Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 Проблемы и методы синтеза нелинейных регуляторов 9
1.1 Проблемы синтеза нелинейных регуляторов 9
1.2 Проблема управляемости в задаче синтеза регуляторов 14
1.3 Методы синтеза нелинейных регуляторов 17
1.3.1 Методы оптимального управления 17
1.3.2 Системы с переменной структурой 24
1.3.3 Метод пассификации 26
1.3.4 Метод преобразований 28
1.3.5 Метод управляемой формы Жордана 32
1.3.6 Метод функций Ляпунова 35
1.3.7 Метод скоростного градиента 36*
1.4 Обоснование и формулировка цели исследования 39
1.5 Выводы по первой главе 39
Глава 2 Функции ляпунова нелинейных управляемых систем 41
2.1 Некоторые особенности построения функций Ляпунова 41
2.2 Аффинные по управлению объекты 48
2.2.1 Управляемость 49
2.2.2 Синтез регуляторов на основе функции Ляпунова 54
2.3 Полюсы кусочно-непрерывного управления 66
2.4 Выводы по второй главе 70
Глава 3 Разработка метода синтеза нелинеинных регуляторов переменной структуры 71
3.1 Постановка задачи 71
3.2 Синтез НРПС для объектов с числом управлений равным их порядку 72
3.3 Синтез НРПС для объекта с одним управлением 82
3.3.1 Движения систем в критической области 84
3.3.2 Управление с сохранением знака разности функции Ляпунова 91
3.4 Синтез НРПС для объектов с числом управлений меньше его порядка. 102
3.5 Выводы по третьей главе 103
Глава 4 Применение нелинейных регуляторов переменной структуры для управления реальными объектами 104
4.1 Компьютерная реализация нелинейных регуляторов переменной структуры 104
4.2 Синтез НРПС для стабилизации спутника на орбите 110
4.3 Синтез НРПС перевернутого маятника 117
4.4 Синтез НРПС надводных кораблей 123
4.5 Выводы по четвертой главе 141
Заключение 142
Библиографический список 143
Приложение
- Проблема управляемости в задаче синтеза регуляторов
- Аффинные по управлению объекты
- Синтез НРПС для объектов с числом управлений равным их порядку
- Синтез НРПС для стабилизации спутника на орбите
Введение к работе
Актуальность темы. Задача синтеза нелинейных регуляторов весьма актуальна в настоящее время. В реальности все объекты управления являются существенно нелинейными, а требования к современным системам автоматического управления (САУ) возросли настолько, что без учета нелиней-ностей обеспечить требуемое качество процессов управления невозможно. Другим фактором, обусловливающим актуальность задачи синтеза нелинейных регуляторов, является широкое развитие и распространение компьютерных технологий, которые позволяют, во-первых, синтезировать, а во-вторых, реализовать весьма сложные законы управления, необходимые для управления нелинейными объектами достаточно общего вида.
Практически задача построения САУ сводится к разработке математической модели, а затем и реализации регулятора. Именно регулятор определяет все основные динамические свойства САУ, её точность и эффективность управляемого процесса. Наиболее совершенными регуляторами являются нелинейные, поэтому в данной работе основное внимание уделяется методам синтеза именно этих регуляторов.
Методы анализа и синтеза нелинейных систем разрабатывались и исследовались в работах многих ученых таких как: A.M. Ляпунов, Р. Калман, А.А. Воронов, А.А. Красовский, А.П. Крищенко, СВ. Емельянов, В.И. Уткин, А.Л. Фрадков, Е.А. Барбашин, А.А. Вавилов, В.Н. Буков, В.Н. Рябченко, П.К. Кузнецов, Л.Д. Певзнер, СВ. Тарарыкин, Р.А. Нейдорф, В.И. Лачин, А.Р. Гайдук, В.А. Подчукаев, Н.Б. Филимонов, П.П. Кравченко, В.В. Тюти-ков и др. Однако, практически все известные методы синтеза нелинейных регуляторов применимы лишь для нелинейных объектов отдельных классов. Поэтому в настоящее время проблема разработки и исследования достаточно общих методов синтеза регуляторов для нелинейных объектов находится в центре внимания ученых различных стран мира.
Диссертационная работа посвящена решению актуальной и важной научно-технической проблемы: разработка метода синтеза нелинейных регуляторов для нелинейных объектов достаточно общего вида на основе функций Ляпунова, позволяющего формализовать процедуру синтеза, повысить качество синтезируемой системы, обеспечить экономию энергии и ресурсов управления.
Объектами исследования являются нелинейные регуляторы и системы автоматического управления нелинейными, аффинными по управлению объектами.
Целью диссертационной работы является решение актуальной науч-но-технической задачи: синтез и исследование нелинейных регуляторов переменной структуры, ориентированных на реализацию вычислительными средствами, для некоторого класса нелинейных объектов управления на основе метода функций Ляпунова.
Для достижения указанной цели в диссертационной работе решены следующие частные задачи теории нелинейных систем управления:
1. Исследование методов построения функций Ляпунова для линейных и нелинейных систем.
2. Разработка на основе функций Ляпунова в виде квадратичных форм метода синтеза нелинейного (кусочно-непрерывного) управления для аффинных по управлению нелинейных объектов.
3. Исследование свойств кусочно-непрерывного управления и разработка физически реализуемых, аналитических алгоритмов функционирования нелинейных регуляторов для нелинейных объектов управления различных классов.
4. Разработка методов и оценка сложности технической реализации предложенных алгоритмов соответствующих нелинейных регуляторов.
Методы исследования. В работе использованы: методы математического анализа, теория матриц, методы нелинейной теории автоматического управления, метод функций Ляпунова, методы компьютерного моделирования нелинейных динамических систем. Положения, выносимые на защиту:
1. Структура и алгоритм кусочно-непрерывного управления для аффинных по управлению нелинейных объектов.
2. Структура и алгоритм нелинейного регулятора переменной структуры (НРПС) для аффинных по управлению нелинейных объектов с одним управлением.
3. Структура и алгоритм нелинейного регулятора переменной структуры для аффинных по управлению нелинейных объектов с векторным управлением.
4. Операционная структура реализации нелинейных регуляторов переменной структуры.
Научная новизна работы определяется следующими отличительными особенностями полученных существенных теоретических и практических результатов:
1. Показана возможность применения для синтеза нелинейных регуляторов и исследования устойчивости нелинейных систем управления функции Ляпунова, построенной для устойчивой линейной системы. Это позволяет практически формализовать процесс синтеза нелинейных регуляторов.
2. Предложены новые регуляторы переменной структуры для нелинейных объектов управления, содержащие непрерывную и логическую часть. Переменность структуры регуляторов обеспечивается переключением нелинейных блоков (алгоритмов) управления, в отличии от традиционных систем переменной структуры, где коммутируются линейные блоки.
3. Разработанный новый метод синтеза нелинейных регуляторов переменной структуры для нелинейных объектов управления различных классов, позволяет создавать эффективные, устойчивые в целом системы управления для нелинейных объектов как с одним, так и с несколькими линейно независимыми управлениями. 4. Логическое устройство нелинейных регуляторов переменной структуры обеспечивает действие на объект лишь в необходимые моменты времени и только одного наиболее эффективного управления, что позволяет экономить энергию и ресурсы управления.
Практическая значимость диссертационной работы определяется тем, что её результаты позволяют решить многие проблемы управления техническими системами и технологическими процессами без предварительной линеаризации их математических моделей. Кроме того, разработанные алгоритмы управления позволяют в полной мере использовать ресурсы современных вычислительных средств.
Особая значимость нелинейных регуляторов переменной структуры (НРПС), учитывающих реальные нелинейности системы, заключается в возможности повышения качества переходного процесса и точности системы в установившемся режиме. Кроме того, логическая часть НРПС обеспечивает действие на объект только одного управления и лишь в необходимые моменты времени, что приводит к экономии энергии и ресурсов управления. Это позволяет повысить производительность и экономическую эффективность технологических объектов, производств.
Разработан новый подход к синтезу регуляторов для нелинейных объектов как с одним, так и с несколькими управлениями. Он позволяет обеспечить устойчивость положения равновесия системы в целом при непрерывных и разрывных нелинейностях, что значительно расширяет область применения нелинейных регуляторов в технических системах. Методика синтеза легко алгоритмизуется и реализуется полностью на ЭВМ.
Достоверность результатов исследования. Результаты работы используются в учебном,процессе кафедры САУ ТТИ ЮФУ. В частности, они позволяют убедительно показать преимущества метода функций Ляпунова в теории и практике нелинейных систем управления, формализовать процедуру синтеза нелинейных регуляторов для нелинейных объектов. Результаты работы внедрены при выполнении хоздоговора ХД - 12238 «Разработка и исследование систем автоматизации проектирования проблемно-ориентированных вычислительных устройств» на кафедре «Вычислительной техники» ТТИ ЮФУ.
Апробация. Материалы диссертационной работы прошли апробацию на следующих международных, всероссийских и региональных научных конференциях: VIII Всероссийская научная конференция студентов и аспирантов «Техническая кибернетика, радиоэлектроника и системы управления». ТРТУ, Таганрог. 2006; III научно-техническая конференция профессорско-преподавательского состава, аспирантов и сотрудников. ТРТУ, Таганрог. 2006; Научно-техническая конференция профессорско-преподавательского состава, сотрудников и студентов университета. ДГТУ, Ростов-на-Дону 2007; Научно-техническая конференция профессорско-преподавательского состава, аспирантов и сотрудников. ТТИ ЮФУ, Таганрог. 2007; VIII международная молодежная научная конференция "Севергео-экотех-2007". УГТУ, Ухта. 2007; IX всероссийская молодежная научная конференция «Королёвские чтения» с международным участием. СГАУ, Самара. 2007.
Публикации. Всего по теме диссертации опубликовано 10 работ. Наиболее существенные результаты опубликованы в журналах «Известия ТРТУ», «Вестник ДГТУ», которые входят в перечень ВАК, и вошли в другие сборники научно-технических работ, а также докладов региональных и международных научно-технических конференций.
Проблема управляемости в задаче синтеза регуляторов
Известно, что управляемость объекта управления, точнее, его стабили-зируемость необходима для реализации процессов управления им. Это означает, что для такого объекта управления нельзя построить, например, систему управления с произвольно заданными корнями характеристического уравнения. Если же объект является нестабилизируемым, то для него вообще нельзя построить работоспособную систему управления.
В этом случае условие управляемости принимается в виде: paHzU{x)-n и рангУ(х) = п — \ при всех xeQx, поскольку как показано в работах [20, 21] при этих условиях для объекта (1.6) можно найти управление в виде нелинейной обратной связи по всем переменным состояния, которое обеспечивает устойчивость положения равновесия замкнутой САУ.
Как видно, приведенные условия управляемости зависят от переменных состояния. Именно поэтому для нелинейных систем очень часто управления, стабилизирующие положение равновесия, можно найти лишь в некоторой области Qx пространства состояний. Причём эта область существенно зависят от вида применяемого критерия управляемости. Более подробно эта проблема рассматривается во второй главе данной работы.
Методов синтеза нелинейных регуляторов к настоящему времени разработано достаточно много. В данном обзоре рассматриваются лишь некоторые аналитические подходы к синтезу нелинейных регуляторов, а также некоторые методы исследования устойчивости положения равновесия нелинейных систем.
Независимо от используемого метода расчет оптимальных регуляторов состоит из трех этапов [12]: 1. Формирование критерия качества, для которого решается задача оптимизации. 2. Определение оптимального закона управления. 3. Определение структуры оптимального регулятора. Рассмотрим подробнее некоторые методы расчета оптимальных регуляторов.
Принцип максимума Понтрягина. В теории оптимального управления принцип максимума Понтрягина занимает особое место. Этот принцип был сформулирован в 1956 году, однако широкое признание он получил только после проведения I Конгресса ИФАК в 1960 году [12, 18].
Обычно задача синтеза оптимального управления ставиться применительно к объекту, который описывается обыкновенным дифференциальным уравнением x = f(t,x(t),u(t)), х(ґ0) = х0, (1.11) где х — вектор состояния объекта, xeRn; и — вектор управления, ueUczRq, U- некоторое заданное множество; t- время, t єТ = [tQ,tx] - ин тервал времени функционирования системы, моменты времени t0 и f, заданы, функция f(t,x,u):TxRn xU - R"; x(t0) - начальные условия. Как видно внешние воздействия на объект управления отсутствуют. Множество допустимых процессов D определяется как множество пар d = (x(t), u(t)), удовлетворяющих уравнению (1.11), где V/єГ, х(?)єі?", u(t) є U; функции x{t) непрерывны и кусочно-дифференцируемы, a u(t) — кусочно-непрерывны. На множестве D определяется функционал качества управления I{x0,d) = F{x{tx))+)f\t,x(t),u{t))dt, (1.12) о где f(t,x,u), F(x) - заданные непрерывно дифференцируемые функции. Задача 1. Требуется найти такую пару d = (х (t),и (ґ)) є D, что I(x0,d ) = mml(x0,d). (1-13) сієД
Задача 1 в общем случае называется задачей Болъца. В случае, когда в функционале (1.12) F(x(t])) = 0, т.е. отсутствует терминальный член - задачей Лагранэюа, а если f(t,x(t),u(t)) = 0, т.е. отсутствует интегральный член — задачей Майера. Искомые функции x (t) и и (?) называются соответственно оптимальной траекторией и оптимальным управлением. Принцип максимума состоит в том, что при определении оптимального управления задача делится на два этапа. а) В начале находится оптимальная траектория x0(t) на фоне допус тимого управления иэ є U. б) После первого этапа считается, что оптимальная траектория x3(t) найдена, и далее ищется соответствующее оптимальное управление в соответствии с принятым условием оптимальности.
Оптимальное управление данным объектом при заданном ограничении должно быть таким, чтобы достигался максимум Гамильтониана H(t,x,u, ц/) в каждый момент времени /. Полученное таким образом оптимальное управление u\t) называется программным и, в общем случае, обеспечивает минимум функционала качества управления только для заданного начального условия х0. Для другого начального условия требуется выполнить процедуру синтеза оптимального управления заново.
Методика применения принципа максимума заключается в следующем: 1. Составить гамильтониан H(t, х, и, \/). 2. Найти структуру оптимального управления из условия максимума гамильтониана. 3. Составить систему канонических уравнений с заданными в задаче краевыми условиями. 4. Применить условия трансверсальности. Они дают недостающие краевые условия для уравнений составленной системы. 5. Решить двухточечную краевую задачу для системы канонических уравнений. В итоге определяется пара (x (t),u (t)), на которой может достигаться экстремум функционала.
Аффинные по управлению объекты
Рассмотрим стационарные нелинейные, так называемые, аффинные по управлению объекты [20], которые описываются уравнениями x = F(x) + B(x)uf, у = Н(х). (2.19) где х є R" - вектор состояния, и матрица В{х) = В0 + В{х). В эти уравнения управление uf входит линейно. Если функции F{x) и Н(х) дифференцируемы и (0) = 0, Н(0) = 0, то уравнения (2.19) можно записать в квазилинейной форме [21, 22] х = А(х)х + B{x)uf, у = С(х)х, (2.20) где А(х) - пхп матрица системы; В(х) - пхт матрица управления; uf т -вектор управления; С{х) - гхп матрица наблюдения; у — г -вектор выхода. Системы управления типа (2.19), (2.20) часто встречаются на практике, поэтому разработка теории управления ими имеет большое теоретическое и практическое значение.
Задача управления объектом (2.19) заключается в определении управления uf-uf{x) или, что тоже самое, в построении некоторого регулятора таким образом, чтобы замкнутая система управления объектом (2.19) имела устойчивое в целом положение равновесия. При этом одновременно с определением управления должна быть построена функция Ляпунова, которая бы позволяла доказать устойчивость положение равновесия х = 0 синтезируемой системы. Решению этой задачи посвящается данная диссертационная работа. Отметим, что данная постановка задачи исследования устойчивости положения равновесия несколько отличается от традиционной постановки задачи исследования устойчивости положений равновесия нелинейных систем [6, 8]. Дело в том, что обычно функцию Ляпунова строят для уже синтезированной системы. В данной же работе функция Ляпунова и требуемое управление, т.е. фактически автоматический регулятор системы, отыскиваются одновременно. При этом возможен вариант, когда функцией Ляпунова задаются априори, а управление и, = иЛх) выбирается таким, чтобы устойчивость положения равновесия х = О синтезируемой системы легко доказывалась с помощью выбранной функции Ляпунова [5, 6, 11, 63].
В этом случае очень просто найти уравнение нелинейного регулятора, обеспечивающего устойчивость и требуемые свойства САУ. Однако очень часто коэффициенты а,- оказываются зависящими не только от вектора состояния JC, но и от производных по времени хг, uj.,uf,... некоторых переменных состояния или управления, что делает решение задачи нелинейных регуляторов практически невозможным.
Покажем необходимость свойства управляемости для построения нелинейной системы управления с устойчивым в целом положением равновесия на конкретном примере. С этой целью рассмотрим систему управления второго порядка (2.22)
Область управляемости системы (2.23) Заметим, что уравнения системы (2.23) при х1 -1 удовлетворяют условиям управляемой формы Жордана, а при xL = -1 они не удовлетворяют этим условиям. Поэтому можно построить управление, которое обеспечивает ус тоичивость положения равновесия системы (2.23) только в области Xj -1. В тоже время, линия х, =-1, отделяет область фазовой плоскости х, —1 от области Xj -1, где содержится положение равновесия. Покажем, что невозможно построить управление, которое осуществляло бы перевод системы из состояний, соответствующих области Xj -1, в положение равновесия х = 0 системы (2.23).
Фазовый портрет системы при х0 из области хх -1 Таким образом, если объект по той или иной причине теряет управляемость, то регулятор становится неработоспособным. Поэтому далее будем считать, что рассматриваемые аффинные объекты управления типа (2.19) удовлетворяют условиям управляемости во всем пространстве состояний R" или же в некоторой области Qx, содержащей положение равновесия системы.
Для системы (2.25) необходимо построить функцию Ляпунова, т.е. функцию, которая бы позволила доказать устойчивость или неустойчивость положения равновесия в том или ином смысле. Особая сложность этой задачи в-том, что нужно найти не просто некоторую функцию, определённую на переменных состояния системы, удовлетворяющую дифференциальному уравнению в частных производных (2.2) или (2.3). Необходимо, чтобы эта функция и её производная по времени вдоль траекторий полностью заданной системы (2.25) быть знакоопределенными.
Поставленная выше задача исследования устойчивости положения равновесия системы (2.19) или (2.20) проще, так как поскольку управление и Ах) неизвестная функция, то можно попытаться найти его так, чтобы обеспечивались требования обусловленные теоремами Ляпунова, к некоторым заранее выбранным функциям. Поэтому, следуя работам [8, 11, 20] для построения управления, обеспечивающего устойчивость положения равновесия синтезируемой системы, будем искать не функцию Ляпунова. Напротив, будем искать управление и, =ufix), при котором производная по времени вы бранной априори положительно определенной функции вдоль траекторий синтезируемой системы удовлетворяет условиям какой-либо теоремы об устойчивости. Понятно, что выбранная априори функция будет являться функцией Ляпунова для синтезируемой таким образом системы [6, 8].
Отличительной особенностью регулятора (2.37) является то, что он естественным образом учитывает все особенности нелинейностей объекта управления. Этот регулятор состоит из непрерывной части, описываемой первым слагаемым в выражении (2.37), и логической части, которая описывается вторым слагаемым в этом же выражении.
Синтез НРПС для объектов с числом управлений равным их порядку
Объекты управления (3.1) где dim /= dimх, т.е. т-п, являются, конечно, частным, но весьма важным в практическом отношении случаем аффинных по управлению объектов общего вида (2.27).
Прежде всего, рассмотрим вспомогательную лемму и теорему, необходимую для решения проблемы полюсов кусочно-непрерывного управления в этом случае.
Доказательство леммы 2 приведено в приложении Б. Данная лемма позволяет сформулировать следующую теорему, с помощью которой можно преодолеть проблему полюсов кусочно-непрерывного управления в случае объекта с т = п.
Эта теорема играет ключевую роль в разработанном ниже методе синтеза нелинейных регуляторов переменной структуры (НРПС) для объекта (3.1), которое стабилизирует положение равновесия замкнутой системы в целом.
Таким образом, если объект п -го порядка имеет п независимых управлений, то нелинейный регулятор, описываемый выражениями (3.3), (3.4), обеспечивает отрицательную определенность производной положительно определённой функции Ляпунова (2.18) вдоль траекторий замкнутой системы (3.1), (3.3), (3.4) до тех пор пока не будет выполнено условие JC є,. Следовательно, в силу теоремы 4.1 из работы [6. С. 20] регулятор (3.3), (3.4) обеспечивает устойчивость в смысле Ляпунова положения равновесия замкнутой системы (3.1), (3.3), (3.4) в целом.
Подчеркнём, что объект (3.1) является результатом влияния на исходный аффинный по управлению объект (2.19) или (2.20) непрерывного управления щ{х) = -Ктх (2.27). Это означает, что устойчивость процесса управления исходным объектом-(2.19) или (2.20), фактически обеспечивается нелинейным регулятором, который описывается совокупностью уравнений (2.27), (3.3), (3.4). Другими словами, данный регулятор в общем случае также состоит из непрерывной и логической части.
Процесс формирования управляющих воздействий в соответствии с выражениями (3.3), (3.4) практически полностью соответствует алгоритму функционирования системы с переменной структурой, рассмотренной в первой главе. Отличие заключается лишь в том, что логическое устройство здесь коммутирует нелинейные блоки, каждый из которых описывается выражением и = 0 или и j = -Хт \, ує[1,ія]. (3.5) х Pbjix) Так как основные свойства управления (3.5) обеспечивается вторым выражением, которое является нелинейной функцией при всех j є [1, т], то регулятор, описываемый выражениями (2,27), (3.3), (3.4) можно назвать «нелинейным регулятором переменной структуры» (НРПС).
Графики переменных состояния объекта без управления Нарис. 3.3 приведены графики переменных x{(t), x2(t), x3(t) замкнутой системы с НРПС (3.10), которые свидетельствуют, что положение равновесия системы устойчиво, поскольку все переменные состояния сходятся к нулю. Графики изменения соответствующих управлений показаны на рис. 3.4. Как видно, они являются кусочно-непрерывными и ограниченными.
Оптимальной целью управления в критической области является обеспечение пересечения траекторией системы этой области с уменьшением значения функции V(x). При этом траектория должна, естественно пересечь и D0 - гиперповерхность полюсов кусочно-непрерывного управления. В общем случае, условие «пересечения критической области» является не конструктивным, так как не позволяет найти соответствующее управление. В связи с этим можно поставить задачу обеспечения такого движения системы в критической области, чтобы функция V(x) (2.33), по крайней мере, не возрастала. Тогда при постоянной функции V{x) система будет двигаться по гиперповерхности постоянного уровня V(x) = Const, что приведёт к пересечению критической области. Это обусловлено тем, что гиперповерхность V{x) - Const является замкнутой (поскольку V{x) 0), а критическая область является открытой. Поэтому границы критической области \хт РЪ{х)\=г пересекают гиперповерхность V{x) - Const под некоторым ненулевым углом.
С другой стороны, при уменьшающейся V(x) траектория системы будет приближаться к положению равновесия, что соответствует цели управления.
Синтез НРПС для стабилизации спутника на орбите
Во второй половине 20-ого века, был запущен первый в истории человечества спутник. В настоящее спутники используются в различных областях, например, в исследованиях климата земли, в системах передачи информации, в экологии и т.д. В связи с этим весьма важной является задача управления движением спутника на орбите. Известно много решений задачи управления движениями спутника на орбите. В данном разделе рассматривается применение НРПС для стабилизации движения спутника на заданной орбите.
Задача стабилизации движения спутника рассматривалась в ряде работ [72, 73, 74]. Математическая модель движения спутника на орбите, которое представляет собой систему нелинейных дифференцируемых уравнений [106]:
Рассмотрим решение данной задачи с помощью предложенного выше нелинейного регулятора переменной структуры. НРПС состоит из двух частей это линейной непрерывной части и логической части.
Для того чтобы найти алгоритм НРПС, предложенного в предыдущей главе, необходимо предварительно привести систему (4.1) к виду (З.Г). В (4.2), (4.3) пара (А1} В) вполне управляема.
Изменение переменных состояний системы (4.6) Итак линейная часть НРПС спутника описывается (4.4). Перейдём к построению логической части НРПС обеспечивающий стабилизацию движения спутника на орбите.
Моделирование системы (4.6), (4.8) проводилось в среде MATLAB, листинг программы приведен в приложении Д. Результаты приведены на рис. 4.7 - рис. 4.12. На рис. 4.7 приведены графики изменения переменных системы (4.6) с управлением и(х) (4.8).
График изменения управления и(х) (4.8) показан на рис. 4.8, благодаря этому управлению, положение равновесия системы становится устойчивым. На рис. 4.9 показан график управления в увеличенном масштабе на интервале времени от 1,4 с до 1,5 с. Подчеркнем, что несмотря на переключение управления, которое показано на рис. 4.9, переменные состояния приведены на рис. 4.7. изменяются плавно.
Задача управления перевернутым маятником, стабилизация его верхнего неустойчивого положения равновесия относятся к числу классических задач механики и теории управления. Эта модель используется в задачах управления разнообразными установками, системами ориентации космических летательных аппаратов, манипуляторными роботами и другими. Она является тестовой задачей для оценки качества и эффективности того или иного метода синтеза нелинейных управлений. Эта задача, в частности, рассматривалась в работе [87, 88], для случая маятника смонтированного на тележке, способной перемещаться горизонтально.
Найдём алгоритм работы НРПС, предложенного в предыдущей главе, и сравним между ними. Перевернутый маятник показан на рис. 4.13. Маятник установлен на тележке, которая может перемещаться в горизонтальном направлении под действием электропривода, который оказывает на тележку силу Ф(/).
