Введение к работе
Актуальность теки. Широкие возможности применения ЭВМ в вычислительной практике за последние десятилетня способствовали бурному развитию теории приближенного интегрирования. Интегрирование является одной из. самих распространенных математических операции. Усиливается интерес к задаче приближенного интегриро-вяння представителей различных отраслей науки и практики. В самих различных областях современной науки и техники часто приходится вычислять определешше интегралы, для которых невозможно получить точное значение.
Формули для численного интегрирования функций одной переменной называются квадратурными формулами. В настоящее время теория квадратурных формул разработана достаточіго полно. Разными авторами предлагались различные методы построения квадратурных формул. Так появились общеизвестные квадратурные формулы Ныотопа-Котеса, Гаусса, Чебыаева и др.
Формули приближенного вычисления кратных интегралов называются кубатурнымн формулам». Задача построения кубатурных формул сильно осложняется появлением нового параметра - формы области интегрирования и быстрым ростом количества необходимых вычислительных операций при повышении требований к точности формулы. По этим причинам применение кубатурных формул к вычислению интегралов высокой кратности было невозможно до появления ЭВМ и разработка теории кубатурных формул началась сравнительно недавно.
При построении кубатурных формул разными авторами применяются различные методы.
Применение методов функционального анализа п исследованиях по теории приближенного интегрирования началось работами С.И. Никольского и С.Л.Соболева. Это направление получило дальнейшее развитие в работах Н.П.Корнейчука, М.Д.Рамазанова, В.И.Половинкн-на и др.
Для приближенного вычисления интегралов применяются и вероятностно-статистические методы (методы Монте-Карло). Этим методам посвящены исследования Н.С.Бахвалова, С.И.Ермакова, И.М.Соболя и др.
Одним из основных направлений теории численного интегрирования является исследование вопросов, связанных с построением
кубатурних формул, основанное на интерполировании. Это направление развивается в работах В.И.Крылова, М.П.Мисовских, С.Л.Соболева, В.И.Лебедева, Г.Н.Салихова, X.М.Миллера,X.И .Шмида.А.Х.Строуаа. А.К.Пономаренко, Г.Г.Распутина, М.В.Носкова и др.
Узли и коэффициенты таких формул выбираются так, чтобы формула была точна для всех многочленов, степень которых не превосходит заданного числа V"n Для краткости говорят, что куба-турная формула обладает гп -свойством.
К этому же направлению относятся работи,в которых строятся кубатурные формули, точные для тригонометрических многочленов, М.П.Мисовских, М.В.Носков.
Первое систематическое изложение кубатурних формул дано в книге В.И.Крылова "Приближенное вычисление интегралов" (Наука, 1967), в главах 21,22 и 23, написанных И.П.Мысовскнх. В 1971 Г. В США вышла книга "Approximate calculation of multiple Integrals" автор которой A.H.Stroud. В этой книге, наряду с вопросами построения кубатурних формул, рассмотрены оценки погрешности кубатурних формул, метод Монте-Карло и приведены таблицы кубатурних формул для куба, шара, сферы, симплекса и других областей интегрирования. В 19S1 г. вышла книга И.П.Мысовскнх "Интерполяционные кубатурные формулы" , которая посвящена теории кубатурних формул с mn -свойством. В книге изложены результати об инвариантных кубатурних формулах, о связи ортогональних многочленов и кубатурних формул. Приведены таблицы, кубатурних формул для вычисления интегралов по кубу, симплексу, шару и сфере в R .
И хотя за последние годы в этом направлении получен ряд существенных результатов, немало задач такого рода до настоящего времени не решени. Поэтому исследование способов построения кубатурних формул для вычисления кратных интегралов является актуальной задачей.
Цель работы. Построение кубатурних формул для сфери, куба, симплекса и шара, которие иииариантни относительно групп преобразований соответствующих многогранников.
Научная новизна. Построен ряд нових кубатурних формул для сферы, шара, симплекса, куба . Среди них имеются такие, у которых число узлов совпадает с нижней границей или близко к ней. В ряде случаев число узлов полученных кубатурних Йормул меньше, чем число узлов в известных формулах той же алгебраической степени точности.
Теоретическая и практическая значимость. Полученные в диссертационной работе кубатурнне формули могут бить использованы для вычисления интегралов на ЭВМ. Благодаря инвариантности кубатурных формул, вводимая в ЭВМ информация, нужная для задания коэффициентов и координат узлов формулы,весьма мала. Кубатурние формулы для сферы целесообразно использовать в некоторых областях применения численных методов, например, в гармоническом анализе на сфере, в вичисленим коэффициентов Фурье от Функции при разложении ей по гармоническим многочленам и, особенно, в разностных аппроксимациях интегральных операторов многомерных уравнении переноса частиц. При решешга задач математической физики часто используется метод конечных элементов. Треугольник, тетраэдр и, в общем случае симплекс - наноолео часто используемые типы "конечных элементов". В связи с этим при использовании метода конечных элементов возникает проблема численного интегрирования по симплексам, так что кубатурная формула для симплекса может бцтиіспользована в этом случае.
Апробация работы. Основные результаты диссертационной работ» докладывались на семинаре кафедры математики Технического университета в Варне, на международной конференции "Численные методы и приложения" в Софии в августе 19S8 г., на заседании семинара лаборатории численных методов Института математики Болгарской Академии Наук, на заседании семинара кафедры вычислительной математики мат.-мех.Фа'культета Санкт-Петербургского университета.
Публикации. По теме дисертации опубликованы пять статен и четыре приняты в печать.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, семи параграфов, списка литературы и содержит 144 стр. машинописного текста. Список литературы содержит 77 наименовании. Состояние вопроса. Одним из методов построения кубатурных формул с ую- свойством является метод неопределенных параметров. Многие из кубатурных формул для конкретных областей - куба, симплекса, шара, сОсри и др.- получены этим методом. Метод неопределенных параметров применим только в случаях, когда область интегрирования к весопая функция обладают некоторой симметрией.
