгоритм, результаты расчета и исследования основных технических характеристик резонатора датчика температуры «точки росы».
Результаты расчета и исследования электрических характеристик резонансной ячейки для измерения параметров диэлектриков с большим уровнем потерь. Алгоритм расчета параметров диэлектриков по значениям резонансных частот полностью и частично заполненных исследуемым диэлектриком резонаторов,
Алгоритм, результаты расчета и исследования электрических характеристик резонансной ячейки для измерений параметров листовых диэлектриков.
Алгоритм и результаты расчета характеристик резонатора для определения количества рубидия в ячейке рубидиевого стандарта частоты.
Результаты исследования факторов, влияющих на частоту РСЧ и пути снижения этого влияния.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, библиографического списка из 115 наименований и приложений. Общий объем работы - 149 страниц.
Краткое содержание работы.
Во введении формулируется цель диссертационной работы, обосновывается ее актуальность, на основании обзора литературы ставятся задачи исследования, определяется новизна полученных результатов и их практическая ценность, формулируются основные положения, выносимые на защиту, кратко излагается содержание диссертации.
Первая и вторая главы диссертации посвящены исследованию методом частичных областей резонатора, рис. В1, используемого в измерителе влажности газа в качестве датчика ТТР. Исследование резонатора датчика ТТР производится в два этапа. В первой главе (на первом этапе исследования) разрабатывается алгоритм расчета характеристик резонатора с диэлектрической пластиной (без учета поглощающей пленки на поверхности пластины), производится расчет резонансной частоты и добротности резонатора, исследуется распределение электрического поля в резонаторе с целью повышения чувствительности датчика ТТР. Оценивается влияние на резонансную частоту температуры диэлектрической пластины и давления газа. Во второй главе (на втором этапе) исследуется влияние поглощающей пленки на резонансную частоту и добротность, а также на распределение поля в резонаторе с диэлектрической пластиной.
В третьей главе применительно к резонансной ячейке, используемой для измерения параметров диэлектриков с большими потерями, описывается метод расчета параметров таких диэлектриков, разработанный на основе МЧО. Составляется характеристическое уравнение резонатора и производится расчет резонансной частоты. Приводятся данные расчета параметров диэлектриков с потерями, полученные с использованием разработанного алгоритма.
Кроме того в данной главе на основе МЧО с НССФ рассматривается алгоритм расчета характеристик резонатора с диэлектрической пластиной и кольцевой щелью (диэлектрической пластиной, выходящей за пределы экрана резонатора). Такая конструкция МДР используется для «неразрушающих» измерений параметров диэлектрических материалов. Приводятся результаты расчета резонансной частоты. Исследуется влияние кольцевой щели на характеристики резонатора, рис. В2. Оценивается влияние неточности измерения толщины диэлектрика на погрешность измерений е.
В четвертой главе проводится исследование МДР, используемого для определения количества рубидия в ячейке рубидиевого стандарта частоты. На основе МЧО составляется характеристическое уравнение резонатора со стеклянной ячейкой и тонкой металлической (рубидиевой) пленкой, рис. ВЗ. Производится расчет резонансной частоты данной структуры. Приводятся результаты расчета и рассматривается возможность определения количества металлического рубидия в ячейке РСЧ по измеренному значению резонансной частоты МДР, рисВЗ. Кроме того, исследуется влияние металлического рубидия, находящегося в ячейке РСЧ, и параметров СВЧ резонатора на частоту рубидиевого стандарта и определяются способы снижения этого влияния.
В заключении перечислены основные результаты, полученные в процессе работы.
В приложениях приведены выражения для функций, входящих в характеристическое уравнение резонатора, используемого для измерения параметров диэлектриков с большими потерями, а также акты внедрения результатов диссертации.
Построение электродинамической модели МДР и выбор методаисследования
Цилиндрический СВЧ резонатор, используемый в датчике ТТР в качестве чувствительного элемента, схематически показан на рис. 1.1. В соответствии со сказанным выше, расчет и исследование основных технических характеристик резонатора датчика ТТР, рис. 1.1, являются важными практическими задачами. Для решения этих задач необходимо построить электродинамическую модель исследуемого резонатора и обоснованно выбрать метод исследования. Как видно из рис. 1.1, в реальной конструкции резонатора диэлектрическая пластина фактически является нижним торцом резонатора. Таким образом, между фланцем и нижней металлизированной поверхностью пластины образуется кольцевая щель, заполненная диэлектриком. Однако, на рабочей частоте и типе колебаний Н0ц , эта щель представляетисследуемый газ 2_ 4 собой отрезок запредельного радиального волновода (то есть критическая частота этого волновода лежит выше рабочей частоты резонатора). Предполагая, что щель имеет достаточную протяженность, излучением из этой щели пренебрегаем. Поскольку запредельная щель заведомо слабо влияет на электромагнитное поле резонатора, то при расчетах ее можно не учитывать и в электродинамической модели считать резонатор полностью экранированным. Справедливость этого предположения показана в работе [96].
Для обеспечения прокачки газа через резонатор в верхнем его торце сделаны два отверстия, рис. 1.1. Как будет показано ниже, характеристики резонатора слабо зависят от положения верхнего торца, поскольку напряженность электрического поля в области верхнего торца мала (электрическое поле оттягивается к диэлектрической пластине, расположенной вблизи нижнего торца). Поэтому наличие отверстий в верхнем торце резонатора практически не сказывается на его характеристиках и эти отверстия в электродинамической модели можно не учитывать.
Третье упрощение, вводимое в электродинамической модели, связано с тем, что в данной главе диссертации работа датчика ТТР рассматривается до момента достижения температуры «точки росы» (то есть до момента осаждения пленки жидкости на поверхности пластины), что позволяет в составляемой электродинамической модели эту пленку не учитывать. Влияние пленки на характеристики резонатора датчика ТТР будет исследовано в следующей главе.
Последнее предположение, используемое при составлении электродинамической модели, является весьма распространенным при исследовании СВЧ устройств: на этапе составления характеристического уравнения и расчета структуры электромагнитного поля стенки резонатора будем считать идеально проводящими, а диэлектрик - идеальным (без потерь). Это предположение является вполне обоснован ным, так как резонатор изготавливается из хорошо проводящего металла (медь), а диэлектрическая пластина — из материала с малым тангенсом угла диэлектрических потерь (поликор, кварц). На этапе расчета добротности резонатора потери в металлических стенках и в диэлектрике можно будет учесть методом возмущений [38].
Электродинамическая модель резонатора приведена на рис. 1.2. На рис. 1.2 введены сле дующие обозначения: область I - диэлектриче ская пластина (с относительной диэлектрической проницаемостью s); область 2 — свободная от ди электрика часть резонатора (ее относительная диэлектрическая проницаемость близка к едини це); h — толщина диэлектрической пластины, Н — высота экрана; а — радиус резонатора. рис_ 12 Электродинамический расчет характери стик резонатора, рис. 1.2, можно производить различными методами. Учитывая малую толщину диэлектрической пластины, можно, например, воспользоваться методом малых возмущений [17,38].
Метод малых возмущений заключается в том, что «возмущенная» задача (с учетом диэлектрической пластины, частично заполняющей резонатор) рассматривается как «невозмущенная» (без учета пластины), претерпевшая некоторое возмущение исходных условий. При малости возмущения решение «возмущенной» задачи можно определить в некотором приближении, зная решение «невозмущенной» задачи. Метод малых возмущений справедлив при условии, что внесенный в резонатор диэлектрик имеет объем, значительно меньший, чем объем самого резонатора, и, кроме того, є диэлектрика не должна сильно отличаться от о.
Если диэлектрическая пластина имеет значительную толщину h (то есть сравнимую с высотой резонатора Н) или высокое значение диэлектрической проницаемости є, то расчетные формулы, полученные методом малых возмущений использовать нельзя. В этом случае задача должна быть решена строгим электродинамическим методом, то есть с использованием уравнений электромагнитного поля в резонаторе с учетом пластины и граничных условий (например, методом частичных областей).
Поскольку в диссертации исследуется резонатор, у которого є диэлектрической пластины значительно больше є газового заполнения, то метод малых возмущений в этом случае неприменим и задачу следует решать строгим электродинамическим методом (методом частичных областей), с использованием электродинамической модели, рис, 1.2. Согласно МЧО, сначала записываются уравнения электромагнитного поля для каждой из частичных областей, а затем использование условий непрерывности полей на границах между 40 позволяет получить характеристическое уравнение исследуемого резонатора, в результате решения которого определяется его резонансная частота.
В [18] характеристическое уравнение резонатора, рис. 1.2, выводится строгим методом с использованием теории цепей с распределенными параметрами. Исследуемый резонатор рассматривается как стык двух короткозамкнутых на конце отрезков круглого волновода - полого, соответствующего пустой части резонатора, и заполненного однородным диэлектриком (область расположения диэлектрическойпластины).
Характеристическое уравнение резонатора, рис. 1.2, полученное строгим электродинамическим методом (МЧО) из условия согласования электромагнитных полей в различных частях резонатора, приведено в [17]. К сожалению, в [17] приведен только окончательный вид характеристического уравнения. Преобразования, предшествующие его получению и, в частности, выражения для электромагнитных полей, в [17] отсутствуют. В диссертации для получения характеристического уравнения исследуемого резонатора предполагается применить строгий электродинамический метод (МЧО), а уравнение, приведенное в [17], можно использовать для контроля правильности полученных аналитических выражений.Для расчета добротности СВЧ резонаторов на практике широко используется метод возмущений [35]. Исходная формула для расчета добротности Q имеет вид:
Составление характеристического уравнения и расчетноговыражения для добротности резонатора
Исследуемый резонатор схематически изображен на рис. 2.1. На рисунке введены следующие обозначения: область 1 - диэлектрическая пластина (относительнаядиэлектрическая проницаемость материала пластины Єї); область 2 - пленка воды или высших углеводородов (отно-_р сительную диэлеюрическую проницае щмость пленки жидкости S2 полагаемкомплексной величиной); область 3 свободная от диэлектрика часть резо Рис-2.1 нансного объема, заполненная газом(как было показано в предыдущей главе, относительная диэлектрическая проницаемость газа Ез при рабочем давлении незначительно отличается от единицы); d— длина резонатора; Ъ -толщина диэлеюрической пластины; с — толщина пленки; а — радиус резонатора. Как было отмечено выше, в качестве рабочего типа колебания исследуемого резонатора рассматривается колебание Hon Как было отмечено выше, расчет характеристик исследуемого резонатора (комплексной резонансной частоты со = й + / у") будем производить методом частичных областей. Разбиение резонатора на области показано на рис. 2.1. Поскольку в исследуемом резонаторе рабочим является симметричное магнитное колебание, то уравнение Гельмгольца записывается относительно магнитной компоненты Пвектора Герца. Решения уравнения Гельмгольца в частичных областях 1 и 3 имеют вид (1.2). Компонента вектора Герца Пт в области 2 (то есть в области пленки) заношениями:
В выражениях (2.1) - (2.2) обозначено: Уо (х) - функция Бесселя нулевого порядка; v oi = 3,832 - первый корень уравнения /0(х) = 0; р \х?г Р ідз + Р "і,2,з -продольные волновые числа в соответствующих областях (/? и /?" - соответственно действительная и мнимая части продольных волновых чисел в частичных областях); А\, А2, В2, А3 - неизвестные постоянные коэффициенты; а - резонансная частота; єо = 1/(36 тс)- Ю"9 Ф/м, цо = 4 я-10"7 Гн/м.
Электромагнитное поле рабочего колебания содержит компоненты Нж , Нг и Ер. Касательными к границам раздела диэлектрических сред являются компонентыНги Ер. Они выражаются через вектор Герца Пт следующим образом:компонент поля Нг и Ер в частичных областях. Выражения для компонент поля в областях 1 и 3 имеют вид (1.5), В области 2 компоненты Нг и Е9 записываются следующим образом: УСЛОВИЯ непрерывности касательных компонент полей на границах между 1 и 2, а также 2 и 3 областями имеют вид:
Подставляя компоненты поля Яги в граничные условия (2.6) - (2.7), получаем СЛАУ относительно неизвестных постоянных коэффициентов А\, Л2, В2 Ау.
Поскольку относительная диэлектрическая проницаемость пленки є2 - комплексная величина, входящие в СЛАУ (2.8) коэффициенты Ah А2, B2i А3, а также продольные волновые числа В ідз также являются комплексными. Из условия нетривиальности решений системы (2,8), приравнивая нулю ее определитель, получаем характеристическое уравнение резонатора, рис. 2.1:
Полученное характеристическое уравнение (2.9) при S — 0 (где 5- с b толщина пленки), должно преобразовываться в характеристическое уравнение (1.8)для резонансных частот колебания Но 11 цилиндрического резонатора, частично зполненного диэлектриком, которое приведено в главе 1.
Нетрудно убедиться, что при S — 0 (с = Ь) характеристическое уравнение (2.9) совпадает с (1.8). Таким образом, в полученном характеристическом уравнении (2.9) выполняется предельный переход при S— 0.
Характеристическое уравнение (2.9) в совокупности с выражениями (2.2) позволяет определить комплексную резонансную частоту ш= о + iw"(поскольку диэлектрическая проницаемость пленки е2 - комплексная величина), действительная часть которой « является резонансной частотой исследуемого резонатора, рис. 2.1, а мнимая &" определяет добротность Qj резонатора, обусловленную потерями в пленке: Q =й//(2 ю").Общая добротность Q резонатора с поглощающей пленкой рассчитывается следующим образом:где Q\ - добротность частично заполненного диэлектриком резонатора, рис. 1.3 (обусловленная потерями в диэлектрике пластины и металле стенок), которая была рассчитана в предыдущей главе.
Численные исследования и расчеты проводились для резонатора 8-ми миллиметрового диапазона, изготовленного из меди (ег= 5,7-107 См/м) [65]. В качестве материала диэлектрической пластины рассматривались поликор (б[=9,6, tg5=10"4) [64] и кварц (Єі=3,82, tg5=I0"4) [64]. Комплексные относительные диэлектрические проницаемости пленок на рабочей частоте были приняты равными: 2= 20-/-30 [64] (для пленки воды); є2 = 2,5-1-0,025 [64] (для пленки высших углеводородов).В главе 1 настоящей диссертации были рассчитаны резонансная частота , и добротность Qx резонатора без поглощающей пленки. Следует ожидать, что наличие пленки приведет к некоторому перераспределению электромагнитного поля в резонаторе по сравнению с резонатором без пленки. Соответственно, общая добротность Q резонатора с пленкой будет отличаться от добротности Q\ резонатора без пленки. Окончательное суждение о степени влияния пленки на добротность резонатора, рис.2.1, можно вынести лишь после исследования структуры электромагнитного поля в резонаторе с пленкой. В данном разделе в качестве добротности Q\ резонатора без пленки используются значения, полученные в предыдущей главе диссертации, в предположении, что пленка не оказывает значительного влияния на структуру электромагнитного поля в резонаторе. Результаты расчета резонансной частоты и добротности резонатора без учета пленки, а также с учетом пленки воды или ВУ приведены в табл. 2.1.
Исследование цилиндрического резонатора со вставкой изпоглощающего диэлектрика
При выводе характеристического уравнения исследуемого резонатора со вставкой из поглощающего диэлектрика ограничимся рассмотрением симметричных магнитных колебаний типа Ноц (q = 1, 2, 3). Отправным для составления комплексного характеристического уравнения МДР является характеристическое уравнение (1.8) резонатора со вставкой из диэлектрика без потерь, рис. 1.3, приведенное в главе 1 диссертационной работы. Если материал диэлектрической вставки имеет потери (tg5 0), то в этом уравнении необходимо положить комплексными относительную диэлектрическую проницаемость Єї, волновое число k = a? Je0ii0 (єо и Ца — диэлектрическая и магнитная проницаемость вакуума) и продольные волновые числа fin у в областях 1 и 2 резонатора, рис. 1.3:
Подставляя (3.1) в характеристическое уравнение (1.8) МДР, рис. 1.3, и разделяя действительные и мнимые части, получаем систему двух трансцендентных уравнений:
Выражения для функций Х\, Х"ь Х г, Х%, Х з, Х% X Ai Х\ входящих в уравнения (3.2), приведены в приложении 1.
Действительные и мнимые части комплексных продольных волновых чисел /? и у записываем в виде:В (3.3) введены следующие обозначения:
Система уравнений (3.2) совместно с соотношениями (3.3) образует алгоритм расчета действительной k?v и мнимой &"р частей волнового числа кр, соответствующего резонансной частоте резонатора со вставкой из поглощающего диэлектрика. Порядковый номер q корня системы определяет последний индекс в обозначении типа колебаний Ноц Результаты расчета (на основе составленного в данном разделе алгоритма) резонансной частоты МДР, рис. 1.3, определяемой значением действительной части волнового числа Л р, и добротности, обусловленной потерями в диэлектрике и определяемой из соотношения QA к р!2к р для колебаний с индексами q = 1, 2, 3 представлены на рис. 3.1 и рис. 3.2 соответственно. Как видно из этих графиков, при выбранных размерах резонатора, параметрах диэлектрика и толщине вставки h = =10...20 мм различие резонансных частот МДР с потерями и без потерь (tg5 =0) составляет 1... 1,5 %. При тонких вставках потери в диэлектрике слабо сказываются на резонансной частоте (в частности, при h = 3 мм указанное различие составляет -0,3%). При увеличении толщины вставки величина добротности QK быстро падает и при толстых вставках (h/H 0,5) составляет приблизительно 1/tgS , что объясняется концентрацией поля в диэлектрике. Рис. 3.2
Составленный алгоритм может быть использован для определения параметров диэлектрика (s i, tg5) по известным (измеренным) значениям резонансных частот МДР, рис. 1.3, содержащего вставку из исследуемого материала. При этом необходимо иметь значения резонансных частот либо двух различных колебаний с индексами qt и q2 (qi # q2) в резонаторе с фиксированными размерами, либо одного и того же колебания (q - фиксированное) при различной высоте экрана (Н Н2). При этом толщину h диэлектрической вставки из технических соображений целесообразно сохранять неизменной.
Второй вариант предпочтительнее (хотя и требует использования резонатора, перестраиваемого перемещением верхней крышки экрана), поскольку при этом упрощается задача идентификации рабочего типа колебания. Однако, в обоих случаях задача определения є ! и tg5 по значениям резонансных частот резонатора с частичным диэлектрическим заполнением, рис.3.1, приводит к системе четырех трансцендентных уравнений, которая получается из системы уравнений (3.2), записанной либо при q] и q2, либо при Н\ и Н2. Решение такой системы сопряжено со значительными вычислительными трудностями. Сравнительно простой алгоритм определения є і и tg5 можно получить, используя измеренные значения резонансной частоты/р і резонатора с полным диэлектрическим заполнением (Hi = К) и резонансной частоты /р 2 резонатора, частично заполненного тем же диэлектриком (H2 h).
Характеристическое уравнение однородно заполненного цилиндрического резонатора для колебаний типа НШч имеет [35] вид:
При ] = є і- (1- i tg5) резонансная частота также является комплексной. Обозначим резонансное значение волнового числа в этом резонаторе как k x = k pi+i k"p\. Величина к pi, определяемая по значению резонансной частоты/рЬ предполагается известной, Разделяя в уравнении (3.5) действительные и мнимые части, и исключая кр\ из полученной системы уравнений, устанавливаем следующее соотношение между параметрами диэлектрика є і и tg5:
В резонаторе с частичным диэлектрическим заполнением и высотой экрана Яг Я] резонансная частота того же колебания Ноц равна/р2. Ей соответствует значение действительной части волнового числа р2, которое также является известным. Мнимая часть k"V2 - неизвестная величина. Подставляем значение tgS, определяемое из соотношения (3.6), и значение к р2 в выражения (3.3) и (3.4) для продольных волновых чисел МДР, рис. 1.3. В результате система уравнений (3.2) (комплексное характеристическое уравнение исследуемого МДР, рис. 1.3) принимает вид:
Построение электродинамической модели и составлениехарактеристического уравнения исследуемого резонатора
В рассматриваемой ниже постановке задачи предполагаем, что длина стеклянной ячейки значительно превышает ее диаметр (это условие достаточно хорошо выполняется [11] в ячейке резонатора РСЧ и спектральной лампе), а рубидий при напылении оседает, в основном, на боковой поверхности ячейки. В соответствии с этим рассматриваемый в настоящем разделе СВЧ резонатор представляет собой цилиндрический резонатор, в который аксиально помещается диэлектрическая втулка (стеклянная ячейка). На внутреннюю боковую поверхность втулки напылена тонкая однородная пленка металла (рубидия).
Электродинамическая модель исследуемой резонансной ячейки, построенная на основе МЧО, приведена на рис. 4.1. На рис. 4.1 введены следующие обозначения: область 1 - сво 1
У бодная от диэлектрика часть резонатора (отно-сительная диэлектрическая проницаемость s(незначительно отличается от единицы: Єї» 1); область 2 - тонкая рубидиевая пленка (рассматриваемая как диэлектрический слой с комплексной проницаемостью 2 sW tf/(tf Eo); а-удельная проводимость рубидия; а - частота); область 3 - диэлектрическое заполнение (стеклянная ячейка с диэлектрической проницаемостью єз); 2 - высота экрана резонатора; b — радиус экрана (внешний радиус диэлектрической втулки); с — внутренний радиус диэлектрической втулки; А = с - а - толщина металлической пленки; є 2-действительная часть комплексной диэлектрической проницаемости.
Торцевые диэлектрические стенки в принятой электродинамической модели резонатора не учитываются. В связи с указанными выше особенностями геометрии ячейки в качестве рабочего колебания в МДР, рис. 4.1, целесообразно использовать колебание типа Е0ю.
Колебание Еою, используемое в исследуемом резонаторе в качестве рабочего, обладает единственной продольной компонентой электрического вектора Герца /7, который в выбранных частичных областях, рис. 4.1, записывается в виде:7ofo) и YQ(X) - соответственно, функции Бесселя и Неймана нулевого порядка; АиЛг, Въ С3 - неизвестные постоянные коэффициенты. Продольные и поперечные волновые числа в частичных областях связаны между собой соотношениями:
Компоненты электромагнитного поля Е2 и // выражаются через вектор Герца 77f следующим образом:
С учетом соотношений (4.5) компоненты электрического и магнитного полей Е2кНфъ частичных областях записываются [ 18] в виде:Используя условия непрерывности для тангенциальных компонент электромагнитного поля Е2 и Нр на границах раздела сред (то есть на границах между областями 1 и 2,2 и 3):получаем СЛАУ относительно неизвестных постоянных коэффициентов А\, A2i В2, С$. Из условия нетривиальности решения данной СЛАУ, приравнивая нулю ее определитель, получаем характеристическое уравнение исследуемого резонатора:
Аналогичное уравнение получено в работе [22], Однако в этой работе все ЧО резонатора являются идеальными диэлектриками. В нашем случае область 2 (тонкая рубидиевая пленка) рассматривается как слой диэлектрика с комплексной диэлектрической проницаемостью, мнимая часть которой значительно превышает действительную. Характеристическое уравнение (4.8) необходимо нам для разработки (на основе МЧО) алгоритма расчета характеристик резонатора с тонкой металлической пленкой, рис.4.1.
Проводимость рубидия достаточно велика [65] (а= 8-Ю6 Си/и), вследствие чего на рабочей частоте РСЧ fp = 6834 МГц относительная диэлектрическая проницаемость е2 близка к чисто мнимому большому числу: є2 к -/-2-107. Поэтому в характеристическое уравнение (4.8) входят функции Бесселя и Неймана от большихаргументов k-a- je и к-с- є (к = к + і к"- комплексное волновое число). Поскольку вычисление этих функций является достаточно сложной задачей [92], целесообразно преобразовать их к соответствующим функциям Бесселя и Неймана от действительных аргументов, используя малость толщины пленки.Вводя в характеристическом уравнении (4.8) обозначения:переписываем его в следующем виде:
