Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ДИНАМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ ДЛЯ УПРУГИХ СРЕД II
I. Основные уравнения линейной динамической теории упругости II
2. Постановка динамической задачи для упругих тел. Граничные и начальные условия 19
3. Энергетические характеристики волнового распространения 27
ГЛАВА II. НОРМАЛЬНЫЕ ВОЛНЫ В УПРУГИХ ВОЛНОВОДАХ ПРОСТОЙ КОНФИГУРАЦИЙ 36
I. Волна Рэлея в полупространстве 37
2. Волна Стоунли в составном пространстве 42
3. Нормальные волны в слое и цилиндре 50
3.1. SH - волны в слое 52
3.2. Волны Лэмба в слое 54
3.3. Волны Похгаммера-Кри в цилиндре 67
ГЛАВА III. УСТАНОВИВШИЕСЯ КОЛЕБАНИЯ УПРУГИХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТЕЛ 73
I. Метод суперпозиции в задачах об установившихся колебаниях прямоугольника 80
1.1. Постановка граничной задачи и построение общего решения 80
1.2. Алгоритм количественной обработки общего решения 91
1.3. Определение предельного значения неизвестных 98
2. Продольные моды колебаний упругого прямоугольника.ЛОЗ
2.1. Моды Ламе в прямоугольнике 105
2.2. Анализ колебаний прямоугольника в области низких частот 107
2.3. Краевой резонанс в прямоугольнике III
2.4. Распределение энергии в прямоугольнике 119
3. Планарные колебания тонких прямоугольных пьезокерамических пластин 122
ГЛАВА ІV. УСТАНОВИВШИЕСЯ КОЛЕБАНИЯ УПРУГИХ ЦИЛИНДРОВ КОНЕЧНОЙ ДЛИНЫ 130
I. Построение общего решения граничной задачи 135
2. Осесимметричные колебания цилиндров в области низких частот 146
3. Краевой резонанс в конечном цилиндре 153
3.1. Краевой резонанс в диске 155
3.2. Краевой резонанс в длинном цилиндре 162
4. Осесимметричные толщинные колебания диска 167
4.1. Общая характеристика толщинных колебаний 167
4.2. Толщинные колебания диска при V =0 174
4.3. Толщинные колебания диска при "^ > 0 182
5. Приближенные теории колебаний диска 195
ГЛАВА V. НОРМАЛЬНЫЕ ВОЛНЫ В УПРУГИХ ВОЛНОВОДАХ СЛОЖНОЙ КОНФИГУРАЦИИ 203
I. Нормальные волны в упругом клиновидном волноводе 213
2. Нормальные волны в упругом полубесконечном слое... 227
3. Нормальные волны в упругом прямоугольном волноводе 236
ГЛАВА VІ. ВЫНУВДЕННЫЕ ДВИЖЕНИЯ В БЕСКОНЕЧНЫХ УПРУГИХ ВОЛНОВОДАХ 259
I. Возбуждение SH -волн в упругом полупространстве... 266
2. Возбуждение продольных волн в акустическом полупространстве 270
3. Возбуждение упругих волн в пространстве и полупространстве 279
4. Возбуждение нормальных мод Лэмба в бесконечном упругом слое 293
5. Возбуждение нормальных волн в прямоугольном упругом волноводе 300
ГЛАВА VII. РЕЗОНАНСНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ПОЛУБЕСКОНЕЧНЫХ УПРУГИХ ВОЛНОВОДАХ 305
I. Метод суперпозиции для полубесконечных областей 310
2. Краевой резонанс в упругом полубесконечном слое и цилиндре 319
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 327
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 330
- Основные уравнения линейной динамической теории упругости
- Волна Рэлея в полупространстве
- Метод суперпозиции в задачах об установившихся колебаниях прямоугольника
- Построение общего решения граничной задачи
- Нормальные волны в упругом клиновидном волноводе
Основные уравнения линейной динамической теории упругости
Закономерности процесса распространения волн в упругой среде описываются системой уравнений, отражающих связь между вектором смещений IL , тензорами (второго ранга) деформаций и напряже-ний Т , а также плотностью, О . При их выводе обычно применяют два подхода - Лагранжа или Эйлера, связанных с выбором определенной системы координат - отсчетной или пространственной. Строгий вывод общих нелинейных уравнений динамической теории упругости, например, в работах [82, 89, 164] .
В диссертационной работе изучаются волновые процессы в рамках модели линейного, изотропно-упругого тела. В такой модели среда полностью характеризуется упругими постоянными, а также плотностью в невозмущенном состоянии. После линеаризации исходных нелинейных уравнений приходим к основной системе линейных уравнений движения упругого тела при отсутствии объемных сил [24, 240].
Здесь OAJGLOL И clcV - известные дифференциальные операторы, значок обозначает операцию транспонирования квадратной матри-цы, Е - единичный тензор второго ранга, Р - плотность, X и (lU - модули упругости, называемые постоянными Ламе.
Волна Рэлея в полупространстве
Факт значительного усложнения картины волновых движений в упругой среде при наличии границы был впервые установлен в работе Рэлея [447J. В этой работе открыта возможность направляющего (волноводного) действия границы изотропного полупространства, в котором может распространяться локализованная вблизи поверхности нормальная волна. Амплитуда волны Рэлея убывает по экспоненциальному закону при удалении от границы, а ее скорость не зависит от частоты и оказывается ниже скорости Са сдвиговой волны.
После работы Рэлея теория упругих поверхностных волн была значительно развита как применительно к анизотропной упругой среде [ЗІ, 20IJ , так и к пьезоэлектрической среде, в которой механическое движение сопровождается электрическим полем внутри и вовне среды [71, 253J. Все расширяющиеся возможности практического использования явления локализации волновых движений вблизи поверхности упругого тела обуславливает непрекращающийся поток публикаций в этой области. Примечательным здесь является то обстоятельство, что накопленные к настоящему времени данные хорошо систематизированы в виде обширных обзоров [ЗІ, 32, 201, 290, 503J, посвященных различным аспектам теории и применения поверхностных волн.
Построение решений уравнений Ламе, описывающих плоскую поверхностную волну, распространяющуюся вдоль оси Н полупространства Ч/ЪО можно проводить двояко. Первый путь [іЗЗ, 24l] связан с непосредственным использованием решения задачи об отражении плоской волны сдвига от границы свободного полупространства и поиском на его основе определенной резонансной ситуации. Такая ситуация характеризуется наличием пары неоднородных "отраженных" продольных и сдвиговых волн при отсутствии падающей. Именно такая пара и образует поверхностную волну Рэлея в полупространстве.
Второй путь, ведущий свое начало от работы J447J, связан с прямым поиском решений уравнений движения, описывающих бегущую вдоль свободной поверхности волну с убывающей вглубь от границы амплитудой. В случае плоской деформации полупространства (М-х =0) из компонент скалярного и векторного потенциалов отличными от нуля будут функции ФС ) и І ( ) , удовлетворяющие уравнениям (І.І8) главы I.
Метод суперпозиции в задачах об установившихся колебаниях прямоугольника
Рассматриваются установившиеся плоские гармонические колебания в упругом теле в виде бесконечной в направлении оси 2 прямоугольной призмы (рис.3.1). При их изучении в одинаковой мере интересно как рассмотрение собственных частот и форм, так и анализ вынужденных колебаний при определенных типах нагрузки. Хотя наличие решения задачи в одной из указанных постановок дает возможность легко получить решение в другой постановке, задача о вынужденных колебаниях представляется несколько более общей. При ее решении величины собственных частот определяются как те значения, при которых не существует конечного решения задачи о вынужденных движениях. Характеристики форм колебаний определяются при анализе волнового поля на частоте, близкой к соответствующей собственной, причем сравнение степеней динамичности на разных частотах доставляет оценку степени близости частот к резонансным. Поэтому здесь и в дальнейшем мы будем рассматривать задачи о вынужденных коле-баниях конечных упругих тел. Известной заменой V= . в уравнениях Ламе и граничных условиях можно в рамках модели обобщенно-плоского напряженного состояния изучать планарные колебания тонких прямоугольных пластин. Б этом случае толщина пластины должна быть значительно меньшей длины волны.
Построение общего решения граничной задачи
Основой для анализа спектра собственных частот и форм колебаний дисков и цилиндров является решение граничной задачи о вынужденных колебаниях. При этом используется возможность раздельного рассмотрения движений с различными типами симметрии относительно срединной плоскости, а также возможность упрощения выкладок за счет вида внешних возбуждающих нагрузок.
Что касается существа методики построения общего решения задачи о вынужденных колебаниях цилиндра конечной длины, то здесь нет новых принципиальных моментов по сравнению со случаем прямоугольника. Некоторые дополнительные трудности возникают при построении решения для общего трехмерного случая деформирования. Геометрические характеристики цилиндра и выбор системы кооординат показаны на рис. 4.1. При построении общих решений граничных задач для цилиндра удобно ввести в рассмотрение безразмерные (отнесенные к радиусу CL ) компоненты вектора смещений и безразмерные координаты Z— -- ; 2 = Щ- ; а также безразмерные величины, характеризующие геометрию цилиндра.
Для общего случая неосесимметричной деформации цилиндра все характеристики напряженно-деформированного состояния являются функциями трех координат С , 9 ,2 . При изучении спектра собственных частот и форм колебаний задача естественно распадается на последовательность задач с определенным типом изменяемости в окружном направлении, описываемым угловыми функциями Cos-Ш или 5UM.V0 при Ь - О, I, 2, ...
Как уже отмечалось в главе Ш, при изучении частотного спектра и собственных форм на основе решения задачи о вынужденных колебаниях нет необходимости рассматривать общий случай нагружения на поверхности цилиндра. В связи с этим далее считаем, что касательные напряжения 2t і 20 на тоРЦах 2 = ± к цилиндра отсутствуют. Это позволяет существенно упростить форму общего решения задачи. Метод суперпозиции, естественно, применим для построения решения, позволяющего удовлетворить трем неоднородным условиям на торцах. Однако следует иметь в виду, что при удовлетворении граничных условий по касательным напряжениям для t 0 нужно рассматривать их не покомпонентно, а выполнять условия для двух линейных комбинаций zt + "z и 2 2 Эта рекомендация является следствием общих подходов к построению решений граничных задач теории упругости J_205J.
Нормальные волны в упругом клиновидном волноводе
В этом параграфе исследуются свойства локализованных нормальных волн, распространяющихся вдоль оси Z упругого изотропного клина оо в декартовой системе ко ординат ХУ (рис. 5.1).
Введем вторую декартову систему координат X У 2. (рис.5.1), связанную с первой формулами перехода
Граничные условия на поверхности клина записываются в виде где = ± d. , а функция (Х) предполагается представимой интегралом Фурье. Дополнительным физическим условием существования симметричных ( =1) и антисимметричных ( =-1) относительно диагональной плоскости Н= Xхо — нормальных волн является требование локализации волнового поля вблизи ребра. Это условие является очень важным, поскольку отсутствие бегущих объемных поверхностных волн в сечении Z= соі Т делает невозможным излучение энергии вглубь клина, что и обеспечивает возможность резонансных ситуаций. Построение решения граничной задачи (1.2) для уравнений Ламе проводим методом суперпозиции. Первая составляющая общего решения представляет бегущую вдоль оси 2 поверхностную волну в полупространстве У"? О . Вводя безразмерные координаты эс = X У , Ч = У V для безразмерных (также отнесенных к У ) компонент удовлетворякицие уравнениям Ламе (1.17), (1.18) главы I. Требование отсутствия объемных волн в (1.3) сводится к условиям Ьр О , что дает ограничение на фазовую скорость.
Компоненты тензора напряжений, соответствующие векторному полю (1.3) вычисляются согласно закону Гука (1.23) главы I. Решение (1.3) содержит произвол в виде функций Aj.Cs)» B-ifs), C CSJ , достаточный для вьшолнения граничных условий (1.2) на грани клина Ч, =0.
Аналогичным образом, однако уже в системе координат X У Z , строится представление для полупространства X О » обеспечивающее выполнение граничных условий на грани клина х =0.
Компоненты тензора напряжений (также в системе координат X У Ї ) вычисляются согласно закона ГУка.
Сумма решений (1.3) и (1.5) обладает необходимым функциональным произволом для выполнения граничных условий (1.2). Однако при этом необходимо записать составляющие суммарного тензора напряжений в системе координат ХУ для грани Ч =0 и X У Z для грани Ос/ =0.
