Введение к работе
Актуальность проблемы. При изучении различных процессов, происходящих в реальной действительности, приходится сталкиваться с одним из наиболее важных понятий - понятием устойчивости движения. Основы теории устойчивости движения были разработаны в конце прошлого века великим русским ученым А.М.Ляпуновым. Им было предложено два метода решения задач устойчивости. Второй (прямой) метод Ляпунова является мощным строгим аналитическим и весьма эффективным методом решения многих теоретических и прикладных вопросов устойчивости движения. Изложение и развитие этой теории полно освещены в известной монографии А.М.Ляпунова, а также в работах Н.Г.Четаева, Е.А.Барбашина, Н.Н.Красовского, В.И.Зубова, И.Г.Малкина, А.М.Летова, К.П.Персидского и других.
На практике часто встречаются модели, описываемые квадратическими дифференциальными уравнениями. Исследование устойчивости по Ляпунову таких систем на основе системы новых приближений не всегда адекватно исходной реальной модели. Поэтому актуальным является исследование устойчивости «в большом» квадратических систем на основе второго метода Ляпунова. К таким математическим моделям относятся, в частности, динамика прямоточного волочильного стана, динамика твердого тела с одной неподвижной точкой и др.
При математическом описании физических явлений мы предполагаем, что будущий ход процесса однозначно определяется его состоянием в настоящий момент. Но, существует ряд физических процессов, в которых будущее зависит от состояний процесса на некотором интервале времени в прошлом, или от всей предыстории процесса, причем этим нельзя пренебречь. Впервые применение метода функций Ляпунова к изучению устойчивости дифференциальных уравнений с запаздыванием выполнены Л.Э.Эльсгольцем и Б.С.Разумихиньш. Фундаментальная теория устойчивости систем с запаздыванием создана Н.Н.Красовским на основе понятии функционала Ляпунова. В этой связи, устойчивость квадратических систем с запаздывающим аргументом играет важную роль, так как такими системами описываются все основные медико-биологические, экологические модели.
Одним из качественных свойств математической модели является их оптимальность. В теории оптимального управления хорошо известны метод принципа максимума Понгрягина, метод динамического программирования Беллмана, условия оптимальности В.Ф.Кротова. В этой связи представляется актуальным решение задачи оптимизации для модели с запаздывающим аргументом на основе достаточных условий оптимальности В.Ф.Кротова на конечном отрезке времени.
Как известно, устойчивость по Ляпунову рассматривается на бесконечном интервале времени, что является серьезным препятствием для многих приложений. В связи с этим была разработана теория устойчивости движения на конечном отрезке времени для систем без запаздывания и с запаздыванием, отличающиеся от известных подходов Н.Г.Четаева,Т.В.Каменова, К.А.Абгаряна и
др. Поэтому, представляются актуальными задачи устойчивости движения билинейных систем с запаздывающим аргументом, так как такими системами описывается большинство реальных биологических, экологических и др. моделей. Вопросам математического моделирования биологических систем с запаздыванием посвящены работы Г.И. Швитра, В.Б.Колмановского, Ю.Г.Антомонова и др.
Цель її задачи исследования. Целью диссертационной работы является моделирование устойчивых, оптимальных систем с учетом квадратичности, билинейности и запаздывания.
В рамках сформулированной цели ставятся и решаются следующие задачи:
-исследование устойчивости «в большом» квадратических дифференциальных систем с запаздывающим аргументом;
-исследование устойчивости «в большом» квадратических систем с запаздыванием;
-рассмотрение конкретных моделей биологии и техники; -решение задач оптимального управления линейной нестационарной системой с фиксированным временем и с запаздыванием; -исследование устойчивости на конечном отрезке времени билинейных управляемых систем с запаздыванием.
Методы исследования. Теоретические исследования проводились на основе общей теории обыкновенных дифференциальных уравнений, теории устойчивости движения, теории уравнений с отклоняющимся аргументом, теории оптимального управления, теории устойчивости движения на конечном отрезке времени.
Научная новизна. В диссертационной работе решена задача моделирования устойчивых «в большом» квадратических дифференциальных систем без запаздывания,,а также с запаздывающим аргументом на основе второго метода Ляпунова.
Исследована устойчивость «в большом» простейших математических моделей регуляции уровня сахара в крови и динамики прямоточного волочильного стана.
Решена задача оптимального управления линейными нестационарными системами с запаздывающим аргументом с фиксированным временем на основе достаточных условий оптимальности В.Ф.Кротова.
Впервые получены условия устойчивости на конечном отрезке времени билинейных моделей с запаздывающим аргументом. В качестве приложения исследован процесс управления микробиологическим ростом клеток и образованием продукта в замкнутом сосуде. На основе вычислительных данных на ЭВМ построены графики.
Практическая ценность и реализация результатов. Устойчивые и оптимальные модели, основанные на квадратических и билинейных дифференциальных уравнениях без запаздывания или с запаздыванием, могут быть использованы в медицине, биологии, экологии, а также в других приложениях. Полу-
ченные результаты могут быть полезны при лечении болезни сахарного диабета, в процессах волочения в производстве и т.д.
Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертационной работе, доказывались и обсуждались на Украинской международной конференции «Modelling and investigation of systems stability». (May 22-23.-Kiev, 1997); наКа-захстанско-Российской научно-практической конференции «Математическое моделирование научно-технологических и экологических проблем в нефтегазодобывающей промышленности» (16-17 октября, 1997); на Международной научной конференции «Математическое моделирование в естественных науках», посвященное 75-летию академика HAH РК, проф. А.Т.Лукьянова (17-18 апреля, г.Алматы,1997); на республиканской конференции «Компьютеризация образования: проблемы и перспективы» (26-27 май, г.Алматы, 1998); на научных семинарах кафедры МО ЭВМ и математической кибернетики, вычислительной и прикладной математики КазГУ им. Аль-Фараби (1996-1998).
Публикации. По теме диссертации опубликованы 9 печатных работ, список которых приводится в конце автореферата.
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка использованных источников, включающего 114 наименований, приложения и изложена на 127 страницах машинописного текста.
