Введение к работе
Актуальності, темы. Задачи о распределении частот собственных колебании упругих тел впервые были поставлены более, 70 лет тому назад. Но, хотя концешпш распределения собственных частот появилась при рассмотрении механической модели, интерес-инженеров к :лпй концепция возник лишь п начале шестидесятых годов, главным образом, и связи с расчетом конструкций на действие широкополосных случайных нагрузок. Некоторые результаты, относящиеся к распределению гобствеп-ных частот для тонкостенных систем представлены в работах В.Б. Лидского, А.Л. Гольденвейзера, П.Е. Топстпка.
Оесьма важным с точки прения разнообразных приложений является изучение изгнбиых колебаний стержней*, взаимодействующих с плоіноН окружающей средой или основанием. D простейшем случае так называемого пниклеропского основания уравнение колебаний стержня имеет вид
где El - изгнбиая жесткость стержня (которую мы считаем величиной постоянной), р - плотность стержня, F - илошадь поперечного сечения, q(x) - переменный коэффициент упругости основания. Если н этом уравнении положить равным нулю коэффициент'упругости основания при х Є (—oo,-fcc), то получится уравнение свободных колебаний бесконечного стержня. Хорошо известно, что свободные, колебания неограниченного и исопер-того стержня имеют непрерывный спектр частот и Є (0, со). В случае когда q(x) — const, спектр частот, оставаясь непрерывным, будет начинаться не с нуля, п с некоторого .значения о.'о,
определяемого равенством U.'o = I —р I
Появление особенностей и неоднородностей в характеристиках основания приводит к усложнению структуры спектра собственных частот. ' Так, селіі q{x) - вещественная непрерывная функция и q{x) — +со при |.т| —» оо. То спектр становится дис-
кретным. Для функции распределения собственных частот справедлива следующая асимптотическая формула
. N(\)± ~ - / v'A2 ~ч(х)йх при А -» ±оо, V J
где А - безразмерная частота, равная uPJ^rf.
Исследование спектра собственных частот колебаний некоторой упруго!! системы тестю связано с исследованием спектральных свойств полиноминальных операторных пучков, то есть операторных полиномов
Р(А) = Рп + АР,4- — 4-АтРП11
где А - спектральный параметр, Р/, j — 0,1,..., m - линейные дифференциальные операторы в гильбертовом пространстве Н. Основы теории пилиноминальных операторных пучков были заложены M.D. Келдышем в фундаментальных работах [1] и [2]. Для широкого класса пучков (в современной терминологии -пучков Келдыша) им были доказаны важнейшие теоремы о крат-ЛоЙ полноте системы собственных И присоединенных векторов и об асимптотике собственных значений. D своем исследовании M.D. Келдыш опирался на развитые им Новые аналитические методы, основанные На оценках резольвенты. Теорема об асимптотике спектра пучка Келдыша Может быть применена при исследовании распределения собственных значений некоторых но-лнПомшылънЫх пучков, порожденных дифференциальными операторами ([1], Теорема 5). Однако в ряде случаев, связанных с рассмотрением уравнений колебаний различных упругих »ел, возникают ПсииіішМиіІнльньїе операторные пучки с совершенно
(І) Крлдьіііі MB. О coiJiTiit'iuiUx шачіїшях ti гобсіценных функциях некоторых классов кесамосонряженных уравнении.//Докл. ЛН СССР, т.77, 1951, N 1, 11-14.
[2] Келдыш М.В. О поток- <иґн і ценных функции некоюрых класов негамосопряжспнмх лнііі Иных опер;норив.//УМН, 1971. Т.2С. N 4, 15 41.
иными, чем у пучкоп Келдыша свойствами. Изучении) именно таких операторных пучкоп поспящепа данная работа.
Цель работы. Построение математической модели колебаний волновода, проложенного в неоднородном грунте с учетом лисгппашш. Изучение спектральных свойств полученного квадратичного операторного пучка в зависимости от коэффициентов соответствующего дифференциального выражения. Получение асимптотической формулы для функций распределения собственных значений при А —» ±зо.
В диссертации исследуется спектр пучка
0(А)-Л+АД,-А2/,
где А - самосопряженный дифференциальный оператор, порожденный в Я = L2{—сю, +сю) дифференциальным выражением г/4' — {}(х)у'У + q(x)y, В0 - оператор, порожденный п Н дифференциальным выражением i[2p(x)y' + у{х)у]. Этот пучок получается после подстановки U(x,t) — y(x)ex})(iM) в уравнение колебаний волновода.
Методшса неследоиаішіі. Используемый в данной работе
метод состоит в исследовании асимптотического поведения прп
А = і/і,/і —» +оо матричного следа резольвенты 7?.(А) линеари-
затора пучка L(A). Далее на основании теоремы В.Б. Индско
го о совпадении матричного следа и спектрального следа ядер
ного оператора н тауберовоЙ теоремы, получается асимптоти
ческая формула для функции распределения собственных зна
чений пучка (А). Этот метод использовали в своих работах
Л.Г. Когтючеико, А.С. Маркус, Я.Т. Султанасв. В пашем случае
резольвента 7J(A) пе является ядерным оператором и мы иссле
дуем матричный след оператора К2(А).
Научная новизна. Построена математическая модель колебаний волновода, проложенного в неоднородном грунте при достаточно общих предположениях.
Исследован характер спектра квадратичного операторного пучка и Получены его количественные оценки в ситуации, не укладывающейся в рамки теории М.В. Келдыша
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на семинаре кафедры дифференциальных уравнений БГУ
(под руководством профессора Я.Т. Сулганаева), на семинаре кафедры механики сплошных сред БГУ (под руководством профессора (І.ІЇІ. Ахатова), На семинаре кафедры математического моделирования БГУ (под рукоцодстпом профессора СИ. Спивана), на 1-оіі научно-практической конференции молодых ученых-физикоп (Уфа, 1994), на международной конференции студентов и аспирантов "Ленинские горы - 95" (Москва, 1995).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора, список которых приводится в конце автореферата.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введення, семи параграфов и списка литературы. Общий объем работы &6 страниц. Библиография содержит 30 названий.
Похожие диссертации на Спектральные свойства квадратичных операторных пучков и их приложения в механике
