Введение к работе
Актуальность темы. Метод конечных элементов (МКЭ) является одним из наиболее мощных инструментов математического моделирования. Теория МКЭ и многие аспекты его применения для решения различных задач науки и техники разрабатывались в основном в работах зарубежных ученых: Зенкевича О., ОбэнаЖ.-П., Стренга Г., СьярлеФ., Темама Р. и др. Более широкому использованию МКЭ при решении различных прикладных задач способствовали работы отечественных ученых: Ильина В.П., Корнеева В.Г., Марчука Г.И., Шайдурова ВВ. и др. Значительный вклад в развитие МКЭ применительно к решению задач электромагнетизма внесли работы Кулона Ж.-Л., Сабоннадье-ра Ж.-К., Сильвестера Р. и др:
Основные направления исследований, связанных с развитием МКЭ при использовании его для решения трехмерных задач электромагнетизма и теплопе-реноса, могут быть сформулированы следующим образом. Во-первых, это создание эффективных алгоритмов генерации трехмерных сеток. Во-вторых - поиск различных путей повышения точности конечноэлементных аппроксимаций и минимизации вычислительных затрат на решение систем конечноэлементных уравнений. И в-третьих - разработка вариационных постановок, позволяющих наилучшим образом учитывать все основные особенности решаемых задач. Попытаемся коротко охарактеризовать эти направления исследований.
В проблеме построения конечноэлементных сеток в качестве наиболее важных можно выделить два аспекта:
правильное описание сложной трехмерной геометрии;
построение сеток, оптимальных с точки зрения минимизации ошибок аппроксимации при ограниченном числе узлоа, в том числе адаптивных сеток.
Этим вопросам уделяется очень много внимания в большом количестве работ, связанных с использованием МКЭ. Столь значительный интерес к проблеме построения сеток объясняется тем, что при решении любой практической задачи методом конечных элементов исследователь тем или иным образом вынужден разбивать раечетігую область на большое число отдельных ячеек определенного вида, и ог того, насколько эффективно ему удастся это сделать, часто зависит сама возможность решения с нужной точностью конкретной практической задачи.
Вопросы, связанные с повышением точности численного расчета за счет уменьшения ошибок аппроксимации, возникающих при переходе от исходной дифференциальной модели изучаемого процесса к ее дискретному аналогу, и с минимизацией вычислительных затрат на решение системы аппроксимирующих уравнений, являются важнейшими при проведении любого численного исследования, так как они фактически определяют эффективность используемой вычислительной схемы. МКЭ предоставляет для. построения эффективных вы-чиелмтелшых процессов при численном решении сложнейших праісгических задач очень широкие возможности. С одной стороны, это возможность исполь-
зования существенно неравномерных сеток как с "разбегающимися" узлами в областях со слабыми изменениями производных решения, так и с локальными сгущениями узлов о областях с резкими изменениями производных решения. При лом неравномерные сетки могут быть построены с минимальным числом так называемых "лишних" узлов благодаря возможности использования конечных элементов с геометрией, наиболее подходящей для сгущения и разрежения узлов сетки. Эга возможность является одним из самых главных достоинств МКЭ, и ее использование часто позволяет при фиксированном числе узлов в сетке на порядок и более уменьшить ошибку аппроксимации по сравнению, например, с квазипараллслепипеидальными сетками.
С другой стороны, имеется возможность использования в качестве базисных функций кусочных полиномов высоких порядков. Конечно, при одинаковой дискретизации расчетной области кусочные полиномы более высоких порядков позволяют существенно снизить ошибку конечноэлементной аппроксимации. Однако, это не означает их безусловного преимущества перед кусочными полиномами более низких порядков с точки зрения суммарных затрат вычислительных ресурсов на получение численного решения с заданной точностью. Действительно, при использовании полиномов высоких порядков даже на конечноэлементцых сетках с крупными ячейками число узлов может быть не меньше числа узлов в конечноэлементной сетке с гораздо более мелкими ячейками при использовании на ней в качестве базисных функций полиномов более низких порядков (из-за необходимости введения дополнительных узлов на конечном элементе при задании на нем полинома высокого порядка).-Не менее важным является и то, что при использовании в качестве базисных функций кусочных полиномов высоких порядков Существенно увеличивается заполненность матриц конечноэлементцых систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) ненулевыми элементами. А поскольку для решения таких СЛАУ используется чаще всего метод сопряженных градиентов (являющийся одним из наиболее эффективных методов решения конечноэдементных СЛАУ, получаемых в результате аппроксимации трехмерных краевых задач) или какой-либо подобный ему метод, то пропорционально росту заполненности матрицы конечноэлементной СЛАУ растут и вычислительные затраты на решение этой СЛАУ как по памяти, так и по времени счета. Кроме того, конечные элементы с базисными функциями в виде кусочных полиномов высоких порядков могут оказаться очень неэффективными в областях со сложными границами (внешними Л внутренними), когда из-за необходимости описания геометрии этих границ с нужной точностью потребуются конечные элементы достаточно малых размеров и используемые на них кусочные полиномы высоких порядков окажутся чрезмерно точными для аппроксимации исследуемого решения. То есть, если для получения численного решения с необходимой для практических целей точностью на конечноэлементной сетке с небольшими размерами ячеек, требуемыми для описания сложной геометрии расчетной области, достаточно было бы кусочных полиномов низких порядков, то более высокая точность конечных элементов с полиномами высоких порядков окажеіся фактически бес-
полезной, и довольно существенный рост вычислительных затрат при их использовании будет совершенно неоправданным.
Исходя из этого, можно сделать вывод, что преимущества конечных элементов с базисными функциями в виде кусочных полиномов высоких порядков являются далеко не бесспорными и ответить на вопрос об их эффективности можно только при учете всех особенностей конкретной решаемой задачи.
При рассмотрении вопросов, связанных с сокращением вычислительных затрат на получение численного решения определенной точности, в последние годы довольно много внимания уделяется разработке так называемых многосеточных методов, а также исследованию проблемы "суперсходимости" конечно-элементных решений. Заметим, однако, что применение многосеточных методов для решения сложных трехмерных .задач, использующих несколько уровней сеток, не только требует довольно значительных вычислительных ресурсов для хранения и обработки трехмерных сеток на этих уровнях, но и часто делает практически невозможным построение на высоких уровнях сеток с оптимальным расположением узлов, так как чаще всего при использовании многосеточных методов основной (или даже единственной) возможностью создания неравномерных сеток на высоких уровнях является дробление сеток предыдущих уровней (то есть сетки высоких уровней являются "вложенными" по отношению к сеткам предыдущих уровнен). В результате используемые на высоких уровнях сетки могут бы!ь довольно далеки от оптимальных и содержать большое число "лишних" (с точки зрения точности конечноэлементной аппроксимации) ухтов. Поэтому применение многосеточных методов для решения сложных трехмерных задач не только является достаточно трудоемким с точки зрения их реализации, но и может оказаться довольно неэффективным с точки .зрения затрат вычислительных ресурсов на получение численного решения нужной точности.
Задачу исследования суперсходимости МКЭ и разработки связанных с этим процедур обработки конечноэлементмых решений можно отнести скорее к разряду теоретических, нежели практических, поскольку до сих пор не удается применить результаты проводимых в этом направлении исследований к гарантированному повышению точности решения не модельных, а реальных задач.
Таким образом, потребности практики в разработке методов численного моделирования, позволяющих получать решения сложных трехмерных задач электромагнетизма и теплопереноса с необходимой для исследователей точностью, до сих пор в большой степени остаются неудовлетворенными.
В диссертационной работе много внимания уделено разработке процедур численного решения трехмерных задач электромагнетизма, для которых аппроксимация описывающих их систем дифференциальных уравнений с применением стандартных конечиоэлементных схем требует очень больших вычислительных затрат, что приводит либо к очень большой стоимости, либо даже к невозможности решения методом конечных элементов важных практических задач. К таким задачам можно отнести абсолютное большинство трехмерных задач электромагнитного зондирования Земли, а также многие другие задачи распространения электромагнитного поля в таких средах, где влияние трехмерного
искажения невелико по сравнению со значением основного двумерного (оессимметричноіо) поля, но должно быть вычислено с достаточно высокой точностью. Рассматриваемые в диссертационной работе методики конечнозле-ментпого моделирования позволяют при решении такого типа задач снизить вычислительные затраты в 10-100 и более раз и тем самым делают эти задачи доступными для решения даже на компьютерах небольшой мощности. Эти методики реализованы в программном комплексе TELMA, их эффективность подтверждена решением значительного числа как модельных, так и сложных практических задач.
Много внимания в диссертационной работе уделено также созданию и обоснованию новых вариационных постановок для задач расчега трехмерных нестационарных электромагнитных полей в различных средах. Эти постановки послужат основой для построения конечпоэлементных вычислительных схем решения задач такого типа. Эффективность лих схем продемонстрирована на примере решения достаточно сложных практических задач из различных областей науки и техники.
Итак, основной научном проблемой, решению которой посвящена данная диссертационная работа, является проблема создания и теоретического обоснования более совершенных методик конечно-элементного моделирования, которые могли бы стать основой проведения высокоточных расчетов электромагнитных и тепловых полей в сложных трехмерных областях.
Цель исследования состоит в создании методик и алгоритмов конечно-элементного моделирования, позволяющих существенно повысить точность численных расчетов электрических, магнитных и тепловых полей в больших классах задач геофизики, электрофизики и теплопереноса, а также в разработке новых вариационных формулировок и создании на их основе эффективных вычислительных процедур, предназначенных для проведения конечпоэлементных расчетов нестационарных электромагнитных полей в сложных электротехнических устройствах.
Научная ношіїна работы состоит в следующем.
-
При использовании МКЭ для исследования трехмерных стационарных электрических н нестационарных электромагнитных полей в задачах электромагнитного зондирования Земли, а также для решения трехмерных задач электростатики предложены и теоретически обоснованы подходы, базирующиеся на разложении искомого поля на основное поле, описываемое двумерной (осесимметричной) краевой задачей, и добавочное поле, описываемое специальной трехмерной краевой задачей. Эти подходы позволяют значительно сократить вычислительные затраты и существенно повысить точность численного расчета искомого поля.
-
Дано обоснование применимости методики снижения погрешности аппроксимации при выделении полей влияния отдельных объектов путем вычисления разности решений двух краевых задач (без решения краевой задачи в специальной постановке).
-
Предложены подходы, основанные па сочетании полуаналитических ме-
тодов решения задач элекгромагнитного зондирования ^Земли с методами численного анализа, использующими аппроксимацию искомых решений па сетках. Эти подходы позволяют соединить преимущества полуаналитических методов при расчетах характеристик поля в средах с простой геометрией с возможностями сеточных методов при учете различных трехмерных неодпородностей.
-
Разработана эквивалентная вариационная формулировка для задач расчета нестационарных электромагнитных полей в электротехнических устройствах, состоящих из изолированных друг от друга проводящих электрический ток конструктивных элементов. Эта формулировка базируется на сочетании двух потенциалов магнитного поля - векторного, определенного в подобластях с ненулевой проводимостью, и скалярного, определенного в подобластях с нулевой проводимостью. Рассмотрены случаи нарушения корректности данной постановки и показаны различные пупі преодоления связанных с этим трудностей.
-
Предложена конечноэлементная реализация известной схемы против потока при численном моделировании тепловых полей с учетом конвективного теплопереноса.
-
Предложена вычислительная схема решения систем конечноэлементных уравнений с симметричными и несимметричными матрицами. Эта схема наряду с другими наиболее эффективными методами решения СЛАУ с сильно разреженными матрицами была с успехом использована при решении многих конечноэлементных СЛАУ.
Теоретическая значимость полученных научных результатов заключается в том, что мл основе теоретического обоснования разработанных методик повышения точности численного моделирования исследователь может более грамотно выполнять конечноэлечрнтнукэ аппроксимацию сложных трехмерных краевых задач и тем самым добипаться существенного повышения* зффективно-сіи численного расчета. Рассмотренные в диссертационной работе теоретические подходы к решению некоторых задач электромагнетизма могут служить основой (прототипом) для создания более совершенных методик численного моделирования применительно к решению многих других задач математіїче-ской физики.
Практическая ценность и реализация результатов. Разработанные в данной диссертационной рабо і е методики и реализованные на их основе алгоритмы конечноэлементного моделирования имеют не только научное, но и большое прикладное значение, так как предоставляют новые возможности решения сложных практических задач в различных областях прикладных исследований: геофизике, электрофизике, при изучении процессов теплопереноса, а также при разработке и оптимизации сложных электротехнических устройств различного вида, основные принципы работы которых заключаются в создании электромагнитного поля с очень точно выдержанными параметрами. Приведенные в диссертационной работе примеры решения различных практических задач подтверждают высокую эффективность предложенных методик и алгоритмов. Созданные на основе разработанных подходов и методик алгоритмы построения конечноэлементных решений реализованы в программном комплексе
TELMA и были с успехом использованы при решении большого числа сложных трехмерных задач перечисленных выше типов.
Личный нклал. Все результаты, изложенные в диссертации без ссылок на чужие работы, принадлежат лично автору.
Апробация работы. Основные результаты работы были представлены и докладывались на: VJJ Всесоюзном семинаре по комплексам программ математической физике (Горький, 1981); семинаре но численным методам механики сплошной среды под руководством академика Н.Н.Яненко (Новосибирск, 1982); Всесоюзных семинарах ио комплексам программ математической физики (Новосибирск 1982, Ташкент 1983, Новосибирск 1984, Красноярск, 1988); объединенном заседании секций "Теоретические проблемы генерирования электромагнитной энергии" и "Проблемы теории поля и динамики в электроэнергетических и. электрофизических устройствах" Научного совета по комплексной проблеме "Научные основы электрофизики и электротехники" АН СССР отделения физико-технических проблем энергетики по теме "Численный эксперимент при создании мощных электрических машин" под руководством академика И.А.Глсбова (Ленинград, 1982); II Всесоюзном совещании."Автоматизация проектирования и конструирования" (Ленинград, 1983); симпозиуме "Математическое обеспечение для автоматизации исследований, идентификации и планирования эксперимента" (Харьков, 1984); республиканской научно-технической конференции "Современные проблемы энергетики" (Киев, 1985); Всесоюзном научно-техническом семинаре "Опыт применения средств технической диагностики и контроля за состоянием электроэнергетического оборудования" (Суздаль, 1986), V11I Всесоюзной конференции "Планирование и автоматизация эксперимента в научных исследованиях" (Ленинград, 1986); Всесоюзной конференции "Актуальные проблемы вычислительной и прикладной математики" (Новосибирск, 1987); VI Всесоюзном семинаре "Обратные задачи и идентификация процессов теплообмеиа"(Москва, 1987); Всесоюзном научно-техническом совещании "Вопросы проектирования, исследования и производства мощных турбо-, гидрогенераторов и крупных электрических машин" (Ленинград, 1988); Всесоюзных конференциях "Математическое моделирование: нелинейные проблемы и вычислительная математика" (Звенигород, 1988, 1990); Всесоюзном научно-техническом совещании "Автоматизация проектирования и производства в электромашиностроении" (Суздаль, 1989); Всесоюзной научно-технической сессии "Состояние и перспективы газодинамических тепловых исследований в обеспечении повышения температуры газа в стационарных газотурбинных установках" (Москва, 1989); научном семинаре в техническом университете г.Хемниц (Германия, 1990); Всесоюзной конференции по методам численного решения многомерных нестационарных задач математической физики (Арзамас-16, 1991); Международной геофизической конференции и выставке по разведочной геофизике SEG-EAOO (Москва, 1993); Международном совещании-семинаре но механике реагирующих сред и экологии (Томск, 1994); First Asian Computational Fluid Dinamics Conference (Hong Kong, 1995); Particle Accelerator Conference and international Conference on High-Energy
Accelerators (Dallas, 1995); Международной конференции PaCT-95 (Санкт-Петербург, 1995); Международной геофизической конференции и выставке Санкт-Петербург'95; Международной конференции "Неклассическая гсоэлек-трика" (Саратов, 1995); Международной конференции "Математические модели и численные методы механики сплошных сред" (Новосибирск, 1996); Научно-техническом совещании "Геофизические методы при разведке недр и экологических исследованиях" (Томск, 1996); Международной геофизической конференции "Электромагнитные исследования с контролируемыми источниками" (С.-Петербург, 1996); научных семинарах ВЦ СО РАН, ИВТ СО РАН (Новосибирск). Результаты диссертации включены в 6 зарегистрированных от-четов'по НИР НЭТИ и в 2 заключительных отчета СНИИГГиМСа.
Публикации. По результатам выполненных исследований опубликовано 46 печатных работ.
Структура работы. Диссертация состоит из введения, семи глав, заключения и списка использованных источников (208 наименований). Работа изложена на 333 страницах, включая 39 рисунков.
