Введение к работе
Актуальность темы. Сингулярные интегральные уравнения (с. и. у.) являются активно развивающимся направлением математики. Они находят широкое применение при решении многих задач математики, физики и естествознания. К с.и.у. сводятся задачи теории упругости, аэродинамики, гравиметрии, электродинамики, магниторазведки, теории управления и многие другие. В связи с тем, что решения а квадратурах с.и.у., у которых условно нормальности нарушается на многообразиях с мерой большей нуля, можно найти только в исключительных случаях, возникает дан Сходимость в разработке численных методов их решения.
Начиная с пятидесятых годов нашего столетия, численные методы решения с.и.у. стали бурно развивающимся направлением вычислительной математики, развитие которого, в основном, связано с* работами советских математиков и механиков.
Численные методы решения с.и.у. были развиты в работах С.М. Белоцерковского, И. В. Бонкова, Ю.В. Ганделя, М. Голберга, И.Ц. ГохПерга. А.В. Джишкариани, В.В. Иванова, Н. Иоакимиднса, А.И.' Калапдия. М.А. Лаврентьева, И.К. Лнфанопа, С.Г. Михлина, Б.И. Мусаеиа. '\. Иресдорфа, Г.Н. Пыхтеева, М.А. Шешко, Г. Шмидта, Д. 'Эллиота.
При STUN! в большинстве исследований рассматриваются с.и.у
a{l)x(t) +- ^ [ X^-dT 4- / h(t,r)x(r)dr = f{t) ':
нормального типа. т. о, в предположении, что ctr(fi — b-(t) -f (J.
В случае, когда условие нормальности нарушается в конечном числе точек, при ряде дополнительных условий И.Ц. Гохбершм, И.А. Фельдманом и '\. Пресдорфом построены и обоснованы приближенные методы проекционного типа для решения с.и.у.
Большое число прикладных задач сводится к различным классам с.и.у.. у которых условие нормальности нарушается на многообразиях
С Мерой бо.-Il.llU'li IIWDJ.
М.М. Лаьрентьей ішдє.-ш.і нгско.чыю важных классов <ёл\.у. и, п
ТОМ Ч1ІСЛЄ (МГУ.. V КОН'рЫХ УГЛОИнС !(ОрМ;1ЛІі!!ОГТ!І тЦіУШіЦ'ісіі i«J "(
ou.i.irni определения, it nocrautt.-t задачу исследования (!Лі!!(с1вЄ1ННя:= ти их решения. 'Эту задачу решил И.В. Бойков, выделив ряд класс'ой
единственности решений и исследовав их устойчивость.
Приближенные методы решения сингулярных интегральных уравнений, у которых нарушено условие нормальности на многообразиях меры большей, нежели нуль, насколько известно, не разрабатывались.
Цель работы. Диссертационная работа посвящена построению и обоснованию численных методов решения с.и.у. с интегралами типа Коши и Лдамара, у которых условие нормальности нарушается на множествах с мерой большей нуля (с.и.у. в исключительных случаях). Рассмотрены с.и.у. следующих типов:
линейные уравнения с интегралами типа Коши на отрезках, замкнутых контурах и бесконечных прямых;
биеннгулярные уравнения с интегралами типа Коши на отрезках, замкнутых контурах и бесконечных прямых;
нелинейные уравнения с интегралами типа Коши на замкнутых контурах;
системы уравнений с интегралами типа Коши на отрезках;
многомерные уравнения с интегралами Адамара.
Кроме того, построены и обоснованы численные методы приближенного решения задачи аналитического продолжения на плоскости и. в пространстве.
Научная новизна. Основные результаты диссертации следующие:
ft.
предложены и обоснованы приближенные методы решения линейных с.и.у. в исключительных случаях на замкнутых контурах, отрезках п бесконечных прямых;
предложены и обоснованы численные методы решения бнеингу-лярных интегральных уравнений (б.и.у.) в исключительных случаях на замкнутых контурах, отрезках и бесконечных прямых:
- построен и обоснован численный метод решения нелинейных
с.и.у. в исключительных случаях на замкнутых контурах;
- предложены и обоснованы вычислительные схемы приближенно
го решения систем с.и.у. в исключительных случаях на отрезках;
- описан и обоснован численный метод приближенного решения
ситемы с.и.у. в исключительных случаях, возникающей в теории ка-
витируюшего крыла;
предложены и обоснованы численные методы приближенного рс-иения задачи аналитического продолжения на плоскости, основанные іа численном решении сингулярных интегральных уравнений и на 'еточных методах;
предлагается и обосновывается вычислительная схема приблн-кенного решения задачи продолжения потенциальных полей в пространстве.
Теоретическая и практическая ценность. Теоретическая цен-
іость работы состоит в том, что в ней предложены и обоснованы чне-
1енные методы решения линейных с.и.у., б.и.у.. нелинейных с.и.у, а
также систем с.и.у. в исключительных случаях. ч
Практическая ценность работы заключается в том, что разработаны и программно реализованы вычислительные схемы рошения равнения кашітнруюшего крыла, уравнений, используемых в томо-'рафни, задачи аналитического продолжения на плоскости и, в пространстве, возникающей при решении обратных задач гравиметрии.
Методика исследования. При обосновании полученных в дне-:ерташш результатов применялись методы теории приближения функцій, общей теории приближенных методов, решения некорректных :адач, теории с.и.у.
Апробация работы.Отдельные части работы докладывались на і-том Международном семинаре - совещании " Кубатурные форму-1Ы и их приложения'' (г. Красноярск, 1999 г.), на 1-ой Всероссийской сонференшш "Геофизика и математика" (г. Москва, 1999 г.), на межвузовской конференции "Математические методы решения физнко-.«тематических задач" (г. Пенза, 1999 г.), на международной науч-ю - методической конференции " Математика в вузе. Современные гнтеллектуалъкые технологии" (г. Великий Новгород, 2000 г.)
Публикации. По результатам диссертации опубликовано 9 ра-Зот.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из шедення, трех глав и приложения, изложена на 177 страницах (в гам числе 111 стр. - текстовая часть, 8 стр. - список литературы, )8 стр. - приложение). Список литературы к диссертации содержит ) 1 наименования.
