Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Нелинейная динамика газовых пузырьков 11
1.1. Формулировка проблемы 11
1.2. Нелинейная динамика одиночного пузырька во внешнем поле давления 12
1.3. Современные методы анализа нелинейных динамических систем 21
1.3.1 Асимптотические разложения 21
1.3.2 Метод подчинения 23
1.3.3 Бифуркации 24
1.3.4. Отображение Пуанкаре 26
1.3.5. Численные методы 28
1.4. Заключение 30
Глава 2. Особенности нелинейной динамики газового пузырька под действием амплитудномодулированной акустической волны 31
2.1. Постановка задачи. Нелинейный отклик пузырька на воздействие амплитудно-модули рованной акусти ческой вол ны 31
2.2. Аналитическая модель 33
2.3. Построение карты фазовых портретов 40
2.4. Поле давления, излучаемого пузырьком в окружающую жидкость 48
2.5. Заключение 51
Глава 3 , Особенности нелинейной динамики газового пузырька в окрестности субгармонического резонанса 53
3.1. Переходные процессы в окрестности субгармоническое резонанса... 53
3.2. Построение карты фазовых портретов 58
3.3. Построение отображения Пуанкаре 63
3.4. Аналитическая модель 66
3.5. Заключение 71
Глава 4. Нелинейная динамика газового пузырька под действием резонансного и шумового акустических полей 72
4.1. Постановка задачи. Спектр акустического излучения при кавитации. Параметры случайной составляющей 72
4.2. Аналитическая модель. Окрестность основного резонанса 74
4.3. Построение фазовых портретов для окрестности основного резонанса Н4
4.4. Построение фазовых портретов для окрестности субгармонического резонанса 89
4.5. Построение функции распределения максимальных радиусов для окрестности основного резонанса 95
4.6. Заключение 102
Глава 5. Нелинейная динамика пузырька в случайном поле скоростей 104
5.1. Постановка задачи. Пелена газовых пузырьков в случайном поле скоростей 104
5.2. Аналитическая модель. Формирование спектра пузырьков в приповерхностном слое океана 105
5.3. Газовый факел 114
5.4. Заключение 117
Заключение 118
Литература 121
- Нелинейная динамика одиночного пузырька во внешнем поле давления
- Аналитическая модель
- Построение карты фазовых портретов
- Построение фазовых портретов для окрестности субгармонического резонанса
Введение к работе
ВВЕДЕНИЕ
АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ
В современных научных исследованиях одно из ведущих мест занимает физика нелинейных явлений. За последние десятилетия сформировались отдельные направления: нелинейная акустика, нелинейная оптика, нелинейная динамика и хаос. Нелинейная акустика многофазных сред, физика кавитационных явлений представляюг собой подразделы нелинейной акустики. Всплеск интереса к этим проблемам связан, не в последнюю очередь, с открытием в недавнее время явления стабильной сонолюминесценции одиночного пузырька и (возможным) наблюдением явления акустического синтеза (sonofusion).
Нелинейная динамика газового пузырька в этой связи представляет собой весьма благодатный объект исследований, поскольку выяснение ее особенностей открывает массу возможных приложений. Газовые включения -объект, который практически всегда присутствует в жидкости, и необходимость определить его дисперсный состав, концентрацию возникает крайне часто как при исследовании природных объектов, так и в технике, химической технологии, медицинских приложениях.
Два обстоятельства: резонансный характер рассеяния звука и значительная сжимаемость газа в пузырьке определяют набор современных методик, используемых для диагностики этих включений. Вместе с тем, в этих методиках практически не используется то обстоятельство, что пузырек одновременно является и сильно нелинейной, и резонансной системой, поэтому изучение особенностей нелинейных резонансов и разработка на их основе новых методов диагностики газовых включений представляются. актуальными. Отметим, что речь идет не только об основном (фундаментальном) резонансе, но и о других типах - в первую очередь о субгармоническом. Наиболее широко субгармоническая компонента акустического излучения используется при
Введение работе с контрастными агентами - газовыми пузырьками, покрытыми липидной оболочкой, применяемыми в ультразвуковой медицинской диагностике.
Исторически так сложилось, что при изучении нелинейных явлений основное внимание уделяется описанию установившихся движений, а переходные процессы невольно остаются в тени. Только в последние годы прослеживается заметный рост числа публикаций, посвященных изучению нелинейных переходных процессов. Эта проблема актуальна и для нелинейной акустики многофазных сред, поэтому изучение переходных явлений в нелинейных резонансах газовых пузырьков в жидкости представляет собой исследование «горячей точки» в физике кавитаиионных явлений.
Наличие структурных переходов (бифуркаций) в окрестности нелинейных резонансов приводит к ряду обстоятельств: бистабилыюсти, неустойчивости и даже хаосу, о которых говорят как о проявлении сложного поведения «простых» динамических систем. Весьма сложным может быть и реакция пузырька на относительно простое внешнее возмущение в этой области. Исследование данной проблемы способствует решению ряда насущных задач: объяснению формы спектральных линий акустического излучения при кавитации (в отличие от оптики, где форма линий излучения -мощный канал информации о физике процессов, протекающих на атомном или молекулярном уровне, в акустике до настоящего времени отсутствует связанная теория этого эффекта), определению порогов устойчивости и реализации «акустического лазера» в пузырьковых средах. Вместе с тем, оказывается, что даже такая простая задача как динамика пузырька в случайном внешнем поле, не говоря уже о нелинейном резонансе, далека от своего окончательного тдяпеная, "но в то же время она имеет крайне важные практические применения. Речь идет о формировании структуры газового факела - выбросов углеводородного сырья подводных месторождений (газовый факел представляет собой скопление метановых пузырьков, всплывающих со дна и легко регистрируемых даже с помощью судовых эхолотов).
Основное направление исследований, проведенных при выполнении диссертационной работы, состояло в изучении особенностей нелинейных резонансов газовых включений и их проявление в акустике микронеоднородной жидкости. Данная тема соответствует современным тенденциям развития нелинейной акустики и направлена на решение актуальных научных и практических задач.
ЦЕЛЬ РАБОТЫ
Целью работы является развитие теоретических представлений для описания нелинейной динамики газовых включений в жидкости и объяснение на их основе экспериментально наблюдаемых эффектов: генерации субгармонической компоненты ниже порога, формы линий акустического излучения при кавитации; пространственного и дисперсного распределения пузырьков в приповерхностном и придонном слоях океана.
НАУЧНАЯ НОВИЗНА
В диссертационной работе получены следующие существенные научные результаты: объяснение экспериментально наблюдаемого эффекта генерации субгармонического сигнала ниже порога; предложен новый сдособ диагностики газовых включений с помощью модулированных акустических сигналов, основанный на аномальном отклике, вызванном бистабильным характером пульсаций пузырька; анализ нелинейной динамики пузырька под действием резонансного и случайного акустических полей, выполненный с помощью численных методов и позволивший объяснить форму отдельных линий акустического излучения при кавитации;
Ввеление дано последовательное описание динамики растворения всплывающего пузырька в случайном поле скоростей, и, на его основе, проведено сопоставление с экспериментально наблюдаемыми параметрами пузырьковых структур в океане.
Научная новизна подтверждена публикациями в рецензируемых научных изданиях и представлением докладов на международных и отечественных конференциях, экспертной оценкой на конкурсах РФФИ и Американского Акустического общества.
НАУЧНАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЗНАЧИМОСТЬ
Научная значимость работы состоит в том, что это исследование расширяет представление о природе и особенностях нелинейных резонансов газовых включений и объясняет на их основе ряд экспериментально наблюдаемых явлений в микронеоднородной жидкости.
Полученные в диссертации результаты позволяют: решать практические задачи акустической диагностики пузырьков но нелинейному отклику в окрестности как основного, так и субгармонического резонансов; решать практические задачи, связанные с определением пространственно дисперсного состава газовых включений в океане.
Научная значимость подтверждается фактом цитирования опубликованных результатов другими исследователями.
Диссертационная работа выполнялась в рамках проекта 4.5.2 «Развитие методов акустического мониторинга неоднородностей различного масштаба в дальневосточных морях» ФЦП «Мировой Океан», проекта Л0025.01 ФЦП «Ингюрацявд а также при поддержке гранта РФФИ 01-05-649)5 «Разработка акустических методов диагностики газовых факелов - выбросов углеводородного сырья подводных месторождений» (руководитель Л.О. Максимов) и гранта РФФИ-Приморье 01-02-96901 «Сонолюминесценция.
Введение
Поиск стабильного режима для кавитациошюй области» (руководитель А.О. Максимов). Автор является лауреатом конкурса РФФИ МАС-2003 и конкурса проектов ДВО РАН за 2003 г. по разделу Ш, группа Г - фундаментальные и прикладные исследования молодых ученых - проект «Диагностика распределения пузырьков в «газовом факеле»».
Основные результаты опубликованы в 14 научных работах.
ЛППРОБЛІ1ИЯ РАБОТЫ
По материалам диссертации имеется 14 публикаций, из них в центральных научных журналах опубликовано 2 работы, в сборниках материалов международных конференций - 2 работы, в региональных периодических изданиях— 1 работа.
Результаты исследований докладывались на международных конференциях: 16th International symposium on nonlinear acoustics (2002), Акустика океана: 9"ая школа-семинар акад. Л.М. Бреховских (2002), "Control oscillations and chaos"(2000), Дальневосточная математическая школа-семинар им. академика Е.В.Золотова (2000), а также па региональных' конференциях: ДВГУ(1998,1999, 2000), ТОЙ (2002), ДВГЩ1998), ДВГМА(1999).
По итогам выполненной работы бьтла присуждена стипендия Американского акустического общества для молодых ученых и аспирантов стран СНГ (2001 г.). а также премия (3 место) на конференции для молодых ученых ТОЙ (2002 г.).
СОДЕРЖА] ГИЕ ДИССЕРТАЦИИ
Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы.
Во введении показана актуальность темы, обсуждаются принципы и подходы к предмету исследования, формируются задачи и положения, выносимые на защиту.
Вис де ниє
В первой главе дан обзор литературы по нелинейной динамике газовых включений в жидкости. Исходя из анализа нерешенных и актуальных проблем нелинейной динамики одиночною пузьгрт>ка во внешнем поле давления, сформулированы цели и задачи диссертационной работы.
Вторая глава посвящена исследованию особенностей нелинейной динамики газового пузырька под действием амплитудно-модулированной акустической волны. Рассмотрен нелинейный отклик пузырька на воздействие амплитудно-модулированной акустической волны. Дано полное решение проблемы с помощью как приближенных асимптотических методов, так и численного анализа. Исследована структура поля давления, излучаемого пузырьком в окружающую жидкость.
В третьей главе описаны особенности нелинейной динамики газового пузырька в окрестности субгармонического резонанса. Выведена аналитическая модель с помощью приближенных асимптотических методов. Проведены численные расчеты, построены фазовые портреты и отображение Пуанкаре. Особое внимание уделено исследованию переходных процессов в окрестности субгармонического резонанса.
В четвертой главе исследована нелинейная динамика газового пузырька под действием резонансного и шумовою акустических полей. Используя приближенные методы асимптотического разложения, описаны аналитические модели в окрестности основного и субгармонического резонанса. Проведен численный анализ в окрестности основного и субгармонического резонанса. Построена функция распределения максимальных радиусов в окрестности основного резонанса.
В пятой главе проведено исследование нелинейной динамики пузырька в z7?f\bYLYiWi жте ътшро^-ей. Развита теоретическая -модель динамик"й растворения газовых пузырьков, всплывающих в турбулентном потоке жидкости. Получено уравнение Фокксра-Планка, описывающее эволюцию функции распределения пузырьков по размерам. Найдены частные решения,
Введение позволяющие оценить скорость подъема нижней границы пузырькового слоя, располагающегося у поверхности океана, и предложить объяснение формы «газового факела», обнаруженного в заливе Петра Великого.
В заключении обобщен изложенный материал, сформулированы выводы и перспективы дальнейших исследований.
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ. ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ
Основные результаты работы можно представить в виде следующих положений.
С помощью аналитических и численных методов описаны особенности нелинейных резонансов газовых включений в жидкости.
Предложен новый способ диагностики газовых включений, основанный на бистабильном характере нелинейного отклика в окрестности фундаментального резонанса.
Дано объяснение экспериментально наблюдаемому и необъясненному в течение 40 лет эффекту генерации субгармонического сигнала ниже порога. Наиболее важное приложение этих результатов возникает в современной ультразвуковой диагностике с применением контрастных агентов (пузырьков в липидной оболочке).
Выявлен необычный характер переходных процессов в нелинейной динамике пульсаций газовых включений под действием резонансного и шумового акустических полей. Подобное поведение не было обнаружено ранее с помощью традиционных приближенных аналитических методов.
Получено уравнение Эйнштейна-Фокера-Планка и найдены частные решения, описывающие нелинейную эволюцию подъема и растворения пузырьков в случайном поле скоростей.
Нведенис
СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТЫ
Диссертация состоит из введения, 5 глав, заключения и списка цитируемой литературы (138 наименований), всего 132 стр. печатного текста, из них — титульный лист и оглавление на 3 стр.. 36 рисунков (34 стр. иллюстраций).
Нелинейная динамика одиночного пузырька во внешнем поле давления
Число работ, посвященных решению в том или ином приближении уравнения Рэлея, крайне велико, поэтому мы ограничимся обсуждением не столько вычислительных схем, сколько физических эффектов, имеющих отношение к теме диссертации.
Вследствие существенно нелинейной природы уравнения, описывающего колебания пузырьков во внешнем акустическом поле, нахождение решения не является простой математической проблемой. По этой причине, многие работы на первоначальном этапе исследований ограничивались анализом линеаризованного уравнения [15-19], либо использовали численные методы [20-23].
Первая попытка аналитического решения полностью нелинейной задачи была предпринята в 1956 г. Гутом [24]. Им, в пренебрежении затуханием и поверхностным натяжением, была описаны пульсации пузырька в окрестности основного резонанса и первой субгармоняки. Позлее Эллером и Флином [25] было получено выражение для порога возбуждения субгармонической компоненты. Однако наибольшие успехи в применении асимтотических методов нелинейной динамики в решении этой задачи были достигнуты в работах Просперетти [26, 27] (см. также [28-30]). По существу речь идет о применении метода Боголюбова-Крылова [31 для анализа конкретного уравнения (1.5). Так в окрестности основного резонанса (Qp Qi решение представимо в виде (. / / --(а-схрС-г (1.13) где с - безразмерный малый параметр, вводимый для описания порядка нелинейных членов. Медленно меняющиеся на временном интервале Т=2т/щ? амплитуда а и фаза 3 резонансной компоненты определяются из «укороченных» уравнений, следующих из требования отсутствия Глава 1. Нелинейная динамика газовых пузырьков «секулярных» членов в иерархической пепочке уравнений, возникающих при подстановке (1.13) в (1.5). С точностью до членов третьего порядка включительно ( є ), а именно в этом приближении оказывается возможным описать существенно нелинейные эффекты, характеризующие основной резонанс и особенности возбуждения высших гармоник и субгармоник, система «укороченных» уравнений в окрестности (Op fi) имеет вид [26, 27, 30]: а = -Sa + — —- cos 9, п. ] 4) 8 = -(а р-П0+хП0а2)- р« sing; здесь точкой обозначено дифференцирование по времени; коэффициент к имеет довольно сложный вид, однако для пузырьков больших 1 микрона можно пренебречь поверхностным натяжением и к = (Ьу — Ъу — 2)/16. При выводе (1.14) диссипативиые процессы учитывались только в линейном приближении. В приведенные выражения входят коэффициенты кинематической вязкости жидкости v и температуропроводности газа у Давление внешнего поля в месте расположения пузырька записано в виде Pm/Sinfe ). При анализе нерезопансной ситуации, а также окрестностей возбуждения первой и второй гармоники, двух первых субгармоник (в рассматриваемом приближении можно исследовать окрестность двух высших гармоник (Qp l/2Qo, щ, 1/ЗЦ) и двух первых субгармоник О)р 2ґ20 ( p 3Qo) изменяется как структура асимптотического ряда (1.13), так и соотвествующих "укороченных" уравнений [26, 27]. 1? Глава 1. Нелинейная динамика газовых пузырьков Остановимся, однако, на простейших решениях уравнения (1.14) a-. i9- , описывающих установившиеся нелинейные резонансные колебания пузырьков (я=0, 5=0) а: Как хорошо известно (см., например, [32]), особенностью нелинейного резонанса является существование порогового значения внешнего воздействия, начиная с которого в зависимости амплитуды установившихся колебаний от определяющих параметров возникает неоднозначность. Рисунок 1.1. иллюстрирует решение (1.15). Данный тип особенности является примером бифуркации седло-узел и является одним из немногих примеров особенностей нелинейной динамики пузырька, которые могут быть проанализированы с помощью аналитических методов.
Применению численных методов положили начало работы [3, 20, 33], однако наиболее широко они использовались в трудах Вернера Лаутерборна и его сотрудников [23, 34-38], позволив предсказать режим динамического хаоса и описать механизм реализации этого состояния через последовательность бифуркаций удвоения периода. Следует, однако, отметить, что эти результаты были получены для упрощенных моделей, позволяющих не решать внутреннюю тепловую задачу. Детальные математические модели и выполненные на их основе численные расчеты, учитывающие термогидродинамические явления внутри пузырька [8, 10, 11, 39-40], позволили оценить точность результатов, полученных в упрощенных моделях. Несмотря на существование количественных расхождений, качественное поведение удивительно хорошо передавалось и в относительно простых моделях даже при значительных амплитудах дашіения, превышающих 1 атм.
Весьма своеобразное исследование было выполнено в работе [41], в которой, в отличие от большинства публикаций, анализировался не Зависимость амплитуды установившихся колебаний от определяющих параметров: расстройки частоты и амплитуды внешнего поля. Иллюстрация возникновения бистабильности колебательных состояний пузырька. Глава 1. Нелинейная динамика газовых пузырьков
отклик, а отображение Пуанкаре, связанное с радиальными движениями стенки пузырька. Впервые было показано, что в ряде случаев уравнение Рэлея может быть сведено к гамильтоновой системе, с помощью которой удалось выяснить, каким образом субгармонические орбиты рождаются из бифуркации седло-узел.
Следует отметить, что радиальные пульсации являются только одной из мод, которые могут возбуждаться акустическим полем. Исследование поверхностных колебаний имеет также довольно долгую историю. Первоначально изучалась неустойчивость радиальных движений [42-44], однако экспериментальные наблюдения осцилляции формы пузырька в звуковом поле [451 породили весьма многочисленные как теоретические, так и экспериментальные исследования [46-58].
Аналитическая модель
Внешнее давление описывается периодической (Т=2я/щ) амплитудпомодулированной функцией вида ps = К +A, [і +Л sm(va7pt)\sln(w/). (2.1) где (v0p) - частота модуляции (v«l), m - амплитудный индекс модуляции (т«1). Данный выбор позволяет- реализовать физическую идею, лежащую в основе предлагаемой методики. Мощная волна давления с частотой щ» близкой к собственной частоте пузырька /2 , приводит его в режим нелинейного резонанса. Вблизи пороговых значений амплитуды накачки рт (\рт-ртв/ртв І)- отвечающих появлению мульгистабяльных колебательных состояний пузырька, один ш показателей Ляпунова, определяющих устойчивость этого состояния, будет мал. Он обращается в нуль на бифуркационных кривых В/, В2 (см. рис. 1.1, а так же рис. 4.2) в плоскости определяющих параметров амплитуды давления рт и расстройки частоты (Щг3$, Если же теперь медленно изменять параметры внешнего воздействия (амплитудную модуляцию), то оказывается возможным «раскачать» эту слабо Глава 2. Особенности нелинейной динамики газового пузырька под действием амплитудно-модулироваиной акустической волны устойчивую компоненту колебаний пузырька до относительно большой величины. При этом форма модуляции колебаний пузырька будет коренным образом отличаться от линейного режима. При аналитическом описании обсуждаемого эффекта в окрестности основного резонанса ор &I2Q, медленно меняющиеся на временном масштабе Т амплитуда а и фаза 3 резонансной компоненты определяются из системы "укороченных" уравнений, в которые входит переменная амплитуда внешнего поля отметим, что для справедливости (2.2) необходимо, чтобы (ущ) S. Напомним, что устойчивым состояниям соответствуют узлы, а неустойчивым - седловые точки на фазовой плоскости а, Э динамической системы (2.2). Слияние одного узла и седловой точки происходит на бифуркационных кривых В/, В2 (см. рис. 1.1, а так же рис. 4.2). Слияние всех сингулярных точек (двух узлов и седловой точки) имеет место в критической точке F (а р-а0 = -&3, pm=pk/, где рк/= ={Ъ2/Ъ&)к-Х tfpjRoQol Рц 0.8 атм. для 7=1.4 и добротности Q- 2/S= 10. Воспользуемся свойством нелинейных систем усиливать слабые сигналы вблизи порога динамической устойчивости при определенном выборе частоты воздействия [90]. В нашем случае роль возмущения играет модуляционная компонента, а в качестве примера неустойчивости мы будем анализировать окрестность критической точки F- порога возникновения мультисгабильности. Воспользуемся принципом подчинения [77, 78] и разложим коэффициенты уравнения (2.2) по отклонениям определяющих парметров от Глава 2. Особенности нелинейной динамики газового пузырька под действием амллшудно-модулированной акустической волны критических значений Ар = рт-рщ AQ = (COP-QQ)+ V3S (1АП}«8, /Ар l«pi$» Перейдем к быстрым и медленным переменным. Для этого совершим следующую замену: Отсутствие линейных по г/ членов в первом уравнении (2.3) при AQ = О, Ар = 0 отражает тот факт, что переменная г/ неустойчива в критической точке, и соответствующий показатель Ляпунова обращается в нуль. Отсутстие квадратичных членов означает, что этому стационарному состоянию отвечает сложный узел. При достаточно медленной модуляции v « S/co можно исключить быструю переменную которая релаксирует к локально равновесному значению (зависящему от //) за характерное время 5,ив результате получить одно уравнение для медленной переменной //. Глава 2. Особенности нелинейной динамики газового пузырька под действием амгаштудно модулированной акустической волны Это уравнение Абеля, оно не имеет явного интеграла движения, и по этой причине мы проанализируем приближенные решения. В ближайшей окрестности критической точки ЛҐ2 — О, Др = О удобно Приближенные решения этого уравнения могут быть найдены в предельных случаях быстрой и медленной модуляции. В случае (а), когда модуляция является быстрой и нелинейные члены в главном порядке могут быть опущены, решение (2.5) имеет вид: В случае (Ь)9 когда модуляция является медленной, решение будет определяться балансом нелинейного и модуляционного слагаемых (член с временной производной в главном порядке может быть опущен) Учет поправочных членов для временных интервалов вблизи т = ± як приводит Данное решение представляет собой наиболее важный результат, описывающий нелинейную модуляцию амплитуды колебаний пузырька. существенно превосходящую величину модуляции вдали от критической Глава 2. Особенности нелинейной динамики газового пузырька под действием амплитудно-модулироваиной акустической волны точки. Отсутствие постоянных, линейных и квадратичных членов в "возвращающей силе" уравнения (2.4) приводит к значительному отклонению от положения равновесия слабоустойчивой переменной rf. Модуляционное слагаемое уравновешивается только за счет кубической нелинейности. Принимай во внимание входящие в (2.4) малые слагаемые, пропорциональные Ар/р#, ЛҐУе , определим область применимости найденного решения (2.7). Простые оценки приводят к следующим неравенствам; \Лр/р «т, \ЛО/д\«т. (2.8) Следует отметить, что небольшие поправки, которые возникают к решениям (2.6), (2.7) при значениях определяющих параметров из области мультистабильности, ограниченной кривыми В,, В? несущественны в главном порядке по параметрам (2.8).
Построение карты фазовых портретов
Для того чтобы прояснить особенности нелинейной динамики пузырька в переходном режиме, следуя подходу Лаутерборна [104, 105], проведем исследование интересующей нас области субгармонического резонанса с помощью численного эксперимента. Первый способ исследования состоит в определении временной эволюции пульсаций стенки пузырька. Другой способ визуализации динамического поведения нашей нелинейной системы представляет собой построение фазового портрета (так как это сделано в главе 2, п. 2.3). Выбор значений определяющих параметров диктуется следующими обстоятельствами: анализируется окрестность субгармонического резонанса для значений расстройки частоты TJS — {&д12-0$/6 изменяющейся в пределах [1.6; 2.3] и амплитуды накачки ss = pjphi изменяющейся в пределах [0.5; І.8] {Pks =4ffio/Jo%"1 Рь te 0.8 атм. для у=\А и добротности Q-Q/ $-\0). Глава 3. Особенности нелинейной динамики пузырька в окрестности порога субгармонического резонанса Длительность временной эволюции фазовых траекторий составляет 400 периодов внешнего ПОЛЯ. Уравнение Рэлея-Плессета решалось методом Рунге-Кутта 4-го порядка. Для численного счета были использованы программы пакета MATLAB. Результат решения представлен на рис. 3.4-3.5 в виде зависимости R от t\ где tf=mPU для следующих значений определяющих параметров (расстройка /?, изменяется в пределах [1.6; 2.0] и амплитуда ss изменяется в пределах [0.5; 1.8]). На рис. 3.4 для фиксированных значений расстройки IJS = 1.6 представлены три зависимости (снизу вверх), соответствующие последовательному увеличению амплитуды внешнего поля st. На рисунке видно нарастание нелинейных искажений (форма зависимости R(t) на периоде колебаний) при росте амплитуды накачки. Дія значений амплитуды ss = 1.8 наблюдается удвоение периода. На рис. 3.5 для фиксированных значений расстройки tfs — 2.0 также представлены три зависимости (снизу вверх), соответствующие последовательному увеличению амплитуды внешнего поля ss = [0.5; 0.8; 1.81. Хотя имеет место факт удвоения периода и для этого случая, визуализация данного обстоятельства крайне не наглядна.
Поведение вдали от порога (для параметров расстройки 7т = 2.3 и амплитуды накачки ss = [0.5; 0.8; 1.8]) ещё более не наглядно, по этой причине мы не приводим результаты проведенных расчетов. Гораздо более наглядным способом визуализации является фазовый портрет. Результат решения уравнения (3.1) представлен на рис. 3.6 в виде карты фазовых портретов нелинейных колебаний стенки пузырька при следующих значениях определяющих параметров: добротность Q = 10, амплитуда накачки s, = [0.5; 0.8; 1.3] изменяется по вертикали снизу вверх, Глава 3. Особенности нелинейной динамики пузырька в окрестности порога субгармонического реїонанса Карта фазовых портретов нелинейных колебаний стенки пузырька при следующих значениях определяющих параметров: добротность Q = 10, амплитуда накачки j3 = [0.5; 0.8; 1.8] по вертикали снизу вверх, расстройка частоты rjs = [1.6; 2.0; 2.3] по горизонтали слева направо. По осям отложено: ось х- (R RV)/R } ось у -ojp !Rf;ldR/dt Глава 3. Особенности нелинейной динамики пузырька в окрестности порога субгармонического резонанса __ _ расстройка частоты rjs = [1.6; 2.0; 2.31 изменяется по горизонтали слева направо. По осям отложено: ось х - (R-RQ)/RQ, ось у- ОУР R0 dR/dt. Приведенная таблица передает характер трансформации фазовых портретов в интересующей нас области, где происходит переход динамических состояний пузырька при изменении внешних контрольных параметров (амплитуды и расстройки). При увеличении амплитуды внешнего поля и уменьшении значений расстройки происходит удвоение периода колебаний, что составляет суть субгармонического резонанса. Результаты представлены для установившихся колебаний. Данный рисунок (рис. 3.6) позволяет охарактеризовать область контрольных параметров (расстройки и амплитуды накачки), в которой происходит удвоение периода. Таким образом, хочется подчеркнуть, что фазовый портрет в отличие от временной эволюции позволяет выделить эту интересующую нас область, где происходит удвоение периода колебаний пузырька. Фазовые портреты дают наглядную картину «глобального» поведения траекторий, но далее для описания бифуркационных переходов (при исследовании переходного режима) удобным является построение других, более наглядных картин, например отображение Пуанкаре.
Построение фазовых портретов для окрестности субгармонического резонанса
Рассмотрим теперь эту же задачу в окрестности субгармонического резонанса. Точно также как это сделано в предыдущем разделе, можно проанализировать поведение нелинейной системы (3.1) при наличии случайной шумовой составляющей, провести численный эксперимент и построить фазовый портрет. Результат решения уравнения (3.1) с использованием следующих параметров: (добротность Q - По/ 5=10, амплитуда накачки ss = pj pks -1.8, расстройка частоты i]s = ( Op/2-Qo)/8 = 1.6, интенсивность шума J(/?.\7/o" I ,1) представлен на рис. 4.5. На рис. 4.6 - добротность Q = 10, амплитуда накачки s3 1-8, расстройка частоты i]s = 2.0. На рис. 4.7 - добротность Q — 10, амплитуда накачки ss = 0.8, расстройка частоты IJS = 2.0. На рис. 4.8 - добротность Q = 10, амплитуда накачки ss = 0.5, расстройка частоты r?s =2.3. На рис. 4.9 в виде карты фазовых портретов (зависимости ІтИ/яЛ от (R-Rf /R ), где Т 2я/юр) решение представлено для следующих значений определяющих параметров: добротность Q = 10, амплитуда накачки ss = [0.5, 0.8, 1.8], расстройка частоты t]s ={1.6; 2.0; 23]. Приведенная таблица передает характер трансформации фазовых портретов в интересующей нас области, где происходит переход динамических состояний пузырька при изменении внешних контрольных Главам. Нелинейная динамика газового пузырька по действием резонансного и шумового акустических нолей ось у - фр Ro dR/di. Глава 4. Нелинейная динамика газового пузырька под действием резонансного и шумового акустических полей параметров (амплитуды и расстройки). На приведенных фазовых портретах изображена некоторая устойчивая траектория, вблизи которой система двигается. Причем, так же как и в случае основного резонанса, она совершает вблизи этого состояния случайные блуждания. В результате этого траектория размазывается в некоторую полосу. Только в данном случае мы имеем не одну полосу, как это было в окрестности основного резонанса, а две полосы. При увеличении амплитуды и уменьшении значений расстройки внешнего поля происходит удвоение периода колебаний, что и составляет суть субгармонического резонанса. Результаты представлены для установившихся колебаний. Данный рисунок (рис. 4.9) позволяет охарактеризовать и область контрольных параметров (расстройки и амплитуды накачки), в которой происходит удвоение периода, и увидеть, как случайная шумовая составляющая влияет на динамику пузырька. Хочется отметить, что величины определяющих параметров выбирались точно такими же, как и в п. 33 главы 3 (см. рис. 3.6), что позволило нам сравнить поведение системы в отсутствие шума и с добавлением небольшой шумовой составляющей.
Построение функции распределения максимальных радиусов для окрестности основного резонанса Фазовые портреты дают наглядную картину «глобального» поведения траекторий, но для описания бифуркационных переходов более удобным является построение отображений Пуанкаре. Использование этого метода в численных экспериментах не только упрощает саму задачу, но и дает нам полное представление о поведении траекторий и описания бифуркационных переходив \тюдрОонес см. ттіиву Ї, ті. іЗЛ). Анализ отооражения Пуанкаре позволяет оценить как длительность переходного режима, так и процесс формирования стационарного состояния. Начиная с работы Лаутерборна [34J при анализе бифуркаций нелинейных колебаний пузырьков анализируется Глава 4. Нелинейная динамика газового пузырька пСД действием резонансного и шумовою акустических полей зависимость максимального радиуса пузырька от определяющих параметров. Эта характеристика не является отображением Пуанкаре в течение начального промежутка времени, когда эволюция определяется переходными процессами, но становится таковой гто достижении установившегося режима. Удобство этой величины состоит в том, что рассматриваемая как функция расстройки она описывает амплитудно-частотную характеристику пульсаций пузырька в приближении слабой нелинейности, т.е. позволяет проводить прямое сопоставление с результатами приближенного, аналитического рассмотрения.
В данном параграфе представлены результаты решения уравнения (3.1) из окрестности основного резонанса. Расчеты плотности распределения максимальных радиусов f(Rmax Ro/Ro.T]j) для значений расстройки tj/=(O(t{Rii)-(0pj/o p= [-0,26; 0,2] из области фундаментального резонанса иллюстрирует рис. 4.10.
