Введение к работе
Актуальность темы.
Ряд исследований, проведенных в последние годы в нелинейной физике, в частности, в нелинейной оптике, магнита- и гидродинамика, фізика плазмы, показал, что во многих задачах эволюционные уравнения, которым подчиняется динамика системы, допускам выделение стационарных самолокализованых решений, описывающих исследуемые особые объекты. К таким объектам относятся, например, саюлокализовашше состояния поля в задачах электродинамики нелинейной нэдиссипативной среды, стационарные доменные магнитные стенки в задачах о динамике магнитного момента, приводящей к уравнениям Ландау-Лившица, солитоиы высшего уравнения ВДВ. Ряд физических задач приводит к исследованию солитонов и кинков в системе связанных нелинейных уравнениях Щрвдингера. Среда них можно отметить исследования стационарных солитонов огибающих в задаче о распространении волн в нелинейном двулучепреломлявдем (или двухмодовом) волокне и солитонных решений задачи о динамике магнитного момента в многослойных тонких.магнитных пленках.
Эффективным подходом к анализу таких задач является применение методов качественной теории динамических . систем.
Выделение в перечисленных задачах решений типа стационарных волн .огибающих порождает динамическув систему в конечномерном фазовом пространстве (гамильтонову, либо обладающую первым интегралом движения), в которой образами исходных самолокализованных объектов являются гомо- и гетероклинические
траектории особых точек <либо траектории, двоякоасиштогическиэ к периодическим решениям). При этом часто возникает необходимость анализа динамических систем с двумя степенями свободы (как правило, неинтегрируемых).
Таким образом, поиск и анализ самолокализоваяных решений в эволюционных уравнениях, описывающих самые различные по своей природе физические задачи, сводится к общей задаче об отыскании особых траекторий динамических систем с двумя степенями свободы, а также об их классификации и исследовании их возможных бифуркаций при изменении структурных параметров динамической системы.
Данная задача достаточно сложна и в значительной степени основана на численном анализе. Существующие методы поиска и анализа бифуркаций особых траекторий следует характеризовать как мало удовлетворительные, особенно в окрестности точек бифуркации. В связи с этим разработка качественных и численных методов, позволяющих адекватно анализировать особые траектории и их бифуркации, а также проводить их классификацию, представляет собой актуальную задачу.
Цели и задачи исследования. Целью диссертационной работы являлась разработка аффективного подхода к поиску особых траекторий, анализу их бифуркаций и его апробация в различных актуальных физических задачах. В качестве таких задач в диссертационной работе выступают проблема анализа и классификации сложных векторных солитонов в двулучепрэломляющих (двухмодовых) оптических волокнах, описываемых системой связанных нелинейных уравнений Шредингера, и задача исследования сложных солитонов с обострениями в задачах, приводящих к уравнению Уизема-Бенджамина
(нелокальному обобщению уравнения КдВ) с ядром специального вида. На защиту выносятся следующие основные положения, определяющие научную новизну полученных в диссертации результатов.
1. Развит метод поиска и анализа особых траекторий
динамических систем, основанный на анализе поведения кривых
касаний траекторий с граничной поверхностью. Метод граничной
поверхности обладает необходимой математической строгость» для
того, чтобы говорить о доказательной силе получаемых с его помощью
результатов.
2. С помощью этого метода проведены подробные исследования
гамильтоновой динамической системы с двумя степенями свободы,
обладающей седловой особой точкой, которая возникает при выделении
в системе двух связанных нелинейных уравнений Шредингера
стационарных волн огибающих. В рамках этой задачи с помощью
качественных и численных методов найдены и исследованы:
- семейство сложных гомоклинических петель седла, ветвящихся
от простых петель, расположенных в инвариантных плоскостях.
- семейства сложных гомоклинических петель, связанные с
существованием в фазовом пространстве гомоклинического контура
седла.
семейства слокных гомоклинических петель, ветвящихся от пар более простых петель, обладающих ортогональными (на конфигурационой плоскости) асимптотиками входа и выхода в седловую особую точку.
серии бифуркаций седловых и центровых периодических орбит. Исследована связь этих бифуркаций о бифуркациями некоторых семейств слокных гомоклинических петель.
-
Выявлена связь между поведением кривых касаний на граничной поверхности, связанным с ветвлением петель, расположенных в инвариантных плоскостях, и наличием у динамической системы точек полной интегрируемости. Предложен подход к численному поиску точек интегрируемости, основанный на использовании данных бифуркационного анализа. Этот подход применен к анализу точек полной интегрируемости динамической гамильтоновой системы с двухпараметрическим потенциалом Хенона-Хёйлеса.,
-
Исследовано уравнение Уизема-Бвнджамина как . пример нелокальной модели, допускапцей редукцию к гамильтоновой динамической системе с двумя степенями свободы и особой точкой типа седло-фокус, в которой гомоклинические петли седло-фокуса является образами солитонных решений исходного уравнения с осциллирующими асимптотиками. Найдены семейства сложных гомоклинических петель седло-фокуса, связанные с существованием гомоклинических контуров. Обнаружено и аналитически проанализировано явление обострения профиля решения уравнения Уизема-Бенджамина с модельным осциллирующим ядром, связанное с потерей гладкости соответствупцей траектории динамической системы.
Научная и практическая ценность. Предложенный и развитый в даосертации метод поиска и анализа бифуркаций особых траекторий динамических систем показал свою эффективность при решении ряда задач нелинейной физики. Он позволяет избежать ряда трудностей, обычно возникающих при анализе таких бифуркаций, и обладает необходимой строгостью.
Применимость предложенного подхода широка и позволяет эффективно решать задачи нахождения и исследования поведения как
траектории, двоякоасимптотических к периодическим, так и гомо- и гетероклинических петель особых точек типа седло, седло-фокус как в случае компактной, так и некомпактной граничной поверхности, как в случае гамильтоновой динамической системы, так и в случае системы с глобальным первым интегралом.
В рамках диссертационной работы получен и систематизирован обширный массив данных об самолокализованных объектах, возникающих в различных физических задачах, который может быть использован при разработке систем передачи сверхплотной информации, создании оптико-волоконных систем различного назначения, оптических компьютеров и других подобных устройств.
Апробация результатов работы.- Основные результаты, выносимые на защиту, опубликованы в печати (в 9 рвботвх). Кроме этого, результаты, приведение в диссертационной работа, излагались на 4-ом Международном совещании по нелинейным и турбулентным процессам в физике ("Nonlinear fforld", Kiev, 1989), на 2-ой Всесоюзной конференции "Нелинейные колебания механических систем" (Горький, 1990), на 3-м рабочем семинаре "Численные методы теории бифуркаций" (Пущино, 1989), на научных семинарах МГУ, ИКИ РАН, НИИ прикладной математики и кибернетики при ННГУ (Нижний Новгород), НИИ физических проблем (Москва).
Структура диссертации, диссертация состоит из введения, трех глав основного текста, заключения, списка литературы из 148 наименований, а также 87 рисунков, всего 162 страницы.
-ІЗ -
