Введение к работе
Актуальность темы. Создание микроминиатюрных интегральных оптических систем на основе планарных и волоконных световодов стало технической реальностью. Особо необходимо подчеркнуть большие возможности применения интегрально-оптических схем в сочетании с волоконно- оптическими системами передачи информации, перспективность которых обусловлена возможностью передачи огромного количества информации на большие расстояния при малых затратах энергии. Основные свойства волоконно-оптических линий связи - пшрокопо-лосность, высокая помехозащищенность, малые потери, возможность работать во взрывоопасной среде, незначительная масса и габариты -определили их быстрое внедрение практически во всех системах связи.
Широкое использование оптических волноведущих систем передачи информации в определенной мере сдерживается трудностями, связанными с затуханием и рассеянием волн при соединении и ответвлении волноводов, что приводит к сильному искажению передаваемого сигнала и к потере информации. Для устранения искажений обычно используются одномодовые оптические волокна. При сильных искажениях используются ретрансляторы, усиливающие и корректирующие сигнал. Современные волоконно-оптические линии связи (ВО Л С) кроме оптических волокон включают в себя ответвители, поляризаторы, трансформаторы, фильтры и т.д.
В настоящее время широкое применение находят волоконно- оптические датчики различных конструкций, использующие волоконные п планарные световоды со сложной геометрией поперечного сечения и неоднородным диэлектрическим заполнением сердцевины. В то же время в сверхвысокочастотной электродинамике все большее применение находят диэлектрические и металлодиэлектрические волноводы нерегулярной геометрии и неоднородного заполнения и различные системы и устройства на их основе.
Развитая современная техника высокочастотных измерений в области сверхвысокочастотной электродинамики, волоконной и интегральной оптики требует особо точных методов расчета. Это исключает возможность использования приближенных аналитических методов и приводит к необходимости создания мощных, высокоточных алгоритмов численного расчета конкретных систем.
Для расчета волноведущих систем применяется целый ряд методов.
Одним из достаточно универсальных методов является метод ступенчатой аппроксимации, в котором показатель преломления аппроксимируется кусочно-постоянной функцией. Метод ступенчатой аппроксимации, являясь достаточно универсальным, не обладает высокой точностью. Для расчета градиентных световодов весьма широко используется метод разложения в степенной ряд функции, описывающей профиль показателя преломления сердцевины световода. Сходимость построенных рядов резко ухудшается с ростом частоты и существенно зависит от вида профиля диэлектрической проницаемости. Поскольку хорошей сходимостью построенные степенные ряды обладают только вблизи оси градиентного световода, то область применения указанного метода является достаточно узкой. Гораздо более распространенным для расчета градиентных световодов является метод ВКБ расчета траекторий лучей. Однако в методе ВКБ накладываются весьма жесткие ограничения на гладкость функции, описывающей профиль диэлектрической проницаемости. Кроме того этот метод применяется в основном в скалярной постановке.
В теории волноведущих систем широкое применение получил метод нормальных волн, к которому можно отнести метод поперечных сечений, предложенный Краснушкиным П.Е. и Щелкуновым С.А. и развитый в работах Свешникова А.Г., Ильинского А.С.,Каценеленбау-ма Б.З., Шевченко В.В., Моденова В.П., Быкова А.А. Его основная идея заключается в представлении поля в любом сечении волновода в виде бесконечной суммы полей волн, распространяющихся в обоих направлениях, причем коэффициентами разложения являются функции продольной координаты, удовлетворяющие бесконечной системе дифференциальных уравнений первого порядка. Для усечения этой системы обычно используется неполный метод Галеркина. Численное решение получаемых жестких систем вызывает значительные трудности. Кроме того область применения метода поперечных сечений существенно зависит от вида неоднородности рассматриваемой волнове-дущей системы, что прежде всего связано с возможностью построения базисных функций. Скорость сходимости также зависит от характера неоднородности системы.
Один из самых мощных и универсальных численных методов - метод конечных разностей (МКР) в прямой и вариационной постановках, в частности, метод конечных элементов (МКЭ), развитый в основополагающих работах А.А.Самарского, до последнего времени использовался в электродинамике при расчете волноведущих систем весьма
ограниченно.
Применение метода МКР для математического моделирования вол-новедущпх систем позволяет создавать чрезвычайно универсальные и эффективные алгоритмы для исследования широкого класса систем и устройств интегральной и волоконной оптики и высокочастотной, электродинамики с нерегулярной геометрией и неоднородным заполнением в широком частотном диапазоне. Использование МКР позволяет строить эффективные универсальные алгоритмы для решения обратных задач синтеза широкого круга волноведущих систем с заданными эксплуатационными характеристиками. Математическое моделирование на основе конечно-разностного подхода является эффективным, универсальным и относительно дешевым методом глубокого и всестороннего исследования волноведущих систем и устройств сверхвысокочастотной электродинамики, оптики и акустики.
Целью диссертации является математическое моделирование на основе модифицированных конечно-разностных методов широкого круга задач волоконной и интегральной оптики, сверхвысокочастотной электродинамики и акустики, развитие эффективных численных методов исследования построенных моделей, создание на основе разработанной методики алгоритмов для решения задач анализа и синтеза волноведущих структур и реализация этих алгоритмов для расчета конкретных волноведущих систем и устройств.
Научная новизна и практическая ценность. В диссертации развит новый подход в математическом моделировании волноведущих систем на основе разработки и реализации новых конечно-разностных алгоритмов решения полноводных задач. В основе этого подхода лежит построение эффективных алгоритмов для обработки разреженных конечно- разностных матриц, возникающих при дискретизации исходной дифференциальной задачи. Такой подход позволяет на основе относительно простых математических моделей получить ряд глубоких и чрезвычайно важных в практическом отношении результатов.
В диссертации рассмотрены два класса задач, методика применения метода конечных разностей к решению которых совершенно различна: спектральные задачи и задачи возбуждения волноведущих структур. Наряду с прямыми задачами в работе широко исследованы задачи синтеза волноведущих систем с заданными техническими характеристиками.
Задачи синтеза волноведущих систем рассматриваются в полной математической постановке и для их решения используются два мощных метода: метод регуляризации А.Н.Тихонова и метод конечных разностей. Использование вариационной постановки, приводящей к поиску экстремума оценочного функционала, впервые позволило построить универсальные конечно-разностные алгоритмы для решения целого ряда задач синтеза. В частности, решены задачи синтеза плоских и трехмерных волноводных переходов, включая переходы типа скрутки. Решена задача синтеза диаграммы направленности плоского волновод-ного перехода с системой щелей. Впервые выписаны оценочные функционалы для решения основных практически важных задач синтеза волоконных световодов с заданными свойствами, с помощью которых построены и реализованы эффективные алгоритмы решения этих задач.
На основе предложенной в работе принцшпіально новой постановки спектральной краевой задачи теории волноводов впервые исследованы спектральные свойства металло-диэлектрического волновода с произвольным кусочно-непрерывным заполнением. Разработанный подход позволяет рассматривать обобщенную задачу на собственные значения с линейным вхождением спектрального параметра. Причем спектральный параметр не входит в граничные условия, условия сопряжения и дополнительные условия, выделяющие функциональное пространство, в котором рассматривается задача. Такой подход позволяет провести анализ спектральных характеристик волноведугцей системы не только для произвольного кусочно-постоянного заполнения, как это делается обычно, но и для случая произвольной кусочно-непрерывной функции диэлектрической проницаемости. Предложенный подход легко обобщается на случай анизотропных сред, когда диэлектрическая и магнитная проницаемости являются тензорными величинами.
Построено функциональное пространство, в котором доказана компактность оператора исходной волноводной спектральной задачи. Установлена дискретность спектра операторного пучка с линейным вхождением спектрального параметра /З2. Доказана эквивалентность задач о линейном и квадратичном операторных пучках, что позволяет свести задачу нахождения присоединенных векторов квадратичного пучка к значительно более простой задаче вычисления присоединенных векторов линейного пучка. Доказана теорема о полноте системы собственных и присоединенных функций металло-диэлектрического волновода с кусочно-непрерывным заполнением.
В работе получен ряд важных оригинальных результатов по решению прямых задач расчета волноведущих систем. Построены точные эффективные граничные условия для расчета градиентных световодов методом конечных разностей. Предложен новый выбор базисных функций бесконечных элементов и разработан алгоритм саморегулирующейся сетки, сохраняющие линейность спектральной задачи для волоконных световодов. Разработаны два принципиально новых метода расчета частот отсечки, не связанные с получением и решением дисперсионного уравнения.
В диссертации выделен специальный тип сверхразреженных матриц, возникающих при решении волноводных задач методом конечных разностей, и разработаны эффективные алгоритмы для их обработки. Разработан и реализован эффективный алгоритм, основанный на методе типа Ланцогяа, для решения обобщенной алгебраической проблемы собственных значений в случае симметричных, но незна-коопределенных матриц. Предложен новый вариант векторной бета-постановки с диагональной матрицей масс и построен экономичный алгоритм на основе МКЭ для расчета диэлектрических волноводов.
Детально исследован вопрос о причинах появления нефизических решений при использовании векторной вариационной постановки и предложен метод их устранения, основанный на использовании смешанных конечных элементов.
Разработанные в диссертации методы численного исследования вол-новедущих систем реализованы в виде эффективных программ, ориентированных на использование ЭВМ средней мощности, в частности ПЭВМ. Предложенные методы математического моделирования вол-новедущих систем на основе конечноразностного подхода носят универсальных характер и могут быть использованы при решении многих практически важных задач волоконной и интегральной оптики, сверхвысокочастотной электродинамики и акустики.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на 7-м Всесоюзном симпозиуме по дифракции и распространению волн (Ростов - на - Дону, 1977), на 4-м Всесоюзном совещании "Оптические сканирующие устройства и измерительные приборы на их основе" (Барнаул, 1988), на Всесоюзної! научно- технической конференции "Проектирование радиоэлектронных устройств на диэлектрических волноводах и резонаторах" (Тбилиси, 1988), на научно-технической конференции "Системы и средства передачи дан-
ных" (Черкассы, 1989), на конференции "Быстродействующие элементы и устройства волоконнооптических и лазерных информационных систем" (Севастополь, 1990), на 1-м Украинском симпозиуме "Физика и техника мм и субмм радиоволн" (Харьков, 1991), на 5 и 6-й Международной научно-технической конференции "Лазеры в науке, технике, медицине" (Суздаль, 1994 и 1995 гг.), на 51-й научной сессии Российского НТО радиотехники, электроники и связи им. Попова А.С. (Москва, 1996), на Международной конференции, посвященной памяти академика А.Н.Тихонова "Обратные и некорректно поставленные задачи" (Москва, 1996), на Ломоносовских чтениях 1989,1992, 1994,1996 гг. (Москва), на научном семинаре по граничным задачам электродинамики физического факультета МГУ, на научном семинаре кафедры математики физического факультета МГУ, на научном семинаре по дифракции волн ЙРЭ РАН.
Публикации. Диссертация написана на основании 30 работ автора, указанных в конце автореферата.
Структура и объем диссертации.
Диссертация состоит из введения, шести глав основного текста и списка цитируемой литературы, включающего 230 наименований. Объем диссертации составляет 304 страницы текста, набранного в издательской системе BTjpC.
