Введение к работе
Актуальность темы. Одной из актуальных и важных задач вычислительной математики является задача приближения интегралов конечными суммами Формулы приближенного вьгаисления интеграла имеют вид приближенных равенств, в левой части которых стоит вычисляемый интеграл, а в правой — обобщение суммы Римана линейная комбинация с постоянными коэффициентами значений подынтегральной функции в точках области интегрирования, называемых узлами При п = 1 такие формулы приближенного интегрирования называют квадратурными, а при п > 2 - кубатурными.
В частности, существенный интерес представляют решетчатые куба-турные формулы, точно интегрирующие все тригонометрические мономы степени не выше d на единичном гиперкубе [0,1)". Решетчатая куба-турная формула с решеткой узлов Л имеет вид
/
1 N
/(z)dz^-X;/(*:<*>), '(1)
[0,1)" ,_1
где N — число узлов формулы, {х(,)} = Л П [0,1)п — узлы формулы Построение и изучение решетчатых кубатурных формул, обладающих тригонометрическим d-свойством, с минимально возможным числом узлов является одной из наиболее активно развивающихся в последнее время ветвей теории кубатурных формул.
В настоящей диссертации рассматривается вопрос построения решетчатых кубатурных формул (1), обладающих тригонометрическим d-свойством, для случая п = 4 Мы сосредоточились на случае п = 4 потому, что случаи п = 2,3 можно считать практически завершенными в случае п — 2 построены все минимальные формулы для нечетных d, в случае п = 3 построены минимальные серии формул, в то же время, для случая п — 4 построены формулы с минимально возможным числом узлов лишь для d = 2,3...,24, а формулы построенных серий в случае п — 4 имеют относительно большое число узлов
Отдельный интерес в изучении кубатурных формул, в том числе и решетчатых, представляет задача определения нижней границы числа узлов формул. Отметим, что определение нижней границы числа узлов для решетчатых кубатурных формул, обладающих тригонометрическим d-свойством, берет начало в теории числовых решеток Нижняя граница
числа узлов формулы (1) тесно связана с значением критического определителя — одной из характеристик числовых решеток. В настоящей диссертации рассматривается, в частности, вопрос об уточнении значения критического определителя для гипероктаэдра в 4-х мерном случае.
Цель и задачи исследования. Цель данного исследования состоит в построении решетчатых кубатурных формул высокой тригонометрической точности в 4-х мерном случае и разбивается на ряд задач-
1. Уточнение известной нижней границы числа узлов решетчатых кубатурных формул в 4-х мерном случае.
2 Построение серий решетчатых кубатурных формул высокой тригонометрической точности в 4-х мерном случае, с числом узлов меньшим, чем в известных ранее сериях.
3. Разработка эффективного алгоритма построения решетчатых кубатурных формул заданной тригонометрической точности в 4-х мерном случае.
Научная новизна. В работе получены следующие результаты: в 4-х мерном случае получена более точная нижняя граница числа узлов решетчатых кубатурных формул, построены серии решетчатых кубатурных формул с высоким коэффициентом эффективности, разработан эффективный алгоритм построения решетчатых кубатурных формул заданной тригонометрической точности Все результаты, полученные в диссертации являются новыми.
Теоретическая и практическая ценность. Основные результаты данной работы имеют теоретический и практический характер Теоретическая ценность работы характеризуется уточнением нижней границы числа узлов решетчатых кубатурных формул, а также уточнением значения критического определителя для гипероктаэдра в 4-х мерном случае. Построенные в диссертационной работе кубатурные формулы могут быть использованы для вычислений интегралов на ЭВМ, а также для дискретного преобразования Фурье в 4-х мерном случае.
Методика исследования. При проведении исследований использовались методы математического анализа, вычислительной математики, в частности, теории кубатурных формул, а также численные методы
Апробация работы. Результаты исследования докладывалась на следующих конференциях:
V международном семинаре-совещании "Кубатурные формулы и их
приложения" (г. Красноярск, 1999),
XXXIII научной студенческой конференции (г. Красноярск, 2000);
VI международном семинаре-совещании "Кубатурные формулы и их приложения" (г. Уфа, 2001);
VII международном семинаре-совещании "Кубатурные формулы и
их приложения" (г. Красноярск, 2003).
На защиту выносятся:
-
Методика получения нижней границы числа узлов решетчатых кубатурных формул, используя кубатурные формулы, полученные экспериментально.
-
Серии решетчатых кубатурных формул с высоким коэффициентом эффективности.
3 Эффективный алгоритм построения формул заданной тригонометрической точности.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 6 работ. Основные результаты диссертации содержатся в статьях [4-8].
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения и