Введение к работе
Реферируемая работа посвещена теоретическому обоснованию прими к методов решения различных классов оисингулярных интегральных уравнении ( коротко : БСІ1У ) второго рода с ядрами типа Киши, определенных на произвольных замкнутых гладких контурах в комплексной плоскости в различных функциональных пространствах.
Актуальность темы.В последнее время классы сингулярных интегральных уравнений ( коротко: СИУ ) все чаше находят применение при моделировании и решении многочисленных теоретических и прикладных задач матемашки, механики, физики и техники. Точные решения таких уравнении удается получить лишь в очень редких частных случаях, причем эти решения выражаются через интегралы типа Коши, для которых, как хорошо известно, нет простого алгоритма их вычисления. Поэтому как для теории, так и, в особенносін, дли практики важную роль имеет разработка приближенного решения различных классов СИУ с соответствующим теоретическим обоснованием.
Естественно, что развитию теории битшулырных тпегралышх уравнений предшествовала теория одномерных СИУ, когорал и настоящее время ^ваяется в досіаючной мере завершенной и исследования болылей частью иедуїся ь направлении разработки приближенных методов решения іаких уравнении. Начало этому разделу теории приближенных методов положили исследования М.А.Лаврентьева, Х.Мультопа, С.Г.Михлнна, А.И.Каландия, В.В Иванова. Весомый вклад в разоише дт й теории внесли также С.М.Бе.тоцерковский, Г М.В.пнмкки, Б.Г.Габдулхаеи, Ю.В.Гандель, В.Д.Дидеііьо, П.Ц.Гочбері, А.И.Гребенников, В.А.оо.ютаренсміи, И.КЛифанов, А.Ф.Матвеев, II.Я, Гпхоненко, Н.А.Фі льдмап, М.А.Шинко, МТольберг, Д.Эллнот, а также их ученики и последонаїелн. Подробный об.іор исследований в области приближенных методов решения СИУ БСПУ собраны и подведены в специальных обзорных, работах В.II Иваном, З.Пріх.нірфа , Б.Г.Габдулхаена, С.М.Белоиерковского, И.К Лпфннона.
Остановимся кратко лишь на вопросах непосредственно примыкающих к теме диссертации. R работах В.А.ЗолотаревскоіО было положено начало исследованиям теоретического обоснования прямых методов решения СИУ и их систем, ялтлнных на классах контуров достаточно обшей гладкости, так как ио.(дело!"Я'(ия до этот в основном проводились для одною уравнения, заданного на стандартом контуре; либо на единичной окружности с центром в начале координат, либо на всей вещественной оси с периодическими коэффициентами, и пи на отрезке вещественной оси.
Задача приближенною решения БСИУ второго рода с ядрами типа Коши на произвольных остовах определенной, степени і лад кости оставалась до сих нор не исследованной.
Приближенные меті.дм решения ВСИУ опираются на теоретическое обоснование разрешимости БСЛіУ. Отмег'М, что теория двумерных задач существенно отличается от теории одномерных. Эга геори* стала развиваться сравнительно недавно, и п этому она еще далека от своего завершения, а решение БСИУ в замкнутом виде для общего случая до сих пор еще не получено.
В одной из первых работ С.К.Токликишвили на эту тему изучен вопрос существования ті единственности решения ВСИУ с постоянными коэффициентами и приводится аналитический вид решения. Для общего случая с функциональными коэффициентами это получить не удается. Эти вопросы изучались В.А.Какичевым, И.Ь.Симоненко, U.K. Лифановым.
В пос едние годы появился ряч работ но приближенному решению БСИУ, заданных па единичной окружности или отрезке вещественной оси. В ряде работ БД .Габдулхаева на основании исследованных ранее им квадратурных и кубатурных формул лтя сингулярных интетра: тв с ядрами Гильберта приводятся вычислительные схемы методов механических кубатур, коллокации, моментов, наименьших квадратов и других методов и приводится их теоретическое
обоснование в пространствах L/i. Roiipotw' прі хтнжеішого решения ҐіСИУ с постоянными коэффициентами, заданными на Зикруте ' декартово произведение длух окружностей ), методами момептоь и коллокаї'гип в пространств 1/2 изучены Г.Хр.Кировым, М.Х.Фесчиегым. А.Г'.Комком, И.І>.Сітмпи<-нк.о получен один обший результат о сходи (пеги прглктюннмх методов решения ilt'MV,
заданных на юре.
Необходимым и достаточным условиям laouiimociti проекционных методов
решенаj ЬСИУ, заданных на бикруге, в пространствах у.р, при досп. .очно широких предположениях относительно козффдциешев it правых частей ІіСМУ, посвищем ряд работ Б.Зшшбермана и его учеников.
В рॠ>тах С.М.Белоцерковского и И КЛшрамрва предложены различные вычислительные схемы метода дискретных вихрей ддіі БСІІУ первого рода с ядрами Киши; где в качестве контуров интеїриронзши рассматривание» декартово произведение окружности и отрезка, двух окружностей, двух отрезков, а прямые методы решения ЬСИУ первого рода с ядрами Гильбсріа изучались в работах А.М.Хаирулиной.
В диссертации рассматривают» различные классы БСИУ второю рода следующего вида
Л р
+ a, S, /> + их S, у> + a,i S,j ф \ К - /, ' 1)
где и^ , а,, аа , У. (S,«.)(,.,) = ±J *&±±du , , ь ,., « є л , Л I J г — I„ . У. У; пошімаїопЛі в смысле гчаьис.ю значении по Кошп, К - внолие непрерывный оператор, а функция р подлежит определению. ';,ieci. у. и і', - замкнуте гладкие г.оніури, ограничивающие односиязные oo.j,ih комплексной шме.с.сш. ІІСіОД/ Ь Д.ГН.ІІЄІШІЄІ.1 буДСі-і счніаіі.. чіо перем..її;.дя / (5 ),, а Пер-.МеІІНам * Є у,. Результаты, установленные в работе, нельзя получить путем сведения ур.ірнен'.-.я (1) к ПСИУ, заданном на бихруге, при помощи функции Римана і тем. чтобы затем воспользоваться вышеупомянутыми исследованиями по теоретическому обоснованию методов. Неприменимость такого подхода носит принципиальный характер даже для одномерного случая. При этом возникают, '.ізпримср, следующие трудности: коэффициенты, ядро и правая-часть преобразованною уравнения теряюг свою гладкость; уже в случае ляпутювсхого остова порядок япфференцируемости уменьшится до единицы; в преобразованном ур-внснии появляется новое ядро, которое ухудшает гладкость исходного пространства; в оценках сходимосш методов будут участвовать показатели, определяющие гладкость остова. Кроме того, вычислительные схемы прямых методов сильно усложняются, а вычислительные схеми метода механических кубатур из-за наличия разрыва у нового ядра непосредственно применять нельзя. Теоретическое обоснование прямых методов решения БСИУ проводимое сепосредствснно на контурах отличных от стандартных, вызывают новые значительные затруднения. Это потребовало в свою очередь установление ряда новых результатов как из приближенных мтодос решения сингулярных инт-"ральных уравнений, так и из теории приближения комплексных функций, заданных на замкнутых остовах. Под теоретическим обоснованием методов в диссертации понимается следующий круг вопросов а) установление осуществимости алгоритма; б) доказательство сходимости приближенного решения к точному; в) устаноьление оценок иогрешнос .1 приближенных решети. 11ель__раікіиі. Разработка и теоретическое обоезоаание гримы* методов решения ПСИУ (П. когда эти уравнения определены на протпопы<ь:х остовах определенной степеї.и гладкости у рассмотрены в различных функциональных пространствах. -^ІеііЗЛГіі.г-ЛІКЛСЛРЖииа'. Пр>; выаодс и обосновании получен.п.\ в диссертации результатов сущесівешіьім образом используются результаты из конструктивні, і теории функции, теории приближенных методов функциопаїьного анализа, интегральных уравнении и краевых задач ТФКП. Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический и практический характер. Полученные в ней результаты могут быть применены при дальнейшем развитии приближенных методов решения бисингулярных интегральных уравнений. Они могут быть применены также при решении конкретных прикладных задач, сводящихся к таким уравнениям. 'Научная новизна, До работ автора диссертации исследования прямых методов решения БСИУ проводились для случая, когда уравнения заданы на стандаїггном осгове ( декартовом произведении единичных окружностей, отрезков вещественной оси ) а пространстве Ьг. В данной работе исследуются прямые методы дли БСИУ, заданных на более общих остовах, в пространствах Н/( , и Lp , случай, который ранее не был исследован. Апробация результатов. Основные результаты диссертации были доложены на конференциях профессорско-преподавательского состаиа Кишиневского госуниверсигета, на семинаре отдела " Численные методы " института математики с ВЦ АН МССС ( рук. с.н.с. И.К.Навал ), на городском семинаре " Теория аппроксимации и ее приложение " при Казанском госуниверептете ( рук. профессор Б.Г.Габдулхаев ), на научно-нсследонательск ^м семинаре " Теории приближеннмх методов " Одесского госуниверсигета ( рук. доцєі.ґ НИ. Тнхоненко ), на асе эюзном семинаре "Математические вопросы нестационарной аэродинамики и аэроунругостн" при военно-воздушной инженерной акицемни им. 11.Е Жуковского (рук. профессор Лифанов U.K.), на республиканской конференции " Молодежь, наука, производство " < Кишинев, 1990 ), на V Всесоюзном симпозиуме " Методы дискретных особенностей ь задача» математической физики " ( Одесса, 1991 ), на ресн>б;шканской научно-методической конференции, посвяшеннон 200-летию со дня рождения Н.Н.Лобачеьскою ( Одесса, 1992 ), їм конференции математикой Беларуси < Грецію, 1992 ). ІііЇ!Л!!і,іШі!іЬ Но ісме днсіері.шни он>бтиышани Jccjiib работ, Oliuwl котрій приведен а конке аиіорефіраіа. Пз сош.іесіньїх рабо і |1,2| в диессринню ТІКТІОЧСіІІ.І ТО И.КО 1С рс ІулЬТа ІГ'І, КОЮрЫС Ihl.'TV 1|'."1|Ы ЛИЧпО ,ЦН'ССрГ<|НІОі' і _ійїьіу4га_іі _r^bjy!_j2aj3uiik Диссертация обьемом 107 страниц текста, подготовленною в издательской системе ' Ventura Publisher Professional Extension", состоит из введения, трех глав, списка литературы из 91 наименования, а інкже приложения. В пределах каждой из глав чринята автономная нумерация параграфов и полученных результатов '( теорем и лемм ).Похожие диссертации на Прямые методы решения бисингулярных интегральных уравнений
