Введение к работе
:
а!
/і і Диссертация посвящена проблематике автоматизации научного поиска в области дискретных симметрийных исследований нелинейных динамических процессов. Реализация методов дискретно-группового анализа на ЭВМ с помощью систем аналитических вычислений (CAB) способствует получению на основе разработанных программ и автоматизированных комплексов точных аналитических, решений в известных функциях в соответствии с классификацией модельных уравнений.
Практическим приложением диссертации является создание автоматизированной системы симметрийных исследований в виде пакета прикладных программ в CAB REDUCE (использовались различные версии), предназначенной для работы на ЭВМ CDC Cyber-172/б, ЕС ЭВМ и персональных ЭВМ, программно совместимых с IBM PC. Хотя для некоторых сложных задач универсальная система REDUCE создает' дополнительные трудности пользователю в силу жестких требований к оперативной памяти ЭВМ, однако в системе существуют средства для передачи аналитических результатов языку численного программирования, что создает дополнительные возможности для использования вне среды REDUCE обширнейших библиотек стандартных программ, а также обеспечиваются возможные связи с базами данных и графическими программными средствами. Таким образом, автоматизированные системы симметрийных исследований способствуют сохранению и пополнению научного капитала, накопленного огромным трудом высококвалифицированных специалистов - математиков, физиков и специалистов из других областей.
Актуальность темы диссертации определяется все более широким распространением ЭВМ и ПЭВМ в практике научных исследований .и научно-технических разработок. Особую ценность представляют пакеты прикладных программ , которые стали привычным инструментом для проведения машинных расчетов и экспериментов. Использование интеллектуальных возможностей современных ЭВМ' для программирования без языков программирования, развитых САБ, диалоговых средств работы с научной графикой,' табличными и текстовыми объектами, а также формализованного представления предметной области и друкественности программного обеспечения
ПЭВМ способствует максимальному вовлечению вычислительной техники как. инструмента научного исследования в процесс выполнения математических расчетов и экспериментов.
Аналитические преобразования являются неотъемлемой частью научных исследований и, зачастую, на их выполнение затрачивается больше труда, чем на остальную часть исследований, а для реализации групповых методов поиска решений модельных уравнений особенное значение имеет точность аналитических выражений. Однако ручные вычисления по любому из подобных методов современного симметрийного анализа требуют непомерно больших затрат времени. Именно здесь и помогают методы компьютерной алгебры и соответствующие CAB, являющиеся практически единственным средством решения задач, требующих больших затрат ручных вычислений, и очень чувствительных к потере точности при численном счете на ЭВМ.
Симметрийный анализ нелинейных динамических процессов, описываемых дифференциальными уравнениями , существенно ускоряет поиск точных аналитических решений, так как при этом используются дополнительные групповые свойства изучаемой математической модели, которые делают ее более прозрачной и снимают, тем самым, многочисленные трудности, порождаемые большой размерностью (многопараметричностыо) модели. Знание групповых свойств дает средство классификации множества решений, средство классификации семейств дифференциальных уравнений, зависящих от произвольных параметров или. функций, возможность для определения типов математических моделей, допускающих заданную группу симметрии и т.д.-
Поиск дискретных симметрии для моделей, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, столь же важен, как и поиск непрерывных симметрии, хотя методы нахождения дискретных групп преобразований отличаются от методов теории С.Ли и не доставляют средство классификации множества решений одного уравнения (проводится классификация семейств уравнений). Так же как и непрерывные симметрии, дискретные симметрии находятся с помощью точных вычислительных методов, которыми оснащены современные CAB. Огромное преимущество рассмотрения дискретных групп симметрии (в противоположность непрерывным симметриям)
состоит в возможности прогнозирования не только разрешимости уравнений рассматриваемого класса, но и представимости общего решения в конкретных (достаточно узких) классах известных функций.
Поэтому автоматизация основных методов дискретного симметрийного анализа с помощью эффективных CAB представляется весьма актуальной и своевременной.
Целью диссертационной работы является автоматизация методов дискретно-группового анализа (ДГА) с помощью систем аналитических вычислений и получение на основе разработанных программ и автоматизированных комплексов точных решений некоторых классов обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) в известных функциях в соответствии с орбитальной классификацией дифференциальных уравнений.
Для достижения поставленной цели в диссертационной работе формулируются и решаются следующие задачи.
Исследование, разработка и программная реализация алгоритмов вычисления дискретных симметрии ОДУ.
Исследование, разработка и программная реализация алгоритмов построения орбит (как алгебраических, так и орбит решений).
- Проведение анализа CAB, полезных для исследования
симметрийных свойств дифференциальных уравнений, и выделение
наиболее ' эффективных из них для достижения основной цели
исследования.
Создание программных комплексов для автоматизации научного поиска методами ДГА.
Получение с помощью разработанных программ и программных комплексов точных решений некоторых классов ОДУ в известных функциях в соответствии с орбитальной классификацией дифференциальных уравнении.
- Проведение с помощью CAB и дополнительных программных
средств анализа регулярных орбит в заданных классах ОДУ.
Научная новизна результатов диссертации состоит в следующем:
1. Разработана и реализована программа для вычисления с
помощью CAB REDUCE определяющих уравнений точечных дискретных симметрии различных классов дифференциальных уравнений.
2. Разработаны и реализованы в виде системы программ частные
алгоритмы решения систем определяющих уравнений, а также
алгоритмы построения алгебраических орбит и орбит решений.
3. Впервые созданы программные комплексы DISAM, AP_DSDS,
AP_Orblt, ориентированные на симметрийный анализ различных
классов дифференциальных уравнений и работающие на перечисленных
выше ЭВМ, включая IBM PC/XT и PC/AT. Разработанные программные
комплексы коренным образом меняют технологию научных исследований
в современном групповом анализе, в особенности, связанные с
использованием ПЭВМ и применением методов информатики.
Разработанные программные средства являются по существу
математическим консультантом по дискретным симметриям
аналитических моделей, реализованным с помощью CAB REDUCE.
4. С помощью разработанных программ и программных
комплексов получены и исследованы не известные ранее точные
решения класса обобщенных уравнений Эмдена-Фаулера и класса
уравнений Абеля 2-го рода в полиномиальных функциях, функциях
Эйлера, Р-функциях Вейерштрасса, эллиптических интегралах 1-го и
2-го рода и т.д., в соответствии с орбитальной классификацией
рассматриваемых классов.
-
Разработан подход к выделению регулярных подклассов и инвариантных множеств класса обобщенных уравнений Эмдена-Фаулера.
-
Получена оценка приближенно инвариантных решений для подкласса полиномиальных функций класса обобщенных уравнений Эмдена-Фаулера.
-
Построены новые преобразования Беклунда, индуцированные преобразованием автономных уравнений подкласса эллиптических Р-функций Вейерштрасса в подкласс эллиптических интегралов первого рода, позволяющие быстро и эффективно строить точные решения связанных орбит исходя из известной ДТП одной из них и хотя бы одного разрешимого элемента.
-
С помощью системы REDUCE и дополнительных программных средств выполнен алгебраический анализ базисных функций подкласса полиномов, позволяющий указать границы возможно разрешимых в этом подклассе краевых задач.
Выполненные в диссертационной работе исследования связаны с реализацией целевой комплексной программы "Разработка научных основ построения, методов анализа, синтеза и испытаний программного обеспечения ИПК, ГПС, автоматических и автоматизированных систем", определенной совместным постановлением Госплана СССР, ГКНТ Совета министров СССР и Президиума АН СССР J6 164/364/Э2 от 10.07.84.
Практическая значимость. Разработанные 'Программные комплексы, ориентированные на дискретный симметрийный анализ различных классов аналитических моделей, открывают широкий доступ исследователям к наукоемким прикладным пакетам.
Практическое' значение полученных результатов определяется повышением эффективности научных исследований и обучения за счет широкого привлечения средств вычислительной техники и снижения трудозатрат на разработку специализированного программного обеспечения.
Исследуемые модельные . уравнения представляют интерес и с точки зрения приложений. Они принадлежат классу обобщенных уравнений Эмдена-Фаулера, к которому сводятся многие практически важные модели нелинейной механики (уравнение Томаса-Ферми, пограничного слоя степенных жидкостей, диффузионного пограничного слоя и т.д.), и классу уравнений Абеля, занимающих центральное место среди уравнений первого порядка, имеющих подвижные точки
ВеТВЛеНИЯ;
Апробация работы. Результаты проведенных исследований докладывались и обсуждались на:
1. Всесоюзном коллоквиуме "Современный групповой анализ:
методы и приложения" (Баку - 1988, Красноярск - 1989);
2. Республиканских конференциях "Герценовские чтения"
(Ленинград - 1988, 1989, 1990, 1991);
-
Городском семинаре "Математическая теория точных моделей" (Ленинград - 1983, 1989, 1990, 1991);
-
Городском семинаре "Информатика и автоматизация научных исследований" (Ленинград - 1989);
-
Совещании-семинаре "Дискретно--грутгавой анализ: методы и приложения" (Ереван - 1989).
Основные результаты диссертации опубликованы в одной
- a -
монографии и 11 научных работах.
' Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из Y5 наименований и приложений. Объем основного текста диссертации -100 страниц.
