Введение к работе
Актуальность темы. Физические явления, описываемые дифференциальными уравнениями параболического типа со смешанными производными, встречаются во многих областях науки и техники ( многомерные задачи анизотропной теплопроводности, теория пограничного слоя, задачи с уравнениями Навье - Стокса, Фоккера - Планка -Колмогорова и др.). Требование наиболее полного учета самых разнообразных сторон этих явлений приводит, как правило, к нелинейным уравнениям и системам уравнений. Аналитическое исследование задач в такой постановке возможно лишь в исключительных случаях. Поэтому особое значение приобретают численные методы интегрирования дифференциальных уравнений со смешанными производными.
При решении многомерных нестационарных задач для дифференциальных уравнений в частных производных возникает проблема поиска эффективных вычислительных алгоритмов, требующих минимального машинного времени для получения приближенного решения с достаточной точностью. Таковыми, безусловно, являются экономичные разностные схемы.
Наличие смешанных производных в исходной дифференциальной задаче создает, наряду с многомерностью дополнительные трудности при построении эффективных разностных схем. Однако большинство существующих в настоящее время схем численного интегрирования параболических уравнений со смешанными дифференциальными операторами представляют собой лишь формальное обобщение известных классических схем на случаи уравнений со смешанными производными. При этом смешанные операторы полностью, либо частично аллроксимируюгся с помощью значений сеточных функций на уже известных слоях по времени. Это приводит к тому, что схемы переменных направлений оказываются условно устойчивыми, а схемы расщепления значительно теряют запас устойчивости при переходе к решению нелинейных задач. Поэтому разработка полностью неявных, а потому абсолютно устойчивых, и экономичных схем, использующих только скалярные прогонки по координатным направлениям, является традиционно актуальной задачей.
Целью диссертационной работы является разработка и обоснование
нового экономичного, абсолютно устойчивого метода полного расщепления численного интегрирования уравнений математической физики параболического типа, ориентированного специально на решение задач со смешанными производными.
Научная новизна результатов, полученных в диссертании.
1. Предложен новый экономичный, абсолютно устойчивый метод
полного расщепления численного решения задач для многомерных диф
ференциальных уравнений параболического типа, содержащих сме
шанные производные.
-
Доказаны теоремы об аппроксимации, абсолютной устойчивости и сходимости метода полного расщепления применительно к линейным параболическим задачам со смешанными дифференциальными операторами произвольной размерности.
-
Построены разностная схема переменных направлений, регуля-ризованная схема расщепления и схема полного расщепления с усреднением на основе метода полного расщепления для решения линейных задач теплопроводности с постоянными коэффициентами и с тензором теплопроводности.
-
Проведено исследования разностных схем на основе метода полного расщепления для многомерных нелинейных уравнений параболического типа со смешанными производными, их аппроксимационных свойств и сходимости в случае разностной схемы с опережением.
5. Получено аналитическое решение трехмерной нестационарной
задачи анизотропной теплопроводности в бесконечной пластине и про
ведено исследования этого решения в частном случае первой начально-
краевой задачи для уравнения теплопроводности в двумерной анизо
тропной полосе.
6. Дан численный анализ новых схем метода полного расщепления
в сравнении с известными разностными методами на примерах линей
ных задач анизотропной теплопроводности и первой начально-краевой
задачи для нелинейного параболического уравнения в прямоугольнике.
Теоретическая и практическая значимость работы. Полученные теоретические результаты могут стимулировать появление новых работ по численным методам решения параболических уравнений со смешанными производными и математическому моделированию процес-
сов, описываемых дифференциальными уравнениями со смешанными дифференциальными операторами. Предложенный метод может быть эффективно использован в инженерной практике при аэро- и газодинамическом расчетах элементов конструкций летательных аппаратов, исследовании процессов тепломассообмена и идентификации тепловых состояний конструкций, выполненных из анизотропных материалов, для нахождения плотности переходных функций, описывающих непрерывные марковские процессы диффузионного типа и др.
Достоверность исследования и полученных результатов вытекает из математической строгости постановок рассматриваемых задач, применения корректных методов их исследования и подтверждается проведенными вычислительными экспериментами, сравнениями с аналитическими решениями.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинаре кафедры "Вычислительная математика и программирование" под руководством. профессора Пирумова У.Г., 2-ой Международной конференции "Идентификация динамических систем и обратные задачи" (С.-Петербург, 20-27 августа 1994 г.), XII Школе-семинаре по , пакетам прикладных программ математической физики (Новосибирск, 28-30 сентября 1992 г.), XIII Школе-семинаре по комплексам программ математической физики (Новосибирск, 26 сентября-4 октября 1994 г.), 1-ой Международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях (Москва, 26-30 июня 1995 г.), Международной конференции "Математические модели и численные методы механики сплошной среды", посвященной памяти академика Яненко Н.Н. (Новосибирск, 26 мая-2 июня 1996 г.).
Публикации. По теме диссертации опубликовано семь печатных работ.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, содержащего 105 наименований. Работа изложена на 157 страницах машинописного текста, содержит 34 рисунка и б таблиц.
