Содержание к диссертации
Введение
1. Выделение трендов временных рядов при случайном числе измерений 14
1.1. Общий случай 14
1.1.1. Постановка задачи 14
1.1.2. Оценки параметров тренда 14
1.1.3. Свойства оценок параметров тренда 16
1.2. Выделение трендов временных рядов сплайнами первого порядка 22
1.2.1. Постановка задачи 22
1.2.2. Выделение тренда в виде сплайна первого порядка 23
1.2.3. Оценки параметров тренда 25
1.2.4. Свойства оценок параметров 28
1.3. Имитационное моделирование 40
2. Оценка функции корреляции стационарного случайного процесса при случайном числе измерений 51
2.1. Общий случай 51
2.1.1. Постановка задачи 51
2.1.2. Оценки неизвестных параметров функции корреляции 52
2.1.3. Свойства оценок параметров 54
2.2. Оценка функции корреляции сплайнами первого порядка 57
2.2.1. Постановка задачи 57
2.2.2. Нахождение оценок неизвестных параметров функции корреляции 58
2.2.3. Свойства оценок параметров 64
2.3. Имитационное моделирование 65
3. Оценка спектра мощности стационарного случайного процесса при случайном числе измерений 71
3.1. Постановка задачи 71
3.2. Алгоритм решения задачи 72
3.3. Оценки параметров спектра мощности 72
3.4. Статистические характеристики полученных оценок 76
3.5. Имитационное моделирование 80
4. Программное обеспечение разработанных алгоритмов 85
4.1. Общая характеристика программы 85
4.2. Основы работы с программой 85
4.2.1. Системные требования 85
4.2.2. Инсталляция 85
4.2.3. Запуск программы 86
4.2.4. Окончание работы с программой 87
4.3. Работа с документом 87
4.3.1. Создание нового документа 87
4.3.2. Открытие существующего документа 88
4.3.3. Сохранение документа 88
4.3.4. Импортирование данных из текстового файла 89
4.3.5. Окна документа, управление окнами
4.3.6. Экспорт содержимого окна 91
4.3.7. Печать 92
4.4. Работа с таблицами и графиками 92
4.4.1. Ввод и редактирование данных в таблице 92
4.4.2. Настройка таблиц 93
4.4.3. Настройка графиков 94
4.5. Обработка данных 95
4.5.1. Тренды 95
4.5.2. Функция корреляции 97
4.5.3. Спектр мощности 98
4.6. Описание примеров 99
Резюме 102
Приложение 1 103
Приложение 2 117
Заключение 130
- Выделение тренда в виде сплайна первого порядка
- Нахождение оценок неизвестных параметров функции корреляции
- Статистические характеристики полученных оценок
- Импортирование данных из текстового файла
Введение к работе
Во многих задачах экономики, науки и техники приходится иметь дело с временными рядами [31]. Наблюдаемые значения случайного процесса y(j) в моменты времени /j, t2,...,tn,... образуют временной ряд. Одной из основных задач анализа временных рядов является задача выделения тренда [54] -систематической составляющей, так как выделенный тренд позволяет: а) предсказывать будущее на основе знания прошлого; б) управлять процессом, порождающим ряд; в) описывать характерные особенности ряда [1].
В классической теории временных рядов измерения процесса производят через равные промежутки времени. В последние годы значительно усилился интерес к разработке методов анализа временных рядов, когда измерения производятся в случайные моменты времени. При этом необходимо отметить, что в каждый момент времени, будь-то случайный или нет, производится ровно одно измерение. Однако, в реальной жизни часто встречаются ситуации, когда в каждый момент времени производится не одно, а несколько (вообще говоря, случайное число) измерений. Особенно часто такие ситуации возникают в экономических системах, например, на фондовом рынке. Это приводит к необходимости разработки теории анализа временных рядов для ситуации, когда в каждый момент времени число измерений случайно. Этим определяется актуальность данной работы.
Работа проводилась в соответствии с планом госбюджетных научно - исследовательских работ факультета прикладной математики Томского государственного университета, а также в порядке личной инициативы.
ЦЕЛЬ РАБОТЫ
Целью данной работы являлось:
1. Разработка алгоритмов анализа временных рядов, когда число измерений в каждый момент времени случайно, а именно: выделение трендов временных рядов, исследование статистических характеристик оценок параметров тренда; оценка функции корреляции, исследование статистических характеристик оценок параметров функции корреляции; оценка спектра мощности, исследование статистических характеристик оценок параметров спектра мощности.
2. Разработка программного обеспечения на современном уровне, реализую щего эти алгоритмы на персональных ЭВМ в операционных системах Win dows 3.x, Windows - 95.
СОСТОЯНИЕ ПРОБЛЕМЫ
Поскольку отличительной особенностью данной работы является то, что в ней рассматриваются ситуации, когда в каждый момент времени производится случайное число измерений, поэтому еще раз укажем на те практические ситуации, в которых реализуется данный вариант измерений. Такие ситуации возникают в экономических системах, а именно, на фондовых рынках, когда имеется информация не о каждой сделке в отдельности, а лишь о числе сделок за каждую сессию, средней цены купли - продажи и среднего объема сделки. Поэтому возникает ситуация, когда число измерений в каждый момент времени случайно, изучаемая в данной работе.
Дадим теперь краткий обзор работ других авторов, тематика которых близка к данной работе.
Как уже подчеркивалось ранее, большинство исследований по анализу временных рядов посвящено случаю, когда измерения, составляющие времен- ной ряд, получены через равные промежутки времени в каждый момент времени производится ровно одно измерение. Работ в этом направлении столь много, что укажем лишь на монографии [1 - 4, 6, 14, 29]. При рассмотрении теории временных рядов при измерениях в случайные моменты времени, необходимо задать модель процесса, определяющего моменты измерений [54]. Здесь возможны следующие ситуации: наличие пропуска данных. Это одно из главных направлений в исследовании временных рядов, измерения которых получены в случайные моменты времени. Здесь можно сослаться на [42]. модель "дрожания" (jitting) моментов измерений tr Первые работы в этом направлении появились с введением цифровой обработки в радиотехнических системах и системах связи. Для этой обработки характерна дискретизация сигнала через равные промежутки времени и в силу погрешностей аппаратуры происходит, так называемое, "дрожание" этих моментов. Здесь можно отметить такие работы, как [20, 25, 26, 54, 57, 64, 66, 67]. модель, в которой моменты измерений образуют некоторый рекуррентный поток событий. Впервые, алгоритмы выделения трендов временных рядов, когда моменты измерений образуют рекуррентный поток событий, были предложены в статье [77]. Более подробно эта модель исследовалась в работах [8, 9, 19, 20, 25, 27, 51, 52, 54, 65]. модель, в которой моменты измерений образуют пуассоновский поток событий постоянной интенсивности X [19, 20, 25, 27, 54, 55]. модель, в которой моменты измерений ґ. - случайные величины с неизвестным законом распределения.
Для моделей 1-4 исследовались вопросы оценки параметров исходного процесса[18, 49 - 52, 54 - 58], интерполирования временного ряда [68, 71, 72], строились оценки конечномерных функций распределений [67], среднего, дис-
Персии, функции корреляции [8-11, 18, 23 - 26, 50, 51, 54], спектра мощности [18,23,25,27,40,69].
Данная работа является некоторым продолжением работы Ф. Ф. Идрисо-ва, поэтому можно обнаружить частичное сходство в подходах в решении поставленных задач. Ниже указывается в чем заключается совпадение и отличие результатов данной работы от других работ.
Выделение трендов временных рядов сплайнами первого порядка, когда моменты измерений известны точно, исследовалось Л. Ю. Сухотиной [53]. Работа автора отличается тем, что рассматривается ситуация, когда число измерений в каждый момент времени случайно.
Выделение трендов временных рядов сплайнами первого порядка исследовалось Ф. Ф. Идрисовым [18], однако в его работе поток моментов измерений {г1,.} является пуассоновским, а в работе автора число измерений в каждый момент времени распределено по закону Пуассона.
Оценка функции корреляции Я[т] сплайнами первого порядка дана в работах В. И. Высоцкого [10], Ф. Ф. Идрисова [25], Т. М. Куликовой [36]. Ни в одной из этих работ не рассматривается случай, когда число измерений в каждый момент времени случайно.
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ
Диссертация содержит четыре главы и два приложения. Первая глава посвящена оценке параметров трендов вида ^ = Ж) = 5>,Ф,(',) + $,> - Уп+Уі2+- + УІИ,где уі = и пі - случайные величины, распределенные по за гс,. кону Пуассона.
Найден явный вид несмещенных оценок Qs параметров 9^, получено выражение для их ковариационной матрицы. Построена оценка ковариационной матрицы оценок.
В 1.1 рассматривается в общем виде задача выделения тренда временного ряда, когда явный вид функций фД?,) не задан.
В 1.2 рассмотрен случай, когда функции (рД/,-) - заданные функции.
Используя метод наименьших квадратов строятся несмещенные оценки параметров тренда, находится их ковариационная матрица и строится оценка этой ковариационной матрицы.
В 1.3 приводятся результаты имитационного моделирования предложенных оценок.
Вторая глава посвящена оценке функции корреляции R[x] стационарного случайного процесса.
В 2.1 рассмотрен общий случай, когда относительно функций фДт) известно лишь, что это функции зависящие от т.
В 2.2 находится оценка функции корреляции R[x] сплайнами первого порядка. Построены несмещенные оценки параметров сплайна, найдена ковариационная матрица оценок, строится оценка ковариационной матрицы оценок.
В 2.3 приведены результаты имитационного моделирования.
В третьей главе строится оценка спектра мощности стационарного случайного процесса сплайнами первого порядка.
В 3.3 построены оценки параметров сплайна
В 3.5 приведены результаты имитационного моделирования предложенных оценок.
В четвертой главе приведено описание программного обеспечения, реализующего алгоритмы, разработанные в диссертации.
ОСНОВНЫЕ НАУЧНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ, полученные в данной работе и защищаемые автором, состоят в следующем:
1. Оценки параметров тренда для общего случая, когда ф,Д0 - это некоторые функции времени, несмещенность этих оценок, оценка ковариационной матрицы оценок.
Оценки параметров сплайна первого порядка, несмещенность этих оценок. Оценка ковариационной матрицы оценок коэффициентов тренда.
Оценка функции корреляции в общем случае, несмещенность оценки функции корреляции. Оценка ковариационной матрицы оценок.
Вид оценок параметров сплайна при сплайновой оценке функции корреляции, несмещенность полученных оценок, оценка ковариационной матрицы оценок.
Вид оценок параметров сплайна первого порядка, оценивающего спектр мощности.
МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЙ
В качестве модели временного ряда предлагается использовать к s=0 где t>j - независимые, одинаково распределенные случайные величины с математическим ожиданием М[^.] = 0 и дисперсией )[%,] =
9^ неизвестных параметров Qs, s = 0,k и исследованию этих оценок. Поставленная задача решается методом наименьших квадратов.
В качестве оценки R(x) функции корреляции R[x] предлагается исполь- зовать статистику вида R[x] = ^Э/рДт), 0 < х < Т, в которой оценки 6^ неиз-вестных параметров 6^ ищутся методом наименьших квадратов.
В работе исследуется сплайновая оценка спектра мощности, когда на отрезке [(к - 1)Q, Ш] функция S() представлена в виде: s(co)=ekiM^ + ek^^ используя теорему Винера-Хинчина находятся оценки 9к_, и Gk, к = 1, п + 1, исходя из оценки функции корреляции R[x].
Большая часть исследований носила теоретический характер и проводилась с использованием аппарата теории вероятностей, теории случайных процессов, математической статистики, а также такого раздела математики как преобразование Фурье. Правильность результатов исследования и предлагаемых алгоритмов подтверждена результатами имитационного моделирования на ЭВМ.
НАУЧНАЯ НОВИЗНА РЕЗУЛЬТАТОВ, полученных в диссертации, состоит в следующем:
Предложен подход в анализе временных рядов, когда измерения проводятся через равные промежутки времени, но число измерений в каждый момент времени случайно.
Получены основные вероятностные характеристики оценок тренда временного ряда, корреляционной функции и спектра мощности.
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ РАБОТЫ заключается в том, что полученные алгоритмы обработки могут быть применены для анализа реальных данных, возникающих в экономических системах, что позволит анализировать работу таких систем и прогнозировать их поведение в будущем.
РЕАЛИЗАЦИЯ ПОЛУЧЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ
Большинство предложенных алгоритмов для анализа временных рядов при случайном числе измерений в каждый момент времени реализовано в виде комплекса программ, работающих в операционных системах Windows 3.x и Windows 95 (русифицированная версия). Комплекс программ [18] дополнен программами для случая, когда число измерений в каждый момент времени случайно, написанными в системе Delphi в соответствии со стандартами, принятыми в указанных выше операционных системах.
ВНЕДРЕНИЕ ПОЛУЧЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ
Алгоритмы и реализующие их программы использовались при выполнении ряда работ по анализу данных фондового рынка (см. справки о внедрении).
ПУБЛИКАЦИИ ПО РАБОТЕ
Основное содержание работы отражено в следующих публикациях: Статьи
Идрисов Ф. Ф., Константинова И. Г. Выделение трендов временных рядов при случайном числе измерений // Изв. высш. учебн. завед., сер. Физика, 1999. Т. 42. №4. С. 14-18.
Идрисов Ф. Ф., Устинова И. Г. Оценка функции корреляции стационарного случайного процесса при случайном числе измерений: Сб. науч. -метод. тр./Вестник ТГПУ/Отв. ред. Ф. Ф. Идрисов. - Томск, 2000 - в печати.
Константинова И. Г. Выделение трендов временных рядов при случайном числе измерений сплайнами первого порядка // Математическое моделирование. Кибернетика, Информатика. - Томск: Изд - во Том. ун - та, 1999, С. 81-88.
4. Константинова И. Г., Терпугов А. Ф. Оценка спектра мощности стационарного случайного процесса сплайнами первого порядка при случайном числе измерений // Вестник ТГУ, 1999. Т. 269.
Тезисы доклада на конференции
1. Константинова И. Г., Терпугов А. Ф. Выделение трендов временных рядов сплайнами первого порядка // Мат. моделирование и теория вероятностей - Томск: Пеленг, 1998, С. 201-206.
АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ
Отдельные результаты работы докладывались и обсуждались на 1. Юбилейной межрегиональной научной конференции " Исследования по анализу и алгебре", Томск, 1998.
Выделение тренда в виде сплайна первого порядка
Во многих задачах экономики, науки и техники приходится иметь дело с временными рядами [31]. Наблюдаемые значения случайного процесса y(j) в моменты времени /j, t2,...,tn,... образуют временной ряд. Одной из основных задач анализа временных рядов является задача выделения тренда [54] -систематической составляющей, так как выделенный тренд позволяет: а) предсказывать будущее на основе знания прошлого; б) управлять процессом, порождающим ряд; в) описывать характерные особенности ряда [1]. В классической теории временных рядов измерения процесса производят через равные промежутки времени. В последние годы значительно усилился интерес к разработке методов анализа временных рядов, когда измерения производятся в случайные моменты времени. При этом необходимо отметить, что в каждый момент времени, будь-то случайный или нет, производится ровно одно измерение. Однако, в реальной жизни часто встречаются ситуации, когда в каждый момент времени производится не одно, а несколько (вообще говоря, случайное число) измерений. Особенно часто такие ситуации возникают в экономических системах, например, на фондовом рынке. Это приводит к необходимости разработки теории анализа временных рядов для ситуации, когда в каждый момент времени число измерений случайно. Этим определяется актуальность данной работы. Работа проводилась в соответствии с планом госбюджетных научно - исследовательских работ факультета прикладной математики Томского государственного университета, а также в порядке личной инициативы. Целью данной работы являлось: 1. Разработка алгоритмов анализа временных рядов, когда число измерений в каждый момент времени случайно, а именно: - выделение трендов временных рядов, исследование статистических характеристик оценок параметров тренда; - оценка функции корреляции, исследование статистических характеристик оценок параметров функции корреляции; - оценка спектра мощности, исследование статистических характеристик оценок параметров спектра мощности. 2. Разработка программного обеспечения на современном уровне, реализую щего эти алгоритмы на персональных ЭВМ в операционных системах Win dows 3.x, Windows - 95. Поскольку отличительной особенностью данной работы является то, что в ней рассматриваются ситуации, когда в каждый момент времени производится случайное число измерений, поэтому еще раз укажем на те практические ситуации, в которых реализуется данный вариант измерений. Такие ситуации возникают в экономических системах, а именно, на фондовых рынках, когда имеется информация не о каждой сделке в отдельности, а лишь о числе сделок за каждую сессию, средней цены купли - продажи и среднего объема сделки. Поэтому возникает ситуация, когда число измерений в каждый момент времени случайно, изучаемая в данной работе.
Дадим теперь краткий обзор работ других авторов, тематика которых близка к данной работе.
Как уже подчеркивалось ранее, большинство исследований по анализу временных рядов посвящено случаю, когда измерения, составляющие временной ряд, получены через равные промежутки времени в каждый момент времени производится ровно одно измерение. Работ в этом направлении столь много, что укажем лишь на монографии [1 - 4, 6, 14, 29]. При рассмотрении теории временных рядов при измерениях в случайные моменты времени, необходимо задать модель процесса, определяющего моменты измерений [54]. Здесь возможны следующие ситуации: 1) наличие пропуска данных. Это одно из главных направлений в исследовании временных рядов, измерения которых получены в случайные моменты времени. Здесь можно сослаться на [42]. 2) модель "дрожания" (jitting) моментов измерений tr Первые работы в этом направлении появились с введением цифровой обработки в радиотехнических системах и системах связи. Для этой обработки характерна дискретизация сигнала через равные промежутки времени и в силу погрешностей аппаратуры происходит, так называемое, "дрожание" этих моментов. Здесь можно отметить такие работы, как [20, 25, 26, 54, 57, 64, 66, 67]. 3) модель, в которой моменты измерений образуют некоторый рекуррентный поток событий. Впервые, алгоритмы выделения трендов временных рядов, когда моменты измерений образуют рекуррентный поток событий, были предложены в статье [77]. Более подробно эта модель исследовалась в работах [8, 9, 19, 20, 25, 27, 51, 52, 54, 65]. 4) модель, в которой моменты измерений образуют пуассоновский поток событий постоянной интенсивности X [19, 20, 25, 27, 54, 55]. 5) модель, в которой моменты измерений ґ. - случайные величины с неизвестным законом распределения.
Нахождение оценок неизвестных параметров функции корреляции
Данная работа является некоторым продолжением работы Ф. Ф. Идрисо-ва, поэтому можно обнаружить частичное сходство в подходах в решении поставленных задач. Ниже указывается в чем заключается совпадение и отличие результатов данной работы от других работ. 1. Выделение трендов временных рядов сплайнами первого порядка, когда моменты измерений известны точно, исследовалось Л. Ю. Сухотиной [53]. Работа автора отличается тем, что рассматривается ситуация, когда число измерений в каждый момент времени случайно. 2. Выделение трендов временных рядов сплайнами первого порядка исследовалось Ф. Ф. Идрисовым [18], однако в его работе поток моментов измерений {г1,.} является пуассоновским, а в работе автора число измерений в каждый момент времени распределено по закону Пуассона. 3. Оценка функции корреляции Я[т] сплайнами первого порядка дана в работах В. И. Высоцкого [10], Ф. Ф. Идрисова [25], Т. М. Куликовой [36]. Ни в одной из этих работ не рассматривается случай, когда число измерений в каждый момент времени случайно. Диссертация содержит четыре главы и два приложения. Первая глава посвящена оценке параметров трендов вида Найден явный вид несмещенных оценок Qs параметров 9 , получено выражение для их ковариационной матрицы. Построена оценка ковариационной матрицы оценок. В 1.1 рассматривается в общем виде задача выделения тренда временного ряда, когда явный вид функций фД?,) не задан. В 1.2 рассмотрен случай, когда функции (рД/,-) - заданные функции. Используя метод наименьших квадратов строятся несмещенные оценки параметров тренда, находится их ковариационная матрица и строится оценка этой ковариационной матрицы. В 1.3 приводятся результаты имитационного моделирования предложенных оценок. Вторая глава посвящена оценке функции корреляции R[x] стационарного случайного процесса. В 2.1 рассмотрен общий случай, когда относительно функций фДт) известно лишь, что это функции зависящие от т. В 2.2 находится оценка функции корреляции R[x] сплайнами первого порядка. Построены несмещенные оценки параметров сплайна, найдена ковариационная матрица оценок, строится оценка ковариационной матрицы оценок. В 2.3 приведены результаты имитационного моделирования. В третьей главе строится оценка спектра мощности стационарного случайного процесса сплайнами первого порядка. В 3.3 построены оценки параметров сплайна В 3.5 приведены результаты имитационного моделирования предложенных оценок. В четвертой главе приведено описание программного обеспечения, реализующего алгоритмы, разработанные в диссертации. полученные в данной работе и защищаемые автором, состоят в следующем: 1. Оценки параметров тренда для общего случая, когда ф,Д0 - это некоторые функции времени, несмещенность этих оценок, оценка ковариационной матрицы оценок. 2. Оценки параметров сплайна первого порядка, несмещенность этих оценок. Оценка ковариационной матрицы оценок коэффициентов тренда. 3. Оценка функции корреляции в общем случае, несмещенность оценки функции корреляции. Оценка ковариационной матрицы оценок. 4. Вид оценок параметров сплайна при сплайновой оценке функции корреляции, несмещенность полученных оценок, оценка ковариационной матрицы оценок. 5. Вид оценок параметров сплайна первого порядка, оценивающего спектр мощности. В качестве модели временного ряда предлагается использовать к s=0 где t j - независимые, одинаково распределенные случайные величины с математическим ожиданием М[ .] = 0 и дисперсией )[%,] = J2, фй=фД/,-) -некоторые известные функции времени. Будем считать, что сами моменты времени tt нам известны. Задача выделения тренда сводится к нахождению оценок 9 неизвестных параметров Qs, s = 0,k и исследованию этих оценок. Поставленная задача решается методом наименьших квадратов. В качестве оценки R(x) функции корреляции R[x] предлагается исполь к зовать статистику вида R[x] = Э/рДт), 0 х Т, в которой оценки 6 неиз-вестных параметров 6 ищутся методом наименьших квадратов.
Статистические характеристики полученных оценок
Подводя итог проделанной работе, автор хотел бы отметить следующее. Автору представляется, что данная работа достаточно хорошо осветила вопрос о статистическом анализе временных рядов, когда измерения проводятся через равные промежутки времени, но число измерений в каждый момент времени случайно. В работе исследованы следующие аспекты анализа временных рядов: - выделение тренда ряда; - оценка функции корреляции; - оценка спектра мощности. Задачи выделения тренда временного ряда и оценка функции корреляции решаются в двух вариантах: - в общем случае, когда функции фs (tt) явно не заданы; - фДО описывают сплайн первого порядка. Спектр мощности оценивается сплайном первого порядка. Для всех трех поставленных в работе задач (выделения тренда временного ряда, оценки функции корреляции, оценки спектра мощности) найдены: - явный вид несмещенных оценок параметров тренда временного ряда, функции корреляции, спектра мощности; - получено выражение для ковариационной матрицы оценок; - построена ковариационная матрица оценок. Автор реализовал разработанные им алгоритмы в виде дополнения к существующему пакету программ [18], в полном соответствии с требованиями, предъявляемыми к современному программному обеспечению. Автор надеется, что ему удалось внести свой скромный вклад в теорию анализа временных рядов при случайном числе измерений. В заключение автор хотел бы выразить огромную благодарность доктору физико - математических наук, профессору А. Ф. Терпугову за неоценимую помощь в работе над диссертацией, доктору технических наук Ф. Ф. Идрисову. 1) наличие пропуска данных. Это одно из главных направлений в исследовании временных рядов, измерения которых получены в случайные моменты времени. Здесь можно сослаться на [42]. 2) модель "дрожания" (jitting) моментов измерений tr Первые работы в этом направлении появились с введением цифровой обработки в радиотехнических системах и системах связи. Для этой обработки характерна дискретизация сигнала через равные промежутки времени и в силу погрешностей аппаратуры происходит, так называемое, "дрожание" этих моментов. Здесь можно отметить такие работы, как [20, 25, 26, 54, 57, 64, 66, 67]. 3) модель, в которой моменты измерений образуют некоторый рекуррентный поток событий. Впервые, алгоритмы выделения трендов временных рядов, когда моменты измерений образуют рекуррентный поток событий, были предложены в статье [77]. Более подробно эта модель исследовалась в работах [8, 9, 19, 20, 25, 27, 51, 52, 54, 65]. 4) модель, в которой моменты измерений образуют пуассоновский поток событий постоянной интенсивности X [19, 20, 25, 27, 54, 55]. 5) модель, в которой моменты измерений ґ. - случайные величины с неизвестным законом распределения. Для моделей 1-4 исследовались вопросы оценки параметров исходного процесса[18, 49 - 52, 54 - 58], интерполирования временного ряда [68, 71, 72], строились оценки конечномерных функций распределений [67], среднего, дис Персии, функции корреляции [8-11, 18, 23 - 26, 50, 51, 54], спектра мощности [18,23,25,27,40,69]. Данная работа является некоторым продолжением работы Ф. Ф. Идрисо-ва, поэтому можно обнаружить частичное сходство в подходах в решении поставленных задач. Ниже указывается в чем заключается совпадение и отличие результатов данной работы от других работ. 1. Выделение трендов временных рядов сплайнами первого порядка, когда моменты измерений известны точно, исследовалось Л. Ю. Сухотиной [53]. Работа автора отличается тем, что рассматривается ситуация, когда число измерений в каждый момент времени случайно. Выделение трендов временных рядов сплайнами первого порядка исследовалось Ф. Ф. Идрисовым [18], однако в его работе поток моментов измерений {г1,.} является пуассоновским, а в работе автора число измерений в каждый момент времени распределено по закону Пуассона. 3. Оценка функции корреляции Я[т] сплайнами первого порядка дана в работах В. И. Высоцкого [10], Ф. Ф. Идрисова [25], Т. М. Куликовой [36]. Ни в одной из этих работ не рассматривается случай, когда число измерений в каждый момент времени случайно.
Импортирование данных из текстового файла
Поэтому возникает ситуация, когда число измерений в каждый момент времени случайно, изучаемая в данной работе. Дадим теперь краткий обзор работ других авторов, тематика которых близка к данной работе. Как уже подчеркивалось ранее, большинство исследований по анализу временных рядов посвящено случаю, когда измерения, составляющие временной ряд, получены через равные промежутки времени в каждый момент времени производится ровно одно измерение. Работ в этом направлении столь много, что укажем лишь на монографии [1 - 4, 6, 14, 29]. При рассмотрении теории временных рядов при измерениях в случайные моменты времени, необходимо задать модель процесса, определяющего моменты измерений [54]. Здесь возможны следующие ситуации: 1) наличие пропуска данных. Это одно из главных направлений в исследовании временных рядов, измерения которых получены в случайные моменты времени. Здесь можно сослаться на [42]. 2) модель "дрожания" (jitting) моментов измерений tr Первые работы в этом направлении появились с введением цифровой обработки в радиотехнических системах и системах связи. Для этой обработки характерна дискретизация сигнала через равные промежутки времени и в силу погрешностей аппаратуры происходит, так называемое, "дрожание" этих моментов. Здесь можно отметить такие работы, как [20, 25, 26, 54, 57, 64, 66, 67]. 3) модель, в которой моменты измерений образуют некоторый рекуррентный поток событий. Впервые, алгоритмы выделения трендов временных рядов, когда моменты измерений образуют рекуррентный поток событий, были предложены в статье [77]. Более подробно эта модель исследовалась в работах [8, 9, 19, 20, 25, 27, 51, 52, 54, 65]. 4) модель, в которой моменты измерений образуют пуассоновский поток событий постоянной интенсивности X [19, 20, 25, 27, 54, 55]. 5) модель, в которой моменты измерений ґ. - случайные величины с неизвестным законом распределения. Для моделей 1-4 исследовались вопросы оценки параметров исходного процесса[18, 49 - 52, 54 - 58], интерполирования временного ряда [68, 71, 72], строились оценки конечномерных функций распределений [67], среднего, дис- Персии, функции корреляции [8-11, 18, 23 - 26, 50, 51, 54], спектра мощности [18,23,25,27,40,69]. Данная работа является некоторым продолжением работы Ф. Ф. Идрисо-ва, поэтому можно обнаружить частичное сходство в подходах в решении поставленных задач. Ниже указывается в чем заключается совпадение и отличие результатов данной работы от других работ. 1. Выделение трендов временных рядов сплайнами первого порядка, когда моменты измерений известны точно, исследовалось Л. Ю. Сухотиной [53]. Работа автора отличается тем, что рассматривается ситуация, когда число измерений в каждый момент времени случайно.
2. Выделение трендов временных рядов сплайнами первого порядка исследовалось Ф. Ф. Идрисовым [18], однако в его работе поток моментов измерений {г1,.} является пуассоновским, а в работе автора число измерений в каждый момент времени распределено по закону Пуассона. 3. Оценка функции корреляции Я[т] сплайнами первого порядка дана в работах В. И. Высоцкого [10], Ф. Ф. Идрисова [25], Т. М. Куликовой [36]. Ни в одной из этих работ не рассматривается случай, когда число измерений в каждый момент времени случайно. Диссертация содержит четыре главы и два приложения. Первая глава посвящена оценке параметров трендов вида Найден явный вид несмещенных оценок Qs параметров 9 , получено выражение для их ковариационной матрицы. Построена оценка ковариационной матрицы оценок.
