Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Общие свойства экстраполяции Ричардсона 24
1.1. Теорема о разложении для разностных схем 25
1.2. Экстраполяция Ричардсона решений разностных задач 29
1.3. Теорема о разложении для метода конечных элементов 34
1.4. Экстраполяция Ричардсона в методе конечных элементов 41
1.5. Разложение разностных и интегральных выражений в ряд по шагу сетки 45
1.6. Решение специальных систем уравнений и некоторые вопросы интерполяции 63
1.7. Экстраполяция Ричардсона для консервативных трехточечных разностных схем 67
1.8. Экстраполяция Ричардсона для трехточечных схем метода Бубнова-Галеркина 80
ГЛАВА 2. Экстраполяция Ричардсона для уравнений в частных производных 89
2.1. Разностный метод для эллиптического уравнения 90
2.2. Метод Бубнова-Галеркина для задачи Дирихле .105
2.3. Уточнение собственных чисел и векторов 118
2.4. Одномерное уравнение теплопроводности 131
2.5. Метод расщепления для уравнения теплопроводности 144
ГЛАВА 3. Итерационные процессы на последовательности сеток для проекционно-сеточных задач 157
3.1. О свойствах двух специальных функций 158
3.2. Общая формулировка алгоритма 164
3.3. Модификации алгоритма для энергетических норм и для несамосопряженных задач 179
3.4. Совместное использование алгоритма с экстраполяцией Ричардсона 190
3.5. Решение вырожденных задач 195
3.6. Решение спектральной задачи 211
ГЛАВА 4. Использование итерационного процесса на последовательности Сеток для эллиптических уравнений второго порядка 230
4.1. Двумерная задача Дирихле 231
4.2. Модификация алгоритма для областей с криволинейной границей 248
4.3. Вторая и третья краевые задачи 261
4.4. Задача с точечной особенностью 268
4.5. Трехмерная задача Дирихле 275
4.6. Спектральная задача 283
4.7. Пакет прикладных программ М0К-І 291
4.8. Пакет прикладных программ МОК-З 302
Обозначения 313
Литература
- Экстраполяция Ричардсона решений разностных задач
- Уточнение собственных чисел и векторов
- Модификации алгоритма для энергетических норм и для несамосопряженных задач
- Модификация алгоритма для областей с криволинейной границей
Экстраполяция Ричардсона решений разностных задач
Современные задачи науки и техники ставят все более высокие требования к точности математических моделей и вычислительных алгоритмов. Математически это выражается в повышении размерности соответствующих уравнений математической физики, усложнении краевых условий, изучении различного рода особенностей у решения, возникающих вследствие углов областей, малых параметров, разрывов коэффициентов и т.д. При численной реализации вычислительных алгоритмов для таких моделей остро возникает -проблема быстродействия и памяти ЭВМ, Быстрый темп развития вычислительной техники все же не обеспечивает необходимых ресурсов для решения задач на основе простых численных методов малого порядка точности. Поэтому экономичное построение приближенных решений с высоким порядком точности в настоящее время является одной из актуальных задач вычислительной математики.
Пути повышения точности решений разностных и проекцион-но-сеточных задач в математической литературе обсуждаются весьма широко. Во-первых, это простейший прием повышения точности разностных схем пропорциональным уменьшением интервалов дискретизации дифференциальных задач. Для достижения необходимой точности в ряде задач математической физики, особенно многомерных, он приводит к существенному росту числа искомых неизвестных и создает проблему экономичного решения систем и обработки данных огромных размерностей.
Второе направление состоит в использовании большей априорной информации о решении дифференциальной задачи и, в частности, о его повышенной гладкости. Наиболее полно в этом направлении развиты методы построения устойчивых многоточеч - 5 ных разностных схем, обладающих повышенным порядком аппроксимации. Эти методы изложены в монографиях и учебных пособиях А.Н.Валиуллина [14] , И.И.Ляшко, В.Л.Макарова, А.А. Скоробогатько [58] , Ш. Е.Микеладзе [67] , А.А.Самарского [85] , А.А.Самарского, В.Б.Андреева [86] -, А.А.Самарского, А.В.Гулина [87] , В.К.Саульева [90] , Н.Н.Яненко [119]. Здесь и дальше опущена обширная литература по решению обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, которые не затрагиваются в диссертации. Для проекционно-сеточных задач, или метода конечных элементов, многоточечные схемы повышенной точности получены при использовании базисных функций более сложной структуры в монографиях и учебных пособиях Р.Варги [15] , В.Г.Корнеева [46] , Г.И.Марчука, В.И.Агош-кова [60] , Ж.-П.Обэна [75] , Л.А.Оганесяна, Л.А.Руховца [77] , Г.Стрэнга, Да.Фикса [93] , Ф.Сьярле [94] и других авторов.
В ряде задач удается достигнуть повышения порядка точности путем коррекции сеточных уравнении разностями высоких порядков. Эта методика в некоторой общей постановке изложена, например, в монографиях Г.И.Марчука, В.В.Шайдурова [153], Х.Штеттера [П7] и статьях Е.А.Волкова [17] - [21] , В.Пе-рейры [157]-, [158] .
И, наконец, уже для достаточно широкого крута задач удается применить экстраполяционный метод Ричардсона, использующий решения разностных и проекционно-сеточных задач на последовательности сеток. Алгоритмически он состоит в проведении расчетов для одной и той же разностной схемы, построенной на нескольких сетках с разными шагами. В итоге получается несколько сеточных решений. В тех узлах сетки, где они заданы, из них составляется некоторая линейная комбина - 6 ция. При определенных условиях она обладает более высоким порядком точности, чем порядок точности каждого из используемых сеточных решений. Необходимо отметить некоторые свойства этого метода, которые выдвигают его в ряд довольно мощных средств вычислительной математики. Во-первых, для достижения высокой точности используются простые и, как правило, хорошо изученные разностные аппроксимации. Во-вторых, алгоритм однородно реализуется на последовательности сеток с различными параметрами, что позволяет использовать уже имеющиеся стандартные подпрограммы для этих простых аппроксимаций. И в-третьих, весь алгоритм в целом выглядит и реализуется логически просто. Эти свойства привлекают все большее внимание к методу.
К настоящему времени его краткое описание включено в учебные пособия Е.А.Волкова [23] , Н.Н.Калиткина [38] , В.С.Рябенького, А.Ф.Филиппова [83] , А.А.Самарского [85] . Более подробное изложение теории и применений этого метода проведено в учебном пособии Г.И.Марчука [59] , монографиях Г.И.Марчука, В.В.Шайдурова [65] , Х.Штеттера [117] , в сборнике [91] и обзоре [145]. В учебном пособии В.В.Шайдурова [109] на примере обыкновенных дифференциальных уравнений первого и второго порядка проводится детальное сопоставление различных способов повышения точности.
Уточнение собственных чисел и векторов
Таким образом, условие Е 1.3 выполнено для К = = 0,1 и Ш = 4. Теперь проверим выполнение условия 13 1.3. Для этого необходимо показать, что для любых трех функций f 0 і 1_й (S?) , , f 2 Wa (S? ) П W2 (S?2) задача определения функции U і w 2 (S?) , удовлетворяющей интегральному соотношению # и,Ф) = PALJ) V4 Wa1(S?), (2.24) Є = о __ о \ имеет единственное решение из класса В самом деле, существование единственного решения из класса Wг (S?) вытекает из теоремы 502 работы [53 , с. 192] . Далее определяется функция, описы -116 вающая разрыв производной по конормали вдоль стороны, общей для S? и S?2 и используется теорема 10.1 этой же работы [53 , с. 229] . В итоге следует, что решение принадлежит О классу W й в каждой из подобластей S?-j , S?2 . Условие F 1.4 вытекает, например, из теоремы 5.4 работы [69 , с. 130] . Таким образом, выполнены все условия теоремы 4.1 1.4 и на ее основании справедлива оценка (2.10). Теорема 2.1 доказана. Замечание 2.1. Путем некоторого видоизменения выкладок можно обосновать оценку II W-UHHLz Z7k\ . (2.25) Дтш этого в леммах 5.9-5.II 1.5 необходимо получить остаточные члены в другой форме, а затем в явной форме выделить вклад некоторых слагаемых, как в замечании 8.1 1.8.
Замечание 2.2. Рассмотрим вопрос об использовании изложенного алгоритма для задачи Дирихле в области с гладкой границей Г . Один из подходов состоит в кусочно-гладком преобразовании координат непосредственно для дифференциальной задачи (2.1), (2.2) или (2.5) с целью сведения области S? к многоугольнику. Для этого проводится согласованное разбиение S? на треугольники с возможно одной криволинейной стороной, лежащей на Г . Затем проводится преобразование отдельно каждого треугольника с одной криволинейной стороной в обычный, прямосторонний. Примеры таких преобразований имеются, например, в [66], [30] , [46] .Но большая часть из них для наших целей не подходит ввиду невысокой гладкости преобразования. Рассмотрим, например, такое преобразование. В криволинейном треугольнике ABC введем полярные координаты ( Г, V ) с центром в вершине А, лежащей против криволинейной стороны ВС. Проведем преобразование Г — СІ ( Т)Г , f = Т так, чтобы дуга ВС перешла в хорду ВС. Во избежание особенности в точке А введем гладкую срезающую функцию й (Г) , равную I около А и нулю около дуги ВС. Тогда требуемое преобразование дается формулой
Обоснование теоремы 2.1 практически не меняется. Следует лишь учесть, что решение дифференциальной задачи после преобразования принадлежит W% на каждом из треугольников разбиения, но не в целом по многоугольнику. Замечание 2.3. Свойство в много угольнике S? помимо гладкости коэффициентов зависит от ве личин углов. Например, для уравнения Пуассона такую гладкость можно гарантировать при для величин углов меньше (л)0, а также при выполнении некоторых проверяемых условий согласования для С00 и Для угла А величиной В окрестности А выполняется разложение Ц=№ СГЛ Sill где - полярные координаты с центром в
Аналогичные значения &)0)60 ,Л для уравнений с переменными коэффициентами устанавливаются с помощью линейного преобразования координат в окрестности каждого угла [76] . -118-2.3. Уточнение собственных чисел и векторов.
В этом параграфе прием использования кусочно-линейных решений на двух сетках с последующим згточнением применяется к спектральной задаче. Для дискретизации, также как и в прерыдущем разделе, используется метод Бубнова-Галеркина. Эффект уточнения обоснован как для приближенных собственных чисел, так и для сеточных функций,соответствующих простым собственным числам.
Напомним [70] , что задача (3.1), (3.2) с условиями (2.3), (3.3) имеет бесконечное множество собственных чисел О Xi X й ... , причем Ац,- при И, —-; каждому из собственных чисел Хк соответствует одна собственная функция 1) ; все собственные функции образуют полную систему в _о Й?) , ортонормированную в скалярном произведении (3.5), и полную систему в Wa Й?) , ортогональную в скалярном произведении X ( ,) .
Многоугольник S? разобьем на мелкие треугольники, как в предыдущем параграфе. Введем также множества S? , и базисные функции Ту VyS?k . В соответствии с методом Бубнова-Галеркина будем искать приближенные собственные функции в виде суммы
Модификации алгоритма для энергетических норм и для несамосопряженных задач
В предыдущем разделе при обосновании сходимости алгоритма существенно использовалась сходимость метода Бубнова-Га-леркина в норме пространства L 2. Теперь воспользуемся сходимостью этого метода в энергетической норме. Изложенный в предыдущем разделе алгоритм легко переформулируется на этот случай. Но задача оптимизации итерационных параметров имеет другое решение.
При дальнейшем изложении используем обозначения и часть предположений предыдущего раздела. Условие Н заменим на другое. Для этого введем в Р0(5?) энергетическую норму и соответствующие векторные нормы. Пусть W 1- произвольный вектор с компонентами поставим ему в соответствие восполнение V5 1 из Н 1 и определим векторную норму
Далее будем использовать следующее предположение. Условие I. Для любой пары функций задача (2.1) имеет единственное решение а решение ш метода Бубнова-Галеркина (2.5), (2.6) удовлетворяет оценке Итерационный алгоритм снова сформулируем рекуррентным образом. На самой редкой сетке S?. система (2.9) при любой Ко правой части будет решаться прямым методом. Предположим, что для системы (2.10) мы можем уменьшить норму (3.2) ошибки приближенного решения в п раз за Фі(0) арифметических действий при любой правой части 0ki- и любом начальном приближении т.е. полу чить приближенное решение для которого выполняется оценка Теперь рассмотрим систему (2.9):
Цусть для ее решения имеется некоторое приближение V0 Тогда один шаг итерационного процесса А 1 , позволяющий уменьшить норму ошибки приближенного решения в Іі раз, снова осуществляется в 5 этапов и отличается от шага алгоритма А выбором итерационных параметров Tg в (2.12) и третьим этапом, где используется другая векторная норма:
В соответствии со сделанным предположением о реше-нии системы (2.10) найдем ее приближенное решение W М , начиная с нулевого приближения w0 =0 , такое, чтобы выполнялось соотношение Kt-1 и ЧЧ
Сформулируем условия, при которых описанный шаг алгоритма будет давать уменьшение ошибки приближенного решения.
Теорема 3.1. Пусть для задачи (2.1) и системы Еіубнова-Галеркина (2.6) выполнены условия G ,1 , (2.2)--(2.4), (2.18), (2.19). Тогда для любого С (0,1) можно найти целое IU и о (0,1), не зависящие от гц и такие, что ошибка приближенного решения на одном шаге алгоритма А убывает в 6-і раз в норме (3.2):
Дальнейшие выкладки аналогичны соотношениям (2.40)-(2.46) с заменой соответствующих норм и дают неравенство
При о "0 » fU—- коэффициент в правой части стремится в нуль. Поэтому всегда можно подобрать достаточно малое 0 (0,1) и достаточно большое независимо от такие, чтобы обеспечить выполнение неравенства (3.7 ). Теорема 3.1 доказана.
Теперь рассмотрим решение системы (3.5) на самой мелкой сетке, когда I = К . Возьмем некоторое число % 0 и укажем способ построения приближенных решений системы (3.5) для удовлетворяющих неравенству точное решение системы (3.5). Для 1 = 0 система (3.5) решается точно за счет использования прямого метода и оценка (3.26) выполняется для любого Z 0 . Теперь предположим, что найдено приближенное решение V 1 системы (3.5), удовлетворяющее условию (3.26). Найдем решение V 1 удовлетворяющее аналогичному условию, с помощью следующего процесса В .
Вектору V соответствует интерполянт $ ь из Н . По значениям этой функции построим вектор W с компонентами w Используя это начальное приближение, с помощью одного или нескольких шагов алгоритма А с параметрами (3.15) системы (3.5) для I + \ , удовлетворяющее соотношению По это-му вектору строится восполнение V из п , для которого на основании условия I справедлива оценка
Таким образом, построенные алгоритмы Bvx/, А4 дают приближенное решение метода ЕІубнова-Галеркина с тем же порядком точности в энергетической норме.
Теперь рассмотрим случай, когда билинейная форма dC в задаче (2.1) не симметрична и необязательно положительно опре L системы (3.5) эти свойства также не выполняются. При этих условиях построим алгоритм, сходящийся в норме.
Дня его формулировки вновь будем считать выполненными предположения о прямом методе решения системы (3.5) на самой редкой сетке 5? и о возможности уменьшения в 0 раз нормы ошибки приближенного решения системы (2.10) (см. (2.ID).
Пусть теперь для решения системы (3.5) имеется некоторое приближение V0 . Тогда один шаг алгоритма позволяющий уменьшить норму ошибки II V0 V 11 . в t\ раз, осуществляется в пять этапов. Причем только первый из них отличается от алгоритма А, сформулированного в 3.2.
Модификация алгоритма для областей с криволинейной границей
В этом разделе излагается общее описание алгоритма приближенного решения спектральной проекционно-сеточной задачи, полученной при дискретизации спектральной задачи для уравнений эллиптического типа методом Дубнова-Галеркина. Алгоритм использует метод вычисления приближенного квазирешения систем на последовательности сеток, описанный в предыдущем разделе.
Пусть необходимо решить спектральную задачу по определению нескольких собственных чисел X и соответствующих собственных функций ІД Є Р0 (S?) , удовлетворяющих тождеству где (И, її) - скалярное произведение в La (S?) , а билинейная форма d ограничена, симметрична и положительно определена в Собственные функции будем рассматривать нормированными в следующем смысле:
Дудем считать, что задача (6.1) имеет бесконечное множество собственных чисел 0 X X 2 причем X при Каждому собственному числу X ц сопоставим только одну собственную функцию U , которые в совокупности образуют полную ортонормированную систему
Для построения спектральной проекционно-сеточной задачи введем параметры ГЦ , удовлетворяющие неравенствам (2.2), (2.3). Для каждого из них построим сетку S?L. И на ней ба-зисные функции Ту V У S? . , удовлетворяющие условиям - 212 G и (2.4). В предыдущем разделе была построена алгебраическая спектральная задача LklVki=Akln"lVki (6 3)
Напомним, что она имеет N І, собственных чисел О Х\ ... А » которым соответствуют собственные векторы V; , ортонормированные в следующем смысле:
Для характеристики сходимости собственных векторов к собственным функциям введем восполнения (Jj 6 п векторов Vj и предположим выполненными следующие условия. Условие К . Для собственных чисел задач (6.1), (6.3) выполнено неравенство Условие L . Каждому вектору Vj соответствует собственная функция IJj задачи (6.1) такая, что для восполнения 1J; справедливо неравенство
Константы С48 » С ід не зависят от bj, , но могут зависеть от номера J собственного числа (обычно растут при увеличении J ).
Пусть требуется найти Г -е собственное число и соответствующую ему собственную функцию задачи (6.1), причем - 213 Знаки строгого неравенства означают, что Хк, Xg изолированы от Хк+1 , X g4 : н-W О, XJ- XM» сго. (6.6)
Рассмотрим исходное разбиение S?L и будем считать, что оно состоит из небольшого числа (но не менее К ) точек. Сначала для задачи (6.3) с индексом 1=0 найдем собственные значения X І и собственные векторы
К . Учитывая небольшую размерность задачи, это можно сделать практически точно. Теперь изложим способ построения приближенного решения задачи (6.3). При этом предположим, что уже найдены приближенные собственные числа Aj задачи (6.3) для соответствующие собственные векторы Vi , ортонормированные в скалярном произведении
Кроме того, считаются известными приближенные собственные векторы Vp ,..., VK задачи (6.3) на всех предыдущих сетках S?ko, ..., S?kM . Причем на каждой из сеток S?. набор приближенных собственных векторов ортонормирован в скалярном произведении ( ,")KS Тогда процесс В перехода с одной сетки на другую осуществляется в шесть этапов.
