Введение к работе
Актуальность темы исследования. Многие современные технологические процессы определяются явлением электро и теплопереноса в сложных системах с распределенными параметрами. К таким процессам относятся прежде всего электрохимические технологии: гальванообработка, гальванопластика, электрохимическая защита металлов от коррозии, цветная металлургия. Методы проектирования экономичных электролизеров, решение задач качественного и количественного совершенствования технологических процессов приводят к задачам оптимального распределения электрических л тепловых полей в сложных электрохимических системах. Основная задача оптимизации процессов электро и теплопереноса в таких системах, связанная с проектированием систем и прогнозированием их работы состоит в нахождении таких оптимальных "управляющих" параметров процесса, при которых плотность тока на электродах и в межэлектродном пространстве, а также распределение температуры среды, будут близки к заданным в том или ином смысле. Современные математические методы для решения данной проблемы пока используются совершенно недостаточно.
Теории, постановкам задач оптимизации различных процессов, а также разработке приближенных и численных методов их решения посвящена обширная литература. Отметим, прежде всего, работы А.Армана, Н.В.Баничука, А.И.Бояринова, Я.М.Берщанского, Б.М.Будака, А.Г.Бутковского, Ф.П.Васильева, А.И.Егорова, Ю.В.Егорова, В.В.Кафарова, В.Комкова, Н.Н.Красовского, Н.В.Крылова, А.Б.Куржанского, Н.Е.Кирина, Р.Латтеса, И.-Л.Лионса, М.Л.Литвака, В.Г.Литвинова, К.Л.Лурье, М.В.Меерова, Н.Н.Моисеева, Б.Ш.Мордуховича, Ю.С.Осипова, Г.М.Островского, С.П.Охезина, В.П.Плотникова, Л.М.Пустыльникова, У.Е.Райтума, С.Я.Серовайского, Т.К.Сиразетдинова, В.И.Сумина, В.А.Троицкого, Р.П.Федоренко, Ф.Л.Черноусько, Е.М.Чубарова. Вместе с тем, анализ литературы по данной проблеме показывает, что задачи оптимизации процессов электро и теплопереноса с учетом их особенностей
и разнообразия постановок как при раздельном моделировании процессов, так и при моделировании процессов взаимосвязи, с учетом их нестандартности (многоэлектродности систем, разрывности коэффициентов уравнений состояния, нелинейности граничных задач, наличия граничных условий на внутренних границах типа идеального и неидеального контактов, а следовательно с решениями для состояния, допускающими разрыв, наличия нелокальных граничных условий), несмотря на их практическую и теоретическую значимость мало изучены. Недостаточно исследованы математические вопросы корректности моделей оптимизации процессов электро и теплопере-носа. Эта проблема, в свою очередь, связана с исследованием вопросов корректности нестандартных моделей для состояния. Процессы электро и теплопереноса можно подразделить на две группы:-процессы, в которых взаимное влияние электрических и тепловых полей слабое; процессы, в которых эти поля сильно взаимосвязаны. Процессы первой группы допускают изучение отдельных ветвей для состояния путем раздельного моделирования. Однако, при изучении второй группы процессов очевидна необходимость построения и изучения единой математической модели для описания состояния взаимодействующих полей. Состояния в таких системах описываются нестандартными сильно связанными нелинейными граничными задачами для систем нелинейных уравнений в частных производных, с нелинейными граничными условиями. Эти обстоятельства требуют специального исследования задач для состояния, разработки и обоснования приближенных и численных методов их решения, что является необходимым и должно предшествовать проведению численных расчетов. Особый интерес представляют конструктивные методы доказательства существования решений. Заметим, что математическое моделирование и оптимизация процессов электро и теплопереноса относится к проблеме исследования математическими методами нелинейных процессов [Самарский А. А. , Курдюмов СП., Ахромеева Т. С. , Малинецкий Г.Г.//Вестн. АН СССР. 1987. W9. С.64-67]. Многие из задач оптимизации в таких системах обладают той особенностью,что управлениями являются коэффициенты уравнения состояния или граничных условий. Как известно [Лионе Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. М.: Мир. 1972. 414 с.]'исследование таких задач и разработка методов их решения представляет значительные трудности. Характерной осо-
бенностью почти всех изучаемых в работе задач оптимизации является то, что отображение g—>u(x;g) из множества допустимых управлений (/ в пространство состояний IV системы является нелинейным. Теоремы существования оптимального управления в таких задачах далеко не очевидны*. Основная трудность заключается в доказательстве слабой непрерывности отображения g—>u(x;gj. Нелинейность, вызванная вхождением управлений в коэффициенты уравнений состояния и граничных условий (даже если состояние системы описывается линейной задачей) еще более усугубляется, когда состояния систем описываются нелинейными граничными задачами. Кроме того, не являются выпуклыми функционалы цели. В задачах с управлениями в коэффициентах функционал цели не является выпуклым даже в том случае, когда уравнение состояния линейное и функционал цели является линейной функцией от решения этого уравнения. Эти обстоятельства порождают существенные трудности в исследовании таких задач, при построении и обосновании численных методов. В силу отмеченных трудностей проблема численного решения задач оптимизации процессов электро и теплолереноса мало изучена. Таким образом, актуальна проблема разработки и обоснования численных методов оптимизации процессов электро и теплопереноса, позволяющих решать широкие классы задач с учетом указанной выше специфики задач. Актуальным является вопрос разработки и исследования следующих двух подходов к реализации алгоритмов оптимального управления: 1) построение методов решения задач оптимизации в пространстве управлений и состояний исходных "непрерывных задач" (с добыванием и использованием информации о градиенте функционала цели) с дальнейшей разностной аппроксимацией граничных задач для состояния и сопряженной задачи на стадии их численного решения; 2) непосредственное построение конечномерных аппроксимаций для исходных задач -"непрерывная задача" сразу заменяется конечномерным аналогом, например, методом сеток и с дальнейшим рассмотрением аппроксимаций либо как задачи математического программирования, либо как задачи оптимального управления в дискретном пространстве сеточных функций; причем редукция задач к конечномерным представляет собой отдельную проблему [Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М: Наука. 1931. 400 с]. В связи с такими подходами возникают важные вопросы, связанные с доказательствами непрерывной дифференцируе-
мости функционалов цели и липшиц-непрерывности их градиента, получения необходимых и достаточных условий оптимальности, конструктивного вычисления градиента функционала цели; построения конечномерных аппроксимаций, доказательства сходимости конечномерных аппроксимаций по состоянию, функционалу и управлению и проведения регуляризации разностных аппроксимаций при естественных незавышенных требованиях на гладкость обобщенных решений для состояния. Основы теории разностных схем заложены в работах В.Н.Абрашика, В.Б.Андреева, А.В.Гулина, Е.Г.Дьяконова, А.Д.Ляшко, Г.И.Марчука, В.Л.Макарова, А.А.Самарского, Н.Н.Яненко и многих других. Представляется актуальным построение и исследование конечномерных, аппроксимаций на основе аппроксимации множества допустимых управлений методом Ритца. Основы теории и методов устойчивости и аппроксимации экстремальных задач заложены в работах Б.М.Будака, Ф.П.Васильева,В.В.Васина, Р.Ф.Габасова, В.В.Дикусара, А.Дончева, Л.И.Егорова, Ю.М.Ермольева, А.З.Ишмухаметова, В.Г.Карманова, Ф.М.Кирилловой, В.Б.Колмановского, ; А.И.Короткого, П.С.Краснощекова, А.В.Кряжимского, Е.С.Левитина, Ж.-Л.Лионса, В.И.Максимова, Н.П.Моисеева, Ю.В.Осипова, В.И.Плотникова, А.И.Прилепко, Б.Т.Поляка, Т.К.Сиразетдинова, А.Н.Тихонова, В.М.Тихомирова, Р.П.Федоренко, В.В.Федорова, Ф.Л.Черноусько и многих других. Устойчивость и аппроксимация различных задач оптимального управления для систем с распределенными параметрами рассматривались в работах Ф.П.Васильева, А.И.Егорова, А.З.Ишмухаметова, А.И.Короткого, М.А.Куржанского, 0.А.Кузенкова, А.А.Кулешова, А.В.Разгулина, Ж.-Л.Лионса, В.Г.Литвинова, М.М.Потапова, М.Р.Рахимова, Т.К.Сиразетдинова, В.И.Плотникова, Т.К.Тагиева, М.И.Сумина, В.И.Сумина, Т.Ю.Шамеевой, А.Д.Юрия и многих других.
Целью настоящей работы является: разработка математических моделей оптимизации процессов электро и теплопереноса в сложных электрохимических системах как при раздельном моделировании, так и при моделировании оптимизации взаимосвязанных электрических и тепловых полей; математическое обоснование (по возможности конструктивное) постановок прямых задач и задач оптимизации (исследование вопросов существования и единственности решений прямых задач и задач оптимального управления); разработка и матема-
тическое обоснование приближенных и численных методов решения прямых задач и задач оптимизации процессов электро и теплопере-носа, использование полученных методов для решения конкретных прикладных задач.
Общая методика исследований базируется на математической теории оптимального управления системами с распределенными параметрами, теории численных методов, теории дифференциальных уравнений в частных производных и функциональном анализе.
Научная новизна работы. Основные результаты диссертации (они указаны отдельно) являются новыми.
Практическая ценность. Предложенные в работе математические модели оптимизации и разработанные методы решения задач оптимизации могут найти широкое применение при оптимизации процессов, связанных с электрохимическими технологиями: оптимизации технологических процессов гальванообработки, электролитического формирования деталей, при оптимальном конструировании экономичных электролизеров и прогнозирования их работы в цветной металлургии. Под общим руководством В.Т.Иванова, автор в составе коллектива сотрудников кафедры вычислительной математики БашГУ и коллектива сотрудников ВАМИ (г.Ленинград) принимал непосредственное участие в разработке методов решения задач электротеплопереноса в алюминиевых электролизерах (середина семидесятых годов), а также в составе коллектива сотрудников кафедры вычислительной математики БашГУ и коллектива инженеров Уфимского моторостроительного производственного объединения принимал участие в разработке алгоритмов оптимизации гальванопокрытий. Результаты этих исследований затем экспонировались на ВДНХ СССР в 1979 г.
Аппробация работы. Результаты диссертации докладывались на международной конференции "Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы" (г.Уфа, 1996 г.), на иевдународных конференциях NUMDIF3-NUMDIF7 (г.Галле, Германия, 1985, 1987, 1989, 1992, 1994 гг.), на международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" (г.Саранск, 1994 г.), на Всесоюзном симпозиуме по теории приближения функций (г.Уфа, 1987 г.), на 1-ой Всесоюзной конференции по теоретической электротехнике (г.Ташкент, 1987 г.), на 1-ой Всесоюзной конференции "Проб-
лема защиты металлов от коррозии" (г.Казань, 1985 г.), на V-ой Всесоюзной конференции "Математические методы в химии" (г.Грозный, 1985 г.), на VI-ой Всесоюзной конференции по электрохимии (г.Москва, 1982 г.), на Всесоюзной конференции "Проблемы нелинейной электротехники (г.Киев, 1981 г.), на V-ом Всесоюзном совещании по электрической обработке металлов (г.Кишинев, 1980 г.), на ІІІ-еи Всесоюзной конференции по оптимальному управлению в механических системах (г.Киев, 1979 г.), на Ш-ем Всесоюзном симпозиуме ТИССУРП-3 (г.Уфа, 1976 г.), обсуждались на семинарах Ф.П.Васильева на факультете ВМиК МГУ, на семинарах В.Н.Абрашина в институте математики АН Белоруссии, в Вычисл. центре СО РАН, г.Красноярск, на семинарах в Институте математики с ВЦ УНЦ РАН, в Башгосуниверситете, в Стерлитамакском государственном педагогическом институте.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-34].
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, шести глав, приложения и списка литературы, содержащего 228 наименований. Объем работы до списка литературы 434 страницы машинописного текста, включая рисунки и таблицы.
