Введение к работе
Актуальность работы. Современная физика как теоретическая, так и экспериментальная, широко использует математический аппарат специальных функций. Существует множество справочников и учебно-методической литературы, посвященных этой тематике. Однако, большинство из них содержат информацию лишь о специальных функциях гипергеометрического класса. Исследования в разных областях физики последних лет требуют использования более сложных "линейных" и "нелинейных" спецфункций. Возможным подспорьем в этой области могут послужить информационно-справочные компьютерные системы, использующие достижения современных информационных технологий. Представление данных в удобном виде, связанность информации, адаптируемость системы для потребностей пользователя - все это обеспечивает перспективность подобных систем в качестве "персонального помощника" в исследовательской и учебно-методической деятельности. Именно эти соображения определяют актуальность выполненной работы и ее дальнейшее практическое применение.
Цель работы. Основной целью диссертационной работы является разработка программной системы, предоставляющей аналитическую информацию и средства для численной обработки специальных функций математической физики следующих классов: гипергеометрического класса, класса Гойна, класса Пенлеве и класса ортогональных полиномов. Кроме того, предлагается новый подход к реализации задачи нахождения собственных значений для уравнений класса Гойна.
Научая новизна работы. 1. Разрабатываемая в рамках данной работы информационно-справочная
система "SFTools" воплощает единый структурированный подход к
специальным функциям, математической физики, отсутствующий в существующих на настоящий момент математических пакетах.
-
В систему включены спецфункции класса Гойна и "нелинейные" спецфункции - трансценденты Пенлеве, недостаточно полно представленные в универсальных системах компьютерной алгебры.
-
Расширено представление ортогональных полиномов. Помимо классических ортогональных полиномов включены ортогональные полиномы, представленные в схеме Аски-Вильсона.
-
В систему включены средства для классификации и поиска информации о специальных функциях гипергеометрического класса и класса Гойна, задаваемых пользователем.
-
Численный поиск собственных значений для спецфункций класса Гойна реализован на основе разложения Яффе-Лая, что позволяет избежать некоторых недостатков, присущих традиционным методам. Методы исследования. В работе использованы методы аналитической
теории дифференциальных уравнений и теории функций комплексной переменной. Для вывода ряда теоретических формул использован пакет символьных вычислений Maple V R4. Для решения краевых задач использован метод Нумерова для уравнений второго порядка.
Научная и практическая значимость работы. Предлагаемая работа носит прикладной характер. Главная научная значимость работы состоит в возможности построения информационно-справочной системы по специальным функциям математической физики на основе единого структурированного подхода. Помимо этого значимость работы обусловлена рядом факторов, а именно: 1. Система "SFTools" позволяет специалисту: математику, физику,
инженеру - в автономном режиме быстро находить необходимые
аналитические выражения из теории специальных функций математической физики.
-
Система предполагается к выпуску в виде отдельного CD-диска, являющегося приложением к книге Славянова СЮ. и Лая В. "Специальные функции. Единая теория, основанная на сингулярностях."
-
Система "SFTools", взаимодействуя с "Системой дистанционного обучения и проверки знаний REXAM" (СПбГТУ), позволяет проводить занятия по специальным функциям математической физики для студентов старших курсов по сети Интернет.
-
Возможность вывода содержащихся в системе аналитических выражений в формате LaTeX предоставляет пользователю удобное средство для включения в публикации необходимых математических формул.
Основные результаты и защищаемые положения.
-
Реализована информационно-справочная система по специальным функциям математической физики. Система использует единый структурированный классификационный подход, что существенно облегчает аналитический анализ взаимосвязей функций.
-
В систему включена систематизированная аналитическая информация о специальных функциях класса Гойна, недоступная в других информационных и математических пакетах.
-
Реализован обобщенный алгоритм Яффе-Лая для численного изыскания собственных значений уравнений класса Гойна.
Апробация. Общая концепция диссертационной работы и отдельные ее главы докладывались на международных конференциях: "Теоретическая, прикладная и вычислительная небесная механика", (ИТА РАН, Санкт-Петербург, 1993), "Forschungsforum 97" (Лейпциг 1997), "Теория
представлений, динамические системы, комбинаторные и алгоритмические методы" (ЛОМИ РАН, Санкт-Петербург, 1998), "Conspectual Learning о] Science" (СПбГТУ, Санкт-Петербург, 1999) и ряде других. Работы по созданию системы на различных этапах были поддержаны грантами Сороса и РФФИ.
Публикации. По теме диссертации автором опубликовано 5 научных работ.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, трех приложений и списка литературы. Общий объем работы - 90 страниц, включая 5 рисунков. Библиография - 62 наименования.
