Введение к работе
Любая математическая теория, родившаяся из практических задач, в своей основе содержит ряд явных или неявных предположений об исследуемом объекте. Когда выводы теории перестают соответствовать практике, требуется либо пересмотреть основные предположения, либо ограничить область ее применения. Одним из узких мест современной математической статистики, как это не раз подчеркивалось А.И. Орловым, является недостаточное внимание к погрешностям наблюдений случайных величин.
Принято считать, что исследователю известна выборка {х.\,Х2,---,хп} из генеральной совокупности наблюдений непрерывной случайной величины. Но в реальном эксперименте из-за конечной разрядной сетки средств измерений наблюдается дискретная величина, принимающая конечное число значений. Радикальный выход состоит в отказе от рассмотрения непрерывных случайных величин и замене их дискретными аналогами. Однако такое решение потребует отказаться от множества статистических методов, разработанных в предположении непрерывности случайной величины. Более последовательным является дальнейшее обобщение понятия "наблюдение".
Наряду с точечными наблюдениями в статистике рассматриваются группированные наблюдения, которые более реалистичны, так как в эксперименте фиксируется не точка, а интервал, которому принадлежит реализация случайной величины. Недостатком классической группированной выборки является то, что при попадании наблюдения на границу между двумя соседними интервалами группирования возникает неопределенность в принадлежности наблюдения к той пли иной группе. Устранить этот недостаток можно за счет увеличения каждого интервала группирования на величину максимальной погрешности наблюдения, что приводит к группированной выборке с перекрытиями, рассмотренной в А.С. Родионовым.
В результате специальных исследований, проведенных в 1965-1975 гг. П.В. Новицким, М.А. Земельманом, В.П. Кузнецовым и др., было установлено, что законы распределения ошибок измерений весьма разнообразны, и многие фактические распределения ошибок, отличающиеся по форме, пересекаются в области 0.05-й и 0.95-й квантили в очень узком интервале значений х/сг — l.G±0.05, что позволяет с: допустимой в технических расчетах точностью 0.05(т определить 90%-й доверительный интервал, содержащий наблюдение. Таким образом, по паспортным данным средства измерения можно определить с большой доверительной вероятностью интервал, содержащий истинное значение наблюдаемой случайной величины. Исследованию таких выборок посвящена серия работ А.И. Орлова.
Вочможны и еще более общие способы описания реальных наблюдений. Шошин в 1979 г. предложил фиксировать выборки из размытых чисел, каждое из которых задается функцией плотности распределения. В работах R. Kruse, K.D. Meier, R. Viertl, S. Fruhwirth-Sclmatter проводится статистический анализ выборок, состоящих из нечетких чисел.
Из рассмотренных подходов наиболее обоснованным представляется интервальное описание наблюдения. Развитие интервальной математики, ро-
лившейся первоначально из задач вычислительной математики по учету ошибок округления (Moore, Шокин, Алефельд и др.), привело к ее проникновению в другие разделы математики. Хотя термин "интервальная статистика'1 еще не является общепризнанным, наличие целого ряда публикаций позволяет утверлсдать, что рождение этой теории на стыке интервггльнои математики и математической статистики уже произошло.
Развитию подлежат как методы статистического анализа интервальных наблюдений, так и соответствующее программное обеспечение. Цель и задачи исследований. Целью исследования диссертационной работы является разработка методов и процедур статистического анализа одномерных интервальных наблюдений.
Для достижения поставленной цели решаются следующие задачи:
осуществляется перенос, классических процедур проверки согласия на случай интервального представления наблюдений;
исследуются асимптотические свойства критериев согласия по интервальным наблюдениям;
разрабатываются методы точечного и интервального оценивания параметров распределений по интервальным наблюдениям:
на базе объектно-ориентированного программирования создается программная система статистического анализа интервальных наблюдений, с возможностью преобразования исходной выборки и/или распределения случайной величины операторами сдвига, масштаба, отражения, усечения, логарифмирования, смеси, произведения.
Методы исследования. Для решения поставленных задач используется аппарат теории вероятностей, математической статистики, вычислительной математики, статистического моделирования. Научная новизна диссертационной работы заключается:
в построении оценок границ вероятности согласия по критериям Колмогорова, Смирнова, и2 и U2 Мизеса для интервальных выборок;
в построении интервальных L-, М- и MD- оценок параметров распределений по интервальным наблюдениям;
в построении алгоритма проверки гипотез о согласии с использованием непараметрических критериев в случае предварительного оценивания параметров произвольным методом;
в построении алгоритма отбраковки аномальных наблюдений с использованием робастных оценок, минимизирующих статистику Колмогорова.
Основные положения, выносимые на защиту.
-
Метод проверки согласия по критериям Xі Пирсона, отношения правдоподобия, Колмогорова, Смирнова, w1 и {Xі Мизеса теоретического распределения с интервальной выборкой.
-
Теорема об асимптотических свойствах критерия Колмогорова по интервальной выборке.
-
Интервальные L-, М- и MP-оценки параметров по интервальной выборке.
-
Объектно-ориентированная программная система статистического анализа интервальных наблюдений одномерных непрерывных случайных величин.
Обоснованность и достоверность полученных результатов обеспечивается применением аналитических методов исследования свойств оценок и критериев, подтверждением аналитических выводов результатами статистического моделирования.
Практическая ценность и реализация результатов. Работа над системой статистического анализа ведется в рамках госбюджетной НИР по теме "Объектно-ориентированная программная система статистического анализа". Система успешно используется для статистического анализа реальных наблюдений случайных величин.
Аппробация работы. Результаты исследований докладывались на 15 конференциях, в том числе международных "Информатика и проблемы телекоммуникаций" (Новосибирск, 1995-1997); "Новые информационные технологии в университетском образовании" (Новосибирск-97), "Научные основы высоких технологий" (Новосибирск-97), "Актуальные проблемы электронного приборостроения" (Новоспбирск-96), VIII-M и IX-M симпозиумах по непараметрнческим и робастным методам в кибернетике (Красноярск-95; Железногорск-97), Втором Сибирском Конгрессе по Прикладной и Индустриальной Математике (Новосибирск-96), совещаниях по интервальной математике (Новосибирек-90; Красноярск-97), First Korea-Russia International Symposium of .Science and Technology (Ulsan-97). Публикации. По теме диссертации опубликовано 27 работ, в том числе '23 печатные и 4 зарегистрированных отчета по НИР. В конце реферата приведен список публикаций, в которых отражены основные результаты. Личный вклад. В опубликованных работах автору принадлежат результаты, изложенные в тексте диссертации.
Структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав основного содержания, заключения, списка литературы (103 источника), двух приложений. Обший объем — 196 стр., включая 64 рисунка и 17 таблиц.