Введение к работе
йЕЇЇ22ЬЇЇ2йІЬ-2їїїі в микроэлектронике свзрхвыооких частот (СВЧ). используются резонансные явления в диэлектриках с большой диэлектрической проницаемостью. Диэлектрические резонаторы (ДР) представляют собой образец произвольной формы из таких диэлектриков, вазывзющий резонансное рассеяние падающей на него электромагнитной волны СВЧ. В последнее время ДР используют в качестве колебательных систем различных функциональных устройств в частотных фильгрзх, твердотельных генераторах, переключающих устройствах и других приборах, работающих в СВЧ диеп83о-шх.
Наряду с созданием высокоэффективных устройств с улучшенными энергетическими характеристиками, минимальной массы и стоимости, остается актуальной задача миниатюризации волновых и колебательных систем СВЧ. Так, например, увеличивая диэлектрическую проницаемость материала ДР, мояно уменьшить их габариты в 100-1000 раз без увеличения потерь мощности и снижения собственной добротности. Изготовление конкретных образцов ДР вызывает определенные материальные, технические и умственные затраты. Поэтому разработчикам фильтров па ДР большую помощь моает оказать вычислительный эксперимент, позволяющий с помощью ЭЕЛ подобрать диэлектрик и размеры ДР с определенными собственными частотами без изготовления их конкретных образцов.
Изучение волновых процессов электродинамических систем в математической постановке приводит к частичной проблеме собственных значений (с.з.) для краевых задач, которая является одной из наиболее актуальных во многих областях нэупи п техники. Например, многочисленные волновые частотные задачи теории упругости, ядерной физики, квантовой механики, радиотехники в математической постанивке сводятся к частичной проблеме задач ив с.з. для дифференциальных операторов. Поэтому объектом исследования данной диссертационной работы являются задачи на о.з. двумерных дифференциальных операторов второго порядка эллиптического типа с переменныг/и коэффициентам!, заданных в прямоугольной области. Получение точного решения таких задач в аналитическом виде представляется возможным только в исключительных сЛ}чаях. Этим обстоятельством объясняется интенсивное развитие численных методов
решения З8.".ач на с.з., ориентированных на применение современных ЭВМ. Важной особенностью задач на с.з., моделирующих собственные колебания неоднородных осесимметричных ДР в цилиндрическом ме-талличесокм экране, являются дифференциальные операторы с сингулярными кусочно-непрерывными коэффициентами. Естественно, что собственные функции (с.ф.) таких спектральных задач не обладают высокой классической гладкостью во всей рассматриваемой области. Поэтому предполагается, что с.ф. принадлежат соответствующим Соболевским пространствам. Это приводит к пополнительным трудностям при построении и обосновании разностных схем.
Уь_Еа22І!і заключается в создании программного продукта для численного расчета резонансных частот многослойных осесимметричных ДР в цилиндрическом металлическом экране. Естественным было желание создать такую программу, которая при минимальной вычислительной работе и минимальной компьютерной памяти позволяла бы численно решать наиболее широкий класс спектральных задач. Это стало возможным при построении однородной разностной схемы (р.с.) для решения задачи на с.з. с сингулярными и кусочно-непрерывными коэффициентами К такой задвче пришли после построения новой математической модели, позволившей свести систему дифференциальных уравнений к одному уравнению с переменными коэффициентами и условиями непрерывности на линиях разрыва.
УЇ2ЇЇ2Е2_252Й2Ш.ШИ заключается в использовании теории р.с, линейных операторов в гильбертовых пространствах, аппарата соболевских пространств, метода энергетических неравенств.
ЙУ-2Ш2_222ШШа Предложена новая математическая модель для расчета резонансных частот собственных колебаний многослойных осесимметричных ДР в цилиндрическом металлическом экране, описываемая двумерным дифференциальным оператором второго порядка эллиптического типа с переменными сингулярными и кусочно-непрерывными коэффициентами. Новая модель позволяет построить однородную р.с, которая существенно упрощает алгоритм ее реализации на зам.
Построены и исследованы р.с. задач на.с.з. для двумерных дифференциальных операторов второго порядка с такими переменными коэффициентами: положительными и ограниченными; сингулярны-
ми; кусочно-непрерывными и сингулярными. Для спектральной задачи с сингулярными коэффициентами доказаны оценки снизу разностных с.э, через их номер, а в случае кусочно непрерывных и сингулярных коэффициентов доказане слабая сходимость решения .разностной задачи к соответствующему решению исходной задачи в метрике весового Соболевского пространства W2 ^-і f ОТ) , получена оценка погрешности вычисления с.з.
Исследование точности р.с. проводилось в предположении, что с.ф. принадлежат соболевским пространствам Wz и "W2 в прямоугольнике.
Разработан алгоритм и составлена программа, реализующая однородную р.с, для решения восьми задач расчета собственных частот Н- и Е-колебаний неоднородных ДР с шестью вариантами линий разрыва коэффициентов каждая (рис.:).
Пр.актическая_знэчимостьх Создан программный продукт численного расчета резонансных частот собственных колебаний радиально слоистых ДР в цилиндрическом металлическом экране, который используется ппи разработке малогабаритных фильтров на ДР.
Программное средство позволяет сократить трудоемкость настройки фильтров и выбрать размер металлического экрана, обеспечивающий максимальную добротность при минимальном влиянии на частоту ДР.
Результаты диссертационной роботы внедрены на одном из предприятий г.Киева, где они использовались и будут использо-* ватьсл в опытно-конструкторских разработках этого предприятия. В приложении к диссертационной работе приведен акт о внедрении.
Построены и использованы рэзнсспше схемы цлл задач на с.з., которые могут использоваться при численном решении спектральных задач во многих отраслях науки и техники.
И2_22!1!їїїї_2її!122ї2:
.новая математическая модель для расчета резонансных частот собственных колебаний радиально слоистых ДР в цилиндрическом металлическом экране, которая описывается двумерным дифференциальным оператором второго порядка эллиптического типа с переменными сингулярными и кусочно-непрерывными коэффициентами в прямоугольной области;
разностные схемы спектральных задач для дифференциальных one-
2 +
a) e^ Є2*Є3/Ч>
в) а, = є.
«; >
&а = Є.
-fc-
ц) е<=
ez=s4
или =
З )
є) ЄА =
аг = еь= єч.
Рис.
раторов с непрерывными и сингулярными коэффициентами и методика их исследования в предположении, что с.ф. из соболевских пространств "W„ и "\д/| в прямоугольнике; явная оценка разностных с.з. для вырождающегося дифференциального оператора с сингулярными коэффициентами;
однородная р.с. задачи на с.з. для дифференциального оператора с переменными кусочно-непрерывными и сингулярными коэффициентами;
факт слабой сходимости решения однородной разностной задачи к соответствующему решению исходной задачи в метрике весового пространства W^., 0=2")
оценке погрешности вычисления с.з. однородной р.с. с учетом большей обобщеннои гладкости с.ф. в подобластях непрерывности коэффициентов, что дало возможность получить такой же порядок точности, как и в случае непрерывных коэффициентов; алгоритм и программа, реализующая однородную р.с, для восьми задач расчета собственных частот Н- и fi-колебэний неоднородных осесимметричных ДР с шестью вариантам! линий разрывов каждая.
Апр_обация__Еаботнд Основные результаты докладывались на: сесоюзной школе молодых ученых "Вычислительные методы и мэтемо-ическое моделирование" (Минск, 1984), IX Всесоюзной конференции о численным методам решения задач теории упругости и пластично-тн (Саратов, 1985), Республиканской научно-технической конвенции "Роль вычислительного эксперимента при исслецезании фи-ико-химических процессов" /шифр X87-25I/ (Ивано-Франковск, 987), Ш Всесоюзной конференции "Новые подходы к решению диффе-енциальных уравнений" (Дрогобич, 1991), I научной конференции олодых ученых Киевского госуниверситета (Киев, 1985), научных еминарэх кафедры вычислительной математики (Киев.1903-1991) и эфедры численных методов математической физики (Киев, 1985, 990) Киевского государственного университета им.Т.Г.Шевченко, эучном семинаре по теории уравнений в частных производных Чер-овицкого государственного университета им.Ю.Федьковича (Чернов-а, 1990).
Публикации^ По результатам исследований опубликовано 6 эбот.
Стр_укту_г)а_и_объем_р_аботЫ1. Диссертационная работа изложена
на III страницах машинописного текста и иллюстрирована 3 рисунками. Диссертащм состоит из введения, трех глав, приложения» заключения : списка литературы, содержащего 75 наименований.
