Введение к работе
Актуальность темы. Интегральные уравнения Вольтерра находят широкое прменение в задачах механики сплошной среды, электродинамики, астрономии, экологии, сейсмики и т.д. Это объясняет интерес, который имеется к их теории и методам решения. Поскольку точное аналитическое решение данного класса уравнений возможно лишь в некоторых частных случаях, особую актуальность приобретают численные методы их решения.
Применение методов Рунге-Кутты для решения интегральных уравнений является естественным подходом, поскольку задачу нахождения решения обыкновенного дифференциального уравнения, для которого эта теория достаточно полно разработана, можно свести к интегральному уравнению. Неявный метод Рунге-Кутты (РК - метод) для решения дифференциальных уравнений был предложен Бутчером, и получил широкое признание благодаря существенным преимуществам по сравнению с явными методами, в частности, отсутствием значительных ограничений на устойчивость метода и алгоритмической возможностью построения схем произвольного порядка аппроксимации.
В работах Де Хуга и Вейсса (1973-75 гг.), впервые предложен аналог неявного РК - метода для решения интегральных уравнений Вольтерра I и II рода, доказана устойчивость и сходимость предложенного метода. При этом элементы квадратурной матрицы находились как интегралы от коэффициентов многочлена Лагранжа для наперед заданного набора узлов разбиения шага интегрирования. Однако в реальных расчетах условия сходимости численного решения к искомому являются неконструктивными, т.к. шаг интегрирования в большинстве случаев либо фиксирован, либо может быть уменьшен до некоторой конечной величины. В данной диссертации предложен другой подход к построению матрицы квадратурных коэффи-
циентов, при котором она не зависит от узлов подсеточного разбиения. Такой подход, вкупе с выбором узлов соответствующих узлам марковских квадратур, позволяет оценить погрешность численного решения при фиксированном значении шага интегрирования, уменьшение которой будет обусловлено изменением параметров самого метода.
Цель работы. - Построение, анализ и апробация высокоэффективных численных методов решения интегральных уравнений Вольтерра на основе неявных методов типа Рунге-Кутты.
Научная новизна и практическая ценность. Все результаты диссертации, начиная с параграфа 3 главы 1, являются новыми. Доказано, что при надлежащем выборе квадратурных коэффициентов и узлов, значение константы погрешности решения будет убывать экспоненциально с ростом числа стадий метода, что позволяет проводить интегрирование с большим временным шагом. Таким образом, высокая точность получаемых результатов достигается не столько за счет малости временного шага, сколько из-за малости константы в выражении для погрешности решения. Этим предложенный в диссертации подход значительно отличается от предшествующих.
Другая важная идея, реализованная в диссертации, связана с включением ядра, или его части, в квадратурные коэффициенты. Эта идея, применимая именно к решению интегрального уравнения, предлагается впервые. Разработанная на этой основе технология применена также к сингулярному интегральному уравнению - уравнению Абеля. Кроме того, дана модификация алгоритма для случая, обычно вызывающего затруднения при численных расчетах, когда ядро интегрального оператора имеет свойство k(t, t) = 0.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на конференциях молодых ученых ВЦ СО РАН (1995, 1996, 1997 гг.), семинарах секции Вычислительной ма-
тематики (1996 г.). Полностью диссертация докладывалась на секциях Физики атмосферы и океана (1997 г.) и Вычислительной математики (1997 г.) ВЦ СО РАН, на семинаре института Вычислительных технологий СО РАН (1997 г.).
Публикации. По результататам диссертации опубликовано 5 печатных работ и 3 работы находятся в печати.
