Содержание к диссертации
Введение
1. Взаимодействие оптического излучения с веществом 8
1.1. Термодинамические подходы к вопросу взаимодействия электромагнитного излучения с веществом 8
1.2. Теоретические возможности усиления света без инверсии населенностей 12
1.3. Ориентация молекул во внешних полях. Функции распределения молекул по ориентациям. Уравнение Больцмана 17
1.4. Методы построения разностных схем 18
2. Взаимодействие оптического излучения с ансамблем молекул, ориентированных внешним электромагнитным полем 21
2.1. Двухуровневая система в поле собственного излучения 21
2.2. Поглощение и усиление 24
2.3. Электрические свойства молекул 29
2.4. Функция распределения молекул по ориентациям 34
2.5. Оптические характеристики дихроичной молекулярной среды 37
2.6. Усиление в среде дипольных молекул 42
2.7. Усиление в среде недипольных молекул 50
Выводы 53
3. Термодинамическая модель процесса 55
3.1. Система кинетических уравнений 55
3.2. Решение системы для случая дипольных молекул 61
3.3. Решение системы для недипольных молекул 64
Выводы 66
4. Численное моделирование процессов ориентации молекул во внешнем поле 67
4.1. Интегро-интерполяционный метод построения разностных схем 68
4.2. Решение разностных уравнений методом прогонки 71
4.3. Численное моделирование уравнения Больцмана на примере стационарного случая 72
4.4. Численное решение системы кинетических уравнений с учетом времени ориентации молекул 76
4.5. Влияние времени ориентации молекул на процесс усиления .79
4.5.1. Трехуровневая схема накачки 79
4.5.2. Четырехуровневая схема накачки 81
4.5.3. Эквивалентная четырехуровневая схема с учетом времени ориентации молекул 82
Выводы 105
Обсуждение результатов 106
Основные результаты и выводы 109
Список использованных источников 111
- Теоретические возможности усиления света без инверсии населенностей
- Поглощение и усиление
- Решение системы для случая дипольных молекул
- Решение разностных уравнений методом прогонки
Введение к работе
Попытка построения теории излучения абсолютно черного тела, находящегося в термодинамическом равновесии с излучением, привела к формулировке основных принципов квантовой механики. Введение понятия индуцированных переходов позволило построить стройную термодинамическую теорию излучения, описывающую основные явления в этой области науки. Это понятие легло в основу одного из значительных событий физики второй половины XX в. - создание генераторов электромагнитного излучения, работающих на принципе квантового усиления (мазеры, лазеры). Несмотря на то, что понятие индуцированного излучения было введено в физику еще в 1917 г. Эйнштейном, потребовалось несколько десятков лет для того, чтобы реализовать усиление света с использованием этого эффекта. Нетривиальным событием, определяющим возможность квантового усиления, была разработка методов создания инверсии населенностей между рабочими уровнями. Для удобства описания процессов усиления и генерации излучения в инверсных средах было введено понятие «температура перехода». Температура перехода, на котором имеет место инверсия, становится отрицательной. В термодинамически неравновесных условиях отрицательная температура перехода была реализована в различных типах усиливающих сред, на базе которых создано большое количество лазеров. Тем не менее, идея получения отрицательного поглощения в среде с положительной температурой перехода постоянно возникала. Было предложено несколько схем, основанных на термодинамических соображениях, ни одна из которых не была реализована /1, 2/. Поэтому поиск таких возможностей представляет значительный как научный, так и практический интерес.
Одна из теоретических возможностей получения отрицательного поглощения в среде с положительной температурой перехода была выска- зана в работе /3, 4/. Идея основана на различии в термодинамически равновесных функциях распределения по ориентациям во внешнем электромагнитном поле при заданной температуре среды возбужденных и невозбужденных молекул. Это приводит, в свою очередь, к различию вероятностей вынужденного испускания и поглощения плоскополяризованного излучения. Таким образом, даже при отсутствии инверсии населенностей мощность индуцированно-испущенного излучения может превышать мощность поглощенного, приводя к усилению света в среде с заданной температурой. Отсутствие инверсии на рассматриваемом переходе означает его положительную температуру, которая определяется из распределения Больцмана для населенностей уровней частиц. Очевидно, что авторы в этом случае имеют дело с неравновесной термодинамической системой с двумя положительными температурами. Первая - это температура среды или истинная температура вещества, которая входит в выражения для функций распределения молекул по ориентациям. Вторая - это температура перехода, которая может быть определена из распределения Больцмана для населенностей уровней частиц. В работе названных авторов были рассмотрены частные случаи при фиксированных населенностях уровней частиц без учета времени ориентации молекул во внешнем электромагнитном поле. Однако соотношение времени жизни энергетического состояния и времени ориентации молекулы во внешнем электромагнитном поле может существенно изменить характеристики протекания процесса в реальной ситуации.
Цель диссертационной работы - исследование влияния температуры вещества и температуры перехода на поглощение излучения в молекулярной среде с учетом времени ориентации молекул во внешнем электромагнитном поле.
Для достижения поставленной цели решались следующие задачи:
Разработка термодинамической модели процесса взаимодействия излучения с ансамблем молекул, ориентированных во внешнем электромагнитном поле и находящихся в термодинамическом равновесии с излучением накачки.
Разработка методов решения полученных уравнений.
Исследование влияния температуры перехода и энергии взаимодействия молекул с внешним электромагнитным полем на усиление света.
Научная новизна.
Найдена область значений соотношения населенностей уровней частиц и параметров ориентации молекул, при которых возможно отрицательное поглощение в среде с положительной температурой перехода без учета времени ориентации молекул во внешнем электромагнитном поле.
Предложена система кинетических уравнений для нахождения функций распределения по ориентациям молекул, ориентированных внешним электромагнитным полем и находящихся в термодинамическом равновесии с излучением накачки.
3. Показано, что отрицательное поглощение в среде с положитель ной температурой перехода возможно, когда время ориентации молекул не превышает время жизни энергетического состояния, а параметры ори ентации достигают величины порядка единицы и более.
Практическая значимость.
Результаты исследований могут быть использованы при разработке лазерных устройств, не требующих создания инверсии населенностей.
Предложенный подход и использованная конечно-разностная схема могут быть применены для численного моделирования нелинейных, нестационарных процессов.
Основные положения и результаты, выносимые на защиту.
Система кинетических уравнений для нахождения функций распределения по ориентациям молекул с учетом спонтанных и вынужденных переходов между рабочими уровнями и времени установления ориен-тационного равновесия.
Молекулярная среда с положительной температурой перехода (без инверсии населенностей) способна усиливать излучение при достижении определенных значений населенностей уровней и величины параметров ориентации молекул.
Усиление света при положительной температуре перехода в молекулярной среде, селективно ориентированной по состояниям, возможно при выполнении следующих условий: параметры ориентации молекул должны достигать значений порядка единицы и более; время ориентации молекул во внешнем поле не должно превышать время жизни энергетического состояния.
Апробация работы.
Основные результаты работы были представлены на Первом Верос-сийском семинаре «Моделирование неравновесных систем» (МНС-98) (Красноярск, 1998); Региональной научно-практической конференции «Ставеровские чтения» (Красноярск, 1998); VI Всероссийской конференции «Решетневские чтения» (Красноярск, 2002); Межрегиональной конференции «Высокоэнергетические процессы и наноструктуры (Ставеровские чтения)» (Красноярск, 2002); Девятой Всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых ученых «ВНКСФ-9» (Екатеринбург-Красноярск, 2003).
По теме диссертации опубликовано 7 работ /39-42, 80-82/.
Диссертация состоит из введения, четырех разделов, заключения и списка литературы. Работа изложена на 120 страницах, включает 25 рисунков и список литературы из 98 наименований.
Теоретические возможности усиления света без инверсии населенностей
Возможности получения отрицательного поглощения в среде с положительной температурой перехода в современной литературе уделяется достаточное внимание. Основная масса работ посвящена использованию нелинейных интерференционных эффектов в атомных системах. Когерентность и интерференция - это фундаментальные физические явления, которые могут приводить к новым эффектам в квантовой оптике. Интерференция может быть деструктивной или, наоборот, конструктивной, приводя в первом случае к взаимному подавлению, а во втором - усилению одновременно протекающих процессов. Идея состоит в использовании квантовой интерференции для того, чтобы добиться различия вероятностей вынужденного испускания и поглощения в двух, трех и четырехуровневых средах /12-17/. Возможность безынверсного усиления пробного поля при его распространении в среде двухуровневых невырожденных атомов в присутствии сильного когерентного поля, резонансного тому же переходу была предсказана в работе /18/ и экспериментально исследовалась в радиодиапазоне /19/. В работе /20/ рассматривается возможность усиления пробного поля в среде двухуровневых вырожденных атомов в присутствии магнитного поля. О создании первых лазеров без инверсии с использованием этого эффекта говорится в работах /21-27/. В работе /28/ рассмотрено распространение пробного поля в среде двухуровневых вырожденных атомов, накачка которых проводится циркулярно - поляризованным резонансным полем в присутствии постоянного магнитного поля. Интерференционные эффекты и атомная когерентность в среде трех и четырехуровневых атомов в сильном оптическом или микроволновом поле могут приводить к усилению без инверсии так же, как и в среде двухуровневых атомов /29-38/. Физически безынверсное усиление связано с существованием когерентного состояния нижних подуровней, находясь в котором атомы в силу интерференции переходов не взаимодействуют с полем. Происходит так называемый когерентный захват населенностей.
В общем, безынверсное усиление можно рассматривать как нелинейный интерференционный эффект /43, 44/, в результате которого происходит усиление пробного поля в некоторых областях спектра. Возможность безынверсного усиления на переходах в автоионизационные состояния и континиум рассмотрены в работах /45-50/. Кроме этого, эффект может наблюдаться за счет разницы в распределении по скоростям возбужденных и невозбужденных атомов /1, 21. Предлагается такой метод возбуждения, при котором на некотором участке v, v + Sv , для соотношения между числом излучающих атомов W,- (v) и поглощающих 6Nk (V) выполняется условие SNi (v) 3Nк (v) , хотя для общей заселенности уровней Nt Nk. Подобное можно осуществить при возбуждении атомов соударениями второго рода или путем фотодиссоциации. Безынверсное усиление при этом возможно за счет различия спектров усиления и поглощения. Работа /51/ посвящена поиску классических аналогов квантовых систем, способных к стимулированному излучению в отсутствие традиционной инверсии. Показано, что циклотронная параметрическая неустойчивость при низкочастотной модуляции функции распределения электронов может приводить к усилению бихроматического ВЧ поля даже в том случае, когда усиление каждой из спектральных компонент невозможно в силу спадающего характера энергетического спектра резонансных частиц. В работе /52/ говорится о возможности безынверсного усиления света за счет преобразования механической энергии атома в электромагнитную. Успешная экспериментальная демонстрация усиления /53-57/ и лазерной генерации /58, 59/ в отсутствие инверсии в среде открывает возможность использования этих эффектов при создании лазеров в УФ и рентгеновской областях спектра, где сложно создать инверсию /60-62/. Это связано с тем, что времена жизни атомов и ионов на возбужденных уровнях по отношению к спонтанной релаксации обратно пропорциональны кубу частот соответствующих переходов и резко уменьшаются в коротковолновом диапазоне. На рентгеновских переходах это время со ставляет г ра 10 -10 с. Для того, чтобы успеть за это время создать значительную инверсию заселенностей, приходится прибегать к использованию возбуждения в плазме, образуемой с помощью взрывов или сверхкоротких импульсов лазеров длинноволнового диапазона /63/. Возможность получения отрицательного поглощения в среде без инверсии населенностей за счет селективной ориентации молекул во внешнем электромагнитном поле была высказана в работах /3,4/. Суть идеи заключается в следующем. Как известно, вероятность индуцированных переходов в электродипольном приближении определяется проекцией матричного элемента электродипольного момента перехода d на направление вектора электрического поля. В молекулярных средах направление dmg задается симметрией молекулы и связано с ее ориентацией в пространстве.
Поэтому ориентированные молекулы поглощают и испускают свет селективно по поляризациям. Это свойство получило название дихроизма и широко используется при создании пленочных поляризаторов, в которых поглощающие молекулы ориентированы в полимерной матрице. При воздействии на молекулярную среду внешних полей молекулы ориентируются в направлении, соответствующем минимуму потенциальной энергии их взаимодействия с полем /64, 65/. Этому противодействует тепловое движение. В результате этих двух процессов устанавливается определенное равновесное распределение пространственных ориентации молекул. Оно имеет статистический характер и зависит от механизма взаимодействия молекул с внешним полем. При этом направление ориентации определяется как направлением внешнего поля, так и симметрией молекулы. Степень ориентации среды в целом зависит от параметра ориентации, представляющего собой отношение энергии взаимодействия мо лекулы с полем U к энергии теплового движения кТ, оказывающей дезориентирующее влияние. Энергия взаимодействия U, а следовательно, и параметр ориентации для молекул, находящихся в основном и в возбужденном состояниях, могут быть различны. Поэтому степень ориентации внешним полем возбужденных и невозбужденных молекул может различаться. В этом случае вероятности индуцированных переходов с поглощением и усилением поляризованного света, определяющиеся ориентацией молекул относительно направления электрического поля волны, могут быть также не равны. Отсюда следует принципиальная возможность, - управляя степенью ориентации
Поглощение и усиление
При термодинамическом равновесии ансамбль не теряет и не приобретает энергии. Следовательно, в единицу времени во всем ансамбле общее число переходов из верхнего энергетического состояния в нижнее должно быть равным общему числу переходов из нижнего состояния в верхнее. Общее число переходов определяется населенностью уровней. Если система находится в термодинамическом равновесии с излучением накачки, то населенность уровней описывается распределением Больцмана /69/ где, Т - соответствующая температура перехода. Равновесная квантовая система поглощает энергию внешнего излучения, то есть общее число переходов с нижних уровней на верхние превосходит число обратных переходов. Действительно, изменение энергии внешнего поля излучения в единичном объёме квантовой системы определяется разностью энергий, излучаемых и поглощаемых при переходах вниз и вверх. Скорость изменения плотности энергии задается выражением и в условиях термодинамического равновесия в соответствии с распределением Больцмана (10) отрицательна. Здесь 8vл - Лоренцева ширина контура. Для того, чтобы отношение — было положительно, необходимо выполнение условия что соответствует усилению. В отсутствие вырождения это означает, что населенность верхнего уровня должна превышать населенность нижнего. При наличии вырождения число частиц, приходящихся на одно невырожденное состояние верхнего уровня, должно превышать населенность каждого невырожденного состояния нижнего уровня.
Таким образом, увеличение плотности энергии поля внешнего излучения происходит в квантовой системе тогда, когда равновесное распределение населенностей нарушено так, что верхние состояния населены сильнее, чем нижние. Системы квантовых частиц, в которых хотя бы для двух уровней энергии более высоко расположенный энергетический уровень населен сильнее нижнего, называются системами с инверсией населенностей. Иногда для удобства описания процессов усиления и генерации света в средах с инверсией населенностей вводится понятие «температура перехода». Это есть условная величина, которая определяется из формулы Больцмана (10) для соотношения населенностей уровней вием применения распределения Больцмана к неравновесным системам с инверсией населенностей. Действительно, из формулы (10), что при Е2 Ех условие — —- следует автоматически, если считать, что Т 0. В настоящей работе в расчетах будет использоваться отношение населенностей возбужденного состояния к основному. Выполнение условия — 1 «1 пг — 1 являются системами с соответствует системе с положительной температурой перехода Т 0. Системы с инверсией населенностей отрицательным поглощением, то есть с усилением. Температура перехода сг. По определению Если принять статистические веса верхнего и нижнего состояний одинаковыми, то из (16) с учетом (17) следует, что Характерные значения а в звисимости от спектрального интервала лежат в широком диапазоне от 10"12 до 10"24 см2. Закон Бугера получен в предположении, что поглощаемое излучение не вызывает изменений распределения числа частиц по уровням энергии от термодинамически равновесного. Последнее не всегда справедливо. В случае, когда вероятность индуцированных переходов становиться сравнимой с вероятностью релаксационных переходов, равновесное распределение населенностеи заметно искажается. При этом относительная доля энергии, поглощаемой системой, уменьшается, коэффициент поглощения падает, наступает так называемый эффект насыщения. С увеличением интенсивности облучения первоначальная разность заселенностей падает.
Характерный масштаб изменения задается величиной интенсивности насыщения Js. Когда интенсивность облучения достигает величины Is, первоначальная разность населенностеи падает вдвое. Порядок величины интенсивности насыщения определяется параметрами рассматриваемого перехода конкретной квантовой частицы. В видимой области спектра при г = 10" с и т = 10 см значение /sсоставляет 1-2 кВт/см . Более подробно рассмотрение этих вопросов можно найти в следующих источниках /75-79/. Любая молекула представляет собой систему положительных и отрицательных зарядов, определенным образом расположенных в пространстве. Даже в случае нейтральной молекулы всегда присутствует пространственное разделение зарядов. Молекулу в первом приближении можно рассматривать как диполь. Электрическая система, состоящая из двух одинаковых по величине, но разных по знаку зарядов, находящихся на расстоянии г друг от друга,
Решение системы для случая дипольных молекул
Потенциальная энергия взаимодействия дипольных молекул с внешним ориентирующим полем определяется выражением U(3,E)--juEcos(3). Если считать 1/(3,Е) известной функцией, то оператор L{(p) можно представить в виде Подставляя (73), (72) в (71) получим следующие уравнения для нахождения функции (р где p, 2 - безразмерные параметры ориентации (48), /3 = —. Вводя но кТ вые переменные перепишем систему уравнений (74) в следующем виде Каждое из уравнений этой системы можно решить независимо. Запишем первое уравнение Для нахождения неизвестной функции (р применим метод мало меняющихся амплитуд. Решение ищется в виде где (pQX = exp(/?j cos(i9)) - известная функция Больцмана, у/ - мало меняющаяся функция. (79) Подставляя (79) в (77) и пренебрегая вторыми производными по у/, получим следующее выражение Так как pQX - функция Больцмана, поэтому p(j, +bx{&)cp m +cxq m =0, и получается Решая уравнение относительно Ц/ находим, что Таким образом, функция распределения молекул по ориентациям с учетом (69) и (78) будет иметь вид где /01 = р01 - известные функции Больцмана. Аналогично, решая втрое уравнение, находим где Запишем полное выражение для функций распределения молекул по ориентациям с учетом выражений (82), (83), (84), (85). В пределе, когда время ориентации молекул во внешнем поле много меньше времени жизни энергетического состояния, подинтегральные выражения обращаются в ноль и искомыми функциями /J, /2 будут функции распределения Больцмана. Если молекулы не обладают постоянным дипольным моментом, то энергия их взаимодействия с внешним полем определяется выражением Так же, как и в предыдущем случае, в пренебрежении временем установления ориентационного равновесия решениями будут функции распределения Больцмана.
Построена термодинамическая модель процесса взаимодействия излучения с ансамблем молекул, ориентированных внешним полем и находящихся в термодинамическом равновесии с излучением накачки. Предложена система кинетических уравнений для нахождения функций распределения молекул с учетом времени установления ориентационного равновесия. Показано, что система уравнений имеет решение. Получение точного аналитического решения достаточно затруднительно, поэтому было сделано два предположения: первое - время ориентации мало по сравнению со временем жизни возбужденного состояния. При этом искомые функции распределения мало отличаются от функций Больцмана и могут быть представлены в виде / = fQ+q , где ср - малая функция, /0 функция Больцмана (метод итераций); второе - предполагалось, что ср мало меняющаяся функция, следовательно, для ее нахождения был использован метод мало меняющихся амплитуд. Полученное решение соответствует приближению, когда —— «1 Использование его для расчетов показателя усиления, когда время ориентации сравнимо со временем жизни энергетического состояния или превышает его не представляется возможным. Наиболее целесообразным для решения системы уравнений (67) будет использование численных методов. Необходимость в решении уравнения Больцмана возникает в различных задачах статистической физики и в частности при рассмотрении поведения молекул в переменных электромагнитных полях, а также при анализе кинетических свойств системы с учетом времени ориентации молекул. Проведенный во второй главе диссертационной работы расчет показателя усиления соответствует условиям, когда время жизни возбужденного состояния значительно больше времени установления ориентационного равновесия. В этом случае функции распределения молекул по ориентаци-ям в основном и возбужденном состояниях соответствуют равновесным функциям Больцмана. Попытка учесть конечность времени установления ориентационного равновесия по сравнению со временем жизни энергетического состояния приводит к необходимости решения связанной системы уравнений
Больцмана, описывающих вероятность распределения молекул по ориентациям в верхнем и нижнем состояниях. Молекулярная теория дипольной релаксации была сформулирована Дебаем. Им было получено аналитическое решение кинетического уравнения в предположении, что потенциальная энергия взаимодействия молекул с внешним полем много меньше энергии их теплового движения. При рассмотрении поведения молекул в сильных ориентирующих полях, когда потенциальная энергия взаимодействия молекул с полем сравнима с энергией их теплового движения, воспользоваться приближением Дебая не представляется возможным. Получение точного аналитического решения уравнения Больцмана достаточно затруднительно. Полученное приближенное решение в третьей главе настоящей работы соответствует ситуации, когда время ориентации молекул значительно меньше времени жизни энергетического состояния. Решение громоздко и в силу сделанных предположений при его получении не может быть использовано для расчета показателя усиления. Для исследования влияния времени ориентации молекул на процесс усиления наиболее целесообразным является использование численных методов. Определяющим в численном моделировании процессов, связанных с поведением молекул во внешних полях является аппроксимация дифференциального уравнения Больцмана на примере стационарного случая.
Решение разностных уравнений методом прогонки
Уравнение Больцмана (60), записанное для стационарного случая имеет вид Как и раньше, сделано предположение, что молекулы имеют ось симметрии вдоль направления дипольного момента, которая составляет угол 3 с внешним ориентирующим полем. В этом случае потенциальная энергия взаимодействия молекул с полем U и функция распределения /, зависят только от одного угла 3. Решением уравнения (99) является функция распределения Больцма на f(3) = Л-ехр кТ , где А - нормирующий множитель, определяю щийся из условия нормировки (101). Уравнение (99) является дифференциальным уравнением II порядка эллиптического типа с переменными коэффициентами и особенностью при 3 = 0. Приведем его к виду, удобному для построения разностной схемы по тенциальной энергии взаимодействия молекул с полем к энергии их теплового движения, выраженное через параметры ориентации р, q /52/. Уравнение Больцмана, записанное в виде (102), позволяет воспользоваться интегро-интерполяционным методом построения разностной схемы, как и в случае чисто диффузионного уравнения. Интегро-интерполяционный метод широко применяется при построении разностных схем для одномерных уравнений эллиптического типа /70-74/. Для аппроксимации уравнения (102) предлагается следующая разностная схема /80/ а. стоянныи шаг сетки, N - число узлов сетки. Краевые условия Неймана / (0) = / {тс) - 0 выписываются автоматически при получении схемы. Для сеточной функции /]., i = 0,1,..., TV условие нормировки запишем, аппроксимируя интеграл (101) по формуле центральных прямоугольников
Для практических целей удобно иметь по возможности более простые формулы для нахождения коэффициентов at, использующих значения подинтегральных функций в отдельных точках. Обычно используют шаблон из одной или двух точек. Заменив точные значения интегралов их приближенными выражениями, получим следующую разностную схему, представленную в виде трехточечного уравнения где ui = [/(#,-) -потенциальная энергия молекул во внешнем поле. Данная схема является абсолютно устойчивой и аппроксимирует исходное уравнение, следовательно, разностное решение будет стремиться к точному решению при уменьшении шага сетки. Обосн внешним ориентирующим полем. В этом случае потенциальная энергия взаимодействия молекул с полем U и функция распределения /, зависят только от одного угла 3. Решением уравнения (99) является функция распределения Больцма на f(3) = Л-ехр кТ , где А - нормирующий множитель, определяю щийся из условия нормировки (101). Уравнение (99) является дифференциальным уравнением II порядка эллиптического типа с переменными коэффициентами и особенностью при 3 = 0. Приведем его к виду, удобному для построения разностной схемы по тенциальной энергии взаимодействия молекул с полем к энергии их теплового движения, выраженное через параметры ориентации р, q /52/. Уравнение
Больцмана, записанное в виде (102), позволяет воспользоваться интегро-интерполяционным методом построения разностной схемы, как и в случае чисто диффузионного уравнения. Интегро-интерполяционный метод широко применяется при построении разностных схем для одномерных уравнений эллиптического типа /70-74/. Для аппроксимации уравнения (102) предлагается следующая разностная схема /80/ а. стоянныи шаг сетки, N - число узлов сетки. Краевые условия Неймана / (0) = / {тс) - ование устойчивости и аппроксимации для схем данного вида можно найти, например в /73, 74/. Для решения полученной разностной схемы с условием нормировки (107) используется метод прогонки, который является наиболее распространенным при решении одномерных разностных уравнений. Сравнивая полученные численные значения с точным аналитическим решением, можем судить о точности метода. На рисунке 7 показаны графики точного аналитического и численного решений уравнения Больцмана в стационарном случае для недипольных молекул Теоретическая погрешность данной схемы 0(hz), где h - шаг сетки. В рассматриваемом случае точность приближенного решения превышает заявленный порядок аппроксимации, что можно объяснить модельностью уравнения. Таким образом, можно говорить о целесообразности применения вышеуказанной разностной схемы для численного моделирования процессов ориентации молекул во внешнем поле в более общем случае /82/. Система уравнений для функций распределения молекул по ориентациям, описанная в предыдущей главе настоящей работы выглядит следующим образом
