Содержание к диссертации
Введение
1. Современное состояние вопросов изучения взаимодействия упругих волн в материалах и изделиях перспективных технологий : 17
1.1 Способы учета основных характерных особенностей строения микронеоднородностей естественного технологического происхождения при моделировании. 19
1.2 Система идеализированных моделей, замещающих реальные неоднородности в конструкционных материалах . 25
2.2 Выводы и формулировки задач исследований. 38
2. Рассеяние плоской упругой гармонической волны на твердом компактном включении с нарушенной адгезией на границе в твердой среде . 41
2.1 Амплитудные коэффициенты поля, рассеянного на сфере с граничными условиями в приближении линейного "скольжения". 41
2.2 Влияние параметров состояния границы раздела между сферическим упругим включением и матрицей на энергетические характеристики рассеянного поля . 44
2.3 Амплитудные характеристики упругого поля, рассеянного на упругом сферическом включении с "неидеальными" граничными условиями. 50
3. Рассеяние упругих волн на периодической решетке твердых круговых ци линдров в твердой изотропной среде . 54
3.1. Постановка задачи и вывод систем уравнений. 5 5
3.2 Решение бесконечной системы линейных алгебраических уравнений. 6 0
3.3 Коэффициенты отражения и прохождения . 63
3.4 Численный анализ коэффициентов отражения и прохождения. 70
4. Взаимодействие плоских упругих гармонических волн с системой плоскостно-протяженных неоднородностей . 87
4.1 Распространение плоских упругих гармонических волн в микроне однородной среде с плоскостными препятствиями. 88
4.2. Коэффициенты отражения и прохождения на границе с микронеоднородной средой . 100
4.3. Моделирование взаимодействия плоской продольной волны с объемными неоднородностями, с параметрами изменяющимися в направлении распространения. 105
4.4. Взаимодействие плоской продольной гармонической волны с упруг и м микронеоднородным слоем. 127
5. Экспериментальное исследование соответствия между идеализированны ми моделями естественных неоднородностей и их физическими аналогами . 132
5.1 Способы физического моделирования несовершенства структуры неоднородностей. 132
5.2. Постановка эксперимента. Требования к аппаратуре и образцам с исследуемыми физическими моделями неоднородностей. 135
5.3. Сопоставление экспериментальных и теоретических оценок рассеивающих свойств неоднородностей. 144
6. Основы методики проектирования электронно - акустической аппаратуры . 154
6.1. Структура акустического тракта для контролякомпозиционных материалов. 155
6.2. Уравнения акустического тракта теневого дефектоскопа для контроля структуры мпозиционных материалов. 158
6.3. Выбор параметров контроля упругих характеристик оболочки вол о к н а в композиционных материалах теневым иммерсионным методом. 165
7. Повышение информативности методов неразрушающего контроля . 171
7.1 Соотношение параметров локальных неоднородностей с идеальным строением и с нарушениями в их структуре. 171
7.2 Соотношение параметров эталонных отражателей и протяженных неоднородностей. 176
7.3 Обоснование методики и параметров ультразвукового контроля многофазных сплавов на основе меди. 180
Заключение 185
Список использованной литературы 188
Приложение 1 211
- Система идеализированных моделей, замещающих реальные неоднородности в конструкционных материалах
- Влияние параметров состояния границы раздела между сферическим упругим включением и матрицей на энергетические характеристики рассеянного поля
- Коэффициенты отражения и прохождения
- Коэффициенты отражения и прохождения на границе с микронеоднородной средой
Система идеализированных моделей, замещающих реальные неоднородности в конструкционных материалах
Модели рассеивающих областей удобно разделять на локальные и протяженные. Поскольку в известной литературе не указано общепринятого количественного критерия, то такое разделение является условным. Будем полагать, что если размеры сечения зондирующего ультразвукового пучка меньше характеристического размера одиночного рассеивателя, то последний может рассматриваться, как протяженная не однородность. Для изучения рассеивающих свойств таких неоднородностей, моделируемых рассеивателями простых геометрических форм, могут использоваться различные подходы. Один из них заключается в непосредственном решении линеаризованных уравнений движения твердой среды методом разделения переменных, который использован в работах [105-118]. Разделение переменных также является характерной чертой метода матрицы передачи, предложенного в [119] и использованного для решения задачи рассеяния в [120-121]. Матрица передачи связывает амплитудные коэффициенты в разложении рассеянных волн по собственным функциям с соответствующими коэффициентами в аналогичном разложении падающей волны. Этот подходы требуют того, чтобы среда, вмещающая неоднородность, была изотропной. Другой метод, который менее зависим от изотропии внешней среды, заключается в построении интегрального уравнения для поля смещения на основе представления рассеянного поля в виде интеграла, включающего функцию
Грина для внешней среды. Данный подход в основном применялся в решении задач рассеяния упругих волн на идеальных трещинах или дисках [ 1 2 3 - 1 2 4 ] . В [ 1 2 5 - 1 2 8 ] получены интегральные уравнения в случае различных неоднородностей. В этих работах предполагается что, упругие характеристики, как включений, так и основной среды являются постоянными величинами. Определенным недостатком, не снижающим ценность данных работ, можно считать отсутствие в них оценки влияния затухания в веществе включений, моделируемых рассеивателями простых форм, на характеристики рассеянных полей. В работе [129] рассмотрены задачи о взаимодействии плоских упругих волн с плоской границей раздела между двумя средами, одна из которых обладает затуханием. Вопросам определения упругих характеристик рассеянных полей при падении плоской волны на бесконечный, упругий цилиндр, как круглого, так и произвольного сечения при произвольном угле падения по отношению к оси цилиндра посвящен ряд работ [130-136]. Изучение взаимодействия плоских упругих волн с упругой однородной сферой так же проведено в работах [137-139]. Более общими, по сравнению с изложенными выше, являются задачи о рассеянии плоских упругих волн на моделях естественных неоднородностей простых геометрических форм с акустическими свойствами, изменяющимися по какому - либо закону. Существенной особенностью данных задач является то что, точное аналитическое решение может быть получено только для ограниченного ряда законов, определяющих изменение упругих параметров среды [116]. Вследствие этого характери стики полей, рассеянных на таких областях, определяются с использованием численных или приближенных методов решения задач данного класса при произвольных законах изменения параметров, В ситуациях, когда необходимо определения только коэффициента отражения от среды с изменяющимися параметрами удобно иметь дело с дифференциальным уравнением для коэффициента отражения, которое оказывается уравнением типа Рикатти [ 1 4 0 ] . В [ 1 1 6 ] изложены два метода последовательных приближений для определения коэффициента отражения.
Один из них удобно применять в случае тонких слоев, другой в случае слабо отражающих слоев. Следует отметить, что в неоднородной среде разделение поля на падающее и отраженное является условным и с определенной степенью справедливым лишь для сред со слабо выраженной неоднородностью. Одним из способов решения такой задачи с учетом зависимости параметров вещества от одной из координат является составление на основе линеаризованных уравнений движения системы однородных, линейных, дифференциальных уравнений первого порядка с функциональными коэффициентами, в которых неизвестные функции являются зависимостями компонент вектора смещения и тензора напряжений. Данная система записывается в матричной форме, и ее решение может быть представлено в виде скалярного произведения интеграла от матрицы коэффициентов (пропагатора) на вектор начальных значений [141], К сожалению, в данной работе не приведены рассчитанные с помощью предложенных методов зависимости характеристик рассеянных упругих полей. В [142] получены аналитические выражения для коэффициентов отражения и преломления акустической волны на границе жидкости и твердой среды, слабой неоднородностью по глубине полупространства. Расчет выполнен в высокочастотном приближении для случая одной точки поворота для волн продольного и поперечного типов. В работе также отсутствуют численные оценки коэффициентов отражения и преломления от характеристик сред. Общим вопросам формального описания взаимодействия упругих волн со средами, характеристики которых изменяются от координат, посвящена работа [143]. Работа [144] посвящена изучению рассеивающих свойств неоднородной упругой сферы. В последние годы для расчета характеристик упругих полей, взаимодействующих с неоднородными средами, широко используется импедансный метод, предложенный в [145-147]. Из всей совокупности рассмотренных элементарных рассеивателей, только некоторые могут быть использованы для моделирования свойств компактных неодно родностей. Это, прежде всего, такие, как: сфера, эллипсоид, сфероид, диск. Другим, как: бесконечный цилиндр, разрез в виде бесконечной полосы и т. д., присущи свойства, как компактных неоднородностей, так и протяженных неоднородностей.
При этом плоская бесконечная граница раздела является простейшей идеализированной моделью протяженной неоднородности. Общей чертой таких элементарных рассеива-телей является то, что на их основе, используя различные способы их размещения в пространстве, могут формироваться модели протяженных неоднородностей. Более сложной моделью протяженной неоднородности является слой упругого однородного вещества в твердой среде, ограниченный двумя плоскими параллельными границами раздела. Выражения для коэффициентов отражения и прохождения упругих волн при взаимодействии с такой моделью неоднородности могут быть получены из прямого решения системы уравнений, составляемой на основе условий на границах слоя [148]. Другой способ нахождения коэффициентов рассеяния заключается в формировании матрицы, связывающей компоненты вектора смещения и тензора напряжения на противоположных сторонах слоя [116], и последующем использовании ее для нахождения искомых характеристик. Преимущество данного подхода заключается в том, что число уравнений в системе снижается, в общем случае твердых изотропных сред, с 12 до 6, а также в возможности осуществления легкого обобщения на произвольное число слоев (не обязательно упругих). В [ 8 0 ] проведен подробный анализ зависимостей коэффициентов отражения и прохождения от величины волновой толщины слоя, соотношения импедансов материалов слоя и вмещающей среды, величины коэффициента внутренних потерь материала слоя. При нормальном падении проведен подробный анализ зависимостей коэффициентов отражения и прохождения от величины волновой толщины слоя, соотношения импедансов материалов слоя и внешних полупространств. Наличие потерь в материале слоя ведет к тому что, с увеличением волновой толщины слоя амплитуда осцилляции модулей коэффициентов отражения и прохождения уменьшается. При этом значение модуля коэффициента отражения асимптотически приближается к постоянной величине, а модуль коэффициента прохождения стремится к нулю. На основе результатов работы [116] в [27] показано, что эхо - метод более чувствителен к расслоениям, когда их толщина стремится к нулю, чем теневой метод. В [149] показано, что если слой является трансверсально- изотропным, то значения коэффициентов прохождения и отражения могут значительно отличаться от значений для изотропного материала с такой же
Влияние параметров состояния границы раздела между сферическим упругим включением и матрицей на энергетические характеристики рассеянного поля
В качестве изучаемой энергетической характеристики рассеянного поля будем рассматривать нормированное поперечное сечение рассеяния сферы у ; у - Оно о п р е д е -ляется отношением потока полной энергии, рассеянной в полный телесный угол на бесконечно большом расстоянии от сферического включения, к потоку энергии в падающей волне через площадку, перпендикулярную направлению распространения и равную площади поперечного сечения рассеивающего сферического включения, и которое вычисляется по выражению [ПО]: Так как количество слагаемых, необходимых для сходимости ряда (2.6), зависит от величины кг [82], то их количество в сумме ряда (2.6) (максимальное значение порядка т), аналогично с работе [82] определялось следующими неравенствами: В выражении (2.6) отсутствуют слагаемые, включающие в себя различные степени произведения А ЛВЛ- Это означает, что полное нормированное поперечное сечение рассеяния сферы формируется из двух несвязанных друг с другом поперечных сечений рассеяния соответствующих типов волн. Определенный интерес представляет процесс трансформации волн при рассеянии плоской упругой волны на сферическом включении с нежесткой связью с матрицей. Для его количественной оценки удобно воспользоваться величиной, равной отношению поперечного сечения рассеяния продольной волны к поперечному сечения рассеяния поперечной волны. Эта характеристика определяется следующим выражением:
Результаты, представленные в работе [110] показывают, что поперечное сечение рассеяния сферического включения зависит как от изменения соотношения упругих характеристик одной из сред, так и от взаимного соотношению упругих характеристик сред в достаточно широком диапазоне изменения значений волнового размера сферического включения. При этом, поскольку не установлены критерии выбора соотношений, связывающих упругие характеристики сред, а также их относительные величины, и поскольку в системе (2.5) необходимо использовать абсолютные значения параметров сред, то анализ поперечного сечения рассеяния было признано целесообразным проводить для конкретных материалов. Для изучения влияния "неидеальности" границы раздела на поперечное сечение рассеяния выбирались в качестве материала включения монолитный графит, а в качестве внешней среды - сталь и медь, упругие характеристики [286] которых представлены в табл. 2.1. Данный выбор обусловлен тем обстоятельством, что такое их сочетание интересно применительно к задачам дефектоскопии. Нормальную и поперечную жесткость далее представляли в виде: В качестве величины, характеризующей состояние границы раздела при переходе от "свободной" поверхности к "сварному" контакту, использовали параметр д = дп = д1. Отсутствие вязкого трения на границе раздела определяется значением пи = 0. При этом нормальная и тангенциальная жесткости меняются одинаково. Анализ зависимостей (2.6) и (2.8) при переходе границы раздела от полости к "сварному" контакту проводился в сравнении с аналогичными зависимостями, полученными на основании граничных условий, соответствующих "свободной" границе и "идеальной" границе между двумя упругими средами. Как показывают результаты вычислений, представленные на рис.2.2, этим двум предельным состояниям границы соответствуют кривые при = 12 ("свободная" поверхность) и = 16 (идеальная упругая связь). На рис.2.2а, б представлены зависимости полного нормированного поперечного сечения рассеяния от параметра и от волнового размера кріа при пи 0.
Процесс перехода от свободной поверхности к идеальной упругой связи сопровождается многочисленными резонансными явлениями по всему диапазону значений кріа. Положения резонансов определяется как соотношением акустических характеристик включения, матрицы и размером включения, так и параметрами границы раздела. Видно, что в области перехода от свободной поверхности к "сварному" контакту резонансные явления присутствуют и при Лр/д 1, что оказывает существенное влияние на рассеивающие свойства такой неоднородности в данном диапазоне. При увеличении жесткости связи на границе раздела резонанс смещается в область больших значений параметра кріа. Представленные зависимости показывают, что существуют значения дп и gt, для которых положение резонансов определяется только соотношением акусти ческих свойств включения, матрицы и размером включения, то есть границу раздела можно считать "идеальной". Существуют также значения дп и до которых граница раздела ведет себя идентично сферической полости. Таким образом, множество состояний границы раздела сферическое включение - матрица в диапазоне от "свободной" поверхности до "сварного" контакта может характеризоваться значениями нормальной и тангенциальной компонент тензора жесткости в диапазоне от (1+г лм) 10 Н/м до ( 1 + 1 им) 10 Н / м 1 На рис.2.3 представлены зависимости отношения поперечного сечения рассеяния продольной волны к поперечному сечению рассеяния поперечной волны. Все исходные параметры такие же, как на рис.2.2. Анализ зависимостей на рис.2.3 показал, что резонансные явления сопровождаются интенсивным перераспределением энергии между типами волн, как в случае идеального состояния границы раздела (свободная поверхность, идеальная упругая связь), так и в случае промежуточного - "полужесткого" -состояния. Кроме того, в области малых волновых размеров на резонансах основной вклад в рассеянное поле вносит трансформированная поперечная волна.
Следует отметить, что в упругом поле, рассеянном на графитовом включении в стали и меди в случае идеальной упругой связи на границе раздела и близкой к ней, с увеличением параметра A , a повышается доля, соответствующая вкладу рассеянной продольной волны. Для медной матрице, эта доля выше, чем для стальной. Это связано с соотношением упругих характеристик матрицы и включения. Использование граничных условий в приближении "линейного" скольжения в задаче рассеяния плоских волн на сферическом включении делает возможным проведение численных оценок процессов взаимодействия плоских упругих волн на нераскрывшейся сферической трещине. Последняя может рассматриваться как тонкий сферический слой, характеризуемый наличием в нем ослабленных упругих связей между атомами или более крупными элементами, или как тонкая трещина, заполненная инородным веществом. Условием возможности привлечения таких граничных условий для указанных целей [ 8 2 ] является то, что длина распространяющейся волны должна быть много больше толщины слоя неоднородности. При решении этой задачи материал упругого включения считался таким же, как материал матрицы. На рис. П.2.1 представлены зависимости полного нормированного поперечного сечения рассеяния стальной сферы в стали (а) и медной сферы в меди (б) от волнового размера при таких же параметрах, как на рис. 2,3, когда состояние границы раздела меняется от "полости" к однородному веществу. Отличительными особенностями данного случая от
Коэффициенты отражения и прохождения
Коэффициенты отражения и прохождения. В дальнейшем интересовались коэффициентами отражения и прохождения для компонент тензора упругих напряжений в радиальном направлении. Основная причина этого заключалась в создании предпосылок для использования этих характеристик в основе широко применяемых в настоящее время методов анализа электроакустических трактов приборов неразрушающего контроля. Вначале получались выражения для рассеянных решеткой полей в случае конечного числа цилиндров. Если число цилиндров достаточно велико, то приближенно можно считать, что рассеяние на каждом из цилиндров происходит таким же образом, как и в бесконечной решетке. Значения коэффициентов отражения и прохождения искались для дальней зоны, которая характеризуется выполнением условия кКд»\, и где можно считать, что выполняются следующие соотношения: ф « —-9 ; Кд А -дй8т&. Так же в дальней зоне можно воспользоваться асимптотическим представлением функции
Ганкеля 1-го рода для больших значений аргумента [79]: с учетом данных приближений потенциалы рассеянных полей (3.3), в области пространства за решеткой записывались в виде: где 9 - угол падения на решетку исходной плоской волны, 9 - угол в точку наблюдения М (см. рис.3.1). Для области пространства перед решеткой полага-лосьф, = -ф » —71 + 9 и получались выражения: Анализ выражений, (3.9) показал, что в цилиндрической системе координат на больших расстояниях от точки начала отсчета радиальная компонента напряжения рассеянного поля определяется в основном полем рассеянной продольной волны, а касательная - полем рассеянной поперечной волны. Поэтому для дальней зоны выражения (3.9) записывались в виде: .Выполняя двукратное дифференцирование выражений (3.17) по Ко и отбрасывая слагаемые порядка (Ai?o) и более высокого порядка малости для области за решеткой получалось: Наибольшее влияние без учета фазовых множителей на характеристики рассеяния оказывают множители, представляющие отношение синусов в (3.19) и (3.19а). Поэтому по аналогии с работой [157] далее рассматривались эти функции. Исходя из периодичности функции sin, с изменением частоты падающей волны и углов ее падения и наблюдения, рассеянные поля имеют ряд максимумов и минимумов. Можно выделить два вида осцилляции: быстрые, обусловленные периодичностью функции есть очень велика, а потому при большом 2N+1 целесообразно рассматривать только огибающую этой функции. В этом случае изменение характеристики будет зависеть от функции ( sdk —{sinB-sinQ ) V . Максимум отражения будет наблюдаться, когда эта функция обращается в нуль, что имеет место в случае выполнения равенства: где Х- длина соответствующей волны в матрице, г=0, ±1, ±2,... С увеличением частоты исходной волны число максимумов отражения в определенном телесном угле увеличивается. Кроме этого, отражение от решетки может изменяться скачком, когда [157]: где т=0, ±1, ±2,... В этом случае могут появиться дополнительные спектры отражения решетки. Условие (3.22) соответствует появлению аномалий Вуда, когда один из дифрагированных спектров начинает распространяться вдоль решетки. При этом повторяемые возмущения от всех цилиндров суммируются по фазе, вследствие чего резко возрастает энергия, рассеиваемая каждым цилиндром. Определим, что следует понимать под коэффициентом отражения и прохождения для решетки.
Строго говоря, само понятие "коэффициент прохождения" и "коэффициент отражения" применимо только к плоским границам раздела. В этом случае плоские упругие волны, прошедшие через границу раздела и отраженные от нее, так же остаются плоскими, а коэффициенты отражения, например, по потенциалу определяется как отношение потенциалов в падающей и отраженной волне, а коэффициент прохождения - как отношение потенциала в прошедшей волне к его значению в падающей [192]. Вследствие того, что величины рассеянных решеткой упругих полей являются функциями координаты точки наблюдения (3.19), (3.19а), (3.20), то определить подобным образом коэффициенты отражения и прохождения для решетки невозможно. Поэтому коэффициенты отражения и прохождения для решетки определялись по аналогии с работой [192]. Пусть решетка из конечного числа цилиндров закрывает отверстие в бесконечном абсолютно жестком экране; размер отверстия Ь=2(1Ы вешан по сравнению с длиной волны. Коэффициент прохождения по упругому напряжению в случае падения на решетку плоской упругой продольной волны определялся как: где а( - радиальная компонента напряжения в волне, прошедшей через открытое в экране отверстие; ст(!/ , а { - радиальная и касательная компоненты напряжения в волне, прошедшей через закрытое решеткой отверстие в экране. Коэффициенты прохождения по напряжению в случае падения поперечной плоской 8У- волны на решетку определялись как:
Коэффициенты отражения и прохождения на границе с микронеоднородной средой
Рассмотрим плоскую границу раздела между однородной средой и микронеоднородной средой, описываемой с помощью рассмотренных в предыдущем подразделе моделей. Пусть на такую границу раздела падает плоская продольная гармоническая волна с нормалью к волновому фронту, совпадающей с нормалью к плоскости раздела. Приближенно можно считать, что в результате взаимодействия с такой границей раздела возникают две плоские эффективные волны: отраженная и прошедшая. Эффективная скорость распространения и эффективный коэффициент затухания прошедшей в микронеоднородную среду волне могут быть найдены на основе методики, рассмотренной в предыдущем подразделе, если известны характеристики микронеоднородной среды, В этом случае коэффициенты отражения и прохождения можно вычислить по формулам[116]: где 2 ,и к = Р м и к 5 - о д н = / о д н о д н - упругие импедансы микронеоднородной и однородной среды. Скорость Смт может быть найдена на основе (1.5), по эффективной скорости продольной волны и эффективному коэффициенту затухания. Вычисление плотности микронеоднородной среды в первом приближении осуществлялось на основе формулы из [ 2 9 0 ] для двухкомпонентной среды: где: р1 и р2 плотности вещества матрицы и включения, V - объемная концентрация включений. Анализ коэффициентов отражения и прохождения проводился для таких же сочетаний параметров моделей сред, как и для случаев эффективных скоростей и коэффициентов затухания.
Результаты расчетов представлены на рис.4.15 -рис.4.24. Влияние параметров границы раздела и затухания в материале включения на величину модулей коэффициентов отражения и прохождения в основном такое же, как и на величину эффективной скорости. Следует отметить что неоднородность, моделируемая объемной решеткой цилиндров, обладает более сильными рассеивающими свойствами по сравнению с решеткой сферических рассеивателей. Из-за этого чувствительность характеристик упругих волн, рассеянных на такой неоднородности, к изменению ее параметров выше, чем для решетки сферических рассеивателей. Это подтверждается более широким диапазоном изменений значений модулей коэффициентов отражения и прохождения для данной модели в зависимости от ее параметров по сравнению со случаем решетки, составленной из сферических рассеивате-лей, что видно из соответствующих графиков. При достижении коэффициента перфорации 1 для зависимостей, соответствующих модели на основе цилиндрических включений, наблюдается расхождение между рассчитанными данными и физически корректными результатами. Модуль коэффициента отражения не достигает 1, когда состояние границы раздела между матрицей и цилиндрическими включениями соответствует свободной поверхности. Значение эффективной скорости распространения продольной волны в этом случае должно быть О, а эффективного коэффициента затухания - бесконечным, что следует из дисперсионного уравнения (4.1) при Т=0 иК=\. Это объясняется тем, что в результате ухудшения сходимости рядов при стремлении коэффициента перфорации к 1, а также удержанием конечного числа членов в разложениях системы взаимодействующих с единичной решеткой волн точность вычисления коэффициентов отражения и прохождения уменьшается.
Вероятно, по этим причинам, как видно из соответствующих зависимостей в предыдущем разделе, скорость и коэффициент затухания не достигают своих предельных значений. 4.3 Моделирование взаимодействия плоской продольной волны с объемными неодно-родностями с параметрами, изменяющимися в направлении ее распространения. В металлоизделиях, как показывают данные металлографического анализа и других методов исследования несплошностей естественного происхождения, не всегда можно установить четкую границу между "здоровым" металлом и дефектной областью. Это может быть обусловлено постепенным изменением параметров неоднородности от значений, соответствующих бездефектному материалу, до значений, определяющих собственно несплошность. Вместе с тем, оценка рассеивающих свойств таких неоднородностей представляет как теоретический, так и практический интерес. Для определения рассеивающих свойств такой несплошности ее можно разбить на ряд плоскопараллельных слоев, в пределах которых параметры неоднородности условно считаются постоянными и равными усредненным в пределах слоя значениям. Приближенно полагали, что в каждом слое условия распространения упругой волны близки к условшм распространения упругой волны в микронеоднородной безграничной периодической среде, рассмотренной в предыдущем подразделе. При этом упругие параметры слоя можно было считать эквивалентными соответствующим параметрам микронеоднородной безграничной периодической среды. Далее, учитывая в естественной неоднородности возможное постепенное изменение ее характеристик, значения упругих параметров в слоях могли быть аппроксимированы подходящей гладкой аналитической функцией или "сплайнами". Таким образом, задача о взаимодействии плоских упругих волн с "неоднородными" в одном направлении совокупностями микровключений может быть сведена к решению задачи о взаимодействии упругих волн с областями, характеризующимися зависимостью упругих параметров от одной из координат.
Постановка и решение подобных задач ранее производилась, например, в работах [157, 116, 140, 155]. При этом для нахождения коэффициентов отражения и прохождения возникает необходимость в решении дифференциального уравнения второго порядка в общем случае с коэффициентами в виде комплексных функций. Пусть между двумя однородными упругими одинаковыми полубесконечными пространствами 1 и 2 (рис. 4.25), характеризующимися постоянными Ламе Xq ЦО И плотностью ро, расположен слой, который отличается от соседних сред тем, что его упругие параметры и коэффициент затухания могут изменяться в зависимости от координаты по толщине произвольным образом. Пусть с таким слоем взаимодействует плоская продольная гармоническая волна, направление волнового вектора которой совпадает с направлением, вдоль которого изменяются параметры слоя. В этом случае решение задачи может быть осуществлено в одномерном приближении без учета рефракционных явлений [116]. Дифференциальное уравнение для упругого смещения в неоднородном слое в линейном одномерном приближении имеет вид [116]: Из этого уравнения нетрудно получить волновое, если в нем перейти от смещений к потенциалу смещения, как это сделано в [ 116]. Учитывая, что Цх) + 2\х(х) = р(х)-с(х)л и выполняя дифференцирование, уравнение (4.10) записывалось в виде: Известно, что в общем случае для данного уравнения не найдено аналитического решения. Но в некоторых частных случаях, характеризующихся зависимостями упругих
