Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Краткое описание ряда практических проблем и математических методов приводящих к новым постановкам задач в теории динамических систем ... 13
1. Метод простых волн в задачах математической физики
2. Применение метода простых волн к уравнению теплопроводности
3. Моделирование теплообменных процессов в системах охлаждения Супер-ЭВМ 32
Глава 2. Методы исследования динамических систем удовлетворяющих неудерживающим связям 38
1. Полное решение проблемы в линейном случае 38
2. Построение решений в квазилинейном случае 44
3. Общие свойства уравнений и нелинейные связи 5І
4. Применение сплайнов при решении краевых задач...63
Глава 3. Построение и синтез законов управления в динамических системах 69
1. Построение программных управлений для линейных систем 6Э
2. Синтез законов управления для линейных систем ...77
3. Построение программных управлений в квазилинейных системах с последействием
4. Построение программных движений в управляемых системах с помощью сплайнов
5. Синтез законов управления для квазилинейных систем 94
Глава 4. Проблема устойчивости стационарных режимов в системах с последействием 98
1. Устойчивость в автономных системах с последействием 99
2. Устойчивость периодических и почти периодических систем с последействием 106
3. Влияние внешних ограниченных воздействий на стационарные режимы в системах с последействием 117
Глава 5. Стабижзация программных управлений в системах с последействием 133
1. Стабилизация программных управлений в случае прямого регулирования 133
2. Исследование особых случаев и случая непрямого регулирования 147
Заключение 152
Литература
- Применение метода простых волн к уравнению теплопроводности
- Построение решений в квазилинейном случае
- Синтез законов управления для линейных систем
- Устойчивость периодических и почти периодических систем с последействием
Введение к работе
Одной из главных проблем современного этапа развития науки, техники и технологии на пороге XX1 века являются фундаментальные исследования в области моделирования, управления, качественного и количественного анализа динамики сложных систем. Необходимо разрабатывать новые качественные и количественные методы исследования поведения решений динамических систем, построения программных управлений, поиск условий устойчивого, надежного и безопасного функционирования сложных динамических систем, имеющих различные особенности. В настоящее время и в будущем столетии создание новых технологий, сложных информационных и технических систем не может обойтись без развития фундаментальной науки в различных отраслях знаний.
Анализ направлений развития науки, существующие научные публикации и тематика международных научных форумов, убедительно говорят о том, что приоритетными задачами, стоящими перед человечеством в ХХ1 веке будут, например, следующие:
создание новых космических технологий и ракетно-космических систем
создание нетрадиционных энергетических технологий, в т.ч. переработки газа и нефти
создание общемировой динамической системы связи с использованием спутниковых и лазерных систем
глобальное решение транспортной проблемы
создание новых биотехнологий для решения продовольствен-
ной проблемы;
- создание многофункциональных гибких автоматизированных систем.
Решение указанных проблем не может быть осуществлено без серьезной научной проработки и создания математических моделей и методов исследования динамики функционирования сложных систем с учетом надежности и безопасности, исследования взаимных соотношений между отказоустойчивостью и эффективностью и т.д., с различного рода особенностями и условиями.
Тема данного диссертационного исследования касается ряда задач рассмотренных выше и является частью плановой фундаментальной НИР, утвержденной в 1987 г. (шифр 1.13.9.4), Президиумом РАН Институту проблем кибернетики РАН "Исследование динамики функционирования и построение законов управления динамической супер-системы с учетом специфики функционирования" и является переходной до 2000 г. Автор данного диссертационного исследования является ответственным исполнителем указанной темы. Постановка данной темы Президиумом РАН говорит об актуальности разработки фундаментальных методов исследования динамических систем различного предназначения. При разработке супер-системы - "Супер-ЭВМ - Аэрокосмическая система", определенной этой тематикой, потребовалось: исследовать вопросы моделирования теплофизических процессов, разрабатывать методы решения краевых задач и задач управления динамическими системами, удовлетворяющими неудерживающим связям, в т.ч. и в виде сплайнов, исследовать вопросы суще-
ствованияи и построения решений для систем не приводимых к нормальному виду, рассматривать вопросы существования и экспоненциальной устойчивости стационарных режимов в системах с последействием- исследовать проблемы стабилизации программных управлений в случае прямого и непрямого регулирования создать методы синтеза для линейных и нелинейных систем.
По результатам этих исследований автором опубликовано две монографии (1996 г.) и более 35 работ (198Т - 1998 гг.).
Сделаем небольшой исторический экскурс к постановке и развитию тематики, рассмотренной автором в диссертационном исследовании.
Первые серьезные математические результаты, полученные при исследовании функционирования динамических систем, видимо, следует отнести к М.Ньютону. Им впервые были четко сформулированы и поставлены перед математикой прямая и обратная задачи : требуется определить движение, если известны силы, его вызывающие , и наоборот, требуется определить силы, если известно движение, ими порожденное. Последнюю задачу в широком плане можно считать задачей поиска управления порождающего искомое движение. С решением второй задачи, как известно, М.Ньютон успешно справился, используя наблюдения Т.Браге с поправками на рефракцию И.Кеплера, а также опираясь на гипотезу центральной силы, предложенную Х.Гюйгенсом, т.е. получил закон всемирного тяготения. Он также сумел решить ряд дифференциальных уравнений описывающих прямолинейное движение матещальной точки под действием различных сил. И. Ньютон сумел путем синтетико-геометрических построений описать
динамику движения твердого тела, находящегося в центральном поле сил. Однако, у И. Ньютона отсутствовала запись дифференциальных уравнений и их интегралов в аналитической форме, а его метод последовательных приближений давал решение рассматриваемых задач в виде степенного ряда.
Вторым крупным результатом, послужившим большим толчком к созданию математических методов исследования динамических систем следует считать разработку метода квадратур для решения дифференциальных уравнений Лейбницем и его последователями - братьями Бернулли. Им впервые был предложен термин -"дифференциальные уравнения", методы подстановки и интегрирующего множителя для решения некоторых классов дифференциальных уравнений.
В дальнейшей разработке теории дифференциальных уравнений особенно велик вклад Л. Эйлера давшего полное решение линейного неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами и развившего метод интегрирующего множителя. Также большой вклад в развитие методов решения дифференциальных уравнений внесли его современники: А. Клеро, Ж. Даламбер, Ж.Л. Лагранж, Б. Тейлор.
Переломным моментом в исследовании нелинейных динамических систем явилась теорема существования и единственности доказанная О.Коши методом ломаных Эйлера и предложенный им метод последовательных приближений. Здесь также необходимо отметить работы Штурма и Лиувиля, положившие начало исследованиям по теории краевых задач.
Существенным шагом вперед при исследовании динамических
систем являлась разработка качественной теории дифференциальных уравнений, одновременно созданной А. Пуанкаре и A.M. Ляпуновым. Методы, созданные в рамках этой теории, позволяли по свойствам правых частей дифференциальных уравнений судить о поведении решений этих уравнений и их особенностях. Существенные результаты в данной области были получены также Дж. Биркгофом.
Дальнейшее создание методов исследования поведения решений динамических систем проводилось в рамках теории колебаний , сильно развитой такими учеными, как А.Н. Крылов, А.А.Андронов, А.А. Марков, Н.П.Еругин, В.И.Зубов, Ю.А.Митро-польский и др.
Бурное развитие техники в середине XX века, а особенно систем автоматического управления, породило целый класс новых задач в рамках теории динамических систем: построение решений динамических систем, удовлетворяющих различным краевым условиям исследование устойчивости решений динамических систем с последействием; построение программных управлений и движений, удовлетворяющих краевым и начальным условиям; синтез этих управлений; решение проблем стабилизации программного движения в случае прямого и непрямого регулирования. Основоположниками в решении этих задач выступили Н.Н. Красо-вский, А.Н.Тихонов, Л.С.Понтрягин, К.П.Персидский, В.В.Степанов, Н.Н. Боголюбов, Н.Г. Четаев, В.В. Немыцкий,Н.М. Крылов, B.C. Разумихин, А.Д. Мышкис, Л.Э. Эльсгольц, С.Н.Шиманов, В.И. Зубов, М.Г. Крейн, А.А. Воронов, Б.Г. Болтянский и многие другие.
Целью настоящей работы является проведение исследований проблем возникающих как при рассмотрении ряда практических задач, так и при использовании нетрадиционных подходов к исследованию распределенных систем, описываемых системами уравнений в частных производных. Путь решения этих проблем лежит в создании конструктивных качественных и количественных методов исследования динамики функционирования управляемых динамических систем имеющих различного рода особенности: неудерживающие связи последействие неприводимость к нормальному виду разрывы решений первого рода и т.д. Решение данных проблем позволило получить ряд новых результатов, с помощью которых можно оценить не только качественную картину поведения решений динамических систем, но и в ряде случаев построить сами решения этих систем и управления их порождающие.
Ряд новых результатов, полученных при рассмотрении некоторых вопросов затронутых в диссертационном исследовании, существенно отличается от результатов других исследователей в данной области. Например: в главе 4 впервые получены неуточ-нимые на рассматриваемом классе функционалов критерии экспоненциальной устойчивости стационарных режимов систем с последействием^ во 2-ой главе получены критерии существования и построения решений динамических систем удовлетворяющих неу-держивающим связям, причем в линейном случае проблема впервые решена полностью и т.д. Методы, разработанные в настоящей работе выгодно отличаются от методов разработанных другими авторами тем, что они являются конструктивными^ не абстрактными, т.е. легко применимыми на практике. Часть результатов
получена впервые и не имеет аналогов в предшествующих исследованиях в данной области, т.е. не является продолжением иж уточнением результатов других авторов.
Диссертационное исследование состоит из 5 глав и 17 параграфов.
В первой главе описывается методика исследования и построения решений u = u(t,X,C) большого класса задач математической физики (уравнений в частных производных, решения которых должны удовлетворять начальным и граничным условиям) методом простых волн, а также рассмотрены вопросы моделирования динамики процессов теплообмена в одноканальних и сдвоенных теплообменниках, имеющих распределенную тепловую нагрузку. Показано, как такие постановки и подходы приводят к возникновению целого класса нетрадиционных задач, требующих для своего решения создания новых методов и моделей.
Во второй главе рассмотрены вопросы построения решений динамических систем удоволетворяющих неудерживающим связям. В случае линейных систем задача решена пожостью, а для нелинейных систем найдены достаточные условия существоания решений таких систем и систем не приводимых к нормальному виду. Для квазилинейных краевых задач, решения которых удовлетворяют краевым условиям интегрального типа и обобщенным условиям непрерывности по некоторым своим компонентам, получены условия существования таких решений в виде сплайнов и предложены методы их построения.
В третьей главе разработаны методы построения законов управления для динамических систем и их синтеза. Для линей-
ных динамических систем, удовлетворяющих неудерживающим связям типа двусторонних неравенств, получены необходимые и достаточные условия существования программных управлений и движений, удовлетворяющих искомым краевым условиям, получены достаточные условия для решения задачи синтеза.
Для квазилинейных систем с последействием получены достаточные условия существования программных управлений и движений, удовлетворяющих квазилинейным неудерживающим связям, а также предложены итерационные методы их построения. Выведены достаточные условия , при выполнении которых возможен синтез этих законов управления и получено их аналитическое представление.
В четвертой главе рассматриваются вопросы существования и устойчивости стационарных режимов в динамических системах с последействием, а также влияния на эти режимы внешних ограниченных воздействий.
Для автономной системы с последействием получены достаточные условия существования единственного равномерно экспоненциально устойчивого положения равновесия.
В случае периодических и почти периодических динамических систем с последействием получены достаточные условия существования периодических и почти периодических решений равномерно экспоненциально устойчивых в целом.
Для этих систем также рассмотрен случай локальной устойчивости.
В случае внешних периодических и почти периодических ограниченных воздействий на автономную систему с последейст-
вием получены условия существования периодических и почти периодических решений, а также условия их равномерной экспоненциальной устойчивости и устойчивости при постоянно действующих возмущениях.
В пятой главе рассмотрены вопросы стабилизации программных управлений в системах с последействием в случае прямого и непрямого регулирования.
Для квазилинейных систем с последействием получены условия, при выполнении которых программное движение можно сделать равномерно экспоненциально устойчивым путем надлежащего выбора автоматической системы прямого регулирования осуществляющего управление с помощью запаздывающего сигнала,являющегося линейной комбинацией отклонения истинного движения от заданного программного.
В случае непрямого регулирования, также получены условия построения линейной системы автоматического управления непрямого регулирования, осуществляющей стабилизацию программного движения локально и в целом.
Применение метода простых волн к уравнению теплопроводности
Анализ направлений развития науки, существующие научные публикации и тематика международных научных форумов, убедительно говорят о том, что приоритетными задачами, стоящими перед человечеством в ХХ1 веке будут, например, следующие: - создание новых космических технологий и ракетно-космических систем - создание нетрадиционных энергетических технологий, в т.ч. переработки газа и нефти - создание общемировой динамической системы связи с использованием спутниковых и лазерных систем - глобальное решение транспортной проблемы - создание новых биотехнологий для решения продовольствен 5 ной проблемы; - создание многофункциональных гибких автоматизированных систем.
Решение указанных проблем не может быть осуществлено без серьезной научной проработки и создания математических моделей и методов исследования динамики функционирования сложных систем с учетом надежности и безопасности, исследования взаимных соотношений между отказоустойчивостью и эффективностью и т.д., с различного рода особенностями и условиями.
Тема данного диссертационного исследования касается ряда задач рассмотренных выше и является частью плановой фундаментальной НИР, утвержденной в 1987 г. (шифр 1.13.9.4), Президиумом РАН Институту проблем кибернетики РАН "Исследование динамики функционирования и построение законов управления динамической супер-системы с учетом специфики функционирования" и является переходной до 2000 г. Автор данного диссертационного исследования является ответственным исполнителем указанной темы. Постановка данной темы Президиумом РАН говорит об актуальности разработки фундаментальных методов исследования динамических систем различного предназначения. При разработке супер-системы - "Супер-ЭВМ - Аэрокосмическая система", определенной этой тематикой, потребовалось: исследовать вопросы моделирования теплофизических процессов, разрабатывать методы решения краевых задач и задач управления динамическими системами, удовлетворяющими неудерживающим связям, в т.ч. и в виде сплайнов, исследовать вопросы существованияи и построения решений для систем не приводимых к нормальному виду, рассматривать вопросы существования и экспоненциальной устойчивости стационарных режимов в системах с последействием- исследовать проблемы стабилизации программных управлений в случае прямого и непрямого регулирования создать методы синтеза для линейных и нелинейных систем.
Первые серьезные математические результаты, полученные при исследовании функционирования динамических систем, видимо, следует отнести к М.Ньютону. Им впервые были четко сформулированы и поставлены перед математикой прямая и обратная задачи : требуется определить движение, если известны силы, его вызывающие , и наоборот, требуется определить силы, если известно движение, ими порожденное. Последнюю задачу в широком плане можно считать задачей поиска управления порождающего искомое движение. С решением второй задачи, как известно, М.Ньютон успешно справился, используя наблюдения Т.Браге с поправками на рефракцию И.Кеплера, а также опираясь на гипотезу центральной силы, предложенную Х.Гюйгенсом, т.е. получил закон всемирного тяготения. Он также сумел решить ряд дифференциальных уравнений описывающих прямолинейное движение матещальной точки под действием различных сил. И. Ньютон сумел путем синтетико-геометрических построений описать динамику движения твердого тела, находящегося в центральном поле сил. Однако, у И. Ньютона отсутствовала запись дифференциальных уравнений и их интегралов в аналитической форме, а его метод последовательных приближений давал решение рассматриваемых задач в виде степенного ряда.
Вторым крупным результатом, послужившим большим толчком к созданию математических методов исследования динамических систем следует считать разработку метода квадратур для решения дифференциальных уравнений Лейбницем и его последователями - братьями Бернулли. Им впервые был предложен термин -"дифференциальные уравнения", методы подстановки и интегрирующего множителя для решения некоторых классов дифференциальных уравнений.
В дальнейшей разработке теории дифференциальных уравнений особенно велик вклад Л. Эйлера давшего полное решение линейного неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами и развившего метод интегрирующего множителя. Также большой вклад в развитие методов решения дифференциальных уравнений внесли его современники: А. Клеро, Ж. Даламбер, Ж.Л. Лагранж, Б. Тейлор.
Построение решений в квазилинейном случае
Переломным моментом в исследовании нелинейных динамических систем явилась теорема существования и единственности доказанная О.Коши методом ломаных Эйлера и предложенный им метод последовательных приближений. Здесь также необходимо отметить работы Штурма и Лиувиля, положившие начало исследованиям по теории краевых задач.
Существенным шагом вперед при исследовании динамических систем являлась разработка качественной теории дифференциальных уравнений, одновременно созданной А. Пуанкаре и A.M. Ляпуновым. Методы, созданные в рамках этой теории, позволяли по свойствам правых частей дифференциальных уравнений судить о поведении решений этих уравнений и их особенностях. Существенные результаты в данной области были получены также Дж. Биркгофом.
Дальнейшее создание методов исследования поведения решений динамических систем проводилось в рамках теории колебаний , сильно развитой такими учеными, как А.Н. Крылов, А.А.Андронов, А.А. Марков, Н.П.Еругин, В.И.Зубов, Ю.А.Митро-польский и др.
Бурное развитие техники в середине XX века, а особенно систем автоматического управления, породило целый класс новых задач в рамках теории динамических систем: построение решений динамических систем, удовлетворяющих различным краевым условиям исследование устойчивости решений динамических систем с последействием; построение программных управлений и движений, удовлетворяющих краевым и начальным условиям; синтез этих управлений; решение проблем стабилизации программного движения в случае прямого и непрямого регулирования. Основоположниками в решении этих задач выступили Н.Н. Красо-вский, А.Н.Тихонов, Л.С.Понтрягин, К.П.Персидский, В.В.Степанов, Н.Н. Боголюбов, Н.Г. Четаев, В.В. Немыцкий,Н.М. Крылов, B.C. Разумихин, А.Д. Мышкис, Л.Э. Эльсгольц, С.Н.Шиманов, В.И. Зубов, М.Г. Крейн, А.А. Воронов, Б.Г. Болтянский и многие другие. Целью настоящей работы является проведение исследований проблем возникающих как при рассмотрении ряда практических задач, так и при использовании нетрадиционных подходов к исследованию распределенных систем, описываемых системами уравнений в частных производных. Путь решения этих проблем лежит в создании конструктивных качественных и количественных методов исследования динамики функционирования управляемых динамических систем имеющих различного рода особенности: неудерживающие связи последействие неприводимость к нормальному виду разрывы решений первого рода и т.д. Решение данных проблем позволило получить ряд новых результатов, с помощью которых можно оценить не только качественную картину поведения решений динамических систем, но и в ряде случаев построить сами решения этих систем и управления их порождающие.
Синтез законов управления для линейных систем
Ряд новых результатов, полученных при рассмотрении некоторых вопросов затронутых в диссертационном исследовании, существенно отличается от результатов других исследователей в данной области. Например: в главе 4 впервые получены неуточ-нимые на рассматриваемом классе функционалов критерии экспоненциальной устойчивости стационарных режимов систем с последействием во 2-ой главе получены критерии существования и построения решений динамических систем удовлетворяющих неу-держивающим связям, причем в линейном случае проблема впервые решена полностью и т.д. Методы, разработанные в настоящей работе выгодно отличаются от методов разработанных другими авторами тем, что они являются конструктивными не абстрактными, т.е. легко применимыми на практике. Часть результатов получена впервые и не имеет аналогов в предшествующих исследованиях в данной области, т.е. не является продолжением иж уточнением результатов других авторов.
Диссертационное исследование состоит из 5 глав и 17 параграфов. В первой главе описывается методика исследования и построения решений u = u(t,X,C) большого класса задач математической физики (уравнений в частных производных, решения которых должны удовлетворять начальным и граничным условиям) методом простых волн, а также рассмотрены вопросы моделирования динамики процессов теплообмена в одноканальних и сдвоенных теплообменниках, имеющих распределенную тепловую нагрузку. Показано, как такие постановки и подходы приводят к возникновению целого класса нетрадиционных задач, требующих для своего решения создания новых методов и моделей.
Во второй главе рассмотрены вопросы построения решений динамических систем удоволетворяющих неудерживающим связям. В случае линейных систем задача решена пожостью, а для нелинейных систем найдены достаточные условия существоания решений таких систем и систем не приводимых к нормальному виду. Для квазилинейных краевых задач, решения которых удовлетворяют краевым условиям интегрального типа и обобщенным условиям непрерывности по некоторым своим компонентам, получены условия существования таких решений в виде сплайнов и предложены методы их построения.
В третьей главе разработаны методы построения законов управления для динамических систем и их синтеза. Для линейных динамических систем, удовлетворяющих неудерживающим связям типа двусторонних неравенств, получены необходимые и достаточные условия существования программных управлений и движений, удовлетворяющих искомым краевым условиям, получены достаточные условия для решения задачи синтеза.
Для квазилинейных систем с последействием получены достаточные условия существования программных управлений и движений, удовлетворяющих квазилинейным неудерживающим связям, а также предложены итерационные методы их построения. Выведены достаточные условия , при выполнении которых возможен синтез этих законов управления и получено их аналитическое представление.
В четвертой главе рассматриваются вопросы существования и устойчивости стационарных режимов в динамических системах с последействием, а также влияния на эти режимы внешних ограниченных воздействий.
Для автономной системы с последействием получены достаточные условия существования единственного равномерно экспоненциально устойчивого положения равновесия.
Устойчивость периодических и почти периодических систем с последействием
Для автономной системы с последействием получены достаточные условия существования единственного равномерно экспоненциально устойчивого положения равновесия.
В случае периодических и почти периодических динамических систем с последействием получены достаточные условия существования периодических и почти периодических решений равномерно экспоненциально устойчивых в целом.
Для этих систем также рассмотрен случай локальной устойчивости. В случае внешних периодических и почти периодических ограниченных воздействий на автономную систему с последействием получены условия существования периодических и почти периодических решений, а также условия их равномерной экспоненциальной устойчивости и устойчивости при постоянно действующих возмущениях.
В случае периодических и почти периодических динамических систем с последействием получены достаточные условия существования периодических и почти периодических решений равномерно экспоненциально устойчивых в целом.
Для этих систем также рассмотрен случай локальной устойчивости. В случае внешних периодических и почти периодических ограниченных воздействий на автономную систему с последействием получены условия существования периодических и почти периодических решений, а также условия их равномерной экспоненциальной устойчивости и устойчивости при постоянно действующих возмущениях.
В пятой главе рассмотрены вопросы стабилизации программных управлений в системах с последействием в случае прямого и непрямого регулирования.
Для квазилинейных систем с последействием получены условия, при выполнении которых программное движение можно сделать равномерно экспоненциально устойчивым путем надлежащего выбора автоматической системы прямого регулирования осуществляющего управление с помощью запаздывающего сигнала,являющегося линейной комбинацией отклонения истинного движения от заданного программного.
В случае непрямого регулирования, также получены условия построения линейной системы автоматического управления непрямого регулирования, осуществляющей стабилизацию программного движения локально и в целом. Итак, мы показали, что программное движение X (t) в силу соотношений (6),(18) является при t [h,T] решением уравнения (19) с начальной функцией XQ(t) , t є [0,Ш .
Из единственности решения системы (19) для любой фиксированной начальной функции вытекает, что система (1) при управлении (15) и начальной функции XQ(t) , t є [0,h] , имеет решение, удовлетворяющее условиям (2). В силу того, что решение системы (Т) неединственно, имеем целое семейство начальных функций и управлений (15) таких, что система (1) при любой из этих начальных функций и соответствующем ей управлении (15) имеет решение, удовлетворяющее краевым условиям (2). Также заметим, что в управление (15) входит произвольная функция V(t) принадлежащая пространству L2[0,T1 и удовлетворяющая условиям (6).
Итак, мы показали, что программное движение X (t) в силу соотношений (17),(21) является при t е Ш,ТЗ решением уравнения (22) с начальной функцией Xt) , t [0,її] Так как уравнение (22) может быть записано через интеграл Стилтьеса, то решение уравнения (22) для любой фиксированной начальной функции - единственно. Отсюда вытекает, что система (1) имеет при управлении (20) и начальной функции X (t) , t е [0,h] единственное решение задаваемое формулой (16) Так как решение системы (7) неединственно, то имеем целое семейство начальных функций и управлений (20) , являющихся решениями поставленной выше задачи. Теорема доказана.
