Содержание к диссертации
Введение
1.1. Экспериментальные методы исследования турбулентной конвекции 12
1.2. Экспериментальные исследования турбулентной конвекции в замкнутых объемах 23
1.3. Теоретические модели турбулентной конвекции 35
1.4. Перспективные направления исследования турбулентной конвекции 38
1.5. Структура диссертации 40
2. Интегральные оптические методы исследования турбулентной конвекции 46
2.1. Теневой прибор как система фильтрации пространственных частот 46
2.2. Восстановление трехмерных полей показателя' преломления по ракурсным теневым картинам 63
2.3. Пространственное и пространственно-временное осреднение теневых картин 79
2.4. Фурье-анализ турбулентных полей 88
2.5. Восстановление полей тензора диэлектрической проницаемости 101
2.6. Реконструкция полей показателя преломления в пограничных слоях при сильной рефракции лучей
2.7. Реконструкция осесимметричных полей при сильной рефракции лучей 133
2.8. Практические аспекты применения оптических методов к задачам естественной конвекции 141
3. Экспериментальное исследование турбулентной конвекции в замкнутых полостях 149
3.1. Надкритические конвективные движения в кубической полости, подогреваемой снизу 149
3.2. Конвективные колебания в надкритической области 158
3.3. Пространственно-временные спектры стохастических конвективных колебаний 172
3.4. Квадратичные серии пиков в спектрах крупномасштабных природных процессов 190
3.5. Конвективные колебания в плоской М1Д-ячейке 199
3.6. Турбулентная конвекция в кубической полости, подогреваемой снизу 211
3.7. Временные спектры низших пространственных мод развитой турбулентной конвекции
3.8. Неустойчивость конвективного пограничного слоя в замкнутой полости 245
3.9. Турбулентная конвекция в кубической полости при одновременном подогреве сбоку и снизу 252 3.10. Анализ экспериментальных результатов по турбулентной конвекции в замкнутых полостях 263
4. Иерархическая модель турбулентной конвекции 272
4.1. Иерархические базисы 272
4.2. Динамическая система для уравнений термогравитационной конвекции 281
4.3. Динамическая модель изотермической турбулентности 289
4.4. Статистическое описание 297
4.5. Динамическая модель турбулентной конвекции . 302
4.6. Иерархическая модель М1Д-турбулентности . 310
4.7. Заключение 314
Основные результаты и выводы 316
Литература 319
- Экспериментальные исследования турбулентной конвекции в замкнутых объемах
- Восстановление трехмерных полей показателя' преломления по ракурсным теневым картинам
- Конвективные колебания в надкритической области
- Динамическая система для уравнений термогравитационной конвекции
Введение к работе
Конвекцией называют пространственный перенос каких-либо свойств сплошной среды при ее движении. Традиционным разделом теплофизики является конвекция тепла. Если единственной причиной движения является пространственная неоднородность температуры среды, находящейся в поле сил тяжести, то такое движение называют термогравитапионной конвекцией. В теоретических исследованиях термогравитационной конвекции различают внутренние и внешние задачи 11 J. В первом случае граничные условия для температуры и скорости ставятся на поверхности области, занятой жидкостью, во втором - на бесконечности. Хотя в эксперименте жидкость или газ всегда занимают ограниченный объем, такое разделение задач сохраняет смысл, так как в некоторых случаях состояние среды вдали от границ теплообмена можно считать заданным. В большинстве же случаев локальные условия конвективного теплообмена и общая структура потока, определяемая граничными условиями, взаимосвязаны. Именно такие ситуации подразумевает название работы.
В работе представлены результаты экспериментального и теоретического исследования турбулентной конвекции в замкнутых полостях. Экспериментальные исследования термогравитационной конвекции в кубической полости выполнены в диапазоне чисел Релея от
з II
10 до 10 и различных условиях подогрева. Исследованы устойчивость равновесия, переходы к стационарному, периодическому, стохастическому и развитому турбулентному режимам конвекции. Прослежена эволюция осредненного температурного поля, крупномаспь
табных мод и пространственных спектров температурных пульсаций с ростом числа Релея. Измерены пространственно-временные спектры стохастических колебаний.
В экспериментах широко применялись новые модификации интегральных оптических методов. Представлены результаты экспериментальной проверки предложенных методов на тестовых задачах.
Результаты экспериментов используются для построения иерархической модели турбулентности, в основу которой положено смешанное координатно-спектральное представление гидродинамических полей.
Актуальность проблемы. Процессы конвективного теплообмена, представляющие практический интерес, происходят, как правило, в условиях турбулентного движения среды. Существующие в настоящее время модели и методы расчета турбулентного теплообмена применимы обычно к весьма узкому классу течений, обладающему основными особенностями уже изученных классов течений, на базе которых они и созданы. Построение моделей, которые бы давали надежные результаты в неизученных ранее условиях, является первоочередной задачей, решение которой может существенно повлиять на возможности резкого повышения мощности промышленных аппаратов, использующих явление турбулентного теплообмена.
Эффективным методом исследования конвективного теплообмена является физическое моделирование. Лабораторная модель выполняет роль аналоговой вычислительной машины, которая по своим возможностям значительно превосходит современные ЭЦВМ. Если удается корректно смоделировать изучаемое явление на установке лабораторного масштаба, то главной трудностью становится вывод информации. В этом направлении большими потенциальными возможностями обладают оптические методы измерения гидродинамических полей.
Об актуальности разработки новых интегральных оптических методов говорится в решениях подсекции "Методы диагностики низкотемпературной плазмы и газов" Научного совета по комплексной проблеме "Теплофизика" при АН СССР, которая разработала рекомендации по тематике научных исследований и аппаратурных разработок в области теневых и интерференционных методов. Эти рекомендации по трем пунктам:
6. Использование теневых методов для исследования турбулентных течений,
22. Автоматизация эксперимента и автоматизация расшифровки снимков с поэтапным переходом от создания и внедрения простой аппаратуры к более сложным автоматическим устройствам,
24. Разработка общих методов расчета пространственных неод-нородностей нашли отражение в методической части данной работы.
Эксперименты по конвекции в моделях лабораторного масштаба оказались тесно связанными с физикой атмосферы и физикой Солнца. Громадные различия в масштабах этих явлений и невозможность их корректного моделирования по важнейшим безразмерным параметрам вызывают вполне оправданную осторожность при сопоставлении результатов наблюдений и количественного анализа крупномасштабных природных процессов с результатами, полученными на установках лабораторного масштаба. В связи с этим, приведенные в работе данные по закономерностям в циклах солнечной активности следует рассматривать только как пример возможных приложений исследуемых явлений, а не как доказательство их тождественности.
Целью работы является получение комплекса экспериментальных данных о турбулентных режимах естественной конвекции в замкнутых полостях, который позволил бы выбрать наиболее перспективные пути создания теоретических моделей турбулентной конвекции.
Направление исследований сложилось под влиянием ряда задач, которые по запросам промышленности и отраслевых институтов исследовались с участием автора в лаборатории физической гидродинамики ИМСС УНЦ АН СССР и на кафедре общей физики Пермского университета. К числу таких задач относятся исследования конвективного теплообмена в рудотермических печах и реакторах магние-термического восстановления титана 2 J , исследование проблем тепло- и массообмена, возникающих при хранении нефтепродуктов
М-
Прогрессивным методом исследования проблем гидродинамики является численное моделирование на ЭЦВМ. В настоящее время имеются хорошо разработанные численные методы решения уравнений гидродинамики двухмерных течений. Создаются методы решения трехмерных задач. Для проверки и отработки новых методов необходимы экспериментальные данные, относящиеся к специальным образом выбранным тестовым задачам. Получение комплекса данных для тестовых задач являлось одной из основных целей данного исследования.
Научная новизна работы. Разработаны новые экспериментальные методы исследования турбулентной конвекции:
Метод восстановления трехмерных полей температуры по ракурсным теневым картинам.
Метод восстановления трехмерных полей тензора диэлектрической проницаемости по ракурсным интерферограммам.
Теневой метод измерения пространственных и пространственно-временных спектров пульсаций температуры.
Метод восстановления трехмерных осредненных полей температуры турбулентных течений по теневым картинам.
Метод восстановления мгновенных и осредненных полей температуры в пограничных слоях и осесимметричных потоках при силь-
ной рефракции лучей.
6. Метод выделения крупномасштабных структур с помощью сетки локальных датчиков.
Получены новые экспериментальные результаты по турбулентной конвекции в замкнутых полостях:
1. В кубической полости в диапазоне чисел Релея от ІСг до
10 и различных условиях подогрева определены области существования стационарных движений, регулярных конвективных колебаний, стохастических колебаний и режимов развитой турбулентной конвекции.
Прослежена эволюция осредленного температурного поля при увеличении числа Релея и получены эмпирические формулы для компонент осредненного градиента температуры в изоградиентом ядре при больших числах Релея.
Впервые измерены пространственно-временные спектры стохастических конвективных колебаний. Обнаружены ранее неизвестные закономерности чередования пиков во временных спектрах низших пространственных мод.
Измерены пространственные спектры развитой турбулентной конвекции. Обнаружена существенная анизотропия спектров, зависящая от структуры крупномасштабных движений.
Впервые экспериментально исследован механизм генерации турбулентности в жидких металлах за счет конвекции магнитного поля.
На основе смешанного спектрально-координатного представления гидродинамических полей построена иерархическая модель турбулентной конвекции, не содержащая эмпирических констант. Для случая однородной и изотропной турбулентности уравнения иерархической модели в отличие от ранее известных феноменологических уравнений каскадных процессов передачи энергии по спектру содер-
жат дополнительные члены, описывающие нелокальные взаимодействия в пространстве волновых векторов. Другая отличительная особенность иерархической модели состоит в том, что она допускает естественное обобщение на случай неизотропной и неоднородной турбулентности.
Построена иерархическая модель М1Д-турбулентности. Из решений уравнения этой модели получены энергетические спектры для режима насыщения турбулентного М1Д-динамо.
Практическая ценность.
Описанные в работе новые оптические методы исследования турбулентности составляют основное содержание спецкурса "Оптические методы гидродинамики", читаемого автором для студентов физического факультета Пермского университета, специализирующихся по физической гидродинамике. По материалам спецкурса опубликовано два учебных пособия 255,256J .
Результаты экспериментального исследования надкритических конвективных движений в кубической полости используются Теоретическим сектором Института механики сплошных сред УНЦ АН СССР в качестве тестовых задач при отработке численных алгоритмов решения трехмерных задач естественной конвекции.
Результаты экспериментального исследования турбулентной конвекции в кубической полости переданы Институту проблем механики АН СССР для использования в качестве тестовых задач при отработке численных алгоритмов исследования турбулентной конвекции.
Иерархическая модель турбулентной конвекции может быть использована при построении новых алгоритмов численного исследования процессов турбулентного тепло- и массообмена.
Теория плоских МТД-течений, изложенная в работе 243 , была использована соавтором работы Хрипченко СЮ. при создании новых конструкций М1Д-насосов.
- II -
Иерархическая модель МЩ-турбулентности может быть использована при анализе условий самовозбуждения магнитного поля в первых контурах реакторов на быстрых нейтронах |_230j .
Метод восстановления трехмерных полей тензора диэлектрической проницаемости может быть использован в фотоупругости для исследования полей напряжений в объемных двулучепреломляющих моделях.
Описанные в диссертации исследования велись в рамках научно-исследовательских работ Института механики сплошных сред УНЦ АН СССР:
Численное исследование плоских конвективных течений. № гос.регистр. 72056908, 4.10.72.
Исследование гидродинамических и магнитогидродинамических процессов в металлургии магния и титана.
№ гос.регистр. 74020802, 15.04.74.
3. Свободная и вынужденная конвекция взвеси титановых частиц
и капель хлористого магния в жидком магнии.
№ гос.регистр. 74046607, 2.07.74.
4. Основы нелинейной теории устойчивости равновесия и конвек
тивных течений несжимаемой жидкости.
J& гос.регистр. 74046602, 2.07.74.
Магнитная гидродинамика сильных магнитных полей. № гос.регистр. 78050353, 30.07.78.
Развитые конвективные течения и вопросы управления гидродинамической устойчивостью.
J8 гос.регистр. 78050355, 30.07.78.
7. Применение методов когерентной оптики к исследованию фазо
вых неоднородяостей в гидродинамике.
№ гос.регистр. 75040II0, 13.06.75.
Автор защищает:
Экспериментальные исследования турбулентной конвекции в замкнутых объемах
Полная конкретизация задачи о конвекции несжимаемой жидкости в замкнутой полости достигается указанием свойств жидкости, формы полости и условий теплообмена на границе. Для каждого конкретного случая стационарного теплообмена удается выбрать характерную разность температур 0 , определяющую интенсивность конвекции. При этом задача характеризуется двумя основными безразмерными параметрами: числом Релея Л-й куО./$X и числом Прандтля б = /Х . Здесь 6 - коэффициент термического расширения жидкости, V - кинематическая вязкость, -X - температуропроводность, П - ускорение силы тяжести, CL " характерный размер полости.
Естественно, что основные закономерности конвекции изучаются на примерах полостей простейших геометрических форм при нескольких типичных вариантах теплообмена.
Для каждой полости можно указать такие условия теплообмена на границе, при которых конвекция отсутствует [94J . В этом случае температура в жидкости и на ее границе линейно зависит от высоты . Если градиент температуры направлен вертикально вверх, то состояние механического равновесия устойчиво [94 J . В противоположном случае существует критическое значение градиента температуры, начиная с которого случайные возмущения нарастают. При этом в жидкости возникает самоподдерживающаяся горизонтальная разность температур. Наиболее интенсивная конвекция наблюдается при задании горизонтальной разности температур на границах полости [25,95J .
Допустим, что температура на поверхности полости изменяется монотонно в направлении произвольно выбранной оси S и сохраняет постоянное значение в сечениях, перпендикулярных S . Изменив угол между S и й и выбрав ОС в качестве параметра, характеризующего температурное поле на поверхности, можно при разных ОС реализовать все описанные выше случаи подогрева. Это технически просто осуществить для шаровой полости [_I,96,97J и горизонтального цилиндра [l,25,98-I00J путем вращения модели вместе с теплообменниками. Но значительно большую ценность представляют данные, получаемые для прямоугольных полостей. Во-первых, прямоугольные полости наиболее удобны для постановки тестовых задач, необходимых для проверки теоретических методов расчета конвективных течений. Во-вторых, наличие двух геометрических параметров (отношений высоты полости Н к ее размерам в плане J) и L ) позволяют осуществить плавный переход от полости, имеющей одинаковые размеры по всем трем направлениям, к различным предельным случаям: плоскому горизонтальному слою, вертикальной щели, горизонтальному цилиндру прямоугольного сечения и т.д.
В сочетании с описанными выше вариантами теплообмена задачи о конвекции в прямоугольных полостях характеризуются пятью безразмерными параметрами и образуют весьма представительный класс задач, который охватывает основные типы конвективных течений в замкнутых полостях. И действительно, подавляющее большинство экспериментов по конвекции в замкнутых объемах выполнено с прямо - 25 угольными полостями. В пространстве безразмерных параметров исследования концентрировались в двух областях: либо подогрев полости снизу (а-0) при H/JD«H,H/L« , либо подогрев сбоку (ос - ас/г) при H/L »1, H/D»1, H/L « н/D . причину этого можно объяснить следующим. Задача о подогреве полости сбоку возникла в связи с вопросами теплоизоляции 101J , для которых типичны приведенные соотношения сторон, а задача о подогреве плоского слоя снизу была первым и очень удачным, как показали дальнейшие исследования, примером конвективной неус-тойчивости. ламинарные режимы конвекции в промежуточной области геометрических параметров были исследованы автором в работах [24,97J (см.также [l02,l03J ).
Вполне естественно, что и при переходе к исследованиям турбулентных режимов конвекции сохранилась тенденция выбирать либо первую, либо вторую комбинацию параметров. При подогреве строго сбоку или строго снизу удобно задавать однородные распределения температур на паре противоположных граней, а остальные грани теплоизолировать. Чаще всего в исследованиях встречаются именно такие условия.
Важные геофизические и астрофизические приложения имеют ла бораторные исследования конвекции во вращающихся системах ІІ04—I07J . Конвекция в подогреваемом снизу плоском слое, вра щающемся вокруг вертикальной оси, имеет прямое отношение к яв лениям в конвективной оболочке Солнца а тот же слой, но с горизонтальным градиентом температуры, направленным по радиусу, моделирует общую циркуляцию атмосферы I07J . Если в случае неподвижной прямоугольной полости фиксировать значения параметров ОС, б, H/JD, H/L » то переход от ламинарной конвекции к турбулентной происходит при увеличении числа Релея. Область перехода начинается с возникновения - 26 стохастических колебаний конвективного течения, обладающего ! сравнительно простой пространственной структурой, и заканчивается формированием инерционных интервалов в пространственных спектрах скорости и температуры. Уточним, что при такой класси-фикации стационарные вторичные течения и периодические колебания относятся к ламинарной области.
Ламинарные режимы конвекции в замкнутых полостях изучены в настоящее время достаточно подробно. Исследована устойчивость механического равновесия и стационарных конвективных движений _94,І08Ів шаровой полости _I,96,97,I09j , в горизонтальных цилиндрах круглого _25,98-100,110-П2J и прямоугольного _II3,II4j сечений, кубической полости [115-118],. плоском слое _II9,I20,3l]» вертикальной и наклонной щели [I2I-I23J .Исследованы развитые погранслойные режимы конвекции в горизонтальных цилиндрах круглого I 25J и прямоугольного _24,95,I02,I03j сечений. В этих случаях конвективное движение вдали от торцов цилиндра близко к двухмерному. Развиты эффективные численные методы решения двухмерных уравнений конвекции [114,124J Эти методы позволяют частично исследовать и область перехода [JE25J . Создаются численные методы исследования трехмерных задач I 126J . С завершением этого этапа задачи ламинарной конвекции будут относиться к области инженерных расчетов.
Восстановление трехмерных полей показателя' преломления по ракурсным теневым картинам
Серийные теневые приборы, предназначенные для исследования прозрачных неоднородностей, обладают незначительной угловой апертурой и, в связи с этим, допускают одновременное просвечивание объекта практически только в одном направлении. Восстановление поля показателя преломления по результатам одного просвечивания возможно только при наличии достаточно обширной априорной информации о структуре неоднородности, например, о ее симметрии. Основной сферой применения одноракурсного метода являются плоские и осесимметричные неоднородности. Восстановление пространственных неоднородностей с заданной структурой рассматривалось в работах I 54,62J .
Проблема восстановления трехмерного поля показателя преломления рассматривалась в ряде работ [29,55-58,65J . Были рассмотрены методы расчета неоднородностей и проверялась их работоспособность на модельных задачах.
В данном параграфе рассмотрен метод обработки ракурсных фотографий трехмерных фазовых неоднородностей, полученных теневым прибором, и восстановления по ним поля показателя преломления с использованием формулы обращения преобразования Радона.
Метод проверялся расчетом модельной задачи. Экспериментально восстанавливались температурные поля в жидкости. Пусть имеется область, в которой показатель преломления Гі(х,Ц,ї) , а за ее пределами П - П0 - COnst . Для восстановления трехмерного поля показателя преломления результатов одного просвечивания недостаточно даже при расчете в параксиальном приближении, не учитывающем искривления траекторий лучей. Поэтому будем предполагать, что неоднородность просвечивается плоскими волнами во всевозможных направлениях. Тогда известными величинами можно считать вносимые неоднородностью оптические разности хода 6 для всех лучей, пересекающих оптическую неоднородность. Траектории лучей в параксиальном приближении считаются прямыми линиями, поэтому совокупность всевозможных лучей, пересекающих область, образует четырехпараметрическое семейство. В качестве параметров удобно выбрать две угловые координаты об и , характеризующие направление просвечивания S » и две линейные координаты р и ty в плоскости, перпендикулярной этому направлению и проходящей через начало декартовой системы координат .
Введенные параметры однозначно определяют прямую в трехмерном пространстве. Программа для ЭВМ составлялась в двух вариантах. В первом варианте интегралы (2.44) вычислялись для каждой точки X,U отдельно. Во втором предварительно вычислялась зависимость к(Ро) (где индекс к соответствует номеру направления просвечивания) и запоминалась в виде таблицы. Затем выбиралась сетка по X, U и вычислялась f(x,U) , при этом нужные значения J(#,po) находились интерполированием вычисленных ранее значений. Второй вариант работает на порядок быстрее первого, причем, если в первом случае время счета пропорционально числу точек, в которых ищется i"(x,U) , то во втором оно почти не зависит от него, так как основная часть времени уходит на вычисление интегралов (2.44).
Для проверки работоспособности формул и программы рассчитывалась модельная задача. Поле показателя преломления было задано в виде пяти гауссовых функций разной амплитуды, функции (р") вычислялись для 10 направлений просвечивания аналитически и по их значениям по формулам (2.42)-(2.44) приближенно восстанавливалось поле показателя преломления (рис.2.2). Погрешность восстановления составила 3%, Исследовалась зависимость точности от числа направлений просвечивания. При четырех направлениях погрешность возрастает до 7%, при двух - превышает 25%.
При этом появляются значительные искажения в виде ложных максимумов и минимумов, затрудняющих даже качественное опознание исходных функций. Для экспериментальной проверки метода был выбран объект, не обладающий элементами симметрии. Таким объектом являлась температурная неоднородность в жидкости над нагревателем, выполненным в форме латинской буквы Л . На рис.2.3 приводятся результаты восстановления температуры в горизонтальном сечении на выо-соте I см над нагревателем. Расчет производился по результатам 10 просвечиваний. Угловые отклонения регистрировались на теневом приборе Свиль-80. Обработка велась на ЭВМ М-220М, время счета 30 мин.
Для количественного сравнения восстанавливалось поле температур над линейным источником тепла длиной 4 см. Одновременно производились измерения температуры термопарним зондом (рис.2.4). Следует отметить, что в этом случае из-за наличия плоскости симметрии достаточно просвечивать неоднородность в интервале углов от 0 до Л/2 , так как 3(( ,pJ) = 3(я- , Ро .
Конвективные колебания в надкритической области
Для областей переходов и колебаний скорость изменения 0 выбиралась такой, чтобы за период колебаний или за время перехода от одного движения к другому изменения Q были невелики. Показания термопар записывались на фотобумагу с помощью низкочастотного терморегистратора НТР-70.
Для подогрева точно снизу критическое число Рэлея по результатам данных опытов равно !Ra = 7800. За единицу температуры принималась разность температур 0 , а за единицу длины - ребро куба. При !R Jla возникает конвективное движение, обладающее симметрией первого критического возмущения. В этом случае отличные от нуля показания дает либо термопара I, либо термопара 2 (рис.3.2 и 3.3). При медленном увеличении ft стационарное движение типа CL или О наблюдается вплоть до А = Ю . Далее возникают конвективные колебания с периодом около 15 сек, которые при фиксированном числе Рэлея могут продолжаться неограниченно долго. При дальнейшем увеличении Зг амплитуда колебаний возрастает и при л - і.\8 40 происходит переход движений типа CL или и в движение типа и . Разности температур Vj и Х/2 » измеряемые термопарами I и 2, в этом случае одинаковы как по величине, так и по знаку.
Фотозапись колебаний и перехода от движения типа CL к движению типа О приведена на рис.3.6. Вдоль горизонтальной линии, которая соответствует нулевым показаниям всех термопар, отложено время в минутах. Чувствительность гальванометра, измеряющего разность температур 9 , примерно в 6 раз ниже, чем у гальванометров, измеряющих поперечные разности температур. В левой части рисунка виден участок, соответствующий стационарному движению типа CL , в правой части - стационарному движению типа и . Показания термопар I и 2 для движения 6 несколько отличаются из-за различной чувствительности гальванометров, однако разности температур V i и TJZ одинаковы.
В переходной области наблюдаются конвективные колебания. Первоначальная симметрия движения после возникновения колебаний не сохраняется. Так, в начальном участке колебаний на фоне движения типа а ("Ц ф 0, и,= 0) возникает возмущение, при котором отклонения щ и -с)"я от первоначальных значений одинаковы по величине и знаку. Это означает, что возмущение имеет симметрию движения О . Далее спектр движения усложняется. движение 6 остается стационарнымвплоть до 31= 3.14 Ю , при котором кризисным образом возникают нерегулярные колебания, характерные для турбулентного режима конвекции. Фотозапись этого перехода приведена на рис.3.7. При уменьшении л колебания исчезают при том же самом числе Рэлея, при котором возникли. В результате устанавливается стационарное лишение типа Б . которое при дальнейшем меньше-нии л переходит в движение CI , однако, этот переход происходит уже при другом, значительно более низком значении л, , чем переход от CL к О , а именно, при Ji - 2.9 Ю . Фотозапись этого перехода приведена на рис.318; слева движение и (\7 = -) , справа - & ( v2 = 0) . В диапазоне чисел Рэлея 2,9-10 + 1,ПМ05 могут устойчиво существовать оба типа движений. Аналогичный результат был получен ранее на водяной модели в работах [II6,II7j .
Фотозапись перехода от метастабильного движения к основному для угла наклона 2 приведена на рис.3.9. При квазистационарном уменьшении числа Рэлея уменьшается интенсивность метастабильного движения, а затем происходит переход к основному движению. Положительным значениям Vi соответствует метастабильное движение, а отрицательным - основное. Как видно из рис.3.8, в процессе перехода конвективное движение представляет собой суперпозицию движений типа CL и 0 , которая является одновихре-вым движением с произвольным образом ориентированной границей раздела восходящего и нисходящего потоков.
Изменение направления циркуляции жидкости происходит путем поворота границы раздела на 180 вокруг вертикальной оси. Такой вывод следует из количественной обработки фотозаписей.
Если после возбуждения метастабильного движения медленно увеличивать число Рэлея, то при некотором % , зависящем от угла наклона плоскости, возникают регулярные конвективные колебания. Характер этих колебаний для угла наклона 2 показан на рис.3.10. Опыты, выполненные в стационарных условиях, показали, что возникновение колебаний носит характер кризиса стационарного движения. Безразмерная амплитуда колебаний (в единицах 0 ) возрастает с ростом надкритичности по корневому закону.
При некотором л , зависящем от угла наклона, наблюдается переход к основному движению. Как видно из рис.3.10, этот переход также происходит путем поворота границы раздела восходящего и нисходящего потоков, о чем свидетельствует всплеск показаний термопары 2 в области перехода.
Динамическая система для уравнений термогравитационной конвекции
Формулы (4.17)-(4.23) записаны с учетом того факта, что Фурье-образы базисных функций с различными N не перекрыва - 283 ются в К -пространстве. Следовательно, базис ортогонален по индексу N и сохраняет это свойство после применения линейных дифференциальных операторов. В результате матрицы З5,?, Л,Зі и вторые члены в матрицах л и Ж оказываются диагональными по индексу яруса. Недиагональность IP и СК. по оставшимся индексам слабая. При осреднении (Р и УІ по сфере радиуса U)N , равного среднему расстоянию между соседними вихрями яруса N , получаются значения 0,1 и 0,2 соответственно. Динамическая система, соответствующая уравнениям естественной конвекции, состоит из уравнений (4.15),(4.16) для коэффициентов cw Nav, Тка и даУх Уравнений типа (4.8), для Ntl и ttin f описывающих движение центров вихрей и терминов. Структура динамической системы показывает, что иерархический базис с движущимися вихрями реализует смешанное лагранж-эйлерово описание движения жидкости. Приведенные выше оценки показывают, что в инерционном интервале существенными являются только нелинейные взаимодействия соседних ярусов. В нелинейных членах выделим доминирующие взаимодействия для случая, когда «5rN 2 , где 0 (Ь С 5/2 . Из таб лицы 4.2 и оценки (4.31) следует, что в этом случае существенны только взаимодействия соседних ярусов. Матричные элементы 3lNMU зависят от взаимного расположения ТрОЙКИ ВИХреЙ JtNML \ В оставленных членах заменит/ точные значения 1R NML , зависящие от &м- JN и {JL- N , ИХ средними значениями, вычисленными по формуле (4.29). Знаки осредненных матричных элементов выберем так, чтобы выполнялись соотношения -n.NML= - LMN которым удовлетворяют точные выражения для 31 и Л .
При формальном выводе (4.35) используются следующие предположения [169,225J : І) квадратичность нелинейных членов, 2) масштабная инвариантность безразмерных коэффициентов уравнений, 3) наличие квадратичного интеграла, 4) взаимодействие только соседних ярусов. В данном подходе условия 1-3 являются прямыми следствиями уравнения Навье-Стокса, а условие 4 получается в результате оценки нелинейных членов. Отметим, что возможность рассмотрения системы (4.33) отдельно от уравнений (4.8), описывающих движение центров вихрей, основана на том, что вместо точных значений OINMU взяты не зависящие от &Nn, осредненные значения матричных элементов. Некоторое обоснование подобной процедуры можно получить, сравнивая характерное время распада вихря яруса N с характерным временем одного оборота вихрей ярусов М N внутри вихря яруса N . Отношение (4.41) к (4.39) составляет примерно ЗО, т.е. за время существенного изменения амплитуды вихря яруса N коэффициент его взаимодействия с вихрем яруса К - 1 изменяется не очень существенно. В описанной выше модели не учитывается пространственная неоднородность матричных элементов JINML Простейший вариант учета этого фактора в рамках модели, игнорирующей перемешивание вихрей крупномасштабным полем скорости, состоит в следующем. При замене точных значений 51IMML В (4.15) их средними значениями только ITL элементов полагаются равными их средним значениям, а остальные И. - ИЛ считаются равными нулю. Отношение ГЛ./И для такой аппроксимации пространственной неоднородности может быть вычислено исходя из формул (4.25) и (4.4).
Если в нулевом ярусе все вихри обладают равной энергией, то уже в первом ярусе распределение энергии будет неравномерным, так как из Г1 вихрей первого яруса будут возбуждены только Ш , а П - ІП будут иметь нулевые амплитуды. Во втором ярусе будут возбуждаться только вихри, находящиеся в области локализации возбужденных вихрей первого яруса, и т.д.
Поправка к показателю степени в законе Колмогорова не может быть надежно определена по результатам измерения Е(к) . Кроме того, отличие показателей степени в (4.37) и (4.45) вызывает некоторую неопределенность при сопоставлении СІ с экспериментальными значениями. Тем не менее, из таблицы видно, что при JLI 0 С лучше соответствует экспериментальным данным.
Более надежно значения определяются по результатам измерения пространственных спектров флуктуации диссипации энергии или других величин, выражающихся через квадрат скорости [22?] .
Нахождение JX , исходя из выражения для iLNnvMrnjLEA _ возможно, но, отказавшись в (4.24) от суммирования по V,/Л,Л, придется вычислять определенные интегралы типа (4.27), кратность которых равна 18. Это связано с очень большим объемом вычислений. Оценить значение II можно, исходя из известной неоднородности распределения модуля скорости на сферах радиуса % . По смыслу введения I - неоднородное распределение \v\ заменяется ступенчатой функцией, равной единице в области больших значений \v\ , и нулю - в области малых значений ч?1 . Потребовав, чтобы такая аппроксимация давала минимум среднеквадратичного отклонения от истинного значения т? на сфере, найдем отношение полной площади поверхности сферы к площади области, где ступенчатая функция имеет не нулевое значение. Это отношение имеет тот же смысл, что и отношение Гі/іТ! . В результате для /Л. получается значение 0,72. Из таблицы 4.4 следует, что данному значению /X соответствует значение С s і .4 8 , которое находится приблизительно в центре интервала экспериментальных значений С1 . В работе 226 I как наиболее вероятное значение указывается Cj = 1.5 .
